TMA4240 Statistikk H2017 [15]

Transkript

1 TMA4240 Statistikk H207 [5] Del 2: Statistisk inferens Populasjon og utvalg [8.] Observatorer og utvalgsfordelinger [ ] Fordeling til gjennomsnittet og sentralgrenseteoremet [8.4] Normalplott [8.8] Mette Langaas nstitutt for matematiske fag, NTNU

2 Utfordring Ved en bedrift produseres en elektrisk komponent. Komponenten må oppfylle/etterleve visse kvalitetskrav. Bedriften har i en kort periode fått endel retur av defekte komponenter, flere enn tidligere, og er bekymret for at noe kan ha skjedd (dårligere kvalitet av råvarer, endringer i produksjonsprosesen). Bedriften har ikke mulighet til å kvalitetssjekke alle komponenter som produseres (destruktiv testing?). Hva vil du råde bedriften til å gjøre?

3 Statistisk inferens Vi ønsker å si noe generelt om en populasjon basert på et innsamlet tilfeldig utvalg fra populasjonen. Fra innsamling, bearbeiding, analyse og fortolkning av numeriske data og målinger: trekke slutninger utover det man har observert. Bakgrunn: vår kunnskap i sannsynlighetsregning.

4 Fysisk kondisjon målt ved maksimalt oksygenopptak Helseundersøkelsen i Nord-Trøndelag (HUNT), er en av verdens største folkehelseundersøkelser. HUNT 3 foregikk Vi skal se på data fra 47 menn som er innsamlet i Kondisprosjektet i HUNT 3. Prosjektet inngår i en større satsning på å kartlegge sammenhengen mellom kondisjon, fysisk aktivitet, smerte, karfunksjon, livskvalitet og kjente faktorer som påvirker forekomsten av hjerte/kar, og ulike typer kreftsykdommer. Maksimalt oksygenopptak (VO2max) kan måles ved å løpe på tredemølle med oksygenmaske til man ikke klarer mer. VO2max angis med benevning ml/kg0.75 /minutt. Vil du vite mer: se

5 VO2max-dataene: boxplot

6 VO2max-dataene: histogram

7 VO2max-dataene: empirisk cdf

8 VO2max-dataene: Normalplott

9 VO2max-dataene: Normal qq-plott

10 Fordeling til gjennomsnittet X [8.4] TEO 8.2: Sentralgrenseteoremet La X, X 2,..., X n være et tilfeldig utvalg fra en fordeling med forventning µ og varians σ 2. Da har vi at sannsynlighetsfordelingen til Z = X µ σ/ n går mot standard normalfordelingen, n(z; 0, ), når n.

11 Sentralgrenseteoremet-for en symmetrisk fordeling n = n = 2 n = 3 n = 4 n = 5 n = 6 n = 7 n = 8 n = 9 n = 0 n = n = 30

12 Sentralgrenseteoremet-for eksponensialfordeling n = n = 2 n = 3 n = 4 n = 5 n = 0 n = 5 n = 20 n = 30 n = 50 n = 00 n = 000

13 Konsistent estimator Fra Vi sier Tabeller at en estimator og ˆθ formeler parameteren i statistikk θ er konsistent(s dersom 38) ˆθ p θ. En estimator vil være konsistent dersom E(ˆθ) θ og Var(ˆθ) 0 når antall observasjoner går mot uendelig. Sentralgrenseteoremet La X, X 2,... X n være en følge av uavhengige identisk fordelte stokastiske variabler med E(X i ) = µ og 0 < Var(X i ) = σ 2 <. La X = n n i= X i. Da vil for store n X E( X) Var( X) = X µ σ/ n være tilnærmet standard normalfordelt. Mer presist: X µ σ/ n d Z, der Z er standard normalfordelt. Slutskys setning p Dersom X n a og g(x) er kontinuerlig i punktet a, så vil g(xn ) p g(a).

14 Oppsummering Populasjon vs utvalg Sannsynlighetsregning vs statistisk inferens X, X 2,..., X n er et tilfeldig utvalg fra en fordeling med forventning µ og varians σ 2. Fordeling til gjennomsnittet X = n n i= X i E( X ) = µ, Var( X ) = σ 2 n Hvis X i -ene er normalfordelt så er også X normalfordelt. Selv om ikke X i -ene er normalfordelt, så vil allikevel X være normalfordelt når n blir stor=sentralgrenseteoremet.