ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 Kp. 6, del 3

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 Kp. 6, del 3"

Transkript

1 ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 Kp. 6, del 3 Bjørn H. Auestad Institutt for matematikk og naturvitenskap Universitetet i Stavanger 20. mars Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 1 / 55

2 Oversikt, rep. uke 11 µ, målemodell, 1 µ, målemodell, 2 binomisk; n stor Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 2 / 55

3 Oversikt, rep. uke 11 Oversikt, rep. uke 11 µ, målemodell, 1 µ, målemodell, 2 binomisk; n stor H 0, H 1 ; teststørrelse, nullfordeling, kritisk verdi, forkastningsområde, signifikansnivå Hypotesetesting i ulike sitausjoner: 1. for forventingen, µ, i målemodellen med normalantakelse og kjent varians, σ for forventingen, µ, i målemodellen med n stor og normaltilnærming (variansen, σ 2, ukjent). 3. for suksessannsynligheten, p, i binomisk modell; n stor og normaltilnærming. Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 3 / 55

4 µ, målemodell, normalantakelse, kjent varians Oversikt, rep. uke 11 µ, målemodell, 1 µ, målemodell, 2 binomisk; n stor Målemodellen m/normalantakelse og kjent σ 2 : n målinger: x 1,..., x n ; betraktes som utfall av: X 1,...,X n, u.i.f. tilfeldige variable E(X i ) = µ og Var(X i ) = σ 2, i = 1,...,n X i normalfordelt og σ 2 kjent. Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 4 / 55

5 µ, målemodell, normalantakelse, kjent varians Oversikt, rep. uke 11 µ, målemodell, 1 µ, målemodell, 2 binomisk; n stor Test (m/ sign.nivå α) for H 0 : µ = µ 0 mot H 1 : µ < µ 0 Forkast H 0 dersom X µ 0 σ 2 n z α Test (m/ sign.nivå α) for H 0 : µ = µ 0 mot H 1 : µ > µ 0 Forkast H 0 dersom X µ 0 σ 2 n z α Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 5 / 55

6 µ, målemodell, n stor og tilnærmet normalfordeling Oversikt, rep. uke 11 µ, målemodell, 1 µ, målemodell, 2 binomisk; n stor Målemodellen: n målinger: x 1,...,x n ; betraktes som utfall av: X 1,...,X n, u.i.f. tilfeldige variable E(X i ) = µ og Var(X i ) = σ 2, i = 1,...,n. σ 2 (og µ ) ukjent; (ingen forutsetnning om fordeling til X i ene eller om kjent varians) Estimator for variansen: S 2 = σ 2 = 1 n 1 n i=1 ( Xi X ) 2 Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 6 / 55

7 µ, målemodell, n stor og tilnærmet normalfordeling Oversikt, rep. uke 11 µ, målemodell, 1 µ, målemodell, 2 binomisk; n stor Test (m/ tilnærmet sign.nivå α) for H 0 : µ = µ 0 mot H 1 : µ < µ 0 Forkast H 0 dersom X µ 0 S 2 n z α Test (m/ tilnærmet sign.nivå α) for H 0 : µ = µ 0 mot H 1 : µ > µ 0 Forkast H 0 dersom X µ 0 S 2 n z α Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 7 / 55

8 p, i binomisk modell; n stor og normaltilnærming Oversikt, rep. uke 11 µ, målemodell, 1 µ, målemodell, 2 binomisk; n stor Generelt Situasjon: Binomisk modell (ev. som tilnærming til hypergeom.) Data: antall suksesser av n mulige er registrert. Resultatet betraktes som utfall av den tilfeldige variable Y der Y B(n, p) n og p er slik at fordelingen til Y kan tilnærmes med normalfordelingen. La p = Y n (estimator for p). Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 8 / 55

9 p, i binomisk modell; n stor og normaltilnærming Oversikt, rep. uke 11 µ, målemodell, 1 µ, målemodell, 2 binomisk; n stor Test (m/ tilnærmet sign.nivå α) for Forkast H 0 dersom H 0 : p = p 0 mot H 1 : p < p 0 p p 0 p 0 (1 p 0 ) n z α Test (m/ tilnærmet sign.nivå α) for H 0 : p = p 0 mot H 1 : p > p 0 Forkast H 0 dersom p p 0 p 0 (1 p 0 ) n z α Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 9 / 55

10 binomisk, n Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 10 / 55

11 Oversikt, del 3 binomisk, n Styrke Tosidige tester 1. for forventingen, µ, i målemodellen med normalantakelse og kjent varians, σ for forventingen, µ, i målemodellen med n stor og normaltilnærming (variansen, σ 2, ukjent). 3. for suksessannsynligheten, p, i binomisk modell; n stor og normaltilnærming. Test for p i binomisk modell; n. t-fordeling, t-test, t-intervall Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 11 / 55

12 Styrke binomisk, n Signifikansnivå til test = P(forkaste H 0 H 0 riktig) Dvs.: signifikansnivå til test = P(gjøre type I-feil ) Virkeligheten H 0 riktig H 1 riktig Konklusjon på test: Forkast H 0 I-feil ok! Konklusjon på test: Behold H 0 ok! II-feil Lavt sign.nivå: sannsynlighet for type I-feil. Type II-feil. Sannsynligheten for å ikke gjøre type II-feil når H 1 riktig har med testens styrke å gjøre; jf. kp. 6.4 i boken. Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 12 / 55

13 Styrke binomisk, n Sannsynligheten for å ikke gjøre type II-feil når H 1 riktig: = P(forkaste H 0 H 1 riktig) Virkeligheten H 0 riktig H 1 riktig Konklusjon på test: Forkast H 0 I-feil ok! Konklusjon på test: Behold H 0 ok! II-feil Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 13 / 55

14 Styrke binomisk, n Styrke: = P(forkaste H 0 H 1 riktig) ph-eksempel: Test (m/ sign.nivå α = 0.05) for H 0 : µ = 6.0 mot H 1 : µ < 6.0 (Forkast H 0 dersom X 5.48.) Dersom ph en i virkeligheten var 5.5 (H 1 riktig), hva er da sannsynligheten for at vi vil oppdage det (at H 1 er riktig i virkeligheten)? Tenk: vi skal innhente dataene; vi skal få et utfall av X. Se inntil videre bort fra utfallet (x = 5.27) vi i praksis har. Mao.: Hva er sannsynligheten for å forkaste H 0 (med vår test), dersom i virkeligheten µ = 5.5? Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 14 / 55

15 Styrke binomisk, n Sannsynligheten for å forkaste H 0 (med vår test), dersom i virkeligheten µ = 5.5, er: P(forkaste H0 µ = 5.5) = P(X 5.48 µ = 5.5) = P( X = P(Z 0.06) = µ = 5.5) 1 } 10 {{ } = 0.06 (Her er Z N(0, 1). Kritisk verdi, 5.48 = ) Dvs.: En dag virkelig ph er 5.5, er det 47.61% sjanse for at vi vil konludere at ph< 6 med bruk av vår test. Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 15 / 55

16 Styrke binomisk, n Styrke til testen i alternativet µ = 5.5 Styrken vil åpenbart variere avhengig hvilken alternativ µ-verdi vi betrakter. Styrken til testen er en funksjon av aktuell parameter; her: P(forkaste H 0 µ = µ 1 ) = P(X 5.48 µ = µ 1 ) = P( X µ = P(Z 5.48 µ µ ) = γ(µ 1 ) µ = µ 1 ) Obs.: boken bruker β som symbol for styrke; Vi bruker γ Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 16 / 55

17 Styrke binomisk, n Styrken: γ(µ 1 ) = P(forkaste H 0 µ = µ 1 ) = P(Z 5.48 µ 1) er en funksjon av µ 1 Styrke i alternativene µ 1 = 5.75, 5.25 og 5.0: µ (6.0) 5.48 µ 1 1/ γ(µ 1 ) 0.48 µ (6.0) 5.48 µ 1 1/ γ(µ 1 ) Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 17 / 55

