A) B) 400 C) 120 D) 60 E) 10. Rett svar: C. Fasit: ( 5 6 = 60. Hvis A, B, C er en partisjon av utfallsrommet S, så er P (A B) lik.

Transkript

1 Oppgave 1 Det skal velges en komité bestående av 2 menn og 1 kvinne. Komitéen skal velges fra totalt 5 menn og 6 kvinner. Hvor mange ulike komitéer kan dannes? A) B) 400 C) 120 D) 60 E) 10 Rett svar: D ( 5 6 ) 2)( 1 = = Oppgave 2 Hvis A, B, C er en partisjon av utfallsrommet S, så er P (A B) lik A) 0 B) 1 C) Rett svar: A P (A) 1 P (A) P (C) D) P (B) P (A) E) P (A) P (A B) = P (A B) P (B) av utfallsrommet. = P ( ) P (B) = 0, da A B = når A og B sammen med C er en partisjon Oppgave 3 La A og B være to hendelser. La A være komplementærhendelsen til A og B være komplementærhendelsen til B. Hvilket av de fem uttrykkene er lik sannsynligheten for at A B (A eller B eller begge) inntreffer, når A og B er to uavhengige hendelser? A) P (A) + P (B) B) P (A) P (B) C) P (A) P (B ) + P (B) D) P (A) + P (B ) E) P (A ) + P (B) P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) Og når A og B er uavhengige er Innsatt: P (A B) = P (A) P (B). P (A B) = P (A) + P (B) P (A) P (B) = P (A)[1 P (B)] + P (B) = P (A) P (B ) + P (B) Oppgave 4 La oss anta at en student som jobber med dette spørsmålet har sannsynlighet 0.75 for å kunne teorien og klare utregningene som gir korrekt svar på spørsmålet (dvs. trenger ikke tippe). Hvis studenten ikke finner frem til korrekt svar ved teori og utregning, så har studenten mulighet til å tippe. Hvis studenten tipper så antar vi at sannsynligheten for at studenten velger det riktige svaret er 0.2. Gitt at studenten svarer korrekt på dette spørsmålet, hva er sannsynligheten for at studenten ikke tippet? 2

2 A) 0.25 B) 0.75 C) 0.82 D) 0.94 E) 0.98 Rett svar: D Definer hendelsene T : tippe R: svaret er rett P (T R) = = P (R T ) P (T ) P (R T ) P (T ) + P (R T ) P (T ) = = Oppgave 5 La X være en diskret stokastisk (tilfeldig) variabel med fordeling kx 2 for x = 1, 2, 3, 4, 5 der k er en konstant. Hvilken verdi må k ha for at f(x) skal være en sannsynlighetsfordeling? A) 1 B) 1/55 C) 1/25 D) 55 E) 1/15 Rett svar: B 5 x=1 k( ) = k 55 og 5 x=1 1 hvis f(x) er en sannsynlighetsfordeling. Dermed k = Oppgave 6 gitt ved La X og Y være to kontinuerlige stokastiske variabler med marginalfordelinger g(y) = { e x for x > 0 { 1, for y > 0 (1+y) 2 og betingede fordelinger gitt ved f(x y) = f(y x) = { (1 + y) 2 xe x(1+y) for x > 0, y > 0 { xe xy for x > 0, y > 0 Hva er simultantettheten f(x, y) for X og Y (for x > 0, y > 0)? 3

3 A) f(x, y) = xe xy B) f(x, y) = xe x(1+y) C) f(x, y) = (1 + y) 2 f(x, y) = (1 + y) 2 x 2 e x(1+2y) E) f(x, y) = (1 + y) 2 xe x(2+y) e x (1 + y) 2 D) Rett svar: B f(x, y) = f(x y) g(y) = (1 + y) 2 xe x(1+y) 1 (1+y) 2 f(x, y) = f(y x) xe xy e x = xe x(1+y). = xe x(1+y) eller ekvivalent Oppgave 7 Eierne av et alpinsenter vurderer å øke bemanningen ved billettlukene, for å unngå misfornøyde kunder som følge av lange køer. De bestemmer seg for å øke bemanningen dersom ventetiden for en tilfeldig valgt kunde er lengre enn 3 minutter. La X være ventetiden (i minutter) for en tilfeldig valgt kunde, og anta at X har sannsynlighetstetthet { 4 x 9 e 2 3 x for x > 0 Hva er sannsynligheten for at alpinsenteret må øke bemanningen i billettluka? A) 0.41 B) 0.55 C) 0.59 D) 0.18 E) 0.16 Rett svar: A P (X > 3) = f(x)dx = xe 3 x dx = 4 9 ([x ( )e 3 x ] 3 ( )e 3 x dx) = 4 9 (0 ( 9 2 e 2 ) [ e 3 ] 3 ) = 4 9 (9 2 e ( e 2 )) = 2e 2 + e 2 = 3e 2 = Oppgave 8 La X være en kontinuerlig stokastisk variabel der { e 8x3 x 0 P (X > x) = 1 x < 0. Hva er sannsynlighetstettheten f(x) til X (for x 0)? A) 24e 8x3 B) 24x 2 e 8x3 C) 24x 2 e 8x3 D) 1 e 8x3 E) e 8x3 4

