Forelening 1, kapittel 4 Stokastiske variable

Transkript

1 Forelening 1, kapittel 4 Stokastiske variable Eksempel X = "antall kron på kast med to mynter (før de er kastet)" Uniformt utfallsrom {MM, MK, KM, KK}. X = x beskriver hendelsen "antall kron på kast med to mynter er x". P(X=0) = 1/4 P(X=1) = 1/2 P(X=2) = 1/4 Uformelt: Formelt: En stokastisk variabel X er et forsøk der utfallene er tall. En stokastisk variabel X er en funksjon fra et utfallsrom til i de reelle tall. { MM, MK, KM, KK} X mai 11 14:53

2 Diskrete og kontinuerlige stokastiske variable Diskrete variable (eksempler) {0,1,2} {0,1,2,3,4,5,...} {..., 2, 1,0,1,2,3,...} {0, 1/6, 2/6, 3/6, 4/6, 5/6, 6/6} {x 0, x 1, x 2, x 3, x 4,...} Endelig eller tellbart uendelig mange verdier som kan ordnes {... x i < x i+2 < x i+2 < x i+3 <... } Kontinuerlig variable: Intervall på den reelle aksen (desimaltall, ikke tellbart). Medregnet ubegrensede intervaller, f.eks alle reelle tall eller alle positive reelle tall. De to første forelesningene i kapittel 4 handler (hovedaklig) om diskrete stokastiske variable. mai 11 15:18

3 Punktsannsynlighet og sannsynlighetsfunksjon. Punktsannsynligheten: f(x)= P(X=x) f(0) = P(X=0) = 1/4 f(1) = P(X=1) = 1/2 f(2) = P(X=0) = 1/4 f er en funksjon fra en diskret tallmengde (her {0,1,2}) inn i intervallet [0,1] (sannsynligheter). Funksjonen f kalles punktsannsynligheten til den stokastiske variabelen X. Sannsynlighetsfunksjonen: F(x) = P(X x) F(0) = P(X 0) = 1/4 F(1) = P(X 1) = 3/4 F(2) = P(X 2) = 1 = f(0) = f(0)+f(1) = f(0)+f(1)+f(2) Sammenheng mellom f og F: mai 11 15:28

4 Forventningsverdi. Eksempel: Anta en studentgruppe kastet 2 mynter 200 ganger og fikk 0 kron 47 ganger, 1 kron 101 ganger og 2 kron 52 ganger. Empirisk forventningsverdi, det vil si gjennomsnittlig antall kron, er da: Andelen ganger resultatet ble hhv. 0, 1 og 2 er 47/200, 101/200 og 52/200, og dette reflekterer punktsannsynlighetene f(0), f(1) og f(2). Ved å erstatte observerte frekvenser med teoretiske sannsynligheter får vi teoretisk forventningsverdi µ : Vi skal bruke betegnelsen E(X) og µ om hverandre for å betegne (teoretisk) forventningsverdi. Den generelle formelen er da Det holder i første omgang å forstå E(X) og µ som synonymer. E(X) brukes når vi betrakter forventningsverdien som en størrelse tilordnet den stokastiske variabelen X (en funksjonal). Som dere vil se er den hensiktsmessig i en del sammenhenger der X erstattes med andre bokstaver eller uttrykk. I noen sammenhenger kan det da tenkes på som synonymt med formelen som definerer forventningsverdien, slik at i eksemplet er E(X) = 0. f(0)+1. f(1)+2. f(2) Den greske bokstaven µ brukes når vi tenker på dette som et tall. I eksemplet betyr dette at µ = 1. mai 11 16:02

5 Varians og standardavvik. Definisjon av varians: Ekvivalent definisjon av varians: Definisjon av standardavvik: Eksempel: X er fortsatt antall kron i kast med to mynter, med E(X) = µ = 1. Første variant av definisjonsformelen for varians er da : Var(X) = (0 1) 2. 1/4 + (1 1) 2. 1/2 + (2 1) 2. 1/4 = 1/2 Andre variant: Var(X) = / / /4 1 2 = 1/2 Standardavviket er σ = (1/2) 1/2 = Med observasjonene 47 nuller, 101 enere og 52 toere blir empirisk standardavvik Dette tilsvarer det teoretiske standardavviket σ, med tilfeldig variasjon. Merk også følgende omskrivning av variansen (inni rottegnet), og hvordan empirisk varians tilsvarer den andre varianten av definisjonen for varians, da brøkene er tilnærmet sannsynlighetene 1/4, 1/2 og 1/4: mai 12 08:54

6 Et eksempel til: La X være antall seksere i kast med 5 terninger. Finn forventningsverdi µ og standardavvik σ. I forelesning 6 til kapittlel 3 fant vi en formel for sannsynligheten for x gunstige i denne situasjonen (binomiske sannsynligheter), og dette er en formel for punktsannsynligheten f. f(x) = Ved å sette inn n=5 og p=1/6 får vi da følgende punktsannsynligheter: E(X) = = Det er vanligvis enklest å regne ut variansen etter den andre varianten av formelen: Dermed er Var(X) = = Kommentar: I neste kapittel skal vi se at µ er eksakt n. p = 5. 1/6 = 5/6 og variansen er eksakt n. p. (1 p) = 5/6. 5/6, så standardavviket er eksakt σ = 5/6. mai 12 09:16

7 Til slutt i denne forelesningen. Det er vel nå en god ide å regne noen oppgaver 1, 2 og 3 på pensumoppgave 4.1 og prøve å få taket på det vi har gjort så langt før du går videre med forelesning 2 fra kapittel 4. Å regne ut forventningsverdi og standardavvik er vel ikke så vanskelig hvis du øver litt. Abstraksjonsnivået er nok en mye større utfordring. Kapittel 4 er det kapitlet de fleste studentene syns er vanskeligst i pensum, og de tre neste forelesningene er nokså tøffe. Prøv å få taket på så mye som mulig, men ikke dvel altfor lenge med dette kapitlet. Det er nesten umulig å få ordentlig taket på kapittel 4 før du ser anvendelsene i de resterende kapitlene i pensum, og mye pleier å klarne gradvis etterhvert. Mange nye begreper dukker opp, og uvant notasjon kan virke forvirrende. For eksempel bruken av store og små bokstaver. "X er antall øyne på terningen før den er kastet", kjent gjennom sannsynligheter for de forskjellige utfallene (sannsynlighetsmodellen) "x er antall øyne på terningen etter at den er kastet", og dette er vanlige tall. Merk også bruken av greske bokstaver, µ og σ. Dette er "teoretiske verdier" i sannsynlighetsmodellen (den stokastiske modellen). Et viktig aspekt vil etterhvert være å se sammenhengen mellom disse teoretiske størrelsene og de tilsvarende observerte størrelsene som vi betegner med vanlige bokstaver. Det vil si (så langt) empirisk forventningsverdi og empirisk standardavvik s. mai 12 09:06