ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 Kp. 6, del 3
|
|
- Pernille Kristensen
- 6 år siden
- Visninger:
Transkript
1 ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 Kp. 6, del 3 Bjørn H. Auestad Institutt for matematikk og naturvitenskap Universitetet i Stavanger 20. mars Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 1 / 55
2 Oversikt, rep. uke 11 µ, målemodell, 1 µ, målemodell, 2 binomisk; n stor Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 2 / 55
3 Oversikt, rep. uke 11 Oversikt, rep. uke 11 µ, målemodell, 1 µ, målemodell, 2 binomisk; n stor H 0, H 1 ; teststørrelse, nullfordeling, kritisk verdi, forkastningsområde, signifikansnivå Hypotesetesting i ulike sitausjoner: 1. for forventingen, µ, i målemodellen med normalantakelse og kjent varians, σ for forventingen, µ, i målemodellen med n stor og normaltilnærming (variansen, σ 2, ukjent). 3. for suksessannsynligheten, p, i binomisk modell; n stor og normaltilnærming. Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 3 / 55
4 µ, målemodell, normalantakelse, kjent varians Oversikt, rep. uke 11 µ, målemodell, 1 µ, målemodell, 2 binomisk; n stor Målemodellen m/normalantakelse og kjent σ 2 : n målinger: x 1,..., x n ; betraktes som utfall av: X 1,...,X n, u.i.f. tilfeldige variable E(X i ) = µ og Var(X i ) = σ 2, i = 1,...,n X i normalfordelt og σ 2 kjent. Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 4 / 55
5 µ, målemodell, normalantakelse, kjent varians Oversikt, rep. uke 11 µ, målemodell, 1 µ, målemodell, 2 binomisk; n stor Test (m/ sign.nivå α) for H 0 : µ = µ 0 mot H 1 : µ < µ 0 Forkast H 0 dersom X µ 0 σ 2 n z α Test (m/ sign.nivå α) for H 0 : µ = µ 0 mot H 1 : µ > µ 0 Forkast H 0 dersom X µ 0 σ 2 n z α Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 5 / 55
6 µ, målemodell, n stor og tilnærmet normalfordeling Oversikt, rep. uke 11 µ, målemodell, 1 µ, målemodell, 2 binomisk; n stor Målemodellen: n målinger: x 1,...,x n ; betraktes som utfall av: X 1,...,X n, u.i.f. tilfeldige variable E(X i ) = µ og Var(X i ) = σ 2, i = 1,...,n. σ 2 (og µ ) ukjent; (ingen forutsetnning om fordeling til X i ene eller om kjent varians) Estimator for variansen: S 2 = σ 2 = 1 n 1 n i=1 ( Xi X ) 2 Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 6 / 55
7 µ, målemodell, n stor og tilnærmet normalfordeling Oversikt, rep. uke 11 µ, målemodell, 1 µ, målemodell, 2 binomisk; n stor Test (m/ tilnærmet sign.nivå α) for H 0 : µ = µ 0 mot H 1 : µ < µ 0 Forkast H 0 dersom X µ 0 S 2 n z α Test (m/ tilnærmet sign.nivå α) for H 0 : µ = µ 0 mot H 1 : µ > µ 0 Forkast H 0 dersom X µ 0 S 2 n z α Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 7 / 55
8 p, i binomisk modell; n stor og normaltilnærming Oversikt, rep. uke 11 µ, målemodell, 1 µ, målemodell, 2 binomisk; n stor Generelt Situasjon: Binomisk modell (ev. som tilnærming til hypergeom.) Data: antall suksesser av n mulige er registrert. Resultatet betraktes som utfall av den tilfeldige variable Y der Y B(n, p) n og p er slik at fordelingen til Y kan tilnærmes med normalfordelingen. La p = Y n (estimator for p). Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 8 / 55
9 p, i binomisk modell; n stor og normaltilnærming Oversikt, rep. uke 11 µ, målemodell, 1 µ, målemodell, 2 binomisk; n stor Test (m/ tilnærmet sign.nivå α) for Forkast H 0 dersom H 0 : p = p 0 mot H 1 : p < p 0 p p 0 p 0 (1 p 0 ) n z α Test (m/ tilnærmet sign.nivå α) for H 0 : p = p 0 mot H 1 : p > p 0 Forkast H 0 dersom p p 0 p 0 (1 p 0 ) n z α Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 9 / 55
10 binomisk, n Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 10 / 55
11 Oversikt, del 3 binomisk, n Styrke Tosidige tester 1. for forventingen, µ, i målemodellen med normalantakelse og kjent varians, σ for forventingen, µ, i målemodellen med n stor og normaltilnærming (variansen, σ 2, ukjent). 3. for suksessannsynligheten, p, i binomisk modell; n stor og normaltilnærming. Test for p i binomisk modell; n. t-fordeling, t-test, t-intervall Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 11 / 55
12 Styrke binomisk, n Signifikansnivå til test = P(forkaste H 0 H 0 riktig) Dvs.: signifikansnivå til test = P(gjøre type I-feil ) Virkeligheten H 0 riktig H 1 riktig Konklusjon på test: Forkast H 0 I-feil ok! Konklusjon på test: Behold H 0 ok! II-feil Lavt sign.nivå: sannsynlighet for type I-feil. Type II-feil. Sannsynligheten for å ikke gjøre type II-feil når H 1 riktig har med testens styrke å gjøre; jf. kp. 6.4 i boken. Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 12 / 55
13 Styrke binomisk, n Sannsynligheten for å ikke gjøre type II-feil når H 1 riktig: = P(forkaste H 0 H 1 riktig) Virkeligheten H 0 riktig H 1 riktig Konklusjon på test: Forkast H 0 I-feil ok! Konklusjon på test: Behold H 0 ok! II-feil Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 13 / 55
14 Styrke binomisk, n Styrke: = P(forkaste H 0 H 1 riktig) ph-eksempel: Test (m/ sign.nivå α = 0.05) for H 0 : µ = 6.0 mot H 1 : µ < 6.0 (Forkast H 0 dersom X 5.48.) Dersom ph en i virkeligheten var 5.5 (H 1 riktig), hva er da sannsynligheten for at vi vil oppdage det (at H 1 er riktig i virkeligheten)? Tenk: vi skal innhente dataene; vi skal få et utfall av X. Se inntil videre bort fra utfallet (x = 5.27) vi i praksis har. Mao.: Hva er sannsynligheten for å forkaste H 0 (med vår test), dersom i virkeligheten µ = 5.5? Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 14 / 55
15 Styrke binomisk, n Sannsynligheten for å forkaste H 0 (med vår test), dersom i virkeligheten µ = 5.5, er: P(forkaste H0 µ = 5.5) = P(X 5.48 µ = 5.5) = P( X = P(Z 0.06) = µ = 5.5) 1 } 10 {{ } = 0.06 (Her er Z N(0, 1). Kritisk verdi, 5.48 = ) Dvs.: En dag virkelig ph er 5.5, er det 47.61% sjanse for at vi vil konludere at ph< 6 med bruk av vår test. Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 15 / 55
