onsdag_19_09_2018_poisson_eksponential_normalfordelng_vikartime_bygg_v2.notebook

Transkript

1 September 19, The story so far Kap. 3: Diskrete stokastiske variable variablene er "diskrete", dvs. tellevariable som kun har verdier X = 0, X = 1, X = 2,... beregne forventningsverdi og varians for variabel interessert i hvor mange ganger en hendelse inntreffer; P(X = x) to konkrete diskrete fordelinger vi har vært eller skal borti: binomisk fordeling Poisson fordelingen Kap. 4: Kontinuerlige stokastiske variable variablene er "kontinuerlige", dvs. kan ha en hvilken som helst verdi på et intervall. Eksempel: høyde X til person kan ligge i intervallet [1.0 m, 2.20 m] interessert i sannsynligheten for at variabelen ligger i et intervall; P(a < X < b) eller P(X < a) osv. tre konkrete kontinuerlige fordelinger vi skal borti: ekponentialfordelingen normalfordelingen Weibull fordelingen (senere) sep 12 04:58 1

2 September 19, 3.8: Poisson fordeling den andre diskrete fordelingen vi skal borti (den andre var binomisk) "beslektet" med den binomiske (Poisson er et grensetilfelle av binomisk) sep 12 05:15 2

3 September 19, Typiske scenarier for Poisson fordeling: du mottar i snitt 10 Snapchat meldinger per dag. Hva er sannsynligheten for at du skal motta færre enn 5 i løpet av en dag? gjennomsnittlig antall innkomne samtaler til et sentralbord er 20 samtaler per time. Hva er sannsynligheten for et "rush" på 40 samtaler i løpet av en time? gjennomsnittlig antall grantrær per kvadratmeter i en skog er 1 per kvadratmeter. Hva er sannsynligheten for å finne en "klynge" med 4 trær på én kvadratmeter? gjennomsnittlig antall biler over Elgesæterbrua er 300 per time. Hva er sannsynligheten for at det skal komme 400 biler i løpet av en time? gjennomsnittlig antall E. coli bakterier i et sett vannprøver er 110 per ml. Hva er sannsynligheten for å finne en prøve med 150 bakterier per milliliter? i et område er det gjennomsnittlig 1 ødeleggende jordskjelv per 20 år. Hva er sannsynligheten for minst ett jordskjelv i løpet av en tiårsperiode? sep 12 13:00 3

4 September 19, Kriterier for Poisson prosess (analogt til krav for binomisk forsøksserie) sep

5 September 19, sep :31 5

6 September 19, Eksempel Du mottar i gjennomsnitt 3 SMS per dag. Dersom antall SMS er Poisson fordelt, hva er sannsynligheten for at du skal motta a) Nøyaktig 3 SMS b) Nøyaktig 6 SMS i løpet av en dag? sep

7 September 19, Kumulativ Poisson fordeling sep

8 September 19, Beregne punktsannsynlighet eller kumulativ fordeling for Poisson fordelt variabel på kalkulator Punktsannsynlighet P(X = x) Casio Menu > Stat > Dist > F6 > POISN > Ppd > velg Data: Var (istedet for List) > legg inn µ (tilsvarer λ) Texas 2nd + Var > poissonpdf > Enter Syntaks: poissonpdf(λ,x) Kumulativ sannsynlighet P(X<x) Menu > Stat > Dist > F6 > POISN > Pcd > velg Data: Var (istedet for List) > legg inn µ (tilsvarer λ) 2nd + Var > poissoncdf > Enter Syntaks: poissoncdf(λ,x) sep 13 06:06 8

9 September 19, "Intensitet" av hendelser i Poisson modellen sep

10 September 19, Eksempel Et sentralbord mottar i snitt 30 telefonsamtaler per time. Dersom antall innkomne telefonsamtaler antas Poissonfordelt, hva er sannsynligheten for å få 10 eller flere samtaler i løpet av en 20 minutters lunchpause? sep

11 September 19, Fra eksamen ALM200M mai 2011 sep

12 September 19, Eksempel La X angi antall mottatte SMS per dag for en student. X kan antas Poisson fordelt med forventningsverdi λ. Hvor mange SMS må studenten motta i gjennomsnitt per dag for at det skal være 99,9 % sannsynlig at studenten mottar minst én SMS på en tilfeldig dag? sep

13 September 19, Hvordan ser en Poisson fordeling ut? Gitt en λ, tabulerer vi punktsannsynlighetene P(X=x) for et utvalg x og skisserer disse grafisk i Excel. "lite gjennomsnitt", λ = 2 "stort gjennomsnitt", λ = 15 sep

14 September 19, Kap. 4: Kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger 4.1: Begrepet sannsynlighetshetthet (snikksnakk) sep. 18 9:16 PM 14

15 September 19, Kumulativ fordeling for kontinuerlige variable sep 19 05:19 15

16 September 19, 4.2: Eksponentialfordelingen sep 19 05:20 16

17 September 19, sep :25 17

18 September 19, Fra eksamen desember 2016 sep 19 05:34 18

19 September 19, 4.3: Normalfordelingen kontinuerlig sannsynlighetsfordeling som dukker opp over alt sep

20 September 19, Generell kumulativ normalfordeling Generell normalfordeling N(µ,σ 2 ) har ingen enkel form for kumulativ fordeling finnes heller ikke tabeller for dette. Kan istedet bruke kalkis til å beregne P(nedre<X<øvre), eller P(X x): Casio Texas Hovedmeny > Stat > Dist > NORM > Ncd 2nd + Vars (for å få Dist) > normalcdf() Syntaks: normalcdf(nedre,øvre, µ,σ) nedre µ øvre NB! Kalkulatoren forventer at vi taster inn σ (standardavviket), ikke variansen σ 2. Så hvis vi har oppgitt f.eks. X~ N(µ,σ 2 ) ~ N(100,30), må vi passe på å taste inn 30 for σ. sep

21 September 19, Eksempel Ved sesjon i 2003 var høyden X til norske rekrutter normalfordelt som X ~ N(179,9, 6,8 2 ). Hva er sannsynligheten for at en tilfeldig utplukket rekrutt hadde en høyde mellom 160 og 170 cm? sep