Oppfriskning av blokk 1 i TMA4240

Transkript

1 Oppfriskning av blokk 1 i TMA4240 Geir-Arne Fuglstad November 21, 2016

2 2 Hva har vi gjort i dette kurset? Vi har studert to sterkt relaterte grener av matematikk Sannsynlighetsteori: matematisk teori for å beskrive stokastiske variabler og deres fordelinger [Kapitler 2 7] Statistikk: innsamling, beskrivelse, analyse, tolkning og presentasjon av data [Kapitler 1 og 8 11] Sannsynlighetsteori er et essensielt verktøy i statistikk

3 3 Pensum Walpole, Myers, Myers and Ye (2012): Probability and Statistics for engineers (9. utgave), Pearson / Prentice Hall. Kap 1 3. Hele. Kap 4: (til What if the function is nonlinear?) Kap 5: Hele. Kap 6: Kap 7: 7.1, 7.2: Teorem 1 og Teorem 3, 7.3. Kap 8: , 8.8. Kap 9: , 9.8 (unntatt avsnittet Variances Unknown But Equal), , Kap 10: , 10.5 (unntatt avsnittet Unknown But Equal Variances), Kap 11: Notat om ordningsvariabler ~mettela/tma4240h2016/ordningekstremh2016.pdf

4 4 Eksamen Onsdag 21. desember kl :00 Tillatte hjelpemidler: Gult A5 ark med egne håndskrevne notater (stemplet av Institutt for matematiske fag). Fås på Instituttkontoret, 7. etg., Sentralbygg 2. IKKE planlegg å hente det tirsdag kveld før eksamen. Da er 7. etg. stengt! Bestemt enkel kalkulator. VIKTIG! Tabeller og former i statistikk (Akademika). VIKTIG! Rottman.

5 5 Veiledning før eksamen Fredag 2. desember kl i S1. Fredag 9. desember kl i S1. Mandag 12. desember kl i S1. Torsdag 15. desember kl i S1. Fredag 16. desember kl i S1. Mandag 19. desember kl S2. Tirsdag 20. desember kl i S2 Se

6 6 Plan for i dag Vi skal repetere viktige begrep fra Kapittel 1 7 gjøre utvalgte eksamensoppgaver fra ulike temaer jeg vil ikke fortelle hva som kommer eller ikke kommer på eksamen Dvs du kommer antageligvis ikke til å lære noe nytt hvis du kan alt i pensum men forhåpentligvis kommer du til å se hvilke deler av pensum du trenger å jobbe mer med

7 7 Kapittel 1: Deskriptiv statistikk Oppsummert: Hvordan beskrive en samling av observasjoner x 1, x 2,..., x n gjennom informative figurer og tall?

8 8 Kapittel 1: Deskriptiv statistikk Observasjonene kan oppsummeres med et sentralmål og et variasjonsmål Det viktigste sentralmålet er empirisk middelverdi x = 1 n n i=1 x i De viktigste variasjonsmålene er empirisk varians og empirisk standardavvik s 2 = 1 1 (x i x) 2 og s = (x i x) n 1 n 1 2 i=1 i=1

9 9 Kapittel 1: Deskriptiv statistikk Observasjonene kan også oppsummeres i figurer Et kryssplott viser to størrelser plottet mot hverandre: høyde mot kjønn, lønn mot alder, osv. Et boksplott viser empirisk median og kvantiler Et histogram viser en tilnærming av punktsannsynligheten for diskret størrelser og en tilnærming av sannsynlighetstettheten for kontinuerlige størrelser

10 10 Eksamen juni 2015

11 11 Kapittel 2: Sannsynlighet Oppsummert: Matematisk definisjon av sannynlighet og betinget sannsynlighet

12 12 Kapittel 2: Sannsynlighet Et stokastisk forsøk er et eksperiment der resultatet er underlagt tilfeldigheter Utfallsrommet S er mengden av alle mulige utfall e S av forsøket En hendelse A er en delmengde av S Komplementet av A i S skrives A og inneholder alle utfall i S som ikke er inneholdt i A Unionen av A og B skrives A B og inneholder alle utfall enten i A og i B Snittet av A og B skrives A B og inneholder alle utfall både i A og i B

13 13 Kapittel 2: Sannsynlighet Viktig: Definisjon av sannsynlighet Betinget sannsynlighet Regneregler for sannsynlighet Lov om total sannsynlighet Bayes teorem Uavhengighet

14 14 Eksamen mai 2012

15 15 Kapittel 3: Stokastiske variabler Oppsummert: Hvordan beskrive variabler som tar verdier basert på utfallet av et stokastisk forsøk?

16 16 Kapittel 3: Stokastiske variabler Definition En stokastisk variabel X på utfallsrommet S er en funksjon X : S R Definition En diskret stokastisk variabel kan oppnå et endelig eller tellbart uendelig antall verdier. En kontinuerlig stokastisk variabel kan oppnå verdier i et intervall på tallinjen.

17 17 Kapittel 3: Stokastiske variabler En stokastisk variabel blir beskrevet av en sannsynlighetsfordeling Diskret X: bruker en punktsannsynlighet f f (x) 0 for all x x f (x) = 1 For en delmengde av de mulige realiseringene A er P(X A) = x A f (x) Kontinuerlig X: bruker en sannsynlighetstetthet f f (x) 0 for all x R f (x)dx = 1 For en delmengde av de mulige realiseringene A R er P(X A) = f (x)dx x A

18 18 Kapittel 3: Stokastiske variabler Kumulativ sannsynlighetsfordeling F for X er Diskret: F(x) = P(X x) = t x f (t), der f er en punktsannsynlighet Kontinuerlig: F(x) = P(X x) = x f (t), der f er en sannsynlighetstetthet f (x) = d dx F (x)

19 19 Kapittel 3: Stokastiske variabler Viktig: Simultanfordeling Marginal fordeling Betinget fordeling Hva betyr uavhengighet for simultanfordeling?