16 Styrke binomisk, n Styrke til testen i alternativet µ = 5.5 Styrken vil åpenbart variere avhengig hvilken alternativ µ-verdi vi betrakter. Styrken til testen er en funksjon av aktuell parameter; her: P(forkaste H 0 µ = µ 1 ) = P(X 5.48 µ = µ 1 ) = P( X µ = P(Z 5.48 µ µ ) = γ(µ 1 ) µ = µ 1 ) Obs.: boken bruker β som symbol for styrke; Vi bruker γ Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 16 / 55
17 Styrke binomisk, n Styrken: γ(µ 1 ) = P(forkaste H 0 µ = µ 1 ) = P(Z 5.48 µ 1) er en funksjon av µ 1 Styrke i alternativene µ 1 = 5.75, 5.25 og 5.0: µ (6.0) 5.48 µ 1 1/ γ(µ 1 ) 0.48 µ (6.0) 5.48 µ 1 1/ γ(µ 1 ) Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 17 / 55
18 Styrke binomisk, n Plott av styrkefunksjonen: Plott av styrkefunksjonen for ph-eksempelet; test m/5% nivå. µ (6.0) 5.48 µ 1 1/ ( 1.645) γ(µ 1 ) (0.05) µ 1 på x-aksen og γ(µ 1 ) på y-aksen. Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 18 / 55
19 Styrke binomisk, n Plott av styrkefunksjonen for ph-eksempelet; test m/5% nivå. 0 Ideell styrkefunksjon: µ 1 på x-aksen og γ(µ 1 ) på y-aksen µ 1 på x-aksen og γ(µ 1 ) på y-aksen. Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 19 / 55
20 Styrke binomisk, n Styrke vs. signifikansnivå For fast n (antall data) kan vi ikke få både lavt sign.nivå og stor styrke. Vi prioriterer lavt sign.nivå. (Usymmetri i valg av H 0 og H 1 ) Lag en test med sign.nivå 0.01 for ph-dataene. Beregn styrken i alternativene 5.75, 5.5, 5.25, og skisser grafen til styrkefunksjonen. Kommenter! Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 20 / 55
21 Styrke binomisk, n Plott av styrkefunksjonen for ph-eksempelet; test m/5% nivå: rød, og test m/1% nivå: grønn µ 1 på x-aksen og γ(µ 1 ) på y-aksen. Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 21 / 55
22 Styrke binomisk, n Generell definisjon... Situasjon og modell fastlagt; test ang. parameteren θ Følgende er også fastlagt: H 0 og H 1 Teststørrelse, sign.nivå og forkastningsområde / kritisk verdi Def.: Styrkefunksjonen, γ, er definert ved: γ(θ) = P(forkaste H 0 θ). For en bestemt verdi θ 1 (slik at H 1 er riktig), kalles sannsynligheten γ(θ 1 ) for styrken i alternativet θ 1. Styrke (ev. tilnærmet styrke) kan finnes for alle testene vi har sett på til nå, på tilsvarende måte som i de to foregående eksemplene. Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 22 / 55
23 Styrke binomisk, n Eksempel, meningsmåling: Resultat: 91 av n = 500 vil stemme aktuelt parti. Er det grunnlag for å hevde at (virkelig) oppslutning har gått ned fra 0.2? Vi vil teste: H 0 : p = 0.2 mot H 1 : p < 0.2 Test med tiln. 5% sign.nivå: Forkast H 0 dersom p = Y/n Styrken til testen er en funksjon av andelen, p. Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 23 / 55
24 Styrke binomisk, n Styrken er en funksjon av andelen, p. For p 1 < 0.2: P(forkaste H 0 p = p 1 ) = P( p 0.17 p = p 1 ) = P( p p 1 p 1 (1 p 1 ) 500 P(Z 0.17 p 1 p 1 (1 p 1 ) p 1 p 1 (1 p 1 ) 500 p (0.2) γ(p 1 ) (0.05) ) = γ(p 1 ) p = p 1 ) Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 24 / 55
25 Oversikt, del 3 binomisk, n Styrke Tosidige tester 1. for forventingen, µ, i målemodellen med normalantakelse og kjent varians, σ for forventingen, µ, i målemodellen med n stor og normaltilnærming (variansen, σ 2, ukjent). 3. for suksessannsynligheten, p, i binomisk modell; n stor og normaltilnærming. Test for p i binomisk modell; n. t-fordeling, t-test, t-intervall Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 25 / 55
26 Tosidige tester binomisk, n Utgangspunkt: målemodellen med normalantakelse og kjent varians. n målinger: x 1,..., x n ; betraktes som utfall av: X 1,...,X n, u.i.f. tilfeldige variable E(X i ) = µ og Var(X i ) = σ 2, i = 1,...,n X i normalfordelt og σ 2 kjent. Test av H 0 : µ = µ 0 mot H 1 : µ < µ 0 Ensidig alternativ ; tilhørende test: Ensidig test (Tilsvarende ved test av H 0 : µ = µ 0 mot H 1 : µ > µ 0 ) Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 26 / 55
27 Tosidige tester binomisk, n Ofte vil man være interessert i å teste: H 0 : µ = µ 0 mot H 1 : µ µ 0 Tosidig alternativ ; tilhørende test: Tosidig test Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 27 / 55
28 Tosidige tester binomisk, n Eksempel: Hardhet til et spesielt stål blir undersøkt; seks målinger (i kg/mm 2 ): 351, 322, 297, 291, 354, 322. Gjennomsnitt: 322.8; Man er interessert i om hardheten er forskjelig fra 300 kg/mm 2. Tyder resultatene på at hardheten er ulik 300? Målemodell med normalantakelse; kjent varians, σ 2 = Forventningen, µ: virkelig hardhet Vil teste: H 0 : µ = 300 mot H 1 : µ 300 Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 28 / 55
29 Tosidige tester binomisk, n Vil teste: H 0 : µ = 300 mot H 1 : µ 300 Under H 0 er (teststørrelse, nullfordeling) Z = X N(0, 1) Forkaster H 0 dersom µ = X peker klart i retning av at H 1 er korrekt. Test (m/sign.nivå α): Forkast H 0 dersom Z z α/2 eller Z z α/ N(0, 1) tetthet Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 29 / 55
30 Tosidige tester binomisk, n Gjennomføring av test på 5% nivå: Sign.nivå, α = 0.05 α/2 = 0.025; z = 1.96 Data: Utfall av: X : = 2.23 Siden 2.23 > z = 1.96, kan vi forkaste H 0. Dataene tyder på at virkelig hardhet, µ, er ulik 300 kg/mm 2. Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 30 / 55
