Regneregler for forventning og varians

Transkript

1 Regneregler for forventning og varians Det fins regneregler som er til hjelp når du skal finne forventningsverdier og varianser. Vi skal her se nærmere på disse reglene. Vi viser deg også hvordan reglene gir oss forventningen og variansen for en variabel som er binomisk fordelt (se sidene 43 og i læreboka). Forventning til a + bx Vi lar X være en stokastisk variabel knyttet til et forsøk. Med utgangspunkt i X kan vi lage oss en ny stokastisk variabel V = 3 X knyttet til det samme forsøket. For hvert utfall er verdien til V tre ganger så stor som verdien til X. (Hvis for eksempel X er antall øyne i ett terningkast, er V tre ganger det antall øyne du får.) Hvis vi gjentar forsøket, vil gjennomsnittsverdien til V være tre ganger gjennomsnittsverdien til X. Siden forventningsverdi er lik gjennomsnittsverdi i det lange løp, får vi at EV ( ) = 3 E( X). Det kan vi også skrive E(3 X) = 3 E( X). Så ser vi på den stokastiske variabelen Y = + 3 X. For hvert utfall vil verdien til Y være større enn verdien til 3 X. (Hvis for eksempel X er antall øyne i et terningkast, får vi Y ved å gange antall øyne med 3 og legge til.) Hvis vi gjentar forsøket mange ganger, vil også gjennomsnittsverdien til Y være større enn gjennomsnittsverdien til 3 X. Det betyr at Y får forventningen EY ( ) = + E(3 X) = + 3 E( X). Det kan vi skrive E( + 3 X) = + 3 E( X). Tankegangen ovenfor blir den samme hvis vi erstatter og 3 med konstantene a og b. Når X er en stokastisk variabel, og a og b er konstanter, gjelder Ea ( + b X) = a+ bex ( ) () Eksempel Rulett Vi ser på rulettspillet i eksempel 3 på side 40 i læreboka. Nå lar vi X være en stokastisk variabel som er hvis spilleren vinner, og 0 hvis spilleren taper. Sannsynlighetsfordelingen til X er da 3 6 PX= ( 0) = og PX= ( ) = Forventningen til X blir EX ( ) = 0 + = Vi lar Y være spillerens nettogevinst. Da vil Y være en stokastisk variabel gitt ved Y = X (Kontroller at uttrykket stemmer for X = 0 og for X =.) Ved å bruke formelen () med a = 00 og b = 600 får vi 6 00 EY ( ) = E( X) = = Vi har nå funnet EY ( ) ved å bruke regneregel (). I eksempel 3 i på side 40 i læreboka fant vi den samme forventningsverdien for nettogevinsten ut fra definisjonen av forventning. Aschehoug Undervisning Side av 6

2 Variansen til a + bx Vi lar X være en stokastisk variabel og setter V = 3 X. For hvert utfall vil verdien til V være tre ganger så stor som verdien til X. Vi så ovenfor at også forventningen til V er tre ganger så stor som forventningen til X. Avviket for V-verdien blir derfor 3 ganger så stort som avviket for X-verdien. Kvadratavviket for V er altså 3 = 9 ganger så stort som for X. Siden varians er gjennomsnittlig kvadratavvik i det lange løp, får vi Var( V) = 3 Var( X) Det kan vi også skrive Var(3 X ) 3 Var( X ) =. Setter vi Y = + 3 X, vil avviket for Y være den samme som avviket for 3 X, selv om hver verdi til Y er større enn verdien til 3 X. Konstanten påvirker ikke avviket, og derfor heller ikke kvadratavviket. Derfor har Y og 3 X samme varians. Det gir at Var( + 3 X ) = Var(3 X) = 3 Var( X). Tankegangen blir den samme hvis vi erstatter og 3 med konstantene a og b. Når X er en stokastisk variabel, og a og b er konstanter, gjelder Var( a+ b X) = b Var( X) () Eksempel Terningkast La V = 3 X, der X er antall øyne vi får når vi kaster en terning. I eksempel på side i læreboka fant vi at Var( X ) =. Formel () med a = 0 og b = 3 gir dermed at 05 Var( V) = Var(3 X) = 3 Var( X) = 9 = 4 Når vi kjenner Var(X), er det lettere å finne variansen til V på denne måten enn å bruke definisjonen av varians (jf. oppgavene 37 og 37 i oppgavesamlingen). Forventningen til summer og lineær kombinasjoner av stokastiske variabler Hvis X og Y er to stokastiske variabler knyttet til et forsøk, er Z = X + Y en ny stokastisk variabel. For hvert utfall vil verdien til Z være summen av verdiene til X og Y. Hvis vi gjentar forsøket, vil gjennomsnittsverdien til Z være summen av gjennomsnittsverdiene til X og Y. Siden forventningsverdi er lik gjennomsnittsverdi i det lange løp, får vi at EZ ( ) = EX ( ) + EY ( ). Det kan vi skrive EX ( + Y) = EX ( ) + EY) (. For to stokastiske variabler X og Y gjelder at EX ( + Y) = EX ( ) + EY ( ) (3) Aschehoug Undervisning Side av 6

