TMA4240 Statistikk H2010

Transkript

1 TMA4240 Statistikk H2010 Statistisk inferens: 9.4: Konfidensintervall for µ 8.7: Student-t fordeling 8.6: Fordeling til S 2 Mette Langaas Foreleses onsdag 13.oktober, 2010

2 2 Estimering Mål: finne sannheten om et fenomen i en populasjon. Sannheten knytter vi til en ukjent parameter, θ, i en valgt fordeling. Vi trekker et tilfeldig utvalg fra populasjonen; X 1, X 2,..., X n (u.i.f.). En estimator gir et anslag for den ukjente parameteren og er en funksjon av stokastiske variabler, ˆθ = ˆθ(X 1, X 2,..., X n ). Estimatoren bør være forventningsrett, dvs. E(ˆθ) = θ. Estimatoren bør ha minst mulig varians, Var(ˆθ), og variansen bør avta når antall observasjoner, n, øker. Sannsynlighetsmaksimeringsestimatoren (SME) finner det anslaget (punktestimatet) som gjør at de observasjonene vi har gjort (utvalget) har maksimal rimelighet! I tillegg til punktestimatet kan vi lage et 95% konfidensintervall der vi har 95% tillit til at den sanne parameteren ligger.

3

4

5 5 Data fra DNA microarrays Studere effekt av trening på hjertet: måler forholdet mellom genuttrykk for rotter trent i 48 timer og rotter som ikke har trent gener studert, vi ser på genet: UI-R-A0-ar-f-11-0-UI med beskrivelse ESTs Highly similar to INTERFERON REGULATORY FACTOR 3 [M.musculus] Kan anta at en transformasjon av genuttrykksforholdet for trenete og utrenete rotter er normalfordelt. Positivt tall: genet er mer aktivt for trente enn for utrente rotter Nær 0: genet er like aktivt for trente og utrente rotter. Negativt tall: genet er mindre aktivt for trente enn for utrente rotter. Observasjoner fra 12 par av trenete og utrente rotter: ˆµ = x = 1.54

6 6 Konfidensintervall for µ med kjent Hvis x er gjennomsnittet av et tilfeldig utvalg av størrelse n fra en populasjon med kjent varians 2, så er et (1-α)100% konfidensintervall for µ x z α 2 n < µ < x + z α 2 n hvor z α er verdien i standard normalfordelingen som har areal α 2 2 til høyre, dvs. P(Z > z α ) = α 2 2.

7 7 Konfidensintervall for µ med kjent x z α 2 n < µ < x + z α 2 n

8 8 Intervallestimering med rottedata Antar målinger er normalfordelte. Observasjoner fra 12 par av trenete og utrente rotter: % konfidensintervall for µ nå 2 er kjent (antar 2 =0.1): x z α 2 n < µ < x + z α 2 n Rottedata: ˆµ = x = 1.54, n=12, z = 1.96, 95% konfidensintervall for µ er [1.36, 1.72].

9 9 Intervallestimering med rottedata Hvis vi ikke kjenner 2 kan vi estimere den med S 2, og får 95% konfidensintervall for µ nå 2 er ukjent: x t α 2,(n 1) s n < µ < x + t α 2,(n 1) s n Rottedata: S 2 =0.146, t 0.025,11 = 2.201, 95% konfidensintervall for µ er da [1.30, 1.78].

10 10 Kvantiler N og t

11 11 Konfidensintervall for µ med ukjent Hvis x er gjennomsnittet og s er estimert standardavvik av et tilfeldig utvalg av størrelse n fra en populasjon med ukjent varians 2, så er et (1-α)100% konfidensintervall for µ x t α 2,(n 1) s n < µ < x + t α 2,(n 1) s n hvor t α 2,(n 1) er verdien i t-fordelingen med n 1 frihetsgrader som har areal α 2 til høyre, dvs. P(T > t α 2,(n 1) ) = α 2.

12 12 Konfidensintervall for µ med ukjent x t α 2,(n 1) s n < µ < x + t α 2,(n 1) s n

13 13 T og t-fordeling COR: La X 1, X 2,..., X n være uavhengige stokastiske variabler som alle er normalfordelte med samme forventning µ og samme standardavvik. La X = 1 n n i=1 X i og S 2 = 1 n 1 n (X i X) 2 i=1 Da er den stokastiske variablen T = X µ S/ n t-fordelt med ν = (n 1) frihetsgrader.

14 14 W. S. Gosset alias Student

15 15 Historisk: Student-t fordelingen W.S. Gosset ( ) was employed by the Guinness Brewing Company of Dublin. Sample sizes available for experimentation in brewing were necessarily small, and Gosset knew that a correct way of dealing with small samples was needed. He consulted Karl Pearson ( ) of Universiy College in London about the problem. Pearson told him the current state of knowledge was unsatisfactory. The following year Gosset undertook a course of study under Pearson. An outcome of his study was the publication in 1908 of Gosset s paper on "The Probable Error of a Mean," which introduced a form of what later became known as Student s t-distribution. Gosset s paper was published under the pseudonym "Student." The modern form of Student s t-distribution was derived by R.A. Fisher and first published in 1925.

16 16 t-fordelingen

17 17 DEF: t-fordeling TEO 8.5: La Z være en standard normalfordelt stokastisk variabel og V være en kjikvadrat-fordelt stokastisk variabel med ν frihetsgrader. Hvis Z og V er uavhengige, er fordelingen til den stokastiske variablen T T = Z V /ν E(T ) = 0 hvis ν 2. gitt ved sannsynlighetstettheten h(t) = Γ[(ν + 1)/2] Γ(ν/2) πν (1 + t 2 ν ) (ν+1)/2 for < t <. Denne fordelingen har navnet (Student) t fordelingen med ν frihetsgrader. Var(T ) = ν ν 2 hvis ν 3.

18 18 Fordelingen til S 2 Resultat: V = (n 1)S2 = n 2 ν = n 1 frihetsgrader. Fordi: i=1 Z i 2 Z 2 er kjikvadrat-fordelt med i) X 1,..., X n u.i.f. normal, E(X i ) = µ og Var(X i ) = 2. ii) Z i = X i µ er standard normalfordelt, og Z = X µ n standard normalfordelt. ( ) 2 Xi µ er kjikvadrat-fordelt med 1 frihetsgrad. iii) Z 2 i = Z 2 = ( X µ n ) 2 er kjikvadrat-fordelt med 1 frihetsgrad. iv) n i=1 Z i 2 er kjikvadratfordelt med n frihetsgrader. v) (n 1)S 2 = n i=1 (X i X) 2 = n i=1 (X i µ) 2 n( X µ) 2, og dermed V = (n 1)S2 2 vi) n i=1 Z i 2 og Z 2 er uavhengige. = n i=1 Z 2 i Z 2 er