31 Tosidig test, binomisk, n Generelt; tosidig test for µ i målemodellen med normalantakelse og kjent varians, σ 2 : Teststørrelse: Z = X µ 0 σ 2 n Test (m/ sign.nivå α) for H 0 : µ = µ 0 mot H 1 : µ µ 0 Forkast H 0 dersom, Nullfordeling: N(0, 1) Z z α/2 eller Z z α/ N(0, 1) tetthet Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 31 / 55
32 Tosidig test, binomisk, n Generelt; tosidig test for µ i målemodellen med n stor og normaltilnærming: Teststørrelse: Z = X µ 0 S 2 n Test (m/ tilnærmet sign.nivå α) for H 0 : µ = µ 0 mot H 1 : µ µ 0 Forkast H 0 dersom, Nullfordeling: N(0, 1), (tiln.) Z z α/2 eller Z z α/ N(0, 1) tetthet Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 32 / 55
33 Tosidig test, binomisk, n Generelt; tosidig test for p i binomisk modell med n stor og normaltilnærming: Teststørrelse: Z = p p 0 p 0 (1 p 0 ) n Test (m/ tilnærmet sign.nivå α) for H 0 : p = p 0 mot H 1 : p p 0 Forkast H 0 dersom, Nullfordeling: N(0, 1), (tiln.) Z z α/2 eller Z z α/ N(0, 1) tetthet Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 33 / 55
34 Oversikt, del 3 binomisk, n Styrke Tosidige tester 1. for forventingen, µ, i målemodellen med normalantakelse og kjent varians, σ for forventingen, µ, i målemodellen med n stor og normaltilnærming (variansen, σ 2, ukjent). 3. for suksessannsynligheten, p, i binomisk modell; n stor og normaltilnærming. Test for p i binomisk modell; n. t-fordeling, t-test, t-intervall Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 34 / 55
35 Test, binomisk, n binomisk, n Test for p i binomisk modell, n Eksempel: En ny medisin for en bestemt sykdom skal prøves ut. Gammel medisin for denne sykdommen helbreder i 60% av tilfellene (fastslått etter lang tids erfaring). Forsøk for å prøve ut den nye: 20 tilfeldig valgte individ med sykdommen får medisinen og det blir registrert at 14 blir helbredet; 14 av 20 er 70%. Tyder dette resultatet på at den nye er bedre enn den gamle? Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 35 / 55
36 Test, binomisk, n binomisk, n Statistisk tenking: Vi betrakter resultatet (14 av 20 helbredet) som utfall av en tilfeldig variabel Y, der Y B(n, p), n = 20, p: ukjent. Obs.: det er rimelig med binomisk fordeling for Y! p er helbredelsessannsynligheten for ny medisin. For den gamle har vi: p = 0.6. Vi vil teste H 0 : p = 0.6 mot H 1 : p > 0.6 Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 36 / 55
37 Test, binomisk, n binomisk, n Vi vil teste H 0 : p = 0.6 mot H 1 : p > 0.6 Teststørrelse: Y ; nullfordeling: Y B(20, 0.6): Dette beskriver hva som er tenkelige utfall under H 0 Store verdier av Y indikerer at H 1 er riktig. Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 37 / 55
38 Test, binomisk, n binomisk, n Store verdier av Y indikerer at H 1 er riktig. Derfor: Test: Forkast H 0 dersom Y k, der k (kritisk verdi) er slik at testen får ønsket signifikansnivå (...). Kritisk verdi, k, finnes vha. binomisk tabell (n = 20, p = 0.6) slik at sign.nivå = P(forkaste H 0 H 0 riktig) = P(Y k p = 0.6) er nærmest mulig ønsket sign.nivå Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 38 / 55
39 Test, binomisk, n binomisk, n Fra binomisk tabell: y P(Y y) Vi må prøve oss fram med forskjellige verdier av k. Dersom vi ønsker sign.nivå (nærmest mulig) 0.05, ser vi at P(Y 16) = 1 P(Y 15) = = Dvs., med k = 16 får vi en test med sign.nivå Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 39 / 55
40 Test, binomisk, n binomisk, n Gjennomføring/konklusjon: Data: utfall av Y : 14 k = 16 Konklusjon: behold H 0 ; Det er ikke grunnlag for å påstå at ny medisin har høyere helbredelsessannsynlighet. Skisser styrkefunksjonen til denne testen! Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 40 / 55
41 Tosidig test, binomisk, n binomisk, n Eksempel: Vi har gjort 20 kast med terning; 6 gav partall. Vi er interessert i p = P(partall). Vi betrakter resultatet (6 partall av 20 kast ) som utfall av en tilfeldig variabel Y, der Y B(n, p), n = 20, p: ukjent. Vil teste H 0 : p = 0.5 mot H 1 : p 0.5; Ønsker å bruke signifikansnivå Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 41 / 55
42 Tosidig test, binomisk, n binomisk, n Vi vil teste H 0 : p = 0.5 mot H 1 : p 0.5 Teststørrelse: Y ; nullfordeling: Y B(20, 0.5): Dette beskriver hva som er tenkelige utfall under H 0 Store eller små verdier av Y indikerer at H 1 er riktig. Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 42 / 55
43 Tosidig test, binomisk, n binomisk, n Store eller små verdier av Y indikerer at H 1 er riktig. Derfor: Test: Forkast H 0 dersom Y k 1 eller dersom Y k 2, der k 1 og k 2 (kritiske verdier) er slik at testen får ønsket signifikansnivå (...). k 1 og k 2, finnes vha. binomisk tabell (n = 20, p = 0.5) slik at sign.nivå = P(forkaste H 0 H 0 riktig) = P(Y k 1 p = 0.5) + P(Y k 2 p = 0.5) er nærmest mulig ønsket sign.nivå Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 43 / 55
44 Tosidig test, binomisk, n binomisk, n Fra binomisk tabell: y P(Y y) Vi må prøve oss fram med forskjellige verdier av k 1 og k 2. Dersom vi ønsker sign.nivå (nærmest mulig) 0.05, ser vi at P(Y 5) = , og P(Y 15) = 1 P(Y 14) = = Dvs., med k 1 = 5 og k 2 = 15 får vi en test med sign.nivå = Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 44 / 55
45 Tosidig test, binomisk, n binomisk, n Gjennomføring/konklusjon: Data: utfall av Y : 6 k 1 = 5 (eller større enn k 2 ) Konklusjon: behold H 0 ; Det er ikke grunnlag for å påstå at p 0.5. Skisser styrkefunksjonen til denne testen! Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 45 / 55
46 Oversikt, del 3 binomisk, n Styrke Tosidige tester 1. for forventingen, µ, i målemodellen med normalantakelse og kjent varians, σ for forventingen, µ, i målemodellen med n stor og normaltilnærming (variansen, σ 2, ukjent). 3. for suksessannsynligheten, p, i binomisk modell; n stor og normaltilnærming. Test for p i binomisk modell; n. t-fordeling, t-test, t-intervall Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 46 / 55