20 20 Eksamen August 2014

21 21 Kapittel 4: Forventningsverdi og varians Oppsummert: Hvordan oppsummere en stokastisk variabel?

22 22 Kapittel 4: Forventningsverdi og varians Forventningsverdi til X Diskret X: E[g(X)] = x g(x)f (x) Kontinuerlig X: E[g(X)] = g(x)f (x)dx Varians til X Diskret X: Var[X] = x (x E(X))2 f (x) Kontinuerlig X: E[g(X)] = (x E(X))2 f (x)dx Standardavviket til X er SD[X] = Var[X]

23 23 Kapittel 4: Forventningsverdi og varians Kovariansen til X og Y er Cov[X, Y ] = E[(X µ X )(Y µ Y )] Korrelasjonen mellom X og Y er Corr = Cov[X, Y ] Var[X]Var[Y ]

24 24 Kapittel 4: Forventningsverdi og varians Veldig viktig: Regneregler E[a 0 + a 1 X a n X n ] = a 0 + a 1 E[X 1 ] a n E[X n ] Hvis X 1, X 2,..., X n er uavhengige Var[a 0 + a 1 X a n X n ] = a1 2 Var[X 1] anvar[x 2 n ]

25 25 Eksamen desember 2010

26 26 Kapittel 5: Diskret fordelinger Oppsummert: Hvilke kjente diskret fordelinger kan vi benytte?

27 27 Kapittel 5: Diskret fordelinger En Bernoulliprosess har følgende egenskaper 1. Består av n forsøk 2. Hvert forsøk resulterer i suksess eller fiasko 3. Suksess-sannsynligheten p er konstant 4. Forsøkene er uavhengige

28 28 Kapittel 5: Diskret fordelinger Antall suksess X i en Bernoulliprosses med n forsøk og suksess-sannsynlighet p har en binomisk fordeling ( ) n P(X = x) = p x (1 p) n x, x = 0, 1,..., n. x

29 29 Kapittel 5: Diskret fordelinger Antall suksess X når n kuler trekkes fra en urne med N kuler der k av kulene er suksess og N k av kulene er fiasko har en hypergeometrisk fordeling ( k N k ) P(X = x) = x)( n x ( N, max{0, n + k N} x min{n, k}. m)

30 30 Kapittel 5: Diskret fordelinger Hvis en Bernoulliprosess modifiseres slik at vi gjentar forsøket til vi oppnår k suksesser og X er antall forsøk til og med suksess nummer k har X en negativ binomisk fordeling ( ) x 1 P(X = x) = p k (1 p) x k, x = k, k + 1, k + 2,.... k 1

31 31 Kapittel 5: Diskret fordelinger En negativ binomisk fordeling med k = 1 suksesser kalles en geometrisk fordeling P(X = x) = p(1 p) x 1, x = 1, 2,....

32 32 Kapittel 5: Diskret fordelinger En Poissonprosess kjennetegnes ved at Antall hendelser i disjunkte tidsintervaller er uavhengige Sannsynligheten for at en hendelse intreffer i et lite tidsintervall er proposjonalt med lengden av tidsintervallet Sannsynligheten for at mer enn en hendelse intreffer i et lite tidsintervall er neglisjerbar

33 33 Kapittel 5: Diskret fordelinger Antall hendelser i et tidsintervall av lengde t for en Poissonprosess har en Poissonfordeling λt (λt)x P(X = x) = e. x!

34 34 Oppslag i tabell La X ha en binomisk fordeling med n = 20 og p = 0.6 og regn ut a) P(X = 5) b) P(X < 10) c) P(X > 15)

35 35 Kapittel 6: Kontinuerlige fordelinger Oppsummert: Hvilke kjente kontinuerlige fordelinger kan vi benytte?

36 36 Kapittel 6: Kontinuerlige fordelinger En uniform fordeling på (A, B) er beskrevet av en sannsynlighetstetthet { 1 f (x) = B A, A < x < B,. 0, ellers

37 37 Kapittel 6: Kontinuerlige fordelinger En normalfordeling er beskrevet av en sannsynlighetstettheten f (x) = 1 2πσ e (x µ)/(2σ2), x R, der µ er forventningsverdien og σ er standardavviket.

38 38 Kapittel 6: Kontinuerlige fordelinger En eksponentialfordeling er beskrevet av en sannsynlighetstettheten f (x) = λe λx, x > 0, der λ er rate-parameteren. Kan også parametriseres med β = 1/λ.

39 39 Kapittel 6: Kontinuerlige fordelinger En gammafordeling er beskrevet av en sannsynlighetstettheten f (x) = βα Γ(α) x α 1 e βx, x > 0, der α er shape -parameter og β er rate-parameter.

40 40 Kapittel 6: Kontinuerlige fordelinger En χ 2 -fordeling er beskrevet av en sannsynlighetstettheten f (x) = der ν er antall frihetsgrader. 1 2 ν/2 Γ(ν/2) x ν/2 1 e x/2

41 41 Oppslag i tabell La X være normalfordelt med forventningsverdi µ = 2 og σ = 2, og regn ut P(1 < X < 5)

42 42 Kapittel 7: Transformasjoner Oppsummert: Hva skjer med fordelingen til en stokatisk variabel når vi transformerer den?

43 43 Kapittel 7: Transformasjoner Viktig Transformasjon av kontinuerlige stokastiske variabler Transformasjon av diskret stokastiske variabler Momentgenerende funksjon Fordeling av maksimum og minimum [Beskrevet i notat]

44 44 Eksamen august 2010