18 Styrke binomisk, n Plott av styrkefunksjonen: Plott av styrkefunksjonen for ph-eksempelet; test m/5% nivå. µ (6.0) 5.48 µ 1 1/ ( 1.645) γ(µ 1 ) (0.05) µ 1 på x-aksen og γ(µ 1 ) på y-aksen. Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 18 / 55

19 Styrke binomisk, n Plott av styrkefunksjonen for ph-eksempelet; test m/5% nivå. 0 Ideell styrkefunksjon: µ 1 på x-aksen og γ(µ 1 ) på y-aksen µ 1 på x-aksen og γ(µ 1 ) på y-aksen. Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 19 / 55

20 Styrke binomisk, n Styrke vs. signifikansnivå For fast n (antall data) kan vi ikke få både lavt sign.nivå og stor styrke. Vi prioriterer lavt sign.nivå. (Usymmetri i valg av H 0 og H 1 ) Lag en test med sign.nivå 0.01 for ph-dataene. Beregn styrken i alternativene 5.75, 5.5, 5.25, og skisser grafen til styrkefunksjonen. Kommenter! Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 20 / 55

21 Styrke binomisk, n Plott av styrkefunksjonen for ph-eksempelet; test m/5% nivå: rød, og test m/1% nivå: grønn µ 1 på x-aksen og γ(µ 1 ) på y-aksen. Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 21 / 55

22 Styrke binomisk, n Generell definisjon... Situasjon og modell fastlagt; test ang. parameteren θ Følgende er også fastlagt: H 0 og H 1 Teststørrelse, sign.nivå og forkastningsområde / kritisk verdi Def.: Styrkefunksjonen, γ, er definert ved: γ(θ) = P(forkaste H 0 θ). For en bestemt verdi θ 1 (slik at H 1 er riktig), kalles sannsynligheten γ(θ 1 ) for styrken i alternativet θ 1. Styrke (ev. tilnærmet styrke) kan finnes for alle testene vi har sett på til nå, på tilsvarende måte som i de to foregående eksemplene. Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 22 / 55

23 Styrke binomisk, n Eksempel, meningsmåling: Resultat: 91 av n = 500 vil stemme aktuelt parti. Er det grunnlag for å hevde at (virkelig) oppslutning har gått ned fra 0.2? Vi vil teste: H 0 : p = 0.2 mot H 1 : p < 0.2 Test med tiln. 5% sign.nivå: Forkast H 0 dersom p = Y/n Styrken til testen er en funksjon av andelen, p. Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 23 / 55

24 Styrke binomisk, n Styrken er en funksjon av andelen, p. For p 1 < 0.2: P(forkaste H 0 p = p 1 ) = P( p 0.17 p = p 1 ) = P( p p 1 p 1 (1 p 1 ) 500 P(Z 0.17 p 1 p 1 (1 p 1 ) p 1 p 1 (1 p 1 ) 500 p (0.2) γ(p 1 ) (0.05) ) = γ(p 1 ) p = p 1 ) Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 24 / 55

25 Oversikt, del 3 binomisk, n Styrke Tosidige tester 1. for forventingen, µ, i målemodellen med normalantakelse og kjent varians, σ for forventingen, µ, i målemodellen med n stor og normaltilnærming (variansen, σ 2, ukjent). 3. for suksessannsynligheten, p, i binomisk modell; n stor og normaltilnærming. Test for p i binomisk modell; n. t-fordeling, t-test, t-intervall Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 25 / 55

26 Tosidige tester binomisk, n Utgangspunkt: målemodellen med normalantakelse og kjent varians. n målinger: x 1,..., x n ; betraktes som utfall av: X 1,...,X n, u.i.f. tilfeldige variable E(X i ) = µ og Var(X i ) = σ 2, i = 1,...,n X i normalfordelt og σ 2 kjent. Test av H 0 : µ = µ 0 mot H 1 : µ < µ 0 Ensidig alternativ ; tilhørende test: Ensidig test (Tilsvarende ved test av H 0 : µ = µ 0 mot H 1 : µ > µ 0 ) Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 26 / 55

27 Tosidige tester binomisk, n Ofte vil man være interessert i å teste: H 0 : µ = µ 0 mot H 1 : µ µ 0 Tosidig alternativ ; tilhørende test: Tosidig test Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 27 / 55

28 Tosidige tester binomisk, n Eksempel: Hardhet til et spesielt stål blir undersøkt; seks målinger (i kg/mm 2 ): 351, 322, 297, 291, 354, 322. Gjennomsnitt: 322.8; Man er interessert i om hardheten er forskjelig fra 300 kg/mm 2. Tyder resultatene på at hardheten er ulik 300? Målemodell med normalantakelse; kjent varians, σ 2 = Forventningen, µ: virkelig hardhet Vil teste: H 0 : µ = 300 mot H 1 : µ 300 Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 28 / 55

29 Tosidige tester binomisk, n Vil teste: H 0 : µ = 300 mot H 1 : µ 300 Under H 0 er (teststørrelse, nullfordeling) Z = X N(0, 1) Forkaster H 0 dersom µ = X peker klart i retning av at H 1 er korrekt. Test (m/sign.nivå α): Forkast H 0 dersom Z z α/2 eller Z z α/ N(0, 1) tetthet Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 29 / 55

30 Tosidige tester binomisk, n Gjennomføring av test på 5% nivå: Sign.nivå, α = 0.05 α/2 = 0.025; z = 1.96 Data: Utfall av: X : = 2.23 Siden 2.23 > z = 1.96, kan vi forkaste H 0. Dataene tyder på at virkelig hardhet, µ, er ulik 300 kg/mm 2. Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 30 / 55

31 Tosidig test, binomisk, n Generelt; tosidig test for µ i målemodellen med normalantakelse og kjent varians, σ 2 : Teststørrelse: Z = X µ 0 σ 2 n Test (m/ sign.nivå α) for H 0 : µ = µ 0 mot H 1 : µ µ 0 Forkast H 0 dersom, Nullfordeling: N(0, 1) Z z α/2 eller Z z α/ N(0, 1) tetthet Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 31 / 55

32 Tosidig test, binomisk, n Generelt; tosidig test for µ i målemodellen med n stor og normaltilnærming: Teststørrelse: Z = X µ 0 S 2 n Test (m/ tilnærmet sign.nivå α) for H 0 : µ = µ 0 mot H 1 : µ µ 0 Forkast H 0 dersom, Nullfordeling: N(0, 1), (tiln.) Z z α/2 eller Z z α/ N(0, 1) tetthet Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 32 / 55

33 Tosidig test, binomisk, n Generelt; tosidig test for p i binomisk modell med n stor og normaltilnærming: Teststørrelse: Z = p p 0 p 0 (1 p 0 ) n Test (m/ tilnærmet sign.nivå α) for H 0 : p = p 0 mot H 1 : p p 0 Forkast H 0 dersom, Nullfordeling: N(0, 1), (tiln.) Z z α/2 eller Z z α/ N(0, 1) tetthet Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 33 / 55

34 Oversikt, del 3 binomisk, n Styrke Tosidige tester 1. for forventingen, µ, i målemodellen med normalantakelse og kjent varians, σ for forventingen, µ, i målemodellen med n stor og normaltilnærming (variansen, σ 2, ukjent). 3. for suksessannsynligheten, p, i binomisk modell; n stor og normaltilnærming. Test for p i binomisk modell; n. t-fordeling, t-test, t-intervall Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 34 / 55

35 Test, binomisk, n binomisk, n Test for p i binomisk modell, n Eksempel: En ny medisin for en bestemt sykdom skal prøves ut. Gammel medisin for denne sykdommen helbreder i 60% av tilfellene (fastslått etter lang tids erfaring). Forsøk for å prøve ut den nye: 20 tilfeldig valgte individ med sykdommen får medisinen og det blir registrert at 14 blir helbredet; 14 av 20 er 70%. Tyder dette resultatet på at den nye er bedre enn den gamle? Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 35 / 55