47 t-fordeling binomisk, n Rett på definisjon: Utgangspunktet er målemodellen med normalantakelse: X 1,...,X n, u.i.f. tilf. var. der X i N(µ, σ 2 ). La σ 2 = S 2 = 1 n 1 n i=1 (X i X) 2, og T = X µ S 2 n Def. Student s t-fordeling: Dersom X 1,...,X n, er n u.i.f. tilf. var. der X i er normalfordelt med forventning µ og varians σ 2, i = 1,...,n, så er T (Student s) t-fordelt med n 1 frihetsgrader: T t(n 1) Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 47 / 55
48 t-fordeling Obs: I den beskrevne situasjonen har vi: X µ σ 2 n N(0, 1) og X µ S 2 n t(n 1) binomisk, n Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 48 / 55
49 t-fordeling Egenskaper til t-fordelingen: binomisk, n n(x) f1(x) f2(x) f15(x) t-fordelingen er avhengig av n. Den blir mer og mer lik N(0, 1)-fordelingen når n øker. symmetrisk omkring 0 tyngre haler enn N(0, 1)-fordelingen t-tabell!! Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 49 / 55
50 t-fordeling Fraktiler i t-fordelingen: binomisk, n Def. t α,d Dersom T er (Student s) t- fordelt med d frihetsgrader, defineres tallet t α,d ved at P(T > t α,d ) = α. Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 50 / 55
51 t-test Situasjon der vi bruker t-test: binomisk, n Målemodellen m/normalantakelse og ukjent varians, σ 2 : n målinger: x 1,..., x n ; betraktes som utfall av: X 1,...,X n, u.i.f. tilfeldige variable E(X i ) = µ og Var(X i ) = σ 2, i = 1,...,n X i normalfordelt og σ 2 ukjent. Obs. 1: X i normalfordelt Obs. 2: n (Dersom n er stor, trenger vi ikke bry oss med t-fordeling.) Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 51 / 55
52 t-test binomisk, n Eksempel: 10 blodsukkerinnh.målinger: 4.1, 5.1, 4.3, 3.8, 3.7, 5.2, 4.5, 4.8, 3.6, 4.4 Ønsker å teste H 0 : µ = 4.0 mot H 1 : µ > 4.0 Vi antar at: De n = 10 målingene: x 1,..., x n ; kan betraktes som utfall av: X 1,...,X n, u.i.f. tilfeldige variable, der E(X i ) = µ og Var(X i ) = σ 2, i = 1,...,n, og der X i er normalfordelt og σ 2 er ukjent. Variansen,σ 2 estimeres med: σ 2 = S 2 = 1 n 1 n i=1 (X i X) 2 Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 52 / 55
53 t-test binomisk, n Vil teste: H 0 : µ = 4 mot H 1 : µ > 4 Under H 0 er (teststørrelse, nullfordeling) T = X 4 S 2 10 t(9) Forkaster H 0 dersom µ = X peker klart i retning av at H 1 er korrekt. Test (m/sign.nivå α): Forkast H 0 dersom f9(x) 0.1 Z t α/2, t(9) tetthet Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 53 / 55
54 t-test binomisk, n Gjennomføring av test på 5% nivå: Sign.nivå, α = 0.05 t 0.05,9 = 1.83 Data: (Gj.sn. = 4.35, emp. varians = ) Utfall av: X 4 S 2 10 : = Siden > t 0.05,9 = 1.83, kan vi forkaste H 0. Dataene tyder på at virkelig blodsukkerinnhold, µ, er større enn 4. Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 54 / 55
55 t-test Generelt, tosidig... binomisk, n Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 55 / 55
ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 Kp. 6, del 3
ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 Kp. 6, del 3 Bjørn H. Auestad Institutt for matematikk og naturvitenskap Universitetet i Stavanger 20. mars Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 Kp. 6, del 4
ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 Kp. 6, del 4 Bjørn H. Auestad Institutt for matematikk og naturvitenskap Universitetet i Stavanger 27. mars Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren
ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 Kp. 6, del 4 Bjørn H. Auestad Institutt for matematikk og naturvitenskap Universitetet i Stavanger 3. april Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Hypotesetesting (kp. 6) Hypotesetesting. Kp. 6 Hypotesetesting ...
ÅMA Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 6 Kp. 6 (kp. 6)... Begrep: nullhypotese alternativhypotese ensidig, tosidig teststørrelse (testobservator) nullfordeling kritisk verdi, forkastningsområde
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Hypotesetesting (kp. 6) Hypotesetesting, innledning. Kp.
ÅMA Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 8 Kp. 6 Hypotesetesting Hypotesetesting (kp. 6) Tre deler av faget/kurset:. Beskrivende statistikk. Sannsynlighetsteori, sannsynlighetsregning 3. Statistisk
DetaljerHypotesetesting (kp. 6) ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Tre deler av faget/kurset: 1. Beskrivende statistikk
ÅMA Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2 Kp. 6 Hypotesetesting Hypotesetesting (kp. 6) Tre deler av faget/kurset:. Beskrivende statistikk 2. Sannsynlighetsteori, sannsynlighetsregning 3. Statistisk
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010 Oppsummering
ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010 Oppsummering Bjørn H. Auestad Institutt for matematikk og naturvitenskap Universitetet i Stavanger 21. april Bjørn H. Auestad Oppsummering våren
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren
ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 Oppsummering Bjørn H. Auestad Institutt for matematikk og naturvitenskap Universitetet i Stavanger 24. april Bjørn H. Auestad Oppsummering våren
Detaljer(Det tas forbehold om feil i løsningsforslaget.) Oppgave 1
ÅMA1 Sannsylighetsregning og statistikk Løsningsforslag til eksamen vår 2011, s. 1 (Det tas forbehold om feil i løsningsforslaget.) Oppgave 1 a) Data: x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 Gjennomsnitt: x = 1 5 (x 1
DetaljerÅMA110 Sannsylighetsregning og statistikk Løsningsforslag til eksamen høst 2010, s. 1. Oppgave 1. Histogram over frekvenser.
