TMA4240 Statistikk H2010

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "TMA4240 Statistikk H2010"

Transkript

1 TMA4240 Statistikk H2010 Statistisk inferens: 9.4: Konfidensintervall for µ 8.7: Student-t fordeling 8.6: Fordeling til S 2 Mette Langaas Foreleses onsdag 13.oktober, 2010

2 2 Estimering Mål: finne sannheten om et fenomen i en populasjon. Sannheten knytter vi til en ukjent parameter, θ, i en valgt fordeling. Vi trekker et tilfeldig utvalg fra populasjonen; X 1, X 2,..., X n (u.i.f.). En estimator gir et anslag for den ukjente parameteren og er en funksjon av stokastiske variabler, ˆθ = ˆθ(X 1, X 2,..., X n ). Estimatoren bør være forventningsrett, dvs. E(ˆθ) = θ. Estimatoren bør ha minst mulig varians, Var(ˆθ), og variansen bør avta når antall observasjoner, n, øker. Sannsynlighetsmaksimeringsestimatoren (SME) finner det anslaget (punktestimatet) som gjør at de observasjonene vi har gjort (utvalget) har maksimal rimelighet! I tillegg til punktestimatet kan vi lage et 95% konfidensintervall der vi har 95% tillit til at den sanne parameteren ligger.

3

4

5 5 Data fra DNA microarrays Studere effekt av trening på hjertet: måler forholdet mellom genuttrykk for rotter trent i 48 timer og rotter som ikke har trent gener studert, vi ser på genet: UI-R-A0-ar-f-11-0-UI med beskrivelse ESTs Highly similar to INTERFERON REGULATORY FACTOR 3 [M.musculus] Kan anta at en transformasjon av genuttrykksforholdet for trenete og utrenete rotter er normalfordelt. Positivt tall: genet er mer aktivt for trente enn for utrente rotter Nær 0: genet er like aktivt for trente og utrente rotter. Negativt tall: genet er mindre aktivt for trente enn for utrente rotter. Observasjoner fra 12 par av trenete og utrente rotter: ˆµ = x = 1.54

6 6 Konfidensintervall for µ med kjent Hvis x er gjennomsnittet av et tilfeldig utvalg av størrelse n fra en populasjon med kjent varians 2, så er et (1-α)100% konfidensintervall for µ x z α 2 n < µ < x + z α 2 n hvor z α er verdien i standard normalfordelingen som har areal α 2 2 til høyre, dvs. P(Z > z α ) = α 2 2.

7 7 Konfidensintervall for µ med kjent x z α 2 n < µ < x + z α 2 n

8 8 Intervallestimering med rottedata Antar målinger er normalfordelte. Observasjoner fra 12 par av trenete og utrente rotter: % konfidensintervall for µ nå 2 er kjent (antar 2 =0.1): x z α 2 n < µ < x + z α 2 n Rottedata: ˆµ = x = 1.54, n=12, z = 1.96, 95% konfidensintervall for µ er [1.36, 1.72].

9 9 Intervallestimering med rottedata Hvis vi ikke kjenner 2 kan vi estimere den med S 2, og får 95% konfidensintervall for µ nå 2 er ukjent: x t α 2,(n 1) s n < µ < x + t α 2,(n 1) s n Rottedata: S 2 =0.146, t 0.025,11 = 2.201, 95% konfidensintervall for µ er da [1.30, 1.78].

10 10 Kvantiler N og t

11 11 Konfidensintervall for µ med ukjent Hvis x er gjennomsnittet og s er estimert standardavvik av et tilfeldig utvalg av størrelse n fra en populasjon med ukjent varians 2, så er et (1-α)100% konfidensintervall for µ x t α 2,(n 1) s n < µ < x + t α 2,(n 1) s n hvor t α 2,(n 1) er verdien i t-fordelingen med n 1 frihetsgrader som har areal α 2 til høyre, dvs. P(T > t α 2,(n 1) ) = α 2.

12 12 Konfidensintervall for µ med ukjent x t α 2,(n 1) s n < µ < x + t α 2,(n 1) s n

13 13 T og t-fordeling COR: La X 1, X 2,..., X n være uavhengige stokastiske variabler som alle er normalfordelte med samme forventning µ og samme standardavvik. La X = 1 n n i=1 X i og S 2 = 1 n 1 n (X i X) 2 i=1 Da er den stokastiske variablen T = X µ S/ n t-fordelt med ν = (n 1) frihetsgrader.

14 14 W. S. Gosset alias Student

15 15 Historisk: Student-t fordelingen W.S. Gosset ( ) was employed by the Guinness Brewing Company of Dublin. Sample sizes available for experimentation in brewing were necessarily small, and Gosset knew that a correct way of dealing with small samples was needed. He consulted Karl Pearson ( ) of Universiy College in London about the problem. Pearson told him the current state of knowledge was unsatisfactory. The following year Gosset undertook a course of study under Pearson. An outcome of his study was the publication in 1908 of Gosset s paper on "The Probable Error of a Mean," which introduced a form of what later became known as Student s t-distribution. Gosset s paper was published under the pseudonym "Student." The modern form of Student s t-distribution was derived by R.A. Fisher and first published in 1925.

16 16 t-fordelingen

17 17 DEF: t-fordeling TEO 8.5: La Z være en standard normalfordelt stokastisk variabel og V være en kjikvadrat-fordelt stokastisk variabel med ν frihetsgrader. Hvis Z og V er uavhengige, er fordelingen til den stokastiske variablen T T = Z V /ν E(T ) = 0 hvis ν 2. gitt ved sannsynlighetstettheten h(t) = Γ[(ν + 1)/2] Γ(ν/2) πν (1 + t 2 ν ) (ν+1)/2 for < t <. Denne fordelingen har navnet (Student) t fordelingen med ν frihetsgrader. Var(T ) = ν ν 2 hvis ν 3.