36 Test, binomisk, n binomisk, n Statistisk tenking: Vi betrakter resultatet (14 av 20 helbredet) som utfall av en tilfeldig variabel Y, der Y B(n, p), n = 20, p: ukjent. Obs.: det er rimelig med binomisk fordeling for Y! p er helbredelsessannsynligheten for ny medisin. For den gamle har vi: p = 0.6. Vi vil teste H 0 : p = 0.6 mot H 1 : p > 0.6 Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 36 / 55

37 Test, binomisk, n binomisk, n Vi vil teste H 0 : p = 0.6 mot H 1 : p > 0.6 Teststørrelse: Y ; nullfordeling: Y B(20, 0.6): Dette beskriver hva som er tenkelige utfall under H 0 Store verdier av Y indikerer at H 1 er riktig. Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 37 / 55

38 Test, binomisk, n binomisk, n Store verdier av Y indikerer at H 1 er riktig. Derfor: Test: Forkast H 0 dersom Y k, der k (kritisk verdi) er slik at testen får ønsket signifikansnivå (...). Kritisk verdi, k, finnes vha. binomisk tabell (n = 20, p = 0.6) slik at sign.nivå = P(forkaste H 0 H 0 riktig) = P(Y k p = 0.6) er nærmest mulig ønsket sign.nivå Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 38 / 55

39 Test, binomisk, n binomisk, n Fra binomisk tabell: y P(Y y) Vi må prøve oss fram med forskjellige verdier av k. Dersom vi ønsker sign.nivå (nærmest mulig) 0.05, ser vi at P(Y 16) = 1 P(Y 15) = = Dvs., med k = 16 får vi en test med sign.nivå Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 39 / 55

40 Test, binomisk, n binomisk, n Gjennomføring/konklusjon: Data: utfall av Y : 14 k = 16 Konklusjon: behold H 0 ; Det er ikke grunnlag for å påstå at ny medisin har høyere helbredelsessannsynlighet. Skisser styrkefunksjonen til denne testen! Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 40 / 55

41 Tosidig test, binomisk, n binomisk, n Eksempel: Vi har gjort 20 kast med terning; 6 gav partall. Vi er interessert i p = P(partall). Vi betrakter resultatet (6 partall av 20 kast ) som utfall av en tilfeldig variabel Y, der Y B(n, p), n = 20, p: ukjent. Vil teste H 0 : p = 0.5 mot H 1 : p 0.5; Ønsker å bruke signifikansnivå Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 41 / 55

42 Tosidig test, binomisk, n binomisk, n Vi vil teste H 0 : p = 0.5 mot H 1 : p 0.5 Teststørrelse: Y ; nullfordeling: Y B(20, 0.5): Dette beskriver hva som er tenkelige utfall under H 0 Store eller små verdier av Y indikerer at H 1 er riktig. Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 42 / 55

43 Tosidig test, binomisk, n binomisk, n Store eller små verdier av Y indikerer at H 1 er riktig. Derfor: Test: Forkast H 0 dersom Y k 1 eller dersom Y k 2, der k 1 og k 2 (kritiske verdier) er slik at testen får ønsket signifikansnivå (...). k 1 og k 2, finnes vha. binomisk tabell (n = 20, p = 0.5) slik at sign.nivå = P(forkaste H 0 H 0 riktig) = P(Y k 1 p = 0.5) + P(Y k 2 p = 0.5) er nærmest mulig ønsket sign.nivå Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 43 / 55

44 Tosidig test, binomisk, n binomisk, n Fra binomisk tabell: y P(Y y) Vi må prøve oss fram med forskjellige verdier av k 1 og k 2. Dersom vi ønsker sign.nivå (nærmest mulig) 0.05, ser vi at P(Y 5) = , og P(Y 15) = 1 P(Y 14) = = Dvs., med k 1 = 5 og k 2 = 15 får vi en test med sign.nivå = Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 44 / 55

45 Tosidig test, binomisk, n binomisk, n Gjennomføring/konklusjon: Data: utfall av Y : 6 k 1 = 5 (eller større enn k 2 ) Konklusjon: behold H 0 ; Det er ikke grunnlag for å påstå at p 0.5. Skisser styrkefunksjonen til denne testen! Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 45 / 55

46 Oversikt, del 3 binomisk, n Styrke Tosidige tester 1. for forventingen, µ, i målemodellen med normalantakelse og kjent varians, σ for forventingen, µ, i målemodellen med n stor og normaltilnærming (variansen, σ 2, ukjent). 3. for suksessannsynligheten, p, i binomisk modell; n stor og normaltilnærming. Test for p i binomisk modell; n. t-fordeling, t-test, t-intervall Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 46 / 55

47 t-fordeling binomisk, n Rett på definisjon: Utgangspunktet er målemodellen med normalantakelse: X 1,...,X n, u.i.f. tilf. var. der X i N(µ, σ 2 ). La σ 2 = S 2 = 1 n 1 n i=1 (X i X) 2, og T = X µ S 2 n Def. Student s t-fordeling: Dersom X 1,...,X n, er n u.i.f. tilf. var. der X i er normalfordelt med forventning µ og varians σ 2, i = 1,...,n, så er T (Student s) t-fordelt med n 1 frihetsgrader: T t(n 1) Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 47 / 55

48 t-fordeling Obs: I den beskrevne situasjonen har vi: X µ σ 2 n N(0, 1) og X µ S 2 n t(n 1) binomisk, n Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 48 / 55

49 t-fordeling Egenskaper til t-fordelingen: binomisk, n n(x) f1(x) f2(x) f15(x) t-fordelingen er avhengig av n. Den blir mer og mer lik N(0, 1)-fordelingen når n øker. symmetrisk omkring 0 tyngre haler enn N(0, 1)-fordelingen t-tabell!! Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 49 / 55

50 t-fordeling Fraktiler i t-fordelingen: binomisk, n Def. t α,d Dersom T er (Student s) t- fordelt med d frihetsgrader, defineres tallet t α,d ved at P(T > t α,d ) = α. Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 50 / 55

51 t-test Situasjon der vi bruker t-test: binomisk, n Målemodellen m/normalantakelse og ukjent varians, σ 2 : n målinger: x 1,..., x n ; betraktes som utfall av: X 1,...,X n, u.i.f. tilfeldige variable E(X i ) = µ og Var(X i ) = σ 2, i = 1,...,n X i normalfordelt og σ 2 ukjent. Obs. 1: X i normalfordelt Obs. 2: n (Dersom n er stor, trenger vi ikke bry oss med t-fordeling.) Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 51 / 55

52 t-test binomisk, n Eksempel: 10 blodsukkerinnh.målinger: 4.1, 5.1, 4.3, 3.8, 3.7, 5.2, 4.5, 4.8, 3.6, 4.4 Ønsker å teste H 0 : µ = 4.0 mot H 1 : µ > 4.0 Vi antar at: De n = 10 målingene: x 1,..., x n ; kan betraktes som utfall av: X 1,...,X n, u.i.f. tilfeldige variable, der E(X i ) = µ og Var(X i ) = σ 2, i = 1,...,n, og der X i er normalfordelt og σ 2 er ukjent. Variansen,σ 2 estimeres med: σ 2 = S 2 = 1 n 1 n i=1 (X i X) 2 Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 52 / 55

53 t-test binomisk, n Vil teste: H 0 : µ = 4 mot H 1 : µ > 4 Under H 0 er (teststørrelse, nullfordeling) T = X 4 S 2 10 t(9) Forkaster H 0 dersom µ = X peker klart i retning av at H 1 er korrekt. Test (m/sign.nivå α): Forkast H 0 dersom f9(x) 0.1 Z t α/2, t(9) tetthet Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 53 / 55

54 t-test binomisk, n Gjennomføring av test på 5% nivå: Sign.nivå, α = 0.05 t 0.05,9 = 1.83 Data: (Gj.sn. = 4.35, emp. varians = ) Utfall av: X 4 S 2 10 : = Siden > t 0.05,9 = 1.83, kan vi forkaste H 0. Dataene tyder på at virkelig blodsukkerinnhold, µ, er større enn 4. Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 54 / 55

55 t-test Generelt, tosidig... binomisk, n Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 55 / 55

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 Kp. 6, del 3

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 Kp. 6, del 3 ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 Kp. 6, del 3 Bjørn H. Auestad Institutt for matematikk og naturvitenskap Universitetet i Stavanger 20. mars Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 Kp. 6, del 4

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 Kp. 6, del 4 ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 Kp. 6, del 4 Bjørn H. Auestad Institutt for matematikk og naturvitenskap Universitetet i Stavanger 27. mars Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 Kp. 6, del 4 Bjørn H. Auestad Institutt for matematikk og naturvitenskap Universitetet i Stavanger 3. april Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Hypotesetesting (kp. 6) Hypotesetesting. Kp. 6 Hypotesetesting ...