ÅMA1 Sannsylighetsregning og statistikk Løsningsforslag til eksamen høst 0, s. 1 (Det tas forbehold om feil i løsningsforslaget.) a) Gjennomsnitt: x = 1 Emp. standardavvik: Median: 1 (1.33 + 1.) = 1.35
DetaljerÅMA 110 SANNSYNLIGHETSREGNING MED STATISTIKK Løsningsforslag til regneøving nr. 12 (s. 34)
ÅMA 110 SANNSYNLIGHETSREGNING MED STATISTIKK Løsningsforslag til regneøving nr. s. 34 Oppgave.1 Situasjon betraktes som 7 Bernoulliforsøk; Suksess: dyr velger belønning 1, motsatt fiasko. P suksess = p;
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010 Kp. 6, del 4
ÅMA11 Sasylighetsregig med statistikk, våre 21 Kp. 6, del 4 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap Uiversitetet i Stavager 22. mars Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 4 1/ 29 Bjør
DetaljerÅMA 110 (TE 199) Sannsylighetsregning og statistikk Løsningsforslag til eksamen vår 2005, s. 1. Oppgave 1
ÅMA 0 (TE 99) Sannsylighetsregning og statistikk Løsningsforslag til eksamen vår 005, s. Oppgave a) P (X 0) 0.04 + 0.04 + 0.06 + 0.06 + 0. + 0. + 0. 0.6 P (0 X 40) 0.0 + 0.0 + 0.04 + 0.04 + 0.06 0.0 P
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2008 Kp. 6, del 5
ÅMA110 Sasylighetsregig med statistikk, våre 2008 Kp. 6, del 5 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap Uiversitetet i Stavager 26. mars Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 5 1/ 53
DetaljerKp. 9.8 Forskjell mellom to forventninger
andeler I analysene skal vi se på situasjonene der σx og σ Y er kjente; normalantakelse a σx og σ Y er ukjente men σ X = σ Y ; normalantakelse og b σx og σ Y er ukjente og σ X σ Y ; normalantakelse 3 og
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 Kp. 6, del 5
ÅMA110 Sasylighetsregig med statistikk, våre 2006 Kp. 6, del 5 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap Uiversitetet i Stavager 3. april Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 5 1 / 56
DetaljerFasit for tilleggsoppgaver
Fasit for tilleggsoppgaver Uke 5 Oppgave: Gitt en rekke med observasjoner x i (i = 1,, 3,, n), definerer vi variansen til x i som gjennomsnittlig kvadratavvik fra gjennomsnittet, m.a.o. Var(x i ) = (x
DetaljerHypotesetesting, del 4
Oversikt, del 4 t-fordelig t-test t-itervall Del 5 Kofidesitervall vs. test p-verdi t-fordelig Rett på defiisjo: Utgagspuktet er målemodelle med ormalatakelse: X 1,...,X,u.i.f.tilf.var.derX i Nμ, σ 2 ).La
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007 Kp. 6, del 5. Hypotesetesting, del 5
ÅMA11 Sasylighetsregig med statistikk, våre 7 Kp. 6, del 5 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap Uiversitetet i Stavager 26. mars Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 5 1/ 59 Bjør
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2008 Kp. 6, del 5
ÅMA110 Sasylighetsregig med statistikk, våre 2008 Kp. 6, del 5 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap Uiversitetet i Stavager 3. april Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 5 1/ 56
DetaljerOversikt, del 5. Vi har sett på styrkefunksjon for ensidige tester. Eksempler (styrke, dimensjonering,...) Eksempler fra slutten av forrige uke
Hypotesetestig, del 4 oppsummerig fra Hypotesetestig, del 5 Kofidesitervall dimesjoerig Oversikt, del 5 Eksempler fra slutte av forrige uke Kofidesitervall p-verdi Eksempler Eksempler styrke, dimesjoerig,...
DetaljerEksempler fra slutten av forrige uke. Eksempler (styrke, dimensjonering,...) Eksempler fra slutten av forrige uke
Oversikt, del 5 Hypotesetestig, del 4 (oppsummerig fra Hypotesetestig, del 5 Kofidesitervall dimesjoerig Eksempler fra slutte av forrige uke Kofidesitervall p-verdi Eksempler Eksempler (styrke, dimesjoerig,...
DetaljerOppgave 1. . Vi baserer oss på at p 47 1 og p 2 er tilnærmet normalfordelte (brukbar tilnærming). Vi har tilnærmet at (n 1 = n 2 = 47)
MOT310 tatistiske metoder 1 Løsningsforslag til eksamen vår 006, s. 1 Oppgave 1 a) En tilfeldig utvalgt besvarelse får F av sensor 1 med sannsynlighet p 1 ; resultatene for ulike besvarelser er uavhengige.
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007 Kp. 6, del 4. Hypotesetesting, del 4
ÅMA11 Sasylighetsregig med statistikk, våre 27 Kp. 6, del 4 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap Uiversitetet i Stavager 19. mars Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 4 1/ 27 Bjør
DetaljerKapittel 9 og 10: Hypotesetesting
Kapittel 9 og 1: Hypotesetesting Hypotesetesting er en standard vitenskapelig fremgangsmåte for å sjekke påstander. Generell problemstilling: Basert på informasjonen i data fra et tilfeldig utvalg ønsker
DetaljerTMA4240 Statistikk Høst 2009
TMA4240 Statistikk Høst 2009 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer b5 Løsningsskisse Oppgave 1 Vi ønsker å finne ut om et nytt serum kan stanse leukemi.
DetaljerHypotesetesting. Hvorfor og hvordan? Gardermoen 21. april 2016 Ørnulf Borgan. H. Aschehoug & Co Sehesteds gate 3, 0102 Oslo Tlf:
Hypotesetesting Hvorfor og hvordan? Gardermoen 21. april 2016 Ørnulf Borgan H. Aschehoug & Co Sehesteds gate 3, 0102 Oslo Tlf: 22 400 400 www.aschehoug.no 1 Oversikt Sannsynlighetsregning og statistikk
DetaljerTMA4240 Statistikk H2010 (20)
TMA4240 Statistikk H2010 (20) 10.5: Ett normalfordelt utvalg, kjent varians (repetisjon) 10.4: P-verdi 10.6: Konfidensintervall vs. hypotesetest 10.7: Ett normalfordelt utvalg, ukjent varians Mette Langaas
DetaljerHøgskolen i Telemark. Institutt for økonomi og informatikk FORMELSAMLING Statistikk I. Til bruk ved eksamen. Per Chr. Hagen
Høgskolen i Telemark Institutt for økonomi og informatikk FORMELSAMLING 6005 Statistikk I Til bruk ved eksamen Per Chr. Hagen . Sannsynlighetsregning. Regneregler Komplementsetningen: Addisjonssetningen:
DetaljerKandidatene 4507, 4542, 4545 og 4569 har meget gode besvarelser supert!
MOT 310 Statistiske metoder 1 Løsningsforslag til eksamen høst 2006, s. 1 Flott! Samlet sett leverer dere gode resultater. Kandidatene 4507, 4542, 4545 og 4569 har meget gode besvarelser supert! Totalt
DetaljerHypotesetest: generell fremgangsmåte
TMA4240 Statistikk H2010 (21) 10.8, 10.10: To normalfordelte utvalg 10.9: Teststyrke og antall observasjoner Mette Langaas Foreleses mandag 1.november, 2010 2 Hypotesetest: generell fremgangsmåte Generell
DetaljerRep.: generelle begrep og definisjoner Kp. 10.1, 10.2 og 10.3
Kp. 1, oversikt ; oversikt, t- ; oversikt ; stor ; Hypoteseig; ett- og to-utvalg Rep.: geerelle begrep og defiisjoer Kp. 1.1, 1.2 og 1.3 Rep.: ett-utvalgser for μ (...), p Kp. 1 og 1.8 Nytt: ett-utvalgs
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006
ÅMA110 Sasylighetsregig med statistikk, våre 2006 Kp. 6, del 2 Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesig del 2 1/ 38 Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesig del 2 2/ 38 Oversikt 1. Hva er hypotesetestig? 2. Hypotesetestig
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007 Kp. 6, del 2
ÅMA11 Sasylighetsregig med statistikk, våre 27 Kp. 6, del 2 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap 5. mars 21 Bjør H. Auestad Kp. 6: del 1/2 1/ 42 Bjør H. Auestad Kp. 6: del 1/2 2/ 42
DetaljerTMA4240 Statistikk Høst 2015
Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer 0, blokk II Løsningsskisse Oppgave Surhetsgrad i ferskvann Eksamen august 00, oppgave av 3 a) En god estimator
DetaljerHypotesetesting. Formulere en hypotesetest: Når vi skal test om en parameter θ kan påstås å være større enn en verdi θ 0 skriver vi dette som:
Hypotesetesting. 10 og fore- Dekkes av pensumsidene i kap. lesingsnotatene. Hypotesetesting er en systematisk fremgangsmåte for å undersøke hypoteser (påstander) knyttet til parametre i sannsynlighetsfordelinger.