18 18 Fordelingen til S 2 Resultat: V = (n 1)S2 = n 2 ν = n 1 frihetsgrader. Fordi: i=1 Z i 2 Z 2 er kjikvadrat-fordelt med i) X 1,..., X n u.i.f. normal, E(X i ) = µ og Var(X i ) = 2. ii) Z i = X i µ er standard normalfordelt, og Z = X µ n standard normalfordelt. ( ) 2 Xi µ er kjikvadrat-fordelt med 1 frihetsgrad. iii) Z 2 i = Z 2 = ( X µ n ) 2 er kjikvadrat-fordelt med 1 frihetsgrad. iv) n i=1 Z i 2 er kjikvadratfordelt med n frihetsgrader. v) (n 1)S 2 = n i=1 (X i X) 2 = n i=1 (X i µ) 2 n( X µ) 2, og dermed V = (n 1)S2 2 vi) n i=1 Z i 2 og Z 2 er uavhengige. = n i=1 Z 2 i Z 2 er

TMA4240 Statistikk H2015

TMA4240 Statistikk H2015 TMA4240 Statistikk H2015 Ett utvalg: estimere forventningsverdi og intervall [9.4] Student-t fordeling [8.6] Quiz fra SME og konfidensintervall Mette Langaas Institutt for matematiske fag, NTNU wiki.math.ntnu.no/emner/tma4240/2015h/start/

Detaljer

Statistisk inferens: 9.14: Sannsynlighetsmaksimeringsestimatoren 8.5: Fordeling til gjennomsnittet 9.4: Konfidensintervall for µ (σ kjent)

Statistisk inferens: 9.14: Sannsynlighetsmaksimeringsestimatoren 8.5: Fordeling til gjennomsnittet 9.4: Konfidensintervall for µ (σ kjent) TMA440 Statistikk H010 Statistisk inferens: 9.14: Sannsynlighetsmaksimeringsestimatoren 8.5: Fordeling til gjennomsnittet 9.4: Konfidensintervall for µ (σ kjent) Mette Langaas Foreleses mandag 11.oktober,

Detaljer

(utarbeidet av Mette Langaas), TMA4245 V2007

(utarbeidet av Mette Langaas), TMA4245 V2007 Kapittel 8 og 9 Ett- og toutvalgs estimering; statistisk inferens, forventningsretthet, punktestimat, intervallestimat og prediksjonsintervall, estimere forventningsverdi, differanse, andel og varians,

Detaljer

Tilfeldig utvalg [8.1] U.i.f. Statistisk inferens. Kapittel 8 og 9

Tilfeldig utvalg [8.1] U.i.f. Statistisk inferens. Kapittel 8 og 9 3 Tilfeldig utvalg [8.1] DEF 8.1: En populasjon er mengden av observasjoner som vi ønsker å studere, dvs. alle observasjoner det er mulig å gjøre. (Dersom elementene i populasjonen har fordeling f(x),

Detaljer

TMA4240 Statistikk H2010

TMA4240 Statistikk H2010 TMA4240 Statistikk H2010 Statistisk inferens: 8.1: Tilfeldig utvalg 9.1-9.3: Estimering Mette Langaas Foreleses uke 40, 2010 2 Utfordring Ved en bedrift produseres en elektrisk komponent. Komponenten må

Detaljer

TMA4240 Statistikk H2010

TMA4240 Statistikk H2010 TMA4240 Statistikk H2010 9.8: To uvalg (siste del) 9.9: Parvise observasjoner 9.10-9.11: Andelser 9.12: Varians Mette Langaas Foreleses onsdag 20.oktober, 2010 2 Norske hoppdommere og Janne Ahonen Janne

Detaljer

Norske hoppdommere og Janne Ahonen

Norske hoppdommere og Janne Ahonen TMA440 Statistikk H010 9.8: To uvalg (siste del) 9.9: Parvise observasjoner 9.10-9.11: Andelser 9.1: Varians Mette Langaas Foreleses onsdag 0.oktober, 010 Norske hoppdommere og Janne Ahonen Janne Ahonen

Detaljer

Kapittel 2: Hendelser

Kapittel 2: Hendelser Kapittel 2: Hendelser FENOMEN Eksperiment Utfall Utfallsrom Eksperiment. Utfall. Eksperiment Utfall Hendelse Sannsynlighet: egenskaper, gunstige vs. mulige, relativ frekvens Sannsynlighet for mer enn en

Detaljer

Kapittel 8: Tilfeldige utvalg, databeskrivelse og fordeling til observatorar, Kapittel 9: Estimering

Kapittel 8: Tilfeldige utvalg, databeskrivelse og fordeling til observatorar, Kapittel 9: Estimering Kapittel 8: Tilfeldige utvalg, databeskrivelse og fordeling til observatorar, Kapittel 9: Estimering TMA4245 Statistikk Kapittel 8.1-8.5. Kapittel 9.1-9.3+9.15 Turid.Follestad@math.ntnu.no p.1/21 Har sett

Detaljer

TMA4245 Statistikk Eksamen desember 2016

TMA4245 Statistikk Eksamen desember 2016 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4245 Statistikk Eksamen desember 2016 Oppgave 1 En bedrift produserer elektriske komponenter. Komponentene kan ha to typer

Detaljer

Eksamensoppgave i ST1201/ST6201 Statistiske metoder

Eksamensoppgave i ST1201/ST6201 Statistiske metoder Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i ST1201/ST6201 Statistiske metoder Faglig kontakt under eksamen: Nikolai Ushakov Tlf: 45128897 Eksamensdato: 20. desember 2016 Eksamenstid (fra til): 09:00

Detaljer

Inferens. STK Repetisjon av relevant stoff fra STK1100. Eksempler. Punktestimering - "Fornuftig verdi"

Inferens. STK Repetisjon av relevant stoff fra STK1100. Eksempler. Punktestimering - Fornuftig verdi Inferens STK1110 - Repetisjon av relevant stoff fra STK1100 Geir Storvik 12. august 2015 Data x 1,..., x n evt også y 1,..., y n Ukjente parametre θ kan være flere Vi ønsker å si noe om θ basert på data.

