Observatorar og utvalsfordeling. Torstein Fjeldstad Institutt for matematiske fag, NTNU

Transkript

1 Observatorar og utvalsfordeling Torstein Fjeldstad Institutt for matematiske fag, NTNU

2 I dag Til no i emnet Observatorar Utvalsfordelingar Sentralgrenseteoremet 2

3 Til no i emnet definisjon av hendingar, sannsyn og stokastiske variable 3

4 Til no i emnet definisjon av hendingar, sannsyn og stokastiske variable definisjon sannsynsfordeling, forventning, varians, osb. 3

5 Til no i emnet definisjon av hendingar, sannsyn og stokastiske variable definisjon sannsynsfordeling, forventning, varians, osb. viktige fordelingar b(x; n, p) binomisk p(x; λ) Poisson n(x; µ, σ) normal f (x; λ) eksponential 3

6 Til no i emnet definisjon av hendingar, sannsyn og stokastiske variable definisjon sannsynsfordeling, forventning, varians, osb. viktige fordelingar b(x; n, p) binomisk p(x; λ) Poisson n(x; µ, σ) normal f (x; λ) eksponential Typiske antakingar i spel (kast terning, kortspel, osb.) 3

7 Eksempel 1 Industriell prosess som produserer eit produkt Vil anslå andelen defekte artikler, p Kontrollerer n artikler og lar X vere talet på defekte Merknad 1: me vel n, men p er ukjend Merknad 2: X b(x; n, p) (om n er "stor") 4

8 Eksempel 2 Undersøk levetida X til elektroniske komponentar Anta at levetida er eksponentialfordelt (E(X) = 1/λ, λ ukjend) Test n komponenter X 1 f (x 1 ; λ) X 2 f (x 2 ; λ). X n f (x n ; λ) 5

9 Innhald resten av emnet 1. Punktestimator: eit "godt" gjett på verdien til den ukjende parameteren 2. Intervallestimat/konfidensintervall: finn intervall [ˆp lower, ˆpupper] som dekker den sanne verdien med eit gitt sannsyn 1 1 Dette er ei grov forenkling som me vil sjå seinare 6

10 Statstisk inferens I Populasjon Ein populasjon består av alle moglege observasjonar me kan gjere. Utval Eit utval er ei delmengde av ein populasjon. Tilfeldig utval Tilfeldig utval (eng: random sample): einingane som trekkes frå populasjonen velges tilfeldig og uavhengig av kvarandre. 7

11 Statstisk inferens II Mål: Trekke konklusjonar om eigenskapar til ein populasjon. sannsyn Populasjon Stokastisk utval statistisk inferens 8

12 Statstisk inferens III Obervator Ein observator (eng: statistic) er ein funksjon av stokastiske variablar i eit tilfeldig utval. Utvalsfordeling Fordelinga til ein observator kallast utvalsfordelinga (eng: sampling distribution). 9

13 Lineærkombinasjon av normalfordelte stokastiske variablar Teorem La X 1,..., X n vere normalfordelte stokastiske variablar med forventning E(X i ) = µ i og varians Var(X i ) = σ 2 i. La Y = a 1 X 1 + a 2 X a n X n = n a i X i, i=1 der a i er konstantar. Då har Y forventning µ Y = a 1 µ 1 + a 2 µ a n µ n = n a i µ i i=1 og varians σ 2 Y = a2 1 σ2 1 + a2 2 σ a2 nσ 2 n = n ai 2 σ2 i. i=1 10

14 Sentralgrenseteoremet I Teorem La X i vere uavhengig identisk fordelte (u.i.f.) stokastiske variablar med E(X i ) = µ X og Var(X i ) = σx 2 < for i = 1,..., n. La X n = 1 n n i=1 X i. Då vil fordelinga til Z = X n E( X n ) SD( X n ) = X n µ X σ X / n = ( ) Xn µ X n σ X gå mot ei standard normalfordeling når n. 11

15 Eksempel sentralgrenseteoremet 1. Anta X 1 = x 1, X 2 = x 2,..., X n = x n er eit tilfeldig utval frå ei kjend fordeling g(x) 2. Rekn ut x = n i=1 x i 3. Gjenta steg 1 og 2 k(= 5, 000, 000) gonger. Sjå på utvalsfordelinga til x 1, x 2,..., x k 12

16 Sentralgrenseteoremet for normalfordelinga (n(x; 0, 1)) Tal på trekninger i kvart utval: 1 Tal på trekninger i kvart utval: 2 Tal på trekninger i kvart utval: e Antall Antall Antall 1e e Figure: n = 1 Figure: n = 2 Figure: n = 5 13

17 Sentralgrenseteoremet for uniformfordelinga (f (x; 0, 1)) Tal på trekninger i kvart utval: 1 Tal på trekninger i kvart utval: 2 Tal på trekninger i kvart utval: Antall Antall Antall Figure: n = 1 Figure: n = 2 Figure: n = 5 14

18 Sentralgrenseteoremet for eksponentialfordelinga (f (x; 1)) Tal på trekninger i kvart utval: Tal på trekninger i kvart utval: 5 Tal på trekninger i kvart utval: e+05 Antall Antall Antall 4e e e Figure: n = 1 Figure: n = 5 Figure: n = 50 15

19 Fredag Estimatorar Kahoot 16