DetaljerMOT 310 Statistiske metoder 1 Løsningsforslag til eksamen høst 2006, s. 1. Oppgave 1
MOT 310 Statistiske metoder 1 Løsningsforslag til eksamen høst 2006, s. 1 Oppgave 1 a) Normalantakelse: Målingene x 1,..., x 21 og y 1,..., y 8 betraktes som utfall av tilfeldige variable X 1,..., X 21
DetaljerOppgave 1. X 1 B(n 1, p 1 ) X 2. Vi er interessert i forskjellen i andeler p 1 p 2, som vi estimerer med. p 1 p 2 = X 1. n 1 n 2.
Løsningsforslag til eksamen i MOT310 STATISTISKE METODER 1 VARIGHET: 4 TIMER DATO: 17 november 2008 TILLATTE HJELPEMIDLER: Kalkulator: HP30S, Casio FX82 eller TI-30 Tabeller og formler i statistikk Tapir
DetaljerLØSNINGSFORSLAG ) = Dvs
LØSNINGSFORSLAG 12 OPPGAVE 1 D j er differansen mellom måling j med metode A og metode B. D j N(µ D, 0.1 2 ). H 0 : µ D = 0 mot alternativet H 1 : µ D > 0. Vi forkaster om ˆµ D > k Under H 0 er ˆµ D =
DetaljerOppgave 1. a) Anlysetype: enveis variansanalyse (ANOVA). Modell for y ij = ekspedisjonstid nr. j for skrankeansatt nr. i:
MOT310 tatistiske metoder 1 Løsningsforslag til eksamen høst 010, s 1 Oppgave 1 a) Anlysetype: enveis variansanalyse (ANOVA) Modell for y ij ekspedisjonstid nr j for skrankeansatt nr i: Y ij µ i + ε ij,
DetaljerTMA4240 Statistikk Høst 2007
TMA4240 Statistikk Høst 2007 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer b4 Løsningsskisse Oppgave 1 Eksamen juni 1999, oppgave 3 av 3 a) µ populasjonsgjennomsnitt,
DetaljerMOT310 Statistiske metoder 1, høsten 2011
MOT310 Statistiske metoder 1, høsten 2011 Bjørn H. Auestad Institutt for matematikk og naturvitenskap Universitetet i Stavanger 30. oktober, 2011 Bjørn H. Auestad Kp. 13: Én-faktor eksperiment 1 / 15 -tabell
DetaljerTMA4240 Statistikk H2010
TMA4240 Statistikk H2010 Statistisk inferens: 8.1: Tilfeldig utvalg 9.1-9.3: Estimering Mette Langaas Foreleses uke 40, 2010 2 Utfordring Ved en bedrift produseres en elektrisk komponent. Komponenten må
DetaljerUtfordring. TMA4240 Statistikk H2010. Mette Langaas. Foreleses uke 40, 2010
TMA4240 Statistikk H2010 Statistisk inferens: 8.1: Tilfeldig utvalg 9.1-9.3: Estimering Mette Langaas Foreleses uke 40, 2010 2 Utfordring Ved en bedrift produseres en elektrisk komponent. Komponenten må
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2011
ÅMA0 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 0 Kp. 3 Diskrete tilfeldige variable Noen viktige sannsynlighetsmodeller Noen viktige sannsynlighetsmodeller ( Sanns.modell : nå betyr det klasse/type sanns.fordeling.
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010 Kp. 6, del 5
ÅMA110 Sasylighetsregig med statistikk, våre 2010 Kp. 6, del 5 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap Uiversitetet i Stavager 12. april Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 4 1/ 59
DetaljerHypotesetesting. mot. mot. mot. ˆ x
Kapittel 6.4-6.5: ypotesetesting ypotesetesting er en standard vitenskapelig fremgangsmåte for å sjekke påstander. Generell problemstilling: Basert på informasjonen i data fra et tilfeldig utvalg ønsker
DetaljerTMA4245 Statistikk Eksamen desember 2016
Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4245 Statistikk Eksamen desember 2016 Oppgave 1 En bedrift produserer elektriske komponenter. Komponentene kan ha to typer
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Kp. 3 Diskrete tilfeldige variable. Diskrete tilfeldige variable, varians (kp. 3.
ÅMA Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 8 Kp. Diskrete tilfeldige variable Kp. Diskrete tilfeldige variable Har sett på (tidligere: begrep/definisjoner; tilfeldig (stokastisk variabel sannsynlighetsfordeling
DetaljerST0202 Statistikk for samfunnsvitere
ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Statistisk inferens (kap. 8) Statistisk inferens er å tolke/analysere resultater fra utvalget for å finne ut mest mulig
DetaljerTMA4240 Statistikk H2010 (22)
TMA4240 Statistikk H2010 (22) 10.11-10.12: Testing av andelser 10.13: Testing av varians i ett N utvalg Mette Langaas Foreleses onsdag 3.november, 2010 2 Laban strakk seg ikke lenger, men smaker den bedre?
Detaljer2. Hypotesetesting i ulike sitausjoner: i. for forventingen, μ, i målemodellen med normalantakelse og kjent varians, σ 2.