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Hypotesetesting (kp. 6) Hypotesetesting. Kp. 6 Hypotesetesting ... ÅMA Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 6 Kp. 6 (kp. 6)... Begrep: nullhypotese alternativhypotese ensidig, tosidig teststørrelse (testobservator) nullfordeling kritisk verdi, forkastningsområde

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Hypotesetesting (kp. 6) Hypotesetesting, innledning. Kp.

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Hypotesetesting (kp. 6) Hypotesetesting, innledning. Kp. ÅMA Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 8 Kp. 6 Hypotesetesting Hypotesetesting (kp. 6) Tre deler av faget/kurset:. Beskrivende statistikk. Sannsynlighetsteori, sannsynlighetsregning 3. Statistisk

Detaljer

Hypotesetesting (kp. 6) ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Tre deler av faget/kurset: 1. Beskrivende statistikk

Hypotesetesting (kp. 6) ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Tre deler av faget/kurset: 1. Beskrivende statistikk ÅMA Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2 Kp. 6 Hypotesetesting Hypotesetesting (kp. 6) Tre deler av faget/kurset:. Beskrivende statistikk 2. Sannsynlighetsteori, sannsynlighetsregning 3. Statistisk

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010 Oppsummering

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010 Oppsummering ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010 Oppsummering Bjørn H. Auestad Institutt for matematikk og naturvitenskap Universitetet i Stavanger 21. april Bjørn H. Auestad Oppsummering våren

Detaljer

(Det tas forbehold om feil i løsningsforslaget.) Oppgave 1

(Det tas forbehold om feil i løsningsforslaget.) Oppgave 1 ÅMA1 Sannsylighetsregning og statistikk Løsningsforslag til eksamen vår 2011, s. 1 (Det tas forbehold om feil i løsningsforslaget.) Oppgave 1 a) Data: x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 Gjennomsnitt: x = 1 5 (x 1

Detaljer

ÅMA110 Sannsylighetsregning og statistikk Løsningsforslag til eksamen høst 2010, s. 1. Oppgave 1. Histogram over frekvenser.

ÅMA110 Sannsylighetsregning og statistikk Løsningsforslag til eksamen høst 2010, s. 1. Oppgave 1. Histogram over frekvenser. ÅMA1 Sannsylighetsregning og statistikk Løsningsforslag til eksamen høst 0, s. 1 (Det tas forbehold om feil i løsningsforslaget.) a) Gjennomsnitt: x = 1 Emp. standardavvik: Median: 1 (1.33 + 1.) = 1.35

Detaljer

ÅMA 110 SANNSYNLIGHETSREGNING MED STATISTIKK Løsningsforslag til regneøving nr. 12 (s. 34)

ÅMA 110 SANNSYNLIGHETSREGNING MED STATISTIKK Løsningsforslag til regneøving nr. 12 (s. 34) ÅMA 110 SANNSYNLIGHETSREGNING MED STATISTIKK Løsningsforslag til regneøving nr. s. 34 Oppgave.1 Situasjon betraktes som 7 Bernoulliforsøk; Suksess: dyr velger belønning 1, motsatt fiasko. P suksess = p;

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010 Kp. 6, del 4

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010 Kp. 6, del 4 ÅMA11 Sasylighetsregig med statistikk, våre 21 Kp. 6, del 4 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap Uiversitetet i Stavager 22. mars Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 4 1/ 29 Bjør

Detaljer

ÅMA 110 (TE 199) Sannsylighetsregning og statistikk Løsningsforslag til eksamen vår 2005, s. 1. Oppgave 1

ÅMA 110 (TE 199) Sannsylighetsregning og statistikk Løsningsforslag til eksamen vår 2005, s. 1. Oppgave 1 ÅMA 0 (TE 99) Sannsylighetsregning og statistikk Løsningsforslag til eksamen vår 005, s. Oppgave a) P (X 0) 0.04 + 0.04 + 0.06 + 0.06 + 0. + 0. + 0. 0.6 P (0 X 40) 0.0 + 0.0 + 0.04 + 0.04 + 0.06 0.0 P

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2008 Kp. 6, del 5

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2008 Kp. 6, del 5 ÅMA110 Sasylighetsregig med statistikk, våre 2008 Kp. 6, del 5 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap Uiversitetet i Stavager 26. mars Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 5 1/ 53

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 Kp. 6, del 5

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 Kp. 6, del 5 ÅMA110 Sasylighetsregig med statistikk, våre 2006 Kp. 6, del 5 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap Uiversitetet i Stavager 3. april Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 5 1 / 56

Detaljer

Fasit for tilleggsoppgaver

Fasit for tilleggsoppgaver Fasit for tilleggsoppgaver Uke 5 Oppgave: Gitt en rekke med observasjoner x i (i = 1,, 3,, n), definerer vi variansen til x i som gjennomsnittlig kvadratavvik fra gjennomsnittet, m.a.o. Var(x i ) = (x

Detaljer

Kp. 9.8 Forskjell mellom to forventninger

Kp. 9.8 Forskjell mellom to forventninger andeler I analysene skal vi se på situasjonene der σx og σ Y er kjente; normalantakelse a σx og σ Y er ukjente men σ X = σ Y ; normalantakelse og b σx og σ Y er ukjente og σ X σ Y ; normalantakelse 3 og

Detaljer

Hypotesetesting, del 4

Hypotesetesting, del 4 Oversikt, del 4 t-fordelig t-test t-itervall Del 5 Kofidesitervall vs. test p-verdi t-fordelig Rett på defiisjo: Utgagspuktet er målemodelle med ormalatakelse: X 1,...,X,u.i.f.tilf.var.derX i Nμ, σ 2 ).La

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007 Kp. 6, del 5. Hypotesetesting, del 5

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007 Kp. 6, del 5. Hypotesetesting, del 5 ÅMA11 Sasylighetsregig med statistikk, våre 7 Kp. 6, del 5 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap Uiversitetet i Stavager 26. mars Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 5 1/ 59 Bjør

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2008 Kp. 6, del 5

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2008 Kp. 6, del 5 ÅMA110 Sasylighetsregig med statistikk, våre 2008 Kp. 6, del 5 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap Uiversitetet i Stavager 3. april Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 5 1/ 56

Detaljer

Oversikt, del 5. Vi har sett på styrkefunksjon for ensidige tester. Eksempler (styrke, dimensjonering,...) Eksempler fra slutten av forrige uke

Oversikt, del 5. Vi har sett på styrkefunksjon for ensidige tester. Eksempler (styrke, dimensjonering,...) Eksempler fra slutten av forrige uke Hypotesetestig, del 4 oppsummerig fra Hypotesetestig, del 5 Kofidesitervall dimesjoerig Oversikt, del 5 Eksempler fra slutte av forrige uke Kofidesitervall p-verdi Eksempler Eksempler styrke, dimesjoerig,...

Detaljer

Eksempler fra slutten av forrige uke. Eksempler (styrke, dimensjonering,...) Eksempler fra slutten av forrige uke

Eksempler fra slutten av forrige uke. Eksempler (styrke, dimensjonering,...) Eksempler fra slutten av forrige uke Oversikt, del 5 Hypotesetestig, del 4 (oppsummerig fra Hypotesetestig, del 5 Kofidesitervall dimesjoerig Eksempler fra slutte av forrige uke Kofidesitervall p-verdi Eksempler Eksempler (styrke, dimesjoerig,...