4 Teoretisk har vi følgende sammenheng: df (x) dx F (x) = P (X x) = 1 P (X > x) Med P (X < x) som gitt i oppgaven får vi dermed (for x 0): df (x) = d (1 e 8x3) dx dx = 0 ( 3 8x 2 ) e 8x3 ) = 24x 2 e 8x3 Oppgave 9 La X være en diskret stokastisk variabel med sannsynlighetsfordeling x P (X = x) Hva er P (1 < X < 4)? A) 0.53 B) 0.67 C) 0.87 D) 0.34 E) 0.73 Rett svar: A P (1 < X < 4) = P (X = 2) + P (X = 3) = = Oppgave 10 Den diskrete stokastiske variabelen X har sannsynlighetsfordeling x P (X = x) Hva er E(X) og Var(X)? A) E(X) = 1.8 og Var(X) = 3.2 B) E(X) = 2.0 og Var(X) = 0.8 C) E(X) = 1.8 og Var(X) = 4.8 D) E(X) = 1.8 og Var(X) = 1.6 E) E(X) = 2.0 og Var(X) = 4.8 Rett svar: D E(X) = = 1.8 Var(X) = (0 1.8) (1 1.8) (2 1.8) (3 1.8) (4 1.8) = 1.6 5

5 Oppgave 11 La X 1 og X 2 være stokastiske variabler med samme standardavvik σ, dvs. SD(X 1 ) = SD(X 2 ) = σ. La Y = ax 1 + ax 2, der a er en konstant. Anta videre at standardavviket til Y er aσ, dvs. SD(Y ) = aσ. Hva er da korrelasjonskoeffisienten mellom X 1 og X 2? A) 1 2 a 1 B) 1 2 C) 1 2 σ2 D) 0 E) 1 2 Rett svar: B Var(Y ) = a 2 Var(X 1 ) + a 2 Var(X 2 ) + 2a 2 Cov(X 1, X 2 ) Cov(X 1, X 2 ) = ρ(x 1, X 2 ) Var(X 1 ) Var(X 2 ) Var(Y ) = a 2 σ 2 + a 2 σ 2 + 2a 2 ρ(x 1, X 2 ) σ 2 σ 2 = a 2 σ 2 [ ρ(x 1, X 2 )] Det er videre oppgitt at SD(Y ) = aσ, dvs. at Var(Y ) = a 2 σ 2. Dermed må vi løse: Var(Y ) = a 2 σ 2 = a 2 σ 2 [ ρ(x 1, X 2 )] 1 = ρ(x 1, X 2 ) ρ(x 1, X 2 ) = 1 2 Oppgave 12 Denne midtveiseksamenen består av 20 spørsmål, som alle har kun ett korrekt svar. Arne synes han har jobbet godt med faget, og ser for seg at han har sannsynlighet 0.8 for å svare korrekt på hvert spørsmål. Hvor stor sannsynlighet er det for at Arne svarer rett på minst 15 spørsmål? A) 0.20 B) 0.37 C) 0.63 D) 0.67 E) 0.80 Rett svar: E P (X 15) = P (X > 14) = 1 P (X 14) = = = 0.8 der P (X 14) ble funnet i tabell over binomisk fordeling med n = 20 og p = 0.8. Oppgave 13 Av en truet villdyrstamme på 25 individer, merkes 10. Etter en tid tas det ut et tilfeldig utvalg på 15 individer fra denne stammen. Hva er sannsynligheten for at 5 av disse er merket? A) 0.18 B) 0.20 C) 0.23 D) 0.26 E)

