Da vil summen og gjennomsnittet være tilnærmet normalfordelte : Summen: X 1 +X X n ~N(nµ,nσ 2 ) Gjennomsnittet: X 1 +X

Transkript

1 Me me me me metallic hvit 4.4: Tilnærming til normalfordeling Tilnærming til normalfordeling: binomisk og Poisson kan tilnærmes v.h.a. normalfordeling under bestemte forhold (ved "mange" delforsøk/hendelser) Sentralgrenseteoremet: gitt et sett med 30 uavhengige variable med samme fordeling, dvs. samme µ og σ 2 (variablene er ikke nødvendigvis normalfordelte, de kan ha en hvilken som helst fordeling). Da vil summen og gjennomsnittet være tilnærmet normalfordelte : Summen: X 1 +X X n ~N(nµ,nσ 2 ) Gjennomsnittet: X 1 +X X n ~N(µ, σ 2 ) n n Merk: det oppsiktsvekkende er at sum/snitt blir normalfordelt ; ikke at µ og σ 2 blir som de blir (følger automatisk av regnereglene for forventningsverdi/ varians) 1

2 Fra The Journal of Sexual Medicine (vol. 11, 1. utg., januar 2014) snitt/median 14 cm 2

3 Frampek til kapittel om korrelasjon: er det en korrelasjon (sammenheng) mellom penislengde og f.eks. høyde/vekt/ skostørrelse/størrelse på hender osv.? penislengde høyde Svar: nei, det er ingen som har klart å påvise en korrelasjon mellom penislengde og andre fysiologiske variable som høyde osv. 3

4 Eksempel (annonsert som "lekse" forrige gang) Vi kaster én vanlig, og lar X angi antall "øyne" på terningen. Vi har tidligere funnet at µ = E(X) = Σ x P(X = x) = 3,5 alle x σ 2 = Var(X) = Σ (x µ) 2 P(X = x) = 2,92 = 1,71 2 alle x La X angi gjennomsnittet av 150 slike terningkast. Hva er sannsynligheten for at X er større enn 3,6? 4

5 Kap. 5: Estimering anslå/estimere "populasjonsparametre" som µ, σ2 osv. ved hjelp av målinger/stikkprøver 5.1: Generelt om estimering Meningsmålinger Anslag av populasjons størrelse Andel bilførere som kjører uten bilbelte I alle slike problemstillinger er det umulig å vite hva det "egentlige" svaret er det eneste vi kan si noe om, er bare hvor pålitelig estimatet er. 5

6 5.2: Punktestimering estimering av én bestemt verdi for parameteren (µ eller σ 2 ) motsats til intervallestimering/konfidensintervall notasjon: uttrykket/funksjonen for å estimere en parameter kalles for en estimator, og betegnes ofte med en ^ ("hatt") Begrepet forventningsrett estimator Altså: en forventningsrett estimator er slik at forventningsverdien til estimatoren er lik parameteren man skal estimere. Standardestimatorene vi bruker for µ og σ 2 og alle andre estimatorer som brukes i praksis er forventningsrette. For at en estimator skal være "god", må den være forventningsrett (i tillegg til å ha andre gunstige egenskaper). 6

7 5.3: Punktestimering av μ og σ 2 7

8 Eksempel: vi måler perioden/svingetida til en pendel startutslag Periode = tiden for én hel svingning (f.eks. fra ytterpunkt til ytterpunkt) loddlinje Måling nr. Svingetid

9 5.4:Konfidensintervall 9

10 5.4:Konfidensintervall 10

11 Illustrasjon av konfidensintervall sann verdi for µ (bestemt, men ukjent for oss) [ ] beregnet konfidensintervall fra stikkprøve stikkprøve 1 stikkprøve 2 stikkprøve 3 stikkprøve 4 Et 95 % konfidensintervall vil inneholde den "sanne" verdien av µ i 95 % av tilfellene 11

12 Konfidensintervall for µ 12

13 Eksempel (fra eksamen desember 2015) 13