TMA4240 Statistikk H2010

Transkript

1 TMA4240 Statistikk H2010 Kapittel 5: Diskrete sannsynlighetsfordelinger : Negativ binomisk, geometrisk, Poisson Mette Langaas Foreleses mandag 20. september 2010

2 2 Kabel En kabel består av mange uavhengige wires. Kabelen kan overbelastes og P(en wire ødelegges)=p. Ved overlast er det lite sannsynlig at mer enn en wire skades. Kabelen må skiftes når 3 av wirene har feilet. X =antall overbelastninger som kabelen tåler før den må skiftes. Hvilken fordeling har X?

3 3 5.5 Negativ binomisk og geometrisk fordeling Kabelen. Maskin: En maskin feiler med sannsynlighet p hver time. Når den feiler bli den minimalt reparert (dvs. den blir så god som akkurat før den feilet). Når maskinen har feilet k ganger byttes den ut. X=antall timer til maskinen byttes ut. Russisk rulett: En revolver har 6 kammer. En kule settes i ett kammer og kolben snurres. Første person sikter og trekker av. Hvis kulen ikke var i kammeret går revolveren videre til neste mann, som snurrer kolben, sikter og trekker av. X =antall forsøk til k te (helst første) mann finner kulen.

4 4 Binomisk og negativ binomisk Forsøksrekke, registrerer A (suksess) eller A (fiasko) i hvert forsøk. P(A) = p i hvert forsøk. Forsøkene er uavhengige. Binomisk Bestemmer totalt antall forsøk, n, på forhånd. X =antall suksesser på n forsøk Negativ binomisk Antall forsøk er ikke bestemt på forhånd, men eksperimentet avsluttes når k suksesser er oppnådd. X =antall forsøk til k suksesser er oppnådd.

5 5 Negativ binomisk eksperiment utføres som et binomisk eksperiment med den forskjell at forsøkene gjentas til et fast antall suksesser inntreffer. Dvs. 1. Eksperimentet består av et på forhånd ukjent antall forsøk. 2. Hvert forsøk: inntreffer hendelsen A (suksess) eller ikke (fiasko). 3. Sannsynligheten for hendelsen A (suksess), P(A) = p, er den samme fra forsøk til forsøk. 4. De gjentatte forsøkene er uavhengige av hverandre. 5. Eksperimentet avsluttet når et bestemt antall, k, av hendelsen A (suksesser) har inntruffet.

6 6 Negativ binomisk fordeling Vi ser på gjentatte uavhengige forsøk som kan resultere i hendelsen A (suksess) med sannsynlighet p og komplementet til hendelsen A (A =fiasko) med sannsynlighet 1 p. La den stokastiske variabelen X angi antall forsøk som må gjøres for at hendelsen A (suksess) inntreffer k ganger. X har da en negativ binomisk fordeling med sannsynlighet ( ) x 1 b (x; k, p) = p k (1 p) (x k) k 1 for x = k, k + 1, k + 2,...

7 7 Negativ binomisk fordeling (forts.) k = 5, p = 0.1 k = 5, p = 0.5 k = 5, p = 0.8

8 8 Urne med kuler [v5] Definisjon: p = antall røde kuler antall kuler Prosedyre: Utfør inntil k røde kuler er trukket trekk en kule tilfeldig registrer fargen legg kula tilbake Da er antallet trekninger negativ binomisk fordelt.

9 9 Geometrisk fordeling Negativ binomisk med k=1: g(x; p) = p(1 p) (x 1) x = 1, 2, 3,... TEO 5.4: Forventning og varians i den geometriske fordelingen g(x; p) er µ = E(X) = 1 p og σ 2 = Var(X) = 1 p p 2 p = 0.1 p = 0.5 p = 0.8

10 10 Telefonsalg av billetter a ha skal ha konsert på Lerkendal (igjen?), og billetter kan kjøpes ved å ringe et bestemt telefonnummer. Det er ingen telefonkø, du får enten opptatt-signal eller kommer gjennom til bookingen. X = # forsøk inntil en kommer gjennom første gang. p = P(komme gjennom på tilfeldig valgt forsøk) = Hva er forventet antall ganger en må ringe for å komme gjennom? 2. Hva er sannsynligheten for å komme gjennom dersom en orker å ringe maksimalt 50 ganger? 3. Dersom en har ringt 50 ganger utan å komme gjennom, hva er sannsynligheten for å komme gjennom i neste forsøk? Andre oppgaver: eksamen Des2004#2, Des2009#2.

11 Poisson prosess Vi ser på om en hendelse inntreffer eller ikke innenfor et intervall eller en region. 1. Antall hendelser som inntreffer i et intervall eller i en spesifisert region, er uavhengig av antall hendelser som inntreffer i ethvert annet disjunkt intervall eller region. 2. Sannsynligheten for at en enkelt hendelse inntreffer innenfor et lite intervall eller liten region, er proporsjonal med lengden av intervallet eller størrelsen på regionen, og er ikke avhengig av antallet hendelser som inntreffer utenfor intervallet eller regionen. 3. Sannsynligheten for at mer enn en hendelse skal inntreffe innenfor et kort intervall eller liten region er negliserbar.

12 12 Poisson fordeling La den stokastiske variabelen X representere antallet hendelser i et gitt intervall eller region av størrelse t. Sannsynlighetsfordelingen til X er p(x; λt) = (λt)x e λt x = 0, 1, 2,... x! hvor λ er gjennomsnittlig antall hendelser per enhet intervall eller region (og e = ).

13 13 Binomisk- og Poissonfordeling Utledning : Poisson P(X = x) kan utledes ved å dele opp tidsaksen i n bittesmå intervaller av lengde t = t n. Da har vi en binomisk situasjon i n uavhengige intervaller. Lar vi n får vi Poisson P(X = x). Bevis A27. TEO 5.6 La X være en binomisk stokastisk variabel med sannsynlighetsfordeling b(x; n, p). Når n, p 0, og µ = np holdes konstant, så er b(x; n, p) p(x; µ)

14 14 Poisson fordeling (forts.) µ = λt = 0.5 µ = λt = 2 µ = λt = 10 TEO 5.45 Forventning og varians i Poissonfordelingen p(x; λt) er begge λt.

15 15 Poisson situasjoner Alpinulykker (eksamen 5.august 2004, oppgave 3) Sikkerhet er en av de høyest prioriterte oppgavene i norske alpinanlegg. Vi antar at antall alpinulykker som krever legebehandling i alpinanlegget Alpinfjellet i en periode på t skidager, X, er Poisson-fordelt med forventningsverdi µ = λt. Her er λ skadefrekvens pr skidag og t er eksponeringstid i antall skidager. En skidag er definert som en person i alpinanlegget en hel dag. Jordskjelv α-partikler bakgrunnsstråling. Trykkfeil pr. bokside. Antall studenter som sovner pr. forelesningstime (?) Antall aviser som selges ved et utsalgssted.

16 16 Trafikk-kontroll av mobilbruk Politiet vil aksjonere mot ulovlig mobilbruk i bil, og gjennomfører en kontroll ved Lerkendal-rundkjøringen. Kontrollen varer i 3 timer. La X=antall bilførere som blir bøtelagt for ulovlig mobilbruk i løpet av de 3 timene. Anta at X Poisson, der λ = 5 og t = 3. Hva er forventet antall bilførere som blir bøtelagt i kontrollen? Hva er sannsynligheten for at ingen blir bøtelagt? Hva er sannsynligheten for at minst 20 blir bøtelagt?