EKSAMEN. TILLATTE HJELPEMIDLER: Kalkulator. Hornæs: Formelsamling statistikk HiG. John Haugan: Formler og tabeller.

Transkript

1 KANDIDATNUMMER: EKSAMEN FAGNAVN: FAGNUMMER: Statistikk. BtG207 EKSAMENSDATO: 1. juni KLASSE: HIS TID: kl FAGLÆRER: Hans Petter Hornæs ANTALL SIDER UTLEVERT: 3 (innkl. forside) TILLATTE HJELPEMIDLER: Kalkulator. Hornæs: Formelsamling statistikk HiG. John Haugan: Formler og tabeller. INNFØRING MED PENN, evt. trykkblyant som gir gjennomslag. Ved innlevering skilles hvit og gul besvarelse og legges i hvert sitt omslag. Oppgavetekst, kladd og blå kopi beholder kandidaten. Husk kandidatnummer på alle ark.

2 Eksamen i Statistikk. 1. juni Hvert av de 11 bokstavpunktene teller likt ved bedømmelsen, oppgaver uten bokstavpunkter teller som et bokstavpunkt. Oppgave 1 En landmåler skal måle en høydeforskjell. På grunn av terrengforholdet må han gjøre det itoetapper:førstemåling er en stokastisk variabel X, andre etappe Y. I denne oppgaven skal vi tenke oss at vi (men antagelig ikke landmåleren) kjenner eksakt forventningsverdiene (de virkelige høydeforskjellene) og standardavvikene (måleunøyaktigheten), og at X N(47.225, 0.015) og Y N(22.275, 0.007),Xog Y uavhengige. Alle størrelser er oppgitt uten benevning, men er meter. Den samlede høyden er da meter, og målingen av denne er X + Y. a) Regn ut P( X ), sannsynligheten for at en enkelt måling av første høydeforskjell blir mellom og meter. b) Regn ut P ( X ), sannsynligheten for at gjennomsnittet av n 5 uavhengige målinger av første høydeforskjell er mellom og meter. c) Regn ut P( X + Y ), sannsynligheten for at en måling av hver høyde gir en feil på mindre enn 2 cm på den samlede høydeforskjellen. Oppgave 2 Landmåleren skal også måle den horisontale avstanden mellom punktene, og har målt den 10 ganger. Måleresultatene (i meter) ble: { , , , , ,, , , , , } a ) c ) Regn ut gjennomsnittet x og det empiriske standardavviket s for disse dataene. Bruk 4 desimaler. Se opp for faren for stor avrundingsfeil ved beregning av standardavvik for store tall med liten spredning. Finn et 95% konfidensintervall for μ, den sanne avstanden mellom punktene. I følge tidligere kart er denne avstanden meter. Landmåleren setter spørsmål ved dette, som en hypotesetest: H 0 : μ mot H 1 : μ , med signifikansnivå α 0.01(1%). Sett opp og utfør denne testen.

3 Eksamen i Statistikk. 1. juni Oppgave 3 I denne oppgaven skal du se på 8 datapar (x, y), som er simulert i Excel fra lineær modell: {(10, 77.6), (20, 87.0), (30, 110.8), (40, 133.3), (50, 147.3), (60, 180.7), (70, 190.9), (80, 206.9)} a ) Finn regresjonslikningen y a + bx og korrelasjonen r. Sett opp og gjennomfør hypotesetesten H 0 : β 2motH 1 : β<2, Signifikansnivå δ 5%. i den lineære modellen Y i α + βx i + E i, i {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 } som dataene er simulert fra. Oppgave 4 I 2009 ble det skåret 2.9 mål i gjennomsnitt på de 240 fotballkampene i eliteserien. Vi skal bruke denne opplysningen til å anta at antall mål som skåres i t eliteseriekamper er Poissonfordelt, X Po (2.9t). Anslå sannsynligheten for at det blir skåret 750 eller færre mål i de 240 kampene i Bruk de opplysningene som finnes i denne oppgaveteksten, ikke eventuell kjennskap til hvor mange mål som allerede er skåret i Oppgave 5 a) Anta X bin (6, 1/6) og Y bin (6, 1/2) (binomisk fordelte med n 6 og p henholdsvis 1/6og1/2). Regn ut P (X 4)ogP(Y 4). b) På bordet ligger 20 tilsynelatende like terninger, men vi vet at en av dem er jukseterning med sannsynlighet 1/2 foråfå sekser. De 19 andre er vanlige terninger med sannsynlighet 1/6foråfåsekser. En av dem skal plukkes ut tilfeldig, og kastes 6 ganger. Hva er sannsynligheten for at utfallet blir 4 seksere? Anta så resultatet faktisk ble 4 seksere på de 6 kastene. Hva er sannsynligheten for at det var jukseterningen som ble plukket ut? SLUTT på oppgavesettet. Lykke til!

