DEL 1 GRUNNLEGGENDE STATISTIKK

Transkript

1 INNHOLD 1 INNLEDNING Parallelle verdener Telle gunstige Regneverktøy og webstøtte Oppgaver DEL 1 GRUNNLEGGENDE STATISTIKK 23 2 DATA Tabeller og diagrammer Kumulative data Sentralmål: modus Sentral- og spredningsmål: median, prosentil og kvartilbredde Prosentil Sentralmål: gjennomsnitt Spredningsmål: varians og standardavvik Grupperte data Beliggenhets- og spredningsmål for grupperte data Oppgaver FLERDIMENSJONALE DATA Innledning Kovarians og korrelasjon Lineær regresjon Avviksform Residualer og standardfeil Oppgaver MENGDELÆRE OG KOMBINATORIKK Kombinatorikk og produktmengder Trekk fra samme mengde Flere mengder Oppgaver

2 10 Innhold 5 SANNSYNLIGHET Sannsynlighetsbegrepet Kolmogorovs aksiomer for sannsynlighet Sannsynlighet og Euler-diagrammer Notasjon Definisjoner av sannsynlighet Grunnleggende sannsynlighet Enkel regning Betinget sannsynlighet Uavhengighet Betinget uavhengighet Gjentatte trekk og sannsynlighet Oppgaver GRUNNLEGGENDE BAYES Bayes formel Sannsynlighet for en observasjon Bayes teorem Neste observasjon og oppdatering Oppdatering når B n+1 er avhengig av B 1,..., B n Anvendte eksempler Bayesiansk oppdatering på lang sikt Oppgaver STOKASTISKE VARIABLE PÅ R Stokastiske variable på R Diskrete sannsynlighetsfordelinger på R Kumulativ diskret fordeling Kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger på R Kumulativ kontinuerlig fordeling Prosentiler og median Forventningsverdi Varians, standardavvik og presisjon Presisjon Oppgaver STOKASTISKE VARIABLE II Blandede fordelinger og flervariable sannsynlighetsfordelinger Diskrete X og Y Kontinuerlige X og Y Beliggenhetsmål, kovarians og korrelasjon Uavhengighet Summen av stokastiske variable Store Talls Lov

3 Innhold Oppgaver DISKRETE FORDELINGER Hvordan lese oversikten Bernoulli-fordeling, bern p Rettferdige odds Bernoulli-prosess Binomisk fordeling, bin (n,p) Anvendelse: trekk med tilbakelegging Regning på binomiske fordelinger Anvendelse: tilfeldig gang Normaltilnærmingen Hypergeometrisk fordeling, hyp (n,s,n) Anvendelse: trekk uten tilbakelegging Regning på hypergeometriske fordelinger Geometrisk og negativ binomisk fordeling, nb (k,p) Anvendelse: vente på suksess Geometrisk fordeling Regning på geometriske fordelinger Regning på negativt binomiske fordelinger Poisson-fordeling, pois λ Anvendelse: mange forsøk på sjeldne hendelser Regning på Poisson-fordelingen Diskrete fordelinger: oversikt Oppgaver KONTINUERLIGE FORDELINGER Normalfordelingen φ (µ,σ) Anvendelse: nesten alt! Regning på normalfordelinger z α, den inverse til Φ Summen av uavhengige normalfordelte variable Normaltilnærmingen Kort og godt Binormalfordeling, φ ( µ, Σ) Spesialtilfelle: X og Y uavhengige Det generelle tilfellet som rotasjon av det spesielle Gamma-fordelingen, γ (k,λ) - med familie Familien Anvendelse av eksponential- og Erlang-fordeling: ventetid Anvendelse av γ og χ 2 -fordeling: analyse av presisjon «Students» t-fordeling, t (µ,σ,ν) Anvendelse: omtrent nesten alt Regning på t-fordelinger t ν,α, den inverse til T (0,1,ν) (x)

4 12 Innhold 10.5 Beta-fordelingene β (a,b) Anvendelse: anslag på andeler Regning på β-fordelinger Normaltilnærmingen Invers kumulativ β-fordeling Weibull-fordelingen weib (λ,k) Anvendelse: levetid Regning på Weibull-fordelinger Oppgaver DEL 2 STATISTISK INFERENS INNLEDNING Innledning Teknisk sett Oppgaver BAYES TEOREM MED FUNKSJONER Diskret prior når likelihood er en sannsynlighetstetthet Kontinuerlig prior når likelihood er en sannsynlighetstetthet Neste observasjon Gjentatte oppdateringer Valg av prior Uegentlige priorer Oppgaver BAYES TEOREM MED HYPERPARAMETERE Bayes teorem for gaussiske prosesser Ukjent µ men kjent σ Kjent µ men ukjent σ Ukjent µ og σ Oppsummering Bayes teorem for Bernoulli-prosesser Bayes teorem for Poisson-prosesser Oppgaver BAYESIANSK HYPOTESETESTING Nyttefunksjonen u Sammenligning mot fast verdi Hypotesetest for gaussiske prosesser Hypotesetest for Bernoulli-prosess Hypotesetest for Poisson-prosesser Parvis sammenligning

5 Innhold Normal- og t-fordelte variable γ-fordelte variable β-fordelte variable Oppgaver ESTIMATER Innledning Punktestimat Intervallestimat Estimater for φ-fordeling Estimater for t-fordeling Estimater for γ-fordeling Estimater for β-fordeling Oppgaver FREKVENTISTISK INFERENS Punktestimat og forventningsretthet x er en forventningsrett estimator for µ ( ) s 2 x er en forventningsrett estimator for σ 2 ( ) Intervallestimat Intervallestimat for gaussiske prosesser Konfidensintervall for Bernoulli-prosesser Hypotesetesting Hypotesetesting av proporsjoner Hypotesetest for middelverdien til gaussiske prosesser Hypotesetest for variansen til gaussiske prosesser Oppgaver LINEÆR REGRESJON Lineær regresjon med hyperparametere How-to Frekventistisk estimat for lineær regresjon Et logaritmisk eksempel Oppgaver A APPENDIX 413 A.1 Prosjekt A.2 Notasjon, formler, funksjoner A.3 Noen andre sannsynlighetsfordelinger A.3.1 Snedecor-Fisher-fordelingen («F -fordeling») A.3.2 To sammensatte gamma-fordelinger A.3.3 (Negativ) binomisk fordeling når p er usikker: βb og βnb A.3.4 Sammenligning av β-fordelte variable B FASITER OG LØSNINGER Innledning

6 14 Innhold 2. Data Flerdimensjonale data Mengdelære og kombinatorikk Sannsynlighet Grunnleggende Bayes Stokastiske variable på R Stokastiske variable II Diskrete sannsynlighetsfordelinger Kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger Inferens: Innledning Bayes teorem med funksjoner Bayes teorem med hyperparametere Bayesiansk hypotesetesting Estimater Frekventistisk inferens Lineær regresjon C TABELLER 491 C.1 z p (venstre hale) C.2 Prosentiler for Students t med ν frihetsgrader C.3 Prosentiler for χ 2 -fordelingen med ν frihetsgrader C.4 Γ-funksjonen C.5 Φ(x) = x 0 N (0,1)(t)dt, x C.6 Φ(x) = x 0 N (0,1)(t)dt, x REGISTER 501