Oversikt 1. Hva er hypotesetestig? 2. i ulike sitausjoer: i. for forvetige, μ, med ormalatakelse og kjet varias, σ 2. ii. for forvetige, μ, med stor og ormaltilærmig (variase, σ 2, ukjet). iii. for suksessasylighete,
DetaljerST0202 Statistikk for samfunnsvitere
ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Statistisk inferens (kap. 8) Statistisk inferens er å tolke/analysere resultater fra utvalget for å finne ut mest mulig
DetaljerEcon 2130 uke 16 (HG)
Econ 213 uke 16 (HG) Hypotesetesting I Løvås: 6.4.1 6, 6.5.1-2 1 Testing av µ i uid modellen (situasjon I Z-test ). Grunnbegreper. Eksempel. En lege står overfor følgende problemstilling. Standardbehandling
DetaljerTMA4240 Statistikk 2014
TMA4240 Statistikk 2014 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer 12, blokk II Oppgave 1 På ein av vegane inn til Trondheim er UP interessert i å måle effekten
DetaljerStatistisk inferens (kap. 8) Hovedtyper av statistisk inferens. ST0202 Statistikk for samfunnsvitere
2 Statistisk inferens (kap. 8) Statistisk inferens er å tolke/analysere resultater fra utvalget for å finne ut mest mulig om populasjonen. Konkret: Analysere en observator for å finne ut noe om korresponderende
DetaljerLøsning eksamen desember 2017
Løsning eksamen desember 017 Oppgave 1 Innfører hendelsene D: enheten er defekt K: enheten blir kassert a i Disse sannsynlighetene kan leses ut av oppgaveteksten: P D = 0, 10 P K D = 0, 07 P K D = 0, 95
DetaljerTMA4240 Statistikk Høst 2016
TMA4240 Statistikk Høst 2016 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Anbefalt øving 11 Oppgavene i denne øvingen dreier seg om hypotesetesting og sentrale begreper
DetaljerStatistisk inferens (kap. 8) Hovedtyper av statistisk inferens. ST0202 Statistikk for samfunnsvitere
2 Statistisk inferens (kap. 8) Statistisk inferens er å tolke/analysere resultater fra utvalget for å finne ut mest mulig om populasjonen. Konkret: Å analysere en utvalgsobservator for å trekke slutninger
DetaljerST0202 Statistikk for samfunnsvitere
ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Kap. 10: Inferens om to populasjoner Situasjon: Vi ønsker å sammenligne to populasjoner med populasjonsgjennomsnitt henholdsvis
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007
ÅMA Sasylighetsregig med statistikk, våre 27 Kp. 6 (kp. 6) Tre deler av faget/kurset:. Beskrivede statistikk 2. Sasylighetsteori, sasylighetsregig 3. Statistisk iferes estimerig kofidesitervall hypotesetestig
DetaljerTMA4240 Statistikk Høst 2015
TMA4240 Statistikk Høst 2015 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer 11, blokk II I denne øvingen skal vi fokusere på hypotesetesting. Vi ønsker å gi dere
DetaljerKapittel 9 og 10: Hypotesetesting
Kapittel 9 og 1: ypotesetesting ypotesetesting er en standard vitenskapelig fremgangsmåte for å sjekke påstander. Generell problemstilling: Basert på informasjonen i data fra et tilfeldig utvalg ønsker
Detaljeri x i
TMA4245 Statistikk Vår 2016 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Anbefalte oppgaver 11, blokk II Oppgavene i denne øvingen dreier seg om hypotesetesting og sentrale
DetaljerHØGSKOLEN I STAVANGER
HØGSKOLEN I STAVANGER Avdeling for TEKNISK NATURVITEN- EKSAMEN I: TE199 SANNSYNLIGHETSREGNING MED STATISTIKK SKAPELIGE FAG VARIGHET: 4 TIMER DATO: 5. JUNI 2003 TILLATTE HJELPEMIDLER: KALKULATOR OPPGAVESETTET
DetaljerKapittel 8: Tilfeldige utvalg, databeskrivelse og fordeling til observatorar, Kapittel 9: Estimering
Kapittel 8: Tilfeldige utvalg, databeskrivelse og fordeling til observatorar, Kapittel 9: Estimering TMA4245 Statistikk Kapittel 8.1-8.5. Kapittel 9.1-9.3+9.15 Turid.Follestad@math.ntnu.no p.1/21 Har sett
Detaljer+ S2 Y ) 2. = 6.737 6 (avrundet nedover til nærmeste heltall) n Y 1
Løsningsforslag for: MOT10 STATISTISKE METODER 1 VARIGHET: 4 TIMER DATO: 6. november 007 TILLATTE HJELPEMIDLER: Kalkulator: HP0S, Casio FX8 eller TI-0 Tabeller og formler i statistikk (Tapir forlag) MERKNADER:
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: STK1110 Løsningsforslag: Statistiske metoder og dataanalys Eksamensdag: Fredag 9. desember 2011 Tid for eksamen: 14.30 18.30
Detaljerβ(µ) = P(akseptere H 1 µ)
Sentrale begreper for hypotesetesting Begrep Nullhypotesen H 0 Definisjon/forklaring Utrykker "status quo"/"situation normal"/"ting er slik produsenter påstår"/"alt er greit" Signifikansnivå α Sannsynligheten
DetaljerTMA4240 Statistikk H2010 (19)
TMA4240 Statistikk H2010 (19) Hypotesetesting 10.1-10.3: Generelt om statistiske hypoteser 10.5: Ett normalfordelt utvalg Mette Langaas Foreleses mandag 25.oktober, 2010 2 Estimering og hypotesetesting
DetaljerTMA4240 Statistikk H2010
TMA4240 Statistikk H2010 Statistisk inferens: 9.6: Prediksjonsintervall 9.8: To utvalg, differanse µ 1 µ 2 Mette Langaas Foreleses mandag 18.oktober, 2010 2 Prediksjonsintervall for fremtidig observasjon,
Detaljerα =P(type I feil) = P(forkast H 0 H 0 er sann) =1 P(220 < X < 260 p = 0.6)
TMA4245 Statistikk Vår 212 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving 4 blokk II Løsningsskisse Oppgave 1 4 personer spurt. Hvis mellom 22 og 26 personer svarer
DetaljerFra i går Signifikanssannsynlighet (p verdi) vs. signifikansnivå Utgangspunkt for begge: Signifikansnivå α. evt.
Fra i går Signifikanssannsynlighet (p verdi) vs. signifikansnivå Utgangspunkt for begge: H 0 : µ = µ 0 H 1 : µ < µ 0 eller µ > µ 0 Signifikanssannsynlighet p Angir sannsynligheten for å få en X som er
DetaljerEksamensoppgave i ST1201/ST6201 Statistiske metoder
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i ST1201/ST6201 Statistiske metoder Faglig kontakt under eksamen: Nikolai Ushakov Tlf: 45128897 Eksamensdato: 20. desember 2016 Eksamenstid (fra til): 09:00
DetaljerST0202 Statistikk for samfunnsvitere
ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Kap. 10: Inferens om to populasjoner Situasjon: Det er to populasjoner som vi ønsker å sammenligne. Vi trekker da et utvalg
DetaljerLøsningsforslag statistikkeksamen desember 2014
Løsningsforslag statistikkeksamen desember 2014 Oppgave 1 a i. To hendelser er disjunke hvis det er intet overlapp mellom hendelsene, altså hvis A B = Ø. Siden vi har en sannsynlighet for å finne A B som
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Noen viktige sannsynlighetsmodeller. Binomisk modell. Kp. 3 Diskrete tilfeldige variable
ÅMA Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 006. 3 Diskrete tilfeldige variable Noen viktige sannsynlighetsmodeller Noen viktige sannsynlighetsmodeller (k. 3.6 Hyergeometrisk modell (k. 3.7 Geometrisk
DetaljerSFB LØSNING PÅ EKSAMEN HØSTEN 2018
SFB107111 - LØSNING PÅ EKSAMEN HØSTEN 018 Eksamen høsten 018 Oppgave 1 Anta at 70% av studentene spiller fotball og at 0% ikke spiller fotball. Anta at av de som spiller fotball så er det 40% som spiller
DetaljerST0202 Statistikk for samfunnsvitere
ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag Situasjonen er som i quiz-eksempelet: n = 4, p = 1/3 ( suksess betyr å gjette riktig alternativ), q = 2/3. Oppgave: Finn
DetaljerKapittel 10: Hypotesetesting
Kapittel 10: Hypotesetesting TMA445 Statistikk 10.1, 10., 10.3: Introduksjon, 10.5, 10.6, 10.7: Test for µ i normalfordeling, 10.4: p-verdi Turid.Follestad@math.ntnu.no p.1/19 Estimering og hypotesetesting
DetaljerOppgaven består av 9 delspørsmål som anbefales å veie like mye. Kommentarer og tallsvar er skrevet inn mellom << >>. Oppgave 1
ECON 0 EKSMEN 007 VÅR SENSORVEILEDNING Oppgaven består av 9 delspørsmål som anbefales å veie like mye. Kommentarer og tallsvar er skrevet inn mellom >. Oppgave. La begivenhetene BC,, være slik at og
DetaljerHØGSKOLEN I STAVANGER
EKSAMEN I: MOT0 STATISTISKE METODER VARIGHET: TIMER DATO:. NOVEMBER 00 TILLATTE HJELPEMIDLER: KALKULATOR, TABELLER OG FORMLER I STATISTIKK (TAPIR FORLAG) OPPGAVESETTET BESTÅR AV OPPGAVER PÅ 7 SIDER HØGSKOLEN
DetaljerLøsningsforslag, eksamen statistikk, juni 2015
Løsningsforslag, eksamen statistikk, juni 0 Oppgave 1 Siden det spørres om tall fra et intervall, som oppgaven viser kan være et reelle, er det tydelig at tallene er tatt fra en kontinuerlig fordeling.