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007 Kp. 6, del 4. Hypotesetesting, del 4

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007 Kp. 6, del 4. Hypotesetesting, del 4 ÅMA11 Sasylighetsregig med statistikk, våre 27 Kp. 6, del 4 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap Uiversitetet i Stavager 19. mars Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 4 1/ 27 Bjør

Detaljer

Oppgave 1. . Vi baserer oss på at p 47 1 og p 2 er tilnærmet normalfordelte (brukbar tilnærming). Vi har tilnærmet at (n 1 = n 2 = 47)

Oppgave 1. . Vi baserer oss på at p 47 1 og p 2 er tilnærmet normalfordelte (brukbar tilnærming). Vi har tilnærmet at (n 1 = n 2 = 47) MOT310 tatistiske metoder 1 Løsningsforslag til eksamen vår 006, s. 1 Oppgave 1 a) En tilfeldig utvalgt besvarelse får F av sensor 1 med sannsynlighet p 1 ; resultatene for ulike besvarelser er uavhengige.

Detaljer

Kapittel 9 og 10: Hypotesetesting

Kapittel 9 og 10: Hypotesetesting Kapittel 9 og 1: Hypotesetesting Hypotesetesting er en standard vitenskapelig fremgangsmåte for å sjekke påstander. Generell problemstilling: Basert på informasjonen i data fra et tilfeldig utvalg ønsker

Detaljer

Høgskolen i Telemark. Institutt for økonomi og informatikk FORMELSAMLING Statistikk I. Til bruk ved eksamen. Per Chr. Hagen

Høgskolen i Telemark. Institutt for økonomi og informatikk FORMELSAMLING Statistikk I. Til bruk ved eksamen. Per Chr. Hagen Høgskolen i Telemark Institutt for økonomi og informatikk FORMELSAMLING 6005 Statistikk I Til bruk ved eksamen Per Chr. Hagen . Sannsynlighetsregning. Regneregler Komplementsetningen: Addisjonssetningen:

Detaljer

Hypotesetesting. Hvorfor og hvordan? Gardermoen 21. april 2016 Ørnulf Borgan. H. Aschehoug & Co Sehesteds gate 3, 0102 Oslo Tlf:

Hypotesetesting. Hvorfor og hvordan? Gardermoen 21. april 2016 Ørnulf Borgan. H. Aschehoug & Co Sehesteds gate 3, 0102 Oslo Tlf: Hypotesetesting Hvorfor og hvordan? Gardermoen 21. april 2016 Ørnulf Borgan H. Aschehoug & Co Sehesteds gate 3, 0102 Oslo Tlf: 22 400 400 www.aschehoug.no 1 Oversikt Sannsynlighetsregning og statistikk

Detaljer

TMA4240 Statistikk Høst 2009

TMA4240 Statistikk Høst 2009 TMA4240 Statistikk Høst 2009 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer b5 Løsningsskisse Oppgave 1 Vi ønsker å finne ut om et nytt serum kan stanse leukemi.

Detaljer

Kandidatene 4507, 4542, 4545 og 4569 har meget gode besvarelser supert!

Kandidatene 4507, 4542, 4545 og 4569 har meget gode besvarelser supert! MOT 310 Statistiske metoder 1 Løsningsforslag til eksamen høst 2006, s. 1 Flott! Samlet sett leverer dere gode resultater. Kandidatene 4507, 4542, 4545 og 4569 har meget gode besvarelser supert! Totalt

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 ÅMA110 Sasylighetsregig med statistikk, våre 2006 Kp. 6, del 2 Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesig del 2 1/ 38 Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesig del 2 2/ 38 Oversikt 1. Hva er hypotesetestig? 2. Hypotesetestig

Detaljer

Hypotesetesting. Formulere en hypotesetest: Når vi skal test om en parameter θ kan påstås å være større enn en verdi θ 0 skriver vi dette som:

Hypotesetesting. Formulere en hypotesetest: Når vi skal test om en parameter θ kan påstås å være større enn en verdi θ 0 skriver vi dette som: Hypotesetesting. 10 og fore- Dekkes av pensumsidene i kap. lesingsnotatene. Hypotesetesting er en systematisk fremgangsmåte for å undersøke hypoteser (påstander) knyttet til parametre i sannsynlighetsfordelinger.

Detaljer

Rep.: generelle begrep og definisjoner Kp. 10.1, 10.2 og 10.3

Rep.: generelle begrep og definisjoner Kp. 10.1, 10.2 og 10.3 Kp. 1, oversikt ; oversikt, t- ; oversikt ; stor ; Hypoteseig; ett- og to-utvalg Rep.: geerelle begrep og defiisjoer Kp. 1.1, 1.2 og 1.3 Rep.: ett-utvalgser for μ (...), p Kp. 1 og 1.8 Nytt: ett-utvalgs

Detaljer

Oppgave 1. X 1 B(n 1, p 1 ) X 2. Vi er interessert i forskjellen i andeler p 1 p 2, som vi estimerer med. p 1 p 2 = X 1. n 1 n 2.

Oppgave 1. X 1 B(n 1, p 1 ) X 2. Vi er interessert i forskjellen i andeler p 1 p 2, som vi estimerer med. p 1 p 2 = X 1. n 1 n 2. Løsningsforslag til eksamen i MOT310 STATISTISKE METODER 1 VARIGHET: 4 TIMER DATO: 17 november 2008 TILLATTE HJELPEMIDLER: Kalkulator: HP30S, Casio FX82 eller TI-30 Tabeller og formler i statistikk Tapir

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007 Kp. 6, del 2

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007 Kp. 6, del 2 ÅMA11 Sasylighetsregig med statistikk, våre 27 Kp. 6, del 2 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap 5. mars 21 Bjør H. Auestad Kp. 6: del 1/2 1/ 42 Bjør H. Auestad Kp. 6: del 1/2 2/ 42

Detaljer

MOT 310 Statistiske metoder 1 Løsningsforslag til eksamen høst 2006, s. 1. Oppgave 1

MOT 310 Statistiske metoder 1 Løsningsforslag til eksamen høst 2006, s. 1. Oppgave 1 MOT 310 Statistiske metoder 1 Løsningsforslag til eksamen høst 2006, s. 1 Oppgave 1 a) Normalantakelse: Målingene x 1,..., x 21 og y 1,..., y 8 betraktes som utfall av tilfeldige variable X 1,..., X 21

Detaljer

Oppgave 1. a) Anlysetype: enveis variansanalyse (ANOVA). Modell for y ij = ekspedisjonstid nr. j for skrankeansatt nr. i:

Oppgave 1. a) Anlysetype: enveis variansanalyse (ANOVA). Modell for y ij = ekspedisjonstid nr. j for skrankeansatt nr. i: MOT310 tatistiske metoder 1 Løsningsforslag til eksamen høst 010, s 1 Oppgave 1 a) Anlysetype: enveis variansanalyse (ANOVA) Modell for y ij ekspedisjonstid nr j for skrankeansatt nr i: Y ij µ i + ε ij,

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG ) = Dvs

LØSNINGSFORSLAG ) = Dvs LØSNINGSFORSLAG 12 OPPGAVE 1 D j er differansen mellom måling j med metode A og metode B. D j N(µ D, 0.1 2 ). H 0 : µ D = 0 mot alternativet H 1 : µ D > 0. Vi forkaster om ˆµ D > k Under H 0 er ˆµ D =

Detaljer

MOT310 Statistiske metoder 1, høsten 2011

MOT310 Statistiske metoder 1, høsten 2011 MOT310 Statistiske metoder 1, høsten 2011 Bjørn H. Auestad Institutt for matematikk og naturvitenskap Universitetet i Stavanger 30. oktober, 2011 Bjørn H. Auestad Kp. 13: Én-faktor eksperiment 1 / 15 -tabell

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010 Kp. 6, del 5

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010 Kp. 6, del 5 ÅMA110 Sasylighetsregig med statistikk, våre 2010 Kp. 6, del 5 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap Uiversitetet i Stavager 12. april Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 4 1/ 59