Detaljer

Eksamensoppgave i TMA4240 Statistikk

Eksamensoppgave i TMA4240 Statistikk Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA4240 Statistikk Faglig kontakt under eksamen: Mette Langaas a, Ingelin Steinsland b, Geir-Arne Fuglstad c Tlf: a 988 47 649, b 926 63 096, c 452 70 806

Detaljer

TMA4240 Statistikk Høst 2016

TMA4240 Statistikk Høst 2016 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Anbefalt øving 9 Løsningsskisse Oppgave 1 a) Vi lar her Y være antall fugler som kolliderer med vindmølla i løpet av den gitte

Detaljer

Løsningsforslag til andre sett med obligatoriske oppgaver i STK1110 høsten 2010

Løsningsforslag til andre sett med obligatoriske oppgaver i STK1110 høsten 2010 Løsningsforslag til andre sett med obligatoriske oppgaver i STK1110 høsten 2010 Oppgave 1 a Forventet antall dødsulykker i år i er E(X i λ i. Dermed er θ i λ i E(X i forventet antall dødsulykker per 100

Detaljer

STK Oppsummering

STK Oppsummering STK1100 - Oppsummering Geir Storvik 6. Mai 2014 STK1100 Tre temaer Deskriptiv/beskrivende statistikk Sannsynlighetsteori Statistisk inferens Sannsynlighetsregning Hva Matematisk verktøy for å studere tilfeldigheter

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 Kp. 6, del 4

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 Kp. 6, del 4 ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 Kp. 6, del 4 Bjørn H. Auestad Institutt for matematikk og naturvitenskap Universitetet i Stavanger 27. mars Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting

Detaljer

6.1 Kontinuerlig uniform fordeling

6.1 Kontinuerlig uniform fordeling TMA4240 Statistikk H2010 Kapittel 6: Kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger 6.1-6.4: Uniform fordeling, normalfordelingen. Mette Langaas Foreleses onsdag 22. september 2010 2 6.1 Kontinuerlig uniform

Detaljer

for x 0 F X (x) = 0 ellers Figur 1: Parallellsystem med to komponenter Figur 2: Seriesystem med n komponenter

for x 0 F X (x) = 0 ellers Figur 1: Parallellsystem med to komponenter Figur 2: Seriesystem med n komponenter TMA4245 Statistikk Vår 2016 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Innlevering 3, blokk II Dette er den første av to innleveringer i blokk 2. Denne øvingen skal oppsummere

Detaljer

TMA4240 Statistikk Høst 2007

TMA4240 Statistikk Høst 2007 TMA4240 Statistikk Høst 2007 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer b4 Løsningsskisse Oppgave 1 Eksamen juni 1999, oppgave 3 av 3 a) µ populasjonsgjennomsnitt,

Detaljer

Siden vi her har brukt første momentet i fordelingen (EX = EX 1 ) til å konstruere estimatoren kalles denne metoden for momentmetoden.

Siden vi her har brukt første momentet i fordelingen (EX = EX 1 ) til å konstruere estimatoren kalles denne metoden for momentmetoden. Estimeringsmetoder Momentmetoden La X, X 2,..., X n være uavhengige variable som er rektangulært fordelte på intervallet [0, θ]. Vi vet da at forventningsverdiene til hver observasjon og forventningen

Detaljer

TMA4240 Statistikk H2015

TMA4240 Statistikk H2015 TMA4240 Statistikk H2015 Funksjoner av stokastiske variabler (kapittel 7+notat) Fokus på start med kumulativ fordeling 7.2 Funksjon av en SV (inkludert en-entydighet). Fordeling til max/min (fra notat).

Detaljer

Forslag til endringar

Forslag til endringar Forslag til endringar Bakgrunn: Vi har ingen forelesningar veka etter påske. Eg skal bort 18. og 19. april. Eksamen er 30.mai Forslag til endringar: Ekstra forelesningar onsdag 16.mars og onsdag 30 mars

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 Kp. 6, del 3

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 Kp. 6, del 3 ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 Kp. 6, del 3 Bjørn H. Auestad Institutt for matematikk og naturvitenskap Universitetet i Stavanger 20. mars Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting

Detaljer

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Kapittel 9: Inferens om én populasjon

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Kapittel 9: Inferens om én populasjon ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Kapittel 9: Inferens om én populasjon Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Kap. 9: Inferens om én populasjon Statistisk inferens har som mål å tolke/analysere

Detaljer

TMA4240 Statistikk H2010 (19)

TMA4240 Statistikk H2010 (19) TMA4240 Statistikk H2010 (19) Hypotesetesting 10.1-10.3: Generelt om statistiske hypoteser 10.5: Ett normalfordelt utvalg Mette Langaas Foreleses mandag 25.oktober, 2010 2 Estimering og hypotesetesting

Detaljer

TMA4240 Statistikk Høst 2015

TMA4240 Statistikk Høst 2015 TMA4240 Statistikk Høst 2015 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer 9, blokk II Oppgave 1 X er kontinuerlig fordelt med sannsynlighetstetthet f(x) = 2xe

Detaljer

Kapittel 6: Kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger 6.4-5.7: Normalfordelingen, normalapproksimasjon, eksponensial og gamma.