3 Eksempel 3 Kast med to terninger Tenk deg at du kaster to terninger. La X være antall øyne på den første terningen, og Y antall øyne på den andre terningen. 7 Fra eksempel på side 38 i læreboka vet vi at EX ( ) = EY ( ) =. Summen av antall øyne på de to terningene er Z = X + Y. Dermed er 7 7 EZ ( ) = EX ( + Y) = EX ( ) + EY ( ) = + = 7. I eksempel på side 39 i læreboka fant vi denne forventningsverdien på en mer tungvint måte. Ved å kombinere regnereglene () og (3) får vi: Når X og Y er stokastiske variabler, og a, b og c er konstanter, gjelder Ea ( + bx+ cy) = a+ bex ( ) + cey ( ) (4) Du vet at vi kaller førstegradsfunksjonen a+ bx for en lineær funksjon. På liknende måte kaller vi a+ bx + cy for en lineær kombinasjon av stokastiske variabler. Eksempel 4 Pengespill Tenk deg et enkelt pengespill der spilleren kaster én terning og ett kronestykke. Innsatsen er 55 kr, og gevinsten er som følger: Spilleren får 0 kr for hvert øye terningen viser. Spilleren får 50 kr hvis kronestykket viser krone. Lønner det seg å delta i dette spillet? For å svare på det finner vi forventet nettogevinst. Vi innfører to stokastiske variabler, X og Y: X er antall øyne terningen viser. Y = hvis kronestykket viser krone, Y = 0 hvis det viser mynt. Nettogevinsten V kr i ett spill blir V = X + 50Y (kontroller selv). 7 Vi har tidligere funnet at EX ( ) =. Sannsynlighetsfordelingen til Y er PY ( = 0) = PY ( = ) =. Dermed er EY ( ) = 0 + =. Ved å bruke formel (4) med a = 55, b = 0 og c = 50 finner vi at 7 EV ( ) = = 5 De store talls lov viser at den gjennomsnittlige nettogevinsten vil være 5 kr per spill i det lange løp. Fordi forventet nettogevinst er positiv, vil det lønne seg å ta del i spillet hvis man spiller mange ganger. Regnereglene (3) og (4) gjelder tilsvarende for flere enn to stokastiske variabler. Det bruker vi i det neste eksemplet. Aschehoug Undervisning Side 3 av 6