Detaljer

Econ 2130 uke 16 (HG)

Econ 2130 uke 16 (HG) Econ 213 uke 16 (HG) Hypotesetesting I Løvås: 6.4.1 6, 6.5.1-2 1 Testing av µ i uid modellen (situasjon I Z-test ). Grunnbegreper. Eksempel. En lege står overfor følgende problemstilling. Standardbehandling

Detaljer

TMA4245 Statistikk Eksamen desember 2016

TMA4245 Statistikk Eksamen desember 2016 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4245 Statistikk Eksamen desember 2016 Oppgave 1 En bedrift produserer elektriske komponenter. Komponentene kan ha to typer

Detaljer

TMA4240 Statistikk Høst 2007

TMA4240 Statistikk Høst 2007 TMA4240 Statistikk Høst 2007 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer b4 Løsningsskisse Oppgave 1 Eksamen juni 1999, oppgave 3 av 3 a) µ populasjonsgjennomsnitt,

Detaljer

TMA4240 Statistikk H2010

TMA4240 Statistikk H2010 TMA4240 Statistikk H2010 Statistisk inferens: 8.1: Tilfeldig utvalg 9.1-9.3: Estimering Mette Langaas Foreleses uke 40, 2010 2 Utfordring Ved en bedrift produseres en elektrisk komponent. Komponenten må

Detaljer

Utfordring. TMA4240 Statistikk H2010. Mette Langaas. Foreleses uke 40, 2010

Utfordring. TMA4240 Statistikk H2010. Mette Langaas. Foreleses uke 40, 2010 TMA4240 Statistikk H2010 Statistisk inferens: 8.1: Tilfeldig utvalg 9.1-9.3: Estimering Mette Langaas Foreleses uke 40, 2010 2 Utfordring Ved en bedrift produseres en elektrisk komponent. Komponenten må

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2011

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2011 ÅMA0 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 0 Kp. 3 Diskrete tilfeldige variable Noen viktige sannsynlighetsmodeller Noen viktige sannsynlighetsmodeller ( Sanns.modell : nå betyr det klasse/type sanns.fordeling.

Detaljer

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Statistisk inferens (kap. 8) Statistisk inferens er å tolke/analysere resultater fra utvalget for å finne ut mest mulig

Detaljer

Hypotesetesting. mot. mot. mot. ˆ x

Hypotesetesting. mot. mot. mot. ˆ x Kapittel 6.4-6.5: ypotesetesting ypotesetesting er en standard vitenskapelig fremgangsmåte for å sjekke påstander. Generell problemstilling: Basert på informasjonen i data fra et tilfeldig utvalg ønsker

Detaljer

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Statistisk inferens (kap. 8) Statistisk inferens er å tolke/analysere resultater fra utvalget for å finne ut mest mulig

Detaljer

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Kap. 10: Inferens om to populasjoner Situasjon: Vi ønsker å sammenligne to populasjoner med populasjonsgjennomsnitt henholdsvis

Detaljer

TMA4240 Statistikk H2010 (22)

TMA4240 Statistikk H2010 (22) TMA4240 Statistikk H2010 (22) 10.11-10.12: Testing av andelser 10.13: Testing av varians i ett N utvalg Mette Langaas Foreleses onsdag 3.november, 2010 2 Laban strakk seg ikke lenger, men smaker den bedre?

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Kp. 3 Diskrete tilfeldige variable. Diskrete tilfeldige variable, varians (kp. 3.

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Kp. 3 Diskrete tilfeldige variable. Diskrete tilfeldige variable, varians (kp. 3. ÅMA Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 8 Kp. Diskrete tilfeldige variable Kp. Diskrete tilfeldige variable Har sett på (tidligere: begrep/definisjoner; tilfeldig (stokastisk variabel sannsynlighetsfordeling

Detaljer

TMA4240 Statistikk 2014

TMA4240 Statistikk 2014 TMA4240 Statistikk 2014 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer 12, blokk II Oppgave 1 På ein av vegane inn til Trondheim er UP interessert i å måle effekten

Detaljer

Statistisk inferens (kap. 8) Hovedtyper av statistisk inferens. ST0202 Statistikk for samfunnsvitere

Statistisk inferens (kap. 8) Hovedtyper av statistisk inferens. ST0202 Statistikk for samfunnsvitere 2 Statistisk inferens (kap. 8) Statistisk inferens er å tolke/analysere resultater fra utvalget for å finne ut mest mulig om populasjonen. Konkret: Analysere en observator for å finne ut noe om korresponderende

Detaljer

2. Hypotesetesting i ulike sitausjoner: i. for forventingen, μ, i målemodellen med normalantakelse og kjent varians, σ 2.

2. Hypotesetesting i ulike sitausjoner: i. for forventingen, μ, i målemodellen med normalantakelse og kjent varians, σ 2. Oversikt 1. Hva er hypotesetestig? 2. i ulike sitausjoer: i. for forvetige, μ, med ormalatakelse og kjet varias, σ 2. ii. for forvetige, μ, med stor og ormaltilærmig (variase, σ 2, ukjet). iii. for suksessasylighete,

Detaljer

Statistisk inferens (kap. 8) Hovedtyper av statistisk inferens. ST0202 Statistikk for samfunnsvitere

Statistisk inferens (kap. 8) Hovedtyper av statistisk inferens. ST0202 Statistikk for samfunnsvitere 2 Statistisk inferens (kap. 8) Statistisk inferens er å tolke/analysere resultater fra utvalget for å finne ut mest mulig om populasjonen. Konkret: Å analysere en utvalgsobservator for å trekke slutninger

Detaljer

Kapittel 8: Tilfeldige utvalg, databeskrivelse og fordeling til observatorar, Kapittel 9: Estimering

Kapittel 8: Tilfeldige utvalg, databeskrivelse og fordeling til observatorar, Kapittel 9: Estimering Kapittel 8: Tilfeldige utvalg, databeskrivelse og fordeling til observatorar, Kapittel 9: Estimering TMA4245 Statistikk Kapittel 8.1-8.5. Kapittel 9.1-9.3+9.15 Turid.Follestad@math.ntnu.no p.1/21 Har sett

Detaljer

i x i

i x i TMA4245 Statistikk Vår 2016 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Anbefalte oppgaver 11, blokk II Oppgavene i denne øvingen dreier seg om hypotesetesting og sentrale

Detaljer

TMA4240 Statistikk Høst 2016

TMA4240 Statistikk Høst 2016 TMA4240 Statistikk Høst 2016 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Anbefalt øving 11 Oppgavene i denne øvingen dreier seg om hypotesetesting og sentrale begreper

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007 ÅMA Sasylighetsregig med statistikk, våre 27 Kp. 6 (kp. 6) Tre deler av faget/kurset:. Beskrivede statistikk 2. Sasylighetsteori, sasylighetsregig 3. Statistisk iferes estimerig kofidesitervall hypotesetestig

Detaljer

TMA4240 Statistikk Høst 2015

TMA4240 Statistikk Høst 2015 TMA4240 Statistikk Høst 2015 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer 11, blokk II I denne øvingen skal vi fokusere på hypotesetesting. Vi ønsker å gi dere

Detaljer

β(µ) = P(akseptere H 1 µ)

β(µ) = P(akseptere H 1 µ) Sentrale begreper for hypotesetesting Begrep Nullhypotesen H 0 Definisjon/forklaring Utrykker "status quo"/"situation normal"/"ting er slik produsenter påstår"/"alt er greit" Signifikansnivå α Sannsynligheten

Detaljer

TMA4240 Statistikk H2010

TMA4240 Statistikk H2010 TMA4240 Statistikk H2010 Statistisk inferens: 9.6: Prediksjonsintervall 9.8: To utvalg, differanse µ 1 µ 2 Mette Langaas Foreleses mandag 18.oktober, 2010 2 Prediksjonsintervall for fremtidig observasjon,