Kapittel 6: Kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger 6.4-5.7: Normalfordelingen, normalapproksimasjon, eksponensial og gamma. TMA4240 Statistikk H2010 Kapittel 6: Kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger 6.4-5.7: Normalfordelingen, normalapproksimasjon, eksponensial og gamma. Mette Langaas Foreleses mandag 27. september 2010 2

Detaljer

Estimering og hypotesetesting

Estimering og hypotesetesting Kapittel 10 Ett- og toutvalgs hypotesetesting TMA4245 V2007: Eirik Mo 2 Estimering og hypotesetesting Fenomen Bilkjøring Høyden til studenter Spørsmål Hvor stor andel av studentene synes de er flinkere

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010 Oppsummering

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010 Oppsummering ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010 Oppsummering Bjørn H. Auestad Institutt for matematikk og naturvitenskap Universitetet i Stavanger 21. april Bjørn H. Auestad Oppsummering våren

Detaljer

Om eksamen. Never, never, never give up!

Om eksamen. Never, never, never give up! Plan vidare Onsdag Gjere ferdig kap 11 + repetisjon Fredag Rekning av eksamensoppgåver Eksamen Mai 2014, oppgåve 2 (inkl normal fordeling, lin.reg. og deskriptiv statistikk) Eksamen August 2012, oppgåve

Detaljer

Statistisk inferens (kap. 8) Hovedtyper av statistisk inferens. ST0202 Statistikk for samfunnsvitere

Statistisk inferens (kap. 8) Hovedtyper av statistisk inferens. ST0202 Statistikk for samfunnsvitere 2 Statistisk inferens (kap. 8) Statistisk inferens er å tolke/analysere resultater fra utvalget for å finne ut mest mulig om populasjonen. Konkret: Analysere en observator for å finne ut noe om korresponderende

Detaljer

Løsningsforslag oblig 1 STK1110 høsten 2014

Løsningsforslag oblig 1 STK1110 høsten 2014 Løsningsforslag oblig STK høsten 4 Oppgave I forbindelse med en studie av antioksidanter og antocyanider, ble innholdet av antocyan i 5 beger med blåbær målt. De målte verdiene var (i mg per gram): 55

Detaljer

Utvalgsfordelinger; utvalg, populasjon, grafiske metoder, X, S 2, t-fordeling, χ 2 -fordeling

Utvalgsfordelinger; utvalg, populasjon, grafiske metoder, X, S 2, t-fordeling, χ 2 -fordeling Kapittel 8 Utvalgsfordelinger; utvalg, populasjon, grafiske metoder, X, S 2, t-fordeling, χ 2 -fordeling TMA4240 H2006: Eirik Mo 2 Til nå... Definert sannsynlighet og stokastiske variabler (kap. 2 & 3).

Detaljer

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Statistisk inferens (kap. 8) Statistisk inferens er å tolke/analysere resultater fra utvalget for å finne ut mest mulig

Detaljer

STK Oppsummering

STK Oppsummering STK1110 - Oppsummering Geir Storvik 11. November 2015 STK1110 To hovedtemaer Introduksjon til inferensmetoder Punktestimering Konfidensintervall Hypotesetesting Inferens innen spesifikke modeller/problemer

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen i Statistikk SIF5060 Aug 2002

Løsningsforslag Eksamen i Statistikk SIF5060 Aug 2002 Løsningsforslag Eksamen i Statistikk SIF5060 Aug 2002 Oppgave 1 a) En god estimator er forventningsrett og har liten varians. Vi tester forventningsretthet: E[ˆµ] E[Y ] µ E[ µ] E[ 1 2 X + 1 2 Y ] 1 2 E[X]

Detaljer

Hypotesetesting. Formulere en hypotesetest: Når vi skal test om en parameter θ kan påstås å være større enn en verdi θ 0 skriver vi dette som:

Hypotesetesting. Formulere en hypotesetest: Når vi skal test om en parameter θ kan påstås å være større enn en verdi θ 0 skriver vi dette som: Hypotesetesting. 10 og fore- Dekkes av pensumsidene i kap. lesingsnotatene. Hypotesetesting er en systematisk fremgangsmåte for å undersøke hypoteser (påstander) knyttet til parametre i sannsynlighetsfordelinger.

Detaljer

Statistisk inferens (kap. 8) Hovedtyper av statistisk inferens. ST0202 Statistikk for samfunnsvitere

Statistisk inferens (kap. 8) Hovedtyper av statistisk inferens. ST0202 Statistikk for samfunnsvitere 2 Statistisk inferens (kap. 8) Statistisk inferens er å tolke/analysere resultater fra utvalget for å finne ut mest mulig om populasjonen. Konkret: Å analysere en utvalgsobservator for å trekke slutninger

Detaljer

Estimering og hypotesetesting

Estimering og hypotesetesting Kapittel 10 Ett- og toutvalgs hypotesetesting TMA4240 H2006: Eirik Mo 2 Estimering og hypotesetesting Fenomen Bilkjøring Høyden til studenter Spørsmål Hvor stor andel av studentene synes de er flinkere

Detaljer

TMA4245 Statistikk Eksamen desember 2016

TMA4245 Statistikk Eksamen desember 2016 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4245 Statistikk Eksamen desember 2016 Oppgave 1 Ei bedrift produserer elektriske komponentar. Komponentane kan ha to typar