DetaljerMerk at vi for enkelthets skyld antar at alle som befinner seg i Roma sentrum enten er italienere eller utenlandske turister.
ECON230: EKSAMEN 20 VÅR - UTSATT PRØVE 2 TALLSVAR. Oppgave Da Anne var på besøk i Roma, fikk hun raskt problemer med språket. Anne snakker engelsk, men ikke italiensk, og kun av 5 italienere behersker
DetaljerSTK Oppsummering
STK1100 - Oppsummering Geir Storvik 6. Mai 2014 STK1100 Tre temaer Deskriptiv/beskrivende statistikk Sannsynlighetsteori Statistisk inferens Sannsynlighetsregning Hva Matematisk verktøy for å studere tilfeldigheter
DetaljerDekkes av kap , 9.10, 9.12 og forelesingsnotatene.
Estimering 2 -Konfidensintervall Dekkes av kap. 9.4-9.5, 9.10, 9.12 og forelesingsnotatene. En (punkt-)estimator ˆΘ gir oss et anslag på en ukjent parameterverdi, men gir oss ikke noen direkte informasjon
DetaljerST0202 Statistikk for samfunnsvitere
ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Inferens om varians og standardavvik for ett normalfordelt utvalg (9.4) Inferens om variansen til en normalfordelt populasjon
DetaljerEksamensoppgave i Løsningsskisse TMA4240 Statistikk
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i Løsningsskisse TMA440 Statistikk Faglig kontakt under eksamen: Håkon Tjelmeland a, Sara Martino b Tlf: a 48 18 96, b 99 40 33 30 Eksamensdato: 30. november
Detaljera ) Forventningen estimeres med gjennomsnittet: x = 1 12 (x 1 + + x 12 ) = 1 (755 + 708 + + 748) = 8813/12 = 734.4
ÅMA110 Sannsylighetsregning og statistikk Løsningsforslag til eksamen høst 011, s. 1 (Det tas forbehold om feil i løsningsforslaget. Oppgave 1 Vi betrakter dataene x 1,..., x 1 somutfall av n = 1 u.i.f.
DetaljerHypotesetesting av λ og p. p verdi.
Forelesning 7, kapittel 6 Hypotesetesting av λ og p. p verdi. Det som gjøres i denne forelesningen er nær opptil det vi gjorde da vi konstruerte z test for µ, og styrkefunksjon for denne. I tillegg til
DetaljerEmnenavn: Eksamenstid: 4 timer. Faglærer: Hans Kristian Bekkevard
EKSAMEN Emnekode: SFB107111 Emnenavn: Metode 1, statistikk deleksamen Dato: 16. mai 2017 Hjelpemidler: Godkjent kalkulator og vedlagt formelsamling m/tabeller Eksamenstid: 4 timer Faglærer: Hans Kristian
DetaljerDa vil summen og gjennomsnittet være tilnærmet normalfordelte : Summen: X 1 +X X n ~N(nµ,nσ 2 ) Gjennomsnittet: X 1 +X
Me me me me metallic hvit 4.4: Tilnærming til normalfordeling Tilnærming til normalfordeling: binomisk og Poisson kan tilnærmes v.h.a. normalfordeling under bestemte forhold (ved "mange" delforsøk/hendelser)
DetaljerLøsningsforslag eksamen 25. november 2003
MOT310 Statistiske metoder 1 Løsningsforslag eksamen 25. november 2003 Oppgave 1 a) Vi har µ D = µ X µ Y. Sangere bruker generelt trapesius-muskelen mindre etter biofeedback dersom forventet bruk av trapesius
DetaljerInferens. STK Repetisjon av relevant stoff fra STK1100. Eksempler. Punktestimering - "Fornuftig verdi"
Inferens STK1110 - Repetisjon av relevant stoff fra STK1100 Geir Storvik 12. august 2015 Data x 1,..., x n evt også y 1,..., y n Ukjente parametre θ kan være flere Vi ønsker å si noe om θ basert på data.
DetaljerSTK Oppsummering
STK1110 - Oppsummering Geir Storvik 11. November 2015 STK1110 To hovedtemaer Introduksjon til inferensmetoder Punktestimering Konfidensintervall Hypotesetesting Inferens innen spesifikke modeller/problemer
DetaljerLøsningsforslag Eksamen i Statistikk SIF5060 Aug 2002
Løsningsforslag Eksamen i Statistikk SIF5060 Aug 2002 Oppgave 1 a) En god estimator er forventningsrett og har liten varians. Vi tester forventningsretthet: E[ˆµ] E[Y ] µ E[ µ] E[ 1 2 X + 1 2 Y ] 1 2 E[X]
DetaljerNotasjon og Tabell 8. ST0202 Statistikk for samfunnsvitere
2 Inferens om varians og standardavvik for ett normalfordelt utvalg (9.4) Inferens om variansen til en normalfordelt populasjon bruker kjikvadrat-fordelingen ( chi-square distribution ) (der kji er den
DetaljerEstimering og hypotesetesting
Kapittel 10 Ett- og toutvalgs hypotesetesting TMA4240 H2006: Eirik Mo 2 Estimering og hypotesetesting Fenomen Bilkjøring Høyden til studenter Spørsmål Hvor stor andel av studentene synes de er flinkere
DetaljerH 0 : Null hypotese. Konservativ. H 1 : Alternativ hypotese. Endring. Kap.10 Hypotesetesting
Hypotesetesting H 0 : Null hypotese. Konservativ. H 1 : Alternativ hypotese. Endring. Rettsvesen hypotese Tiltalte er uskyldig inntil det motsatte er bevist. Hypoteser H 0 : Tiltalte er uskyldig H 1 :
DetaljerOppgaver fra 8.3, 8.4, , 8.51, 8.52, 8.231, 8.232, 8.250, 8.252
Oppgaver fra 8.3, 8.4, 8.5 8.41, 8.51, 8.52, 8.231, 8.232, 8.250, 8.252 8.41 Populasjon: Tilfeldig variabel X : Trekke en tilfeldig flaske og måle volumet Ukjent sannsynlighetsfordeling, men forventning
Detaljer