4 Løsning, eksamen i Statistikk. 1. juni Oppgave 1 a) ( ) ( ) P( X ) Φ Φ Φ(0.33) Φ( 0.33) 2Φ(0.33) ( b) Da X N , 0.015/ ) 5 N(47.225, ) er ( ) ( ) ( ) P X Φ Φ Φ(0.75) Φ( 0.75) 2Φ(0.75) c) X + Y har forventningsverdi μ og varians σ og dermed σ : ( ) ( ) P( X + Y ) Φ Φ(1.21) Φ( 1.26) 2Φ(1.21) Oppgave 2 a ) Det er tilstrekkelig å gi svaret (regnet ut på kalkulator), men her skisseres utregning: s x ( )/ ( )/(10 1) Siden σ er ukjent må vibruket intervall. Siden det er 10 målinger finner vi t α/2 iraden for frihetsgrader i tabell 5.3. Der finner vi t : / 10, / , c ) Siden σ fortsatt er ukjent, skal vi ha en t test. Bruk testobservatoren T X μ 0 S/ n X S/ 10 T 10 1 Forkast H 0 for t >t α/2. Med 9 frihetsgrader er t , så testprosedyren er: x Forkast H 0 hvis t s/ 10 > I dette tilfellet er t / > Det vil si at H 0 litt unøyaktig. forkastes, det er tilstrekkelig grunnlag til å hevde at det gamle kartet er

5 Løsning, eksamen i Statistikk. 1. juni Oppgave 3 a ) Det er tilstrekkelig å gi svaret (regnet ut på kalkulator), men her skisseres utregning: Hjelpestørrelser: x 45ogy x 2 i 20400, y 2 i , 49, xi y i s xx , s yy s xy Dermed er b og a Det vil si at regresjonslikningen er Det er en høy, positiv korrelasjon: r y x Som testobservator brukes T B β 0 S e / s xx T n 2 (Students t fordelt med n 2 frihetsgrader) I dette tilfellet er β 0 2ogn 8såvihar T B 2 S e / s xx T 6 hvis H 0 er sann. Siden det er en venstresidetest forkastes H 0 for små observasjoner av T,detvilsi: Forkast H 0 hvis t b 2 s e / < s xx der jeg har brukt at med ν 6ogδ 0.05 finnes t i tabell 5.3. Standardavviket observeres til s yy b s e 2 s xx Testresultatet er derfor t / > Derfor Beholdes H 0. (Dette er også sant, tallene er simulert med b 2,a 50ogσ 5).

6 Løsning, eksamen i Statistikk. 1. juni Oppgave 4 Regnestykket blir uoverkommelig (uten datamaskin) hvis vi ikke tilnærmer med normalfordeling. Men i dette tilfellet er også λt med god margin stor nok til at dette kan gjøres. E(X) λ t 696 μ, σ λt så vi kan tilnærme med X N (696, 26.38). Med halvkorreksjon (som har liten betydning med så store tall) får vi derfor ( ) P(X 750) Φ Φ(2.06) tab Oppgave 5 a) ( ) (1 ) 6 4 ( ) P(X 4) ( ) (1 6 P(Y 4) 4 2 ) 4 ( ) Hvis vi kaller hendelen 4 seksere på6kast fora, og hendelsen at jukseterning ble trukket for B, era (A B) (A B). Det vil si 4 seksere... er 4 seksere... og jukseterning eller 4 seksere... og vanlig terning. ( ) ( ) ( ) P(A) P(A B)+P A B P(A B)P(B)+P A B P B Dette er et eksempel på loven om total sannsynlighet. P(A B) er sannsynligheten for åfå4 seksere ( ) gitt at terningen er jukseterningen, ( ) dvs fra a oppgaven. Tilsvarende er P A B P (B) 1/20 og P B 19/20, siden dette er sannsynlighetene for å trekke henholdsvis jukseterningen eller en av de 19 vanlige terningene. P(A) Sannsynligheten for at det er jukseterning, gitt at det ble 4 seksere på de 4 kastene, er P(B A) P(A B) P(A) P(A B) P(B) P(A) / Kommentarer: Dette er Bayes formel. Formelen brukt på denne måten er prinsippet i Bayesian decision theory som handler om å velge rett objekt fra en gruppe kandidater. I dette tilfellet ville vi besluttet at vi valgte ut jukseterningen, siden sannsynligheten for dette er mer enn 50%. I anvendelser kan det for eksempel være snakk om automatisk gjenkjenning av en håndskrevet bokstav, eller av en person på et bilde.