Detaljer

Eksamensoppgåve i TMA4240 Statistikk

Eksamensoppgåve i TMA4240 Statistikk Institutt for matematiske fag Eksamensoppgåve i TMA4240 Statistikk Fagleg kontakt under eksamen: Mette Langaas a, Ingelin Steinsland b, Geir-Arne Fuglstad c Tlf: a 988 47 649, b 926 63 096, c 452 70 806

Detaljer

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Kap. 10: Inferens om to populasjoner Situasjon: Vi ønsker å sammenligne to populasjoner med populasjonsgjennomsnitt henholdsvis

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 Kp. 6, del 3

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 Kp. 6, del 3 ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 Kp. 6, del 3 Bjørn H. Auestad Institutt for matematikk og naturvitenskap Universitetet i Stavanger 20. mars Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting

Detaljer

Oppfriskning av blokk 1 i TMA4240

Oppfriskning av blokk 1 i TMA4240 Oppfriskning av blokk 1 i TMA4240 Geir-Arne Fuglstad November 21, 2016 2 Hva har vi gjort i dette kurset? Vi har studert to sterkt relaterte grener av matematikk Sannsynlighetsteori: matematisk teori for

Detaljer

Eksamensoppgave i ST1201/ST6201 Statistiske metoder

Eksamensoppgave i ST1201/ST6201 Statistiske metoder Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i ST1201/ST6201 Statistiske metoder Faglig kontakt under eksamen: Nikolai Ushakov Tlf: 45128897 Eksamensdato: 04. desember 2015 Eksamenstid (fra til): 09:00

Detaljer

TMA4240 Statistikk Høst 2015

TMA4240 Statistikk Høst 2015 TMA4240 Statistikk Høst 2015 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer 11, blokk II I denne øvingen skal vi fokusere på hypotesetesting. Vi ønsker å gi dere

Detaljer

TMA4245 Statistikk. Innlevering 3. Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag

TMA4245 Statistikk. Innlevering 3. Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4245 Statistikk Vår 2017 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Innlevering 3 Dette er den første av to innleveringer i blokk 2 Denne øvingen skal oppsummere pensum

Detaljer

Konfidensintervall for µ med ukjent σ (t intervall)

Konfidensintervall for µ med ukjent σ (t intervall) Forelesning 3, kapittel 6 Konfidensintervall for µ med ukjent σ (t intervall) Konfidensintervall for µ basert på n observasjoner fra uavhengige N( µ, σ) fordelinger når σ er kjent : Hvis σ er ukjent har

Detaljer

Første sett med obligatoriske oppgaver i STK1110 høsten 2015

Første sett med obligatoriske oppgaver i STK1110 høsten 2015 Første sett med obligatoriske oppgaver i STK1110 høsten 2015 Dette er det første obligatoriske oppgavesettet i STK1110 høsten 2015. Oppgavesettet består av fire oppgaver. Du må bruke Matematisk institutts

Detaljer

Foreleses onsdag 8. september 2010

Foreleses onsdag 8. september 2010 TMA4240 Statistikk H200 4.2: Varians (univariat del) 4.4: Chebyshevs teorem 3.4: Simultanfordelinger Mette Langaas Foreleses onsdag 8. september 200 Mette.Langaas@math.ntnu.no, TMA4240H200 2 4.2 Varians

Detaljer

Oppgaven består av 9 delspørsmål som anbefales å veie like mye. Kommentarer og tallsvar er skrevet inn mellom << >>. Oppgave 1

Oppgaven består av 9 delspørsmål som anbefales å veie like mye. Kommentarer og tallsvar er skrevet inn mellom << >>. Oppgave 1 ECON 0 EKSMEN 007 VÅR SENSORVEILEDNING Oppgaven består av 9 delspørsmål som anbefales å veie like mye. Kommentarer og tallsvar er skrevet inn mellom >. Oppgave. La begivenhetene BC,, være slik at og

Detaljer

6.5 Normalapproksimasjon til. binomisk fordeling

6.5 Normalapproksimasjon til. binomisk fordeling ....3.4.5..5..5..5...4.6.8....4.6.8....3.4..5..5 Kaittel 6: Kontinuerlige sannsynsfordelingar TMA445 Statistikk Ka 6.5-6.8. 6.5: Normal aroksimasjon til binomisk fordeling, 6.6-6.8: Eksonensialfordeling,

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: ST101 Innføring i statistikk og sannsynlighetsregning. Eksamensdag: Mandag 29. november 1993. Tid for eksamen: 09.00 15.00. Oppgavesettet

Detaljer

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Fra første forelesning: Populasjon Den mengden av individer/objekter som vi ønsker å analysere. Utvalg En delmengde av

Detaljer

TMA4240 Statistikk 2014

TMA4240 Statistikk 2014 TMA4240 Statistikk 2014 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer 12, blokk II Oppgave 1 På ein av vegane inn til Trondheim er UP interessert i å måle effekten

Detaljer

TMA4240 Statistikk H2010

TMA4240 Statistikk H2010 TMA440 Statstkk H00 Statstsk nferens: 9.6: Predksjonsntervall 9.8: To utvalg, dfferanse µ µ Mette Langaas Foreleses mandag 8.oktober, 00 Predksjonsntervall for fremtdg observasjon, normalfordelng For en

Detaljer

Kapittel 4.4: Forventning og varians til stokastiske variable

Kapittel 4.4: Forventning og varians til stokastiske variable Kapittel 4.4: Forventning og varians til stokastiske variable Forventning og varians til stokastiske variable Histogrammer for observerte data: Sannsynlighets-histogrammer og tetthetskurver for stokastiske

Detaljer

Notasjon. Løsninger. Problem. Kapittel 7

Notasjon. Løsninger. Problem. Kapittel 7 3 Notasjon Kapittel 7 Funksjoner av stokastiske variabler Har n stokastiske variabler, X 1, X 2,..., X n, med kjent fordeling f( 1, 2,..., n ) og kumulativ fordeling F( 1, 2,..., n ). Ser på Y = u(x 1,