4 Eksempel 5 Kast med tre terninger Vi kaster tre terninger og lar X, Y og Z være antall øyne på de tre terningene. 7 Da er EX ( ) = EY ( ) = EZ ( ) =. Forventningen til summen av antall øyne blir EX ( + Y+ Z) = EX ( ) + EY ( ) + EZ ( ) = + + = =0,5 Variansen til summer og lineær kombinasjoner av uavhengige stokastiske variabler Vi lar X og Y være to stokastiske variabler knyttet til et forsøk. Da er Z = X + Y en ny stokastisk variabel. Ovenfor så vi at EZ ( ) = EX ( ) + EY ( ). Kan vi finne en liknende regel for variansen til Z? Eksempel 6 Kast med to terninger Vi kaster to terninger og lar X være antall øyne på den ene terningen og Y antall øyne på den andre. Fra eksempel på side 46 i læreboka har vi at Var( X) = Var( Y) =. Summen av antall øyne på de to terningene er Z = X + Y. I oppgave 3.5 i læreboka fant vi at Var( Z ) =. 6 Vi har derfor at Var( X + Y) = Var( Z) = 6 Var( X) + Var( Y) = + = 6 I dette tilfellet er variansen til summen av de to stokastiske variablene X og Y lik summen av variansene til de to variablene. Eksempel 6 kan få oss til å tro at vi alltid finner variansen til summen X + Y ved å legge sammen variansene til X og Y. Slik er det ikke. Det er bare når X og Y er uavhengige stokastiske variabler, slik tilfellet er i eksempel 6, at vi kan finne variansen til X + Y på denne måten. I matematikk R lærte du at to hendelser A og B er uavhengige hvis det at A inntreffer, ikke endrer sannsynligheten for B (og omvendt). På tilsvarende måte er to stokastiske variabler X og Y uavhengige hvis det at vi får vite verdien til X, ikke endrer sannsynlighetene for de ulike verdiene Y kan få (og omvendt). For uavhengige stokastiske variabler X og Y har vi Var( X + Y) = Var( X) + Var( Y) (5) Aschehoug Undervisning Side 4 av 6

5 Ved å kombinere regnereglene () og (5) får vi La X og Y være uavhengige stokastiske variabler og a, b og c konstanter. Da er Var( a+ bx + cy) = b Var( X) + c Var( Y) (6) Regnereglene (5) og (6) gjelder tilsvarende for flere enn to uavhengige stokastiske variabler. Det bruker vi i det neste eksemplet. Eksempel 7 Kast med tre terninger Vi kaster tre terninger og lar X, Y og Z være antall øyne på de tre terningene. Da er Var( X) = Var( Y) = Var( Z) =. Antall øyne på de tre terningene er uavhengig av hverandre. Variansen til summen av antall øyne blir derfor 05 Var( X + Y + Z) = Var( X) + Var( Y) + Var( Z) = + + = = 8,75 Forventningen og varians til en binomisk fordelt variabel På side i læreboka så vi på et eksempel med spiring av frø. En bestemt type frø spirer med 70 % sannsynlighet. Vi sår 0 frø og ser om de spirer. La X være antall frø som spirer. Da er X binomisk fordelt med n = 0 og p = 0,70. På sidene 43 og 48 i læreboka brukte vi lommeregneren til å vise at EX ( ) = 0 0,70 = 4 og at Var( X ) = 00,700,30 = 4,0 Vi skal nå se hvordan vi kan finne disse resultatene ved å bruke regneregler for forventning og varians. Vi innfører da "hjelpevariablene" X, X,, X0 gitt ved: X = hvis frø nummer spirer, X = 0 hvis det ikke spirer X = hvis frø nummer spirer, X = 0 hvis det ikke spirer X 0 = hvis frø nummer 0 spirer, X 0 = 0 hvis det ikke spirer Her har X sannsynlighetsfordelingen PX ( = 0) = 0,70 = 0,30 og PX ( = ) = 0,70 Aschehoug Undervisning Side 5 av 6

6 Dermed er og E( X ) = 0 0,30 + 0,70 = 0,70 Var( X ) = (0 0,70) 0,30 + ( 0,70) 0,70 = 0,70 0,30 (0,70 + 0,30) = 0,70 0,30 På samme måte finner vi at E( X) = E( X3) =... = E( X0) = 0,70 og Var( X ) = Var( X ) =... = Var( X ) = 0,70 0, Vi har at X = X+ X X0. Dermed får vi EX ( ) = EX ( ) + EX ( ) EX ( 0) = 0,70 + 0, ,70 = 0 0,70 = 4 Vi har forutsatt at de 0 frøene spirer uavhengig av hverandre. Derfor er X, X,, X0 uavhengige stokastiske variabler. Det gir Var( X) = Var( X ) + Var( X ) Var( X ) 0 = 0,70 0,30 + 0,70 0, ,70 0,30 = 0 0,70 0,30 = 4,0 Resonnementene ovenfor kan vi bruke i alle situasjoner der X er binomisk fordelt. Ved å erstatte 0 med n og 0,70 med p får vi regnereglene for forventning og varians for binomisk fordeling (se sidene 43 og 49 i læreboka). Aschehoug Undervisning Side 6 av 6