Detaljer

Eksamensoppgave i ST1201/ST6201 Statistiske metoder

Eksamensoppgave i ST1201/ST6201 Statistiske metoder Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i ST1201/ST6201 Statistiske metoder Faglig kontakt under eksamen: Nikolai Ushakov Tlf: 45128897 Eksamensdato: 20. desember 2016 Eksamenstid (fra til): 09:00

Detaljer

Kapittel 9 og 10: Hypotesetesting

Kapittel 9 og 10: Hypotesetesting Kapittel 9 og 1: ypotesetesting ypotesetesting er en standard vitenskapelig fremgangsmåte for å sjekke påstander. Generell problemstilling: Basert på informasjonen i data fra et tilfeldig utvalg ønsker

Detaljer

+ S2 Y ) 2. = 6.737 6 (avrundet nedover til nærmeste heltall) n Y 1

+ S2 Y ) 2. = 6.737 6 (avrundet nedover til nærmeste heltall) n Y 1 Løsningsforslag for: MOT10 STATISTISKE METODER 1 VARIGHET: 4 TIMER DATO: 6. november 007 TILLATTE HJELPEMIDLER: Kalkulator: HP0S, Casio FX8 eller TI-0 Tabeller og formler i statistikk (Tapir forlag) MERKNADER:

Detaljer

SFB LØSNING PÅ EKSAMEN HØSTEN 2018

SFB LØSNING PÅ EKSAMEN HØSTEN 2018 SFB107111 - LØSNING PÅ EKSAMEN HØSTEN 018 Eksamen høsten 018 Oppgave 1 Anta at 70% av studentene spiller fotball og at 0% ikke spiller fotball. Anta at av de som spiller fotball så er det 40% som spiller

Detaljer

TMA4240 Statistikk H2010 (19)

TMA4240 Statistikk H2010 (19) TMA4240 Statistikk H2010 (19) Hypotesetesting 10.1-10.3: Generelt om statistiske hypoteser 10.5: Ett normalfordelt utvalg Mette Langaas Foreleses mandag 25.oktober, 2010 2 Estimering og hypotesetesting

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: STK1110 Løsningsforslag: Statistiske metoder og dataanalys Eksamensdag: Fredag 9. desember 2011 Tid for eksamen: 14.30 18.30

Detaljer

Kapittel 10: Hypotesetesting

Kapittel 10: Hypotesetesting Kapittel 10: Hypotesetesting TMA445 Statistikk 10.1, 10., 10.3: Introduksjon, 10.5, 10.6, 10.7: Test for µ i normalfordeling, 10.4: p-verdi Turid.Follestad@math.ntnu.no p.1/19 Estimering og hypotesetesting

Detaljer

Løsningsforslag, eksamen statistikk, juni 2015

Løsningsforslag, eksamen statistikk, juni 2015 Løsningsforslag, eksamen statistikk, juni 0 Oppgave 1 Siden det spørres om tall fra et intervall, som oppgaven viser kan være et reelle, er det tydelig at tallene er tatt fra en kontinuerlig fordeling.

Detaljer

STK Oppsummering

STK Oppsummering STK1100 - Oppsummering Geir Storvik 6. Mai 2014 STK1100 Tre temaer Deskriptiv/beskrivende statistikk Sannsynlighetsteori Statistisk inferens Sannsynlighetsregning Hva Matematisk verktøy for å studere tilfeldigheter

Detaljer

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag Situasjonen er som i quiz-eksempelet: n = 4, p = 1/3 ( suksess betyr å gjette riktig alternativ), q = 2/3. Oppgave: Finn

Detaljer

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Kap. 10: Inferens om to populasjoner Situasjon: Det er to populasjoner som vi ønsker å sammenligne. Vi trekker da et utvalg

Detaljer

α =P(type I feil) = P(forkast H 0 H 0 er sann) =1 P(220 < X < 260 p = 0.6)

α =P(type I feil) = P(forkast H 0 H 0 er sann) =1 P(220 < X < 260 p = 0.6) TMA4245 Statistikk Vår 212 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving 4 blokk II Løsningsskisse Oppgave 1 4 personer spurt. Hvis mellom 22 og 26 personer svarer

Detaljer

Oppgaven består av 9 delspørsmål som anbefales å veie like mye. Kommentarer og tallsvar er skrevet inn mellom << >>. Oppgave 1

Oppgaven består av 9 delspørsmål som anbefales å veie like mye. Kommentarer og tallsvar er skrevet inn mellom << >>. Oppgave 1 ECON 0 EKSMEN 007 VÅR SENSORVEILEDNING Oppgaven består av 9 delspørsmål som anbefales å veie like mye. Kommentarer og tallsvar er skrevet inn mellom >. Oppgave. La begivenhetene BC,, være slik at og

Detaljer

Da vil summen og gjennomsnittet være tilnærmet normalfordelte : Summen: X 1 +X X n ~N(nµ,nσ 2 ) Gjennomsnittet: X 1 +X

Da vil summen og gjennomsnittet være tilnærmet normalfordelte : Summen: X 1 +X X n ~N(nµ,nσ 2 ) Gjennomsnittet: X 1 +X Me me me me metallic hvit 4.4: Tilnærming til normalfordeling Tilnærming til normalfordeling: binomisk og Poisson kan tilnærmes v.h.a. normalfordeling under bestemte forhold (ved "mange" delforsøk/hendelser)

Detaljer

Merk at vi for enkelthets skyld antar at alle som befinner seg i Roma sentrum enten er italienere eller utenlandske turister.

Merk at vi for enkelthets skyld antar at alle som befinner seg i Roma sentrum enten er italienere eller utenlandske turister. ECON230: EKSAMEN 20 VÅR - UTSATT PRØVE 2 TALLSVAR. Oppgave Da Anne var på besøk i Roma, fikk hun raskt problemer med språket. Anne snakker engelsk, men ikke italiensk, og kun av 5 italienere behersker

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Noen viktige sannsynlighetsmodeller. Binomisk modell. Kp. 3 Diskrete tilfeldige variable

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Noen viktige sannsynlighetsmodeller. Binomisk modell. Kp. 3 Diskrete tilfeldige variable ÅMA Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 006. 3 Diskrete tilfeldige variable Noen viktige sannsynlighetsmodeller Noen viktige sannsynlighetsmodeller (k. 3.6 Hyergeometrisk modell (k. 3.7 Geometrisk

Detaljer

a ) Forventningen estimeres med gjennomsnittet: x = 1 12 (x 1 + + x 12 ) = 1 (755 + 708 + + 748) = 8813/12 = 734.4

a ) Forventningen estimeres med gjennomsnittet: x = 1 12 (x 1 + + x 12 ) = 1 (755 + 708 + + 748) = 8813/12 = 734.4 ÅMA110 Sannsylighetsregning og statistikk Løsningsforslag til eksamen høst 011, s. 1 (Det tas forbehold om feil i løsningsforslaget. Oppgave 1 Vi betrakter dataene x 1,..., x 1 somutfall av n = 1 u.i.f.

Detaljer

Inferens. STK Repetisjon av relevant stoff fra STK1100. Eksempler. Punktestimering - "Fornuftig verdi"

Inferens. STK Repetisjon av relevant stoff fra STK1100. Eksempler. Punktestimering - Fornuftig verdi Inferens STK1110 - Repetisjon av relevant stoff fra STK1100 Geir Storvik 12. august 2015 Data x 1,..., x n evt også y 1,..., y n Ukjente parametre θ kan være flere Vi ønsker å si noe om θ basert på data.