Detaljer

j=1 (Y ij Ȳ ) 2 kan skrives som SST = i=1 (J i 1) frihetsgrader.

j=1 (Y ij Ȳ ) 2 kan skrives som SST = i=1 (J i 1) frihetsgrader. FORMELSAMLING TIL STK2120 (Versjon av 30. mai 2012) 1 Enveis variansanalyse Anta at Y ij = µ + α i + ɛ ij ; j = 1, 2,..., J i ; i = 1, 2,..., I ; der ɛ ij -ene er uavhengige og N(0, σ 2 )-fordelte. Da

Detaljer

Eksamensoppgåve i ST1201/ST6201 Statistiske metoder

Eksamensoppgåve i ST1201/ST6201 Statistiske metoder Institutt for matematiske fag Eksamensoppgåve i ST1201/ST6201 Statistiske metoder Fagleg kontakt under eksamen: Nikolai Ushakov Tlf: 45128897 Eksamensdato: 04. desember 2015 Eksamenstid (frå til): 09:00

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO Matematisk Institutt

UNIVERSITETET I OSLO Matematisk Institutt UNIVERSITETET I OSLO Matematisk Institutt Midtveiseksamen i: STK 1000: Innføring i anvendt statistikk Tid for eksamen: Onsdag 9. oktober 2013, 11:00 13:00 Hjelpemidler: Lærebok, ordliste for STK1000, godkjent

Detaljer

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Kapittel 7: Utvalgsfordeling Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Fra kapittel 1: Populasjon Den mengden av individer/objekter som vi ønsker å analysere. Utvalg

Detaljer

1 Section 7-2: Estimere populasjonsandelen. 2 Section 7-4: Estimere µ når σ er ukjent

1 Section 7-2: Estimere populasjonsandelen. 2 Section 7-4: Estimere µ når σ er ukjent 1 Section 7-2: Estimere populasjonsandelen 2 Section 7-4: Estimere µ når σ er ukjent Kapittel 7 Nå begynner vi med statistisk inferens! Bruke stikkprøven til å 1 Estimere verdien til en parameter i populasjonen.

Detaljer

Andre sett med obligatoriske oppgaver i STK1110 høsten 2010

Andre sett med obligatoriske oppgaver i STK1110 høsten 2010 Andre sett med obligatoriske oppgaver i STK1110 høsten 2010 Dette er det andre settet med obligatoriske oppgaver i STK1110 høsten 2010. Oppgavesettet består av fire oppgaver. Det er valgfritt om du vil

Detaljer

TMA4240 Statistikk Høst 2009

TMA4240 Statistikk Høst 2009 TMA4240 Statistikk Høst 2009 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer b6 Oppgave 1 Oppgave 11.5 fra læreboka. Oppgave 2 Oppgave 11.21 fra læreboka. Oppgave

Detaljer

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Kap. 13: Lineær korrelasjons- og regresjonsanalyse Kap. 13.1-13.3: Lineær korrelasjonsanalyse. Disse avsnitt er ikke pensum,

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Hypotesetesting (kp. 6) Hypotesetesting, innledning. Kp.

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Hypotesetesting (kp. 6) Hypotesetesting, innledning. Kp. ÅMA Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 8 Kp. 6 Hypotesetesting Hypotesetesting (kp. 6) Tre deler av faget/kurset:. Beskrivende statistikk. Sannsynlighetsteori, sannsynlighetsregning 3. Statistisk

Detaljer

1 Section 6-2: Standard normalfordelingen. 2 Section 6-3: Anvendelser av normalfordelingen. 3 Section 6-4: Observator fordeling

1 Section 6-2: Standard normalfordelingen. 2 Section 6-3: Anvendelser av normalfordelingen. 3 Section 6-4: Observator fordeling 1 Section 6-2: Standard normalfordelingen 2 Section 6-3: Anvendelser av normalfordelingen 3 Section 6-4: Observator fordeling 4 Section 6-5: Sentralgrenseteoremet Oversikt Kapittel 6 Kontinuerlige tilfeldige

Detaljer

TMA4240 Statistikk Høst 2015

TMA4240 Statistikk Høst 2015 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer 8, blokk II Løsningsskisse Oppgave 1 Da komponentene danner et parallellsystem, vil systemet fungere dersom minst

Detaljer

Bootstrapping og simulering Tilleggslitteratur for STK1100

Bootstrapping og simulering Tilleggslitteratur for STK1100 Bootstrapping og simulering Tilleggslitteratur for STK1100 Geir Storvik April 2014 (oppdatert April 2016) 1 Introduksjon Simulering av tilfeldige variable (stokastisk simulering) er et nyttig verktøy innenfor

Detaljer

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Kapittel 10: Inferens om to populasjoner

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Kapittel 10: Inferens om to populasjoner ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Kapittel 10: Inferens om to populasjoner Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Kapittel 10: Inferens om to populasjoner Situasjon: Vi ønsker å sammenligne to

Detaljer

TMA4240 Statistikk Eksamen desember 2015

TMA4240 Statistikk Eksamen desember 2015 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4240 Statistikk Eksamen desember 15 Oppgave 1 La den kontinuerlege stokastiske variabelen X ha fordelingsfunksjon (sannsynstettleik

Detaljer

Fra første forelesning:

Fra første forelesning: 2 Fra første forelesning: ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag opulasjon Den mengden av individer/objekter som vi ønsker å analysere. Utvalg En delmengde av populasjonen

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FAG TMA4240 STATISTIKK Mandag 12. desember 2011

LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FAG TMA4240 STATISTIKK Mandag 12. desember 2011 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 10 LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FAG TMA4240 STATISTIKK Mandag 12. desember 2011 Oppgave 1 Oljeleting a) Siden P(A

Detaljer

EKSAMEN I FAG TMA4260 INDUSTRIELL STATISTIKK

EKSAMEN I FAG TMA4260 INDUSTRIELL STATISTIKK Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 12 Faglig kontakt under eksamen: Bo Lindqvist Tlf. 975 89 418 EKSAMEN I FAG TMA4260 INDUSTRIELL STATISTIKK Onsdag

Detaljer

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Kapittel 8: Introduksjon til statistisk inferens

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Kapittel 8: Introduksjon til statistisk inferens ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Kapittel 8: Introduksjon til statistisk inferens Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Statistisk inferens (kap. 8) Statistisk inferens har som mål å tolke/analysere

Detaljer

betyr begivenheten at det blir trukket en rød kule i første trekning og en hvit i andre, mens B1 B2

betyr begivenheten at det blir trukket en rød kule i første trekning og en hvit i andre, mens B1 B2 ECON30: EKSAMEN 06v SENSORVEILEDNING. Det anbefales at de 9 deloppgavene merket med A, B, teller likt uansett variasjon i vanskelighetsgrad. Svarene er gitt i

Detaljer

ÅMA110 Sannsylighetsregning og statistikk Løsningsforslag til eksamen høst 2010, s. 1. Oppgave 1. Histogram over frekvenser.

ÅMA110 Sannsylighetsregning og statistikk Løsningsforslag til eksamen høst 2010, s. 1. Oppgave 1. Histogram over frekvenser. ÅMA1 Sannsylighetsregning og statistikk Løsningsforslag til eksamen høst 0, s. 1 (Det tas forbehold om feil i løsningsforslaget.) a) Gjennomsnitt: x = 1 Emp. standardavvik: Median: 1 (1.33 + 1.) = 1.35

Detaljer

+ S2 Y ) 2. = 6.737 6 (avrundet nedover til nærmeste heltall) n Y 1

+ S2 Y ) 2. = 6.737 6 (avrundet nedover til nærmeste heltall) n Y 1 Løsningsforslag for: MOT10 STATISTISKE METODER 1 VARIGHET: 4 TIMER DATO: 6. november 007 TILLATTE HJELPEMIDLER: Kalkulator: HP0S, Casio FX8 eller TI-0 Tabeller og formler i statistikk (Tapir forlag) MERKNADER:

Detaljer

10.1 Enkel lineær regresjon Multippel regresjon

10.1 Enkel lineær regresjon Multippel regresjon Inferens for regresjon 10.1 Enkel lineær regresjon 11.1-11.2 Multippel regresjon 2012 W.H. Freeman and Company Denne uken: Enkel lineær regresjon Litt repetisjon fra kapittel 2 Statistisk modell for enkel

Detaljer

Oppgave 1. . Vi baserer oss på at p 47 1 og p 2 er tilnærmet normalfordelte (brukbar tilnærming). Vi har tilnærmet at (n 1 = n 2 = 47)

Oppgave 1. . Vi baserer oss på at p 47 1 og p 2 er tilnærmet normalfordelte (brukbar tilnærming). Vi har tilnærmet at (n 1 = n 2 = 47) MOT310 tatistiske metoder 1 Løsningsforslag til eksamen vår 006, s. 1 Oppgave 1 a) En tilfeldig utvalgt besvarelse får F av sensor 1 med sannsynlighet p 1 ; resultatene for ulike besvarelser er uavhengige.

Detaljer

Notasjon og Tabell 8. ST0202 Statistikk for samfunnsvitere

Notasjon og Tabell 8. ST0202 Statistikk for samfunnsvitere 2 Inferens om varians og standardavvik for ett normalfordelt utvalg (9.4) Inferens om variansen til en normalfordelt populasjon bruker kjikvadrat-fordelingen ( chi-square distribution ) (der kji er den

Detaljer

Løsningsforslag til eksamen i TMA4245 Statistikk 7. juni 2007

Løsningsforslag til eksamen i TMA4245 Statistikk 7. juni 2007 Løsningsforslag til eksamen i TMA4245 Statistikk 7. juni 2007 Oppgave 1: Pengespill a) For hver deltaker har vi følgende situasjon: Deltakeren får en serie oppgaver. Hver runde har to mulige utfall: Deltakeren

Detaljer

Kap. 10: Inferens om to populasjoner. Eksempel. ST0202 Statistikk for samfunnsvitere

Kap. 10: Inferens om to populasjoner. Eksempel. ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Kap. 10: Inferens om to populasjoner Situasjon: Vi ønsker å sammenligne to populasjoner med populasjonsgjennomsnitt henholdsvis μ 1 og μ. Vi trekker da ett utvalg fra hver populasjon. ST00 Statistikk for

Detaljer

6.2 Normalfordeling. Høyde kvinner og menn. 6.1 Kontinuerlig uniform fordeling. Kapittel 6

6.2 Normalfordeling. Høyde kvinner og menn. 6.1 Kontinuerlig uniform fordeling. Kapittel 6 3 6.2 Normalfordeling Kapittel 6 Noen kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger TMA4245 V2007: Eirik Mo Normalfordeling: Sannsynlighetstettheten til en normalfordelt stokastisk variabel, X, med forventning

Detaljer

6.1 Kontinuerlig uniform fordeling

6.1 Kontinuerlig uniform fordeling Kapittel 6 Noen kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger TMA4240 H2006: Eirik Mo 2 6.1 Kontinuerlig uniform fordeling Kontinuerlig uniform fordeling: Sannsynlighetstettheten til den kontinuerlige uniforme