6 Antall merkede individer, X, er hypergeometrisk fordeling med N = 25, k = 10, n = 15, og vi skal regne ut P (X = 5). P (X = 5) = 10)( ( ) = ( 25 15) Oppgave 14 En butikkeier vet at i gjennomsnitt vil 100 personer besøke butikken hans i løpet av en time. Hva er sannsynligheten for at mer enn 5 personer vil besøke butikken i løpet av en gitt 3 minutters periode, når vi antar at kundene ankommer butikken ifølge en Poisson-prosess? A) 0.38 B) 0.36 C) 0.32 D) 0.37 E) 0.28 Rett svar: A Antall personer, X, som besøker butikken i løpet av en 3 minutters periode er Poissonfordelt med parameter µ = λt = = 5. Sannsynligheten for at mer enn 5 besøker butikken, 60 P (X > 5) = 1 P (X 5) leses av i Poisson-tabell med µ = 5. P (X > 5) = 1 P (X 5) = = Oppgave 15 Tre venninner sitter på en kaffebar. De bestemmer seg for å kaste mynt og krone om hvem av dem som skal betale. De gjør det på følgende måte: Alle tre kaster hver sitt pengestykke. Hvis alle tre får det samme resultatet, så kaster de om igjen inntil en av dem får et resultat som er forskjellig fra de to andres resultat. Hun som fikk et resultat forskjellig fra de to andre betaler så for kaffen. Hva er sannsynligheten for at høyst tre kastomganger er nødvendig for å avgjøre hvem som skal betale? A) 11 B) 23 C) 47 D) 63 E) Rett svar: D La X være antall kast som skal til for å avgjøre hvem som skal betale. X er da geometrisk fordelt med parameter p, der p er gitt som P (ikke alle tre får K eller M) = 1 P (alle tre får K samtidig eller M samtidig) = 1 P (KKK MMM) = = 3 4. P (X 3) = P (X = 1) + P (X = 2) + P (X = 3) = (1 3 4 ) (1 3 4 )2 = 3 4 ( ) = 3 63 ( ) = Oppgave 16 Anta at X er normalfordelt med forventningsverdi µ og varians σ 2. Bestem sannsynligheten for at X antar en verdi innenfor to standardavvik fra forventningsverdien. 7

7 A) 0.46 B) 0.58 C) 0.68 D) 0.85 E) 0.95 Rett svar: E P (µ 2σ < X < µ + 2σ) = P ( µ 2σ µ < X µ < µ + 2σ µ ) σ σ σ = P ( 2 < Z < 2) = Φ(2) Φ( 2) = = Oppgave 17 Tiden det tar før et superlim fester seg, kan betraktes som en tilfeldig variabel som er normalfordelt med forventningsverdi 30 sekunder. Bestem standardavviket når det oppgis at sannsynligheten er 0.20 for at festetiden overstiger 35.4 sekunder. A) 5.4 B) 1.3 C) 8.7 D) 2.7 E) 6.4 Rett svar: E X er festetid, der X er normalfordelt med forventning µ = 30 sekunder og ukjent standardavvik σ. Vi vet at P (X > 35.4) = 0.2. P (X > 35.4) = P ( X 30 σ P (Z > 5.4 σ ) = σ = > σ = = ) = 0.2 σ Oppgave 18 Levetiden for et apparat antas eksponensialfordelt med forventet levetid β = 100 timer. Hva er sannsynligheten for at mer enn 200 timer vil gå før svikt inntreffer? A) B) C) D) E) Rett svar: B X er levetiden til apparatet, og X er eksponensialfordelt med parameter β = 100 (dvs. sviktrate 1/β = 0.01). Vi skal finne sannsynligheten for at levetiden er høyere enn 200 timer, dvs. P (X > 200). P (X > 200) = 200 f(x)dx = β e x/β dx = [ e x/100 ] 200 = 0 ( e 2 ) =

8 Oppgave 19 La X være kontinuerlig fordelt med sannsynlighetstetthet { 3e 3x for x > 0 0 for x 0 Vi definerer Y = 1 X y > 0 for X > 0 og Y = 0 for X 0. Sannsynlighetstettheten til Y er da for A) 0 B) 3 y e 3 y C) 3 y 2 e 3 y D) 3ye 3 y E) 3y 2 e 3 y Oppgaven løses enklest ved bruk av transformasjonsformelen. Y = u(x) = 1 X X = w(y ) = 1 Y w (y) = 1 y 2 f Y (y) = f X (w(y)) w (y) = 3 e 3 y 1 y 2 = 3 y 2 e 3 y Oppgave 20 Et system består av n komponenter, X 1, X 2,..., X n, der levetiden til hver av komponentene er en kontinuerlig stokastisk variabel. Videre er levetidene til de n komponentene uavhengig, identisk fordelt, med kumulativ fordelingsfunksjon F X (x), og sannsynlighetstetthet f X (x). For at systemet skal fungere, må alle komponentene fungere. Sannsynlighetstettheten til levetiden, U, til systemet er da gitt som A) [F X (u)] n B) 1 [1 F X (u)] n C) n[1 F X (u)] n 1 f X (u) D) n[f X (u)] n 1 f X (u) E) [f X (u)] n Vi søker fordelingen til levetiden til et system, U, der alle komponenter må virke for at systemet skal virke, dvs. U = min n i=1 X i. F U (u) = P (U u) P (U > u) = P [(X 1 > u) (X 2 > u) (X n > u)] = P (X 1 > u) P (X 2 > u) (X n > u) = [1 F x (u)] n f U (u) = df U(u) = d du du [1 (1 F x(u)) n ] = n(1 F x (u)) n 1 f X (u) 9