Detaljer

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Inferens om varians og standardavvik for ett normalfordelt utvalg (9.4) Inferens om variansen til en normalfordelt populasjon

Detaljer

Estimering og hypotesetesting

Estimering og hypotesetesting Kapittel 10 Ett- og toutvalgs hypotesetesting TMA4240 H2006: Eirik Mo 2 Estimering og hypotesetesting Fenomen Bilkjøring Høyden til studenter Spørsmål Hvor stor andel av studentene synes de er flinkere

Detaljer

HØGSKOLEN I STAVANGER

HØGSKOLEN I STAVANGER EKSAMEN I: MOT0 STATISTISKE METODER VARIGHET: TIMER DATO:. NOVEMBER 00 TILLATTE HJELPEMIDLER: KALKULATOR, TABELLER OG FORMLER I STATISTIKK (TAPIR FORLAG) OPPGAVESETTET BESTÅR AV OPPGAVER PÅ 7 SIDER HØGSKOLEN

Detaljer

H 0 : Null hypotese. Konservativ. H 1 : Alternativ hypotese. Endring. Kap.10 Hypotesetesting

H 0 : Null hypotese. Konservativ. H 1 : Alternativ hypotese. Endring. Kap.10 Hypotesetesting Hypotesetesting H 0 : Null hypotese. Konservativ. H 1 : Alternativ hypotese. Endring. Rettsvesen hypotese Tiltalte er uskyldig inntil det motsatte er bevist. Hypoteser H 0 : Tiltalte er uskyldig H 1 :

Detaljer

Estimering og hypotesetesting

Estimering og hypotesetesting Kapittel 10 Ett- og toutvalgs hypotesetesting TMA4245 V2007: Eirik Mo 2 Estimering og hypotesetesting Fenomen Bilkjøring Høyden til studenter Spørsmål Hvor stor andel av studentene synes de er flinkere

Detaljer

STK Oppsummering

STK Oppsummering STK1110 - Oppsummering Geir Storvik 11. November 2015 STK1110 To hovedtemaer Introduksjon til inferensmetoder Punktestimering Konfidensintervall Hypotesetesting Inferens innen spesifikke modeller/problemer

Detaljer

Løsningsforslag eksamen 25. november 2003

Løsningsforslag eksamen 25. november 2003 MOT310 Statistiske metoder 1 Løsningsforslag eksamen 25. november 2003 Oppgave 1 a) Vi har µ D = µ X µ Y. Sangere bruker generelt trapesius-muskelen mindre etter biofeedback dersom forventet bruk av trapesius

Detaljer

Eksamensoppgave i Løsningsskisse TMA4240 Statistikk

Eksamensoppgave i Løsningsskisse TMA4240 Statistikk Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i Løsningsskisse TMA440 Statistikk Faglig kontakt under eksamen: Håkon Tjelmeland a, Sara Martino b Tlf: a 48 18 96, b 99 40 33 30 Eksamensdato: 30. november

Detaljer

Kapittel 2: Hendelser

Kapittel 2: Hendelser Kapittel 2: Hendelser FENOMEN Eksperiment Utfall Utfallsrom Eksperiment. Utfall. Eksperiment Utfall Hendelse Sannsynlighet: egenskaper, gunstige vs. mulige, relativ frekvens Sannsynlighet for mer enn en

Detaljer

Kap. 10: Inferens om to populasjoner. Eksempel. ST0202 Statistikk for samfunnsvitere

Kap. 10: Inferens om to populasjoner. Eksempel. ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Kap. 10: Inferens om to populasjoner Situasjon: Vi ønsker å sammenligne to populasjoner med populasjonsgjennomsnitt henholdsvis μ 1 og μ. Vi trekker da ett utvalg fra hver populasjon. ST00 Statistikk for

Detaljer

Notasjon og Tabell 8. ST0202 Statistikk for samfunnsvitere

Notasjon og Tabell 8. ST0202 Statistikk for samfunnsvitere 2 Inferens om varians og standardavvik for ett normalfordelt utvalg (9.4) Inferens om variansen til en normalfordelt populasjon bruker kjikvadrat-fordelingen ( chi-square distribution ) (der kji er den

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen i Statistikk SIF5060 Aug 2002

Løsningsforslag Eksamen i Statistikk SIF5060 Aug 2002 Løsningsforslag Eksamen i Statistikk SIF5060 Aug 2002 Oppgave 1 a) En god estimator er forventningsrett og har liten varians. Vi tester forventningsretthet: E[ˆµ] E[Y ] µ E[ µ] E[ 1 2 X + 1 2 Y ] 1 2 E[X]

Detaljer

Hypotesetesting av λ og p. p verdi.

Hypotesetesting av λ og p. p verdi. Forelesning 7, kapittel 6 Hypotesetesting av λ og p. p verdi. Det som gjøres i denne forelesningen er nær opptil det vi gjorde da vi konstruerte z test for µ, og styrkefunksjon for denne. I tillegg til

Detaljer

EKSAMEN KANDIDATNUMMER: EKSAMENSDATO: 11. juni HiS Jørstadmoen. TID: kl EMNEANSVARLIG: Hans Petter Hornæs

EKSAMEN KANDIDATNUMMER: EKSAMENSDATO: 11. juni HiS Jørstadmoen. TID: kl EMNEANSVARLIG: Hans Petter Hornæs KANDIDATNUMMER: EKSAMEN EMNENAVN: EMNENUMMER: Statistikk. BtG27 EKSAMENSDATO: 11. juni 28 KLASSE: HiS 6-9 Jørstadmoen. TID: kl. 8. 13.. EMNEANSVARLIG: Hans Petter Hornæs ANTALL SIDER UTLEVERT: 4 (innkl.

Detaljer

EKSAMEN. TILLATTE HJELPEMIDLER: Kalkulator. Hornæs: Formelsamling statistikk HiG. John Haugan: Formler og tabeller.

EKSAMEN. TILLATTE HJELPEMIDLER: Kalkulator. Hornæs: Formelsamling statistikk HiG. John Haugan: Formler og tabeller. KANDIDATNUMMER: EKSAMEN FAGNAVN: FAGNUMMER: Statistikk. REA1081 EKSAMENSDATO: 11. juni 2007. KLASSE: Ingeniørklasser. TID: kl. 9.00 13.00. FAGLÆRER: Hans Petter Hornæs ANTALL SIDER UTLEVERT: 4 (innkl.

Detaljer

Eksamensoppgave i TMA4240 / TMA4245 Statistikk

Eksamensoppgave i TMA4240 / TMA4245 Statistikk Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA4240 / TMA4245 Statistikk Faglig kontakt under eksamen: Håkon Tjelmeland Tlf: 48 22 18 96 Eksamensdato: 10. august 2017 Eksamenstid (fra til): 09.00-13.00

Detaljer

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Kap. 9: Inferens om én populasjon I Kapittel 8 brukte vi observatoren z = x µ σ/ n for å trekke konklusjoner om µ. Dette

Detaljer

for x 0 F X (x) = 0 ellers Figur 1: Parallellsystem med to komponenter Figur 2: Seriesystem med n komponenter

for x 0 F X (x) = 0 ellers Figur 1: Parallellsystem med to komponenter Figur 2: Seriesystem med n komponenter TMA4245 Statistikk Vår 2016 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Innlevering 3, blokk II Dette er den første av to innleveringer i blokk 2. Denne øvingen skal oppsummere

Detaljer

EKSAMEN KANDIDATNUMMER: EKSAMENSDATO: 26. mai 2006. SENSURFRIST: 16. juni 2006. KLASSE: HIS 04 07. TID: kl. 8.00 13.00.

EKSAMEN KANDIDATNUMMER: EKSAMENSDATO: 26. mai 2006. SENSURFRIST: 16. juni 2006. KLASSE: HIS 04 07. TID: kl. 8.00 13.00. KANDIDATNUMMER: EKSAMEN FAGNAVN: FAGNUMMER: Statistikk. BtG207 EKSAMENSDATO: 26. mai 2006. SENSURFRIST: 16. juni 2006. KLASSE: HIS 04 07. TID: kl. 8.00 13.00. FAGLÆRER: Hans Petter Hornæs ANTALL SIDER

Detaljer

TMA4240 Statistikk H2010

TMA4240 Statistikk H2010 TMA4240 Statistikk H2010 9.8: To uvalg (siste del) 9.9: Parvise observasjoner 9.10-9.11: Andelser 9.12: Varians Mette Langaas Foreleses onsdag 20.oktober, 2010 2 Norske hoppdommere og Janne Ahonen Janne

Detaljer