Detaljer

Denne uken: kap : Introduksjon til statistisk inferens. - Konfidensintervall - Hypotesetesting - P-verdier - Statistisk signifikans

Denne uken: kap : Introduksjon til statistisk inferens. - Konfidensintervall - Hypotesetesting - P-verdier - Statistisk signifikans Denne uken: kap. 6.1-6.2-6.3: Introduksjon til statistisk inferens - Konfidensintervall - Hypotesetesting - P-verdier - Statistisk signifikans VG 25/9 2011 Statistisk inferens Mål: Trekke konklusjoner

Detaljer

EKSAMEN I TMA4245 STATISTIKK Tysdag 21. mai 2013 Tid: 09:00 13:00 (Korrigert )

EKSAMEN I TMA4245 STATISTIKK Tysdag 21. mai 2013 Tid: 09:00 13:00 (Korrigert ) Noregs teknisk naturvitskaplege universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 5 Nynorsk Fagleg kontakt under eksamen: Håkon Tjelmeland 73593538/48221896 Ola Diserud 93218823 EKSAMEN I TMA4245 STATISTIKK

Detaljer

Eksamensoppgave i TMA4245 Statistikk

Eksamensoppgave i TMA4245 Statistikk Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA4245 Statistikk Faglig kontakt under eksamen: Ingelin Steinsland a, Øyvind Bakke b Tlf: a 73 59 02 39, 926 63 096, b 73 59 81 26, 990 41 673 Eksamensdato:

Detaljer

Denne uken: kap. 6.1-6.2-6.3: Introduksjon til statistisk inferens. - Konfidensintervall - Hypotesetesting - P-verdier - Statistisk signifikans

Denne uken: kap. 6.1-6.2-6.3: Introduksjon til statistisk inferens. - Konfidensintervall - Hypotesetesting - P-verdier - Statistisk signifikans Denne uken: kap. 6.1-6.2-6.3: Introduksjon til statistisk inferens - Konfidensintervall - Hypotesetesting - P-verdier - Statistisk signifikans VG 25/9 2011 Statistisk inferens Mål: Trekke konklusjoner

Detaljer

TMA4240 Statistikk Høst 2016

TMA4240 Statistikk Høst 2016 TMA4240 Statistikk Høst 2016 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Anbefalt øving 11 Oppgavene i denne øvingen dreier seg om hypotesetesting og sentrale begreper

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: ST 101 Innføring i statistikk og sannsynlighetsregning. Eksamensdag: Mandag 30. november 1992. Tid for eksamen: 09.00 15.00.

Detaljer

i x i

i x i TMA4245 Statistikk Vår 2016 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Anbefalte oppgaver 11, blokk II Oppgavene i denne øvingen dreier seg om hypotesetesting og sentrale

Detaljer

Hypotesetesting (kp. 6) ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Tre deler av faget/kurset: 1. Beskrivende statistikk

Hypotesetesting (kp. 6) ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Tre deler av faget/kurset: 1. Beskrivende statistikk ÅMA Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2 Kp. 6 Hypotesetesting Hypotesetesting (kp. 6) Tre deler av faget/kurset:. Beskrivende statistikk 2. Sannsynlighetsteori, sannsynlighetsregning 3. Statistisk

Detaljer

Tyngdepunkt. Togforsinkelsen (Eksamen Des2003.1a) I denne oppgaven kan du bruke uten å vise det at. Kapittel 4

Tyngdepunkt. Togforsinkelsen (Eksamen Des2003.1a) I denne oppgaven kan du bruke uten å vise det at. Kapittel 4 3 Tyngdepunkt Kapittel 4 Forventningsverdi, varians, kovarians for én stokastisk variabel og funksjoner av stokastiske variabler TMA4240 H2006: Eirik Mo 2 4.1 Forventing til en stokastisk variabel DEF

Detaljer

EKSAMEN I TMA4240 Statistikk

EKSAMEN I TMA4240 Statistikk Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 5 Faglig kontakt under eksamen: Henning Omre (909 37848) Mette Langaas (988 47649) EKSAMEN I TMA4240 Statistikk 18.

Detaljer

Oppgaven består av 10 delspørsmål som anbefales å veie like mye. Kommentarer og tallsvar er skrevet inn mellom <<. >>. Oppgave 1

Oppgaven består av 10 delspørsmål som anbefales å veie like mye. Kommentarer og tallsvar er skrevet inn mellom <<. >>. Oppgave 1 ECON 0 EKSAMEN 004 VÅR SENSORVEILEDNING Oppgaven består av 0 delspørsmål som anbefales å veie like mye. Kommentarer og tallsvar er skrevet inn mellom

Detaljer

Fordelinger, mer om sentralmål og variasjonsmål. Tron Anders Moger

Fordelinger, mer om sentralmål og variasjonsmål. Tron Anders Moger Fordelinger, mer om sentralmål og variasjonsmål Tron Anders Moger 20. april 2005 1 Forrige gang: Så på et eksempel med data over medisinerstudenter Lærte hvordan man skulle få oversikt over dataene ved

Detaljer

TMA4240 Statistikk H2010 Kapittel 5: Diskrete sannsynlighetsfordelinger : Uniform, binomisk, hypergeometrisk fordeling

TMA4240 Statistikk H2010 Kapittel 5: Diskrete sannsynlighetsfordelinger : Uniform, binomisk, hypergeometrisk fordeling TMA4240 Statistikk H2010 Kapittel 5: Diskrete sannsynlighetsfordelinger 5.1-5.4: Uniform, binomisk, hypergeometrisk fordeling Mette Langaas 2 Arbeidshverdag etter endt studium Studere et fenomen (f.eks.

Detaljer