ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 Kp. 6, del 3

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 Kp. 6, del 3"

Transkript

1 ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 Kp. 6, del 3 Bjørn H. Auestad Institutt for matematikk og naturvitenskap Universitetet i Stavanger 20. mars Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 1 / 55

2 Oversikt, rep. uke 11 µ, målemodell, 1 µ, målemodell, 2 binomisk; n stor Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 2 / 55

3 Oversikt, rep. uke 11 Oversikt, rep. uke 11 µ, målemodell, 1 µ, målemodell, 2 binomisk; n stor H 0, H 1 ; teststørrelse, nullfordeling, kritisk verdi, forkastningsområde, signifikansnivå Hypotesetesting i ulike sitausjoner: 1. for forventingen, µ, i målemodellen med normalantakelse og kjent varians, σ for forventingen, µ, i målemodellen med n stor og normaltilnærming (variansen, σ 2, ukjent). 3. for suksessannsynligheten, p, i binomisk modell; n stor og normaltilnærming. Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 3 / 55

4 µ, målemodell, normalantakelse, kjent varians Oversikt, rep. uke 11 µ, målemodell, 1 µ, målemodell, 2 binomisk; n stor Målemodellen m/normalantakelse og kjent σ 2 : n målinger: x 1,..., x n ; betraktes som utfall av: X 1,...,X n, u.i.f. tilfeldige variable E(X i ) = µ og Var(X i ) = σ 2, i = 1,...,n X i normalfordelt og σ 2 kjent. Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 4 / 55

5 µ, målemodell, normalantakelse, kjent varians Oversikt, rep. uke 11 µ, målemodell, 1 µ, målemodell, 2 binomisk; n stor Test (m/ sign.nivå α) for H 0 : µ = µ 0 mot H 1 : µ < µ 0 Forkast H 0 dersom X µ 0 σ 2 n z α Test (m/ sign.nivå α) for H 0 : µ = µ 0 mot H 1 : µ > µ 0 Forkast H 0 dersom X µ 0 σ 2 n z α Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 5 / 55

6 µ, målemodell, n stor og tilnærmet normalfordeling Oversikt, rep. uke 11 µ, målemodell, 1 µ, målemodell, 2 binomisk; n stor Målemodellen: n målinger: x 1,...,x n ; betraktes som utfall av: X 1,...,X n, u.i.f. tilfeldige variable E(X i ) = µ og Var(X i ) = σ 2, i = 1,...,n. σ 2 (og µ ) ukjent; (ingen forutsetnning om fordeling til X i ene eller om kjent varians) Estimator for variansen: S 2 = σ 2 = 1 n 1 n i=1 ( Xi X ) 2 Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 6 / 55

7 µ, målemodell, n stor og tilnærmet normalfordeling Oversikt, rep. uke 11 µ, målemodell, 1 µ, målemodell, 2 binomisk; n stor Test (m/ tilnærmet sign.nivå α) for H 0 : µ = µ 0 mot H 1 : µ < µ 0 Forkast H 0 dersom X µ 0 S 2 n z α Test (m/ tilnærmet sign.nivå α) for H 0 : µ = µ 0 mot H 1 : µ > µ 0 Forkast H 0 dersom X µ 0 S 2 n z α Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 7 / 55

8 p, i binomisk modell; n stor og normaltilnærming Oversikt, rep. uke 11 µ, målemodell, 1 µ, målemodell, 2 binomisk; n stor Generelt Situasjon: Binomisk modell (ev. som tilnærming til hypergeom.) Data: antall suksesser av n mulige er registrert. Resultatet betraktes som utfall av den tilfeldige variable Y der Y B(n, p) n og p er slik at fordelingen til Y kan tilnærmes med normalfordelingen. La p = Y n (estimator for p). Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 8 / 55

9 p, i binomisk modell; n stor og normaltilnærming Oversikt, rep. uke 11 µ, målemodell, 1 µ, målemodell, 2 binomisk; n stor Test (m/ tilnærmet sign.nivå α) for Forkast H 0 dersom H 0 : p = p 0 mot H 1 : p < p 0 p p 0 p 0 (1 p 0 ) n z α Test (m/ tilnærmet sign.nivå α) for H 0 : p = p 0 mot H 1 : p > p 0 Forkast H 0 dersom p p 0 p 0 (1 p 0 ) n z α Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 9 / 55

10 binomisk, n Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 10 / 55

11 Oversikt, del 3 binomisk, n Styrke Tosidige tester 1. for forventingen, µ, i målemodellen med normalantakelse og kjent varians, σ for forventingen, µ, i målemodellen med n stor og normaltilnærming (variansen, σ 2, ukjent). 3. for suksessannsynligheten, p, i binomisk modell; n stor og normaltilnærming. Test for p i binomisk modell; n. t-fordeling, t-test, t-intervall Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 11 / 55

12 Styrke binomisk, n Signifikansnivå til test = P(forkaste H 0 H 0 riktig) Dvs.: signifikansnivå til test = P(gjøre type I-feil ) Virkeligheten H 0 riktig H 1 riktig Konklusjon på test: Forkast H 0 I-feil ok! Konklusjon på test: Behold H 0 ok! II-feil Lavt sign.nivå: sannsynlighet for type I-feil. Type II-feil. Sannsynligheten for å ikke gjøre type II-feil når H 1 riktig har med testens styrke å gjøre; jf. kp. 6.4 i boken. Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 12 / 55

13 Styrke binomisk, n Sannsynligheten for å ikke gjøre type II-feil når H 1 riktig: = P(forkaste H 0 H 1 riktig) Virkeligheten H 0 riktig H 1 riktig Konklusjon på test: Forkast H 0 I-feil ok! Konklusjon på test: Behold H 0 ok! II-feil Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 13 / 55

14 Styrke binomisk, n Styrke: = P(forkaste H 0 H 1 riktig) ph-eksempel: Test (m/ sign.nivå α = 0.05) for H 0 : µ = 6.0 mot H 1 : µ < 6.0 (Forkast H 0 dersom X 5.48.) Dersom ph en i virkeligheten var 5.5 (H 1 riktig), hva er da sannsynligheten for at vi vil oppdage det (at H 1 er riktig i virkeligheten)? Tenk: vi skal innhente dataene; vi skal få et utfall av X. Se inntil videre bort fra utfallet (x = 5.27) vi i praksis har. Mao.: Hva er sannsynligheten for å forkaste H 0 (med vår test), dersom i virkeligheten µ = 5.5? Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 14 / 55

15 Styrke binomisk, n Sannsynligheten for å forkaste H 0 (med vår test), dersom i virkeligheten µ = 5.5, er: P(forkaste H0 µ = 5.5) = P(X 5.48 µ = 5.5) = P( X = P(Z 0.06) = µ = 5.5) 1 } 10 {{ } = 0.06 (Her er Z N(0, 1). Kritisk verdi, 5.48 = ) Dvs.: En dag virkelig ph er 5.5, er det 47.61% sjanse for at vi vil konludere at ph< 6 med bruk av vår test. Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 15 / 55

16 Styrke binomisk, n Styrke til testen i alternativet µ = 5.5 Styrken vil åpenbart variere avhengig hvilken alternativ µ-verdi vi betrakter. Styrken til testen er en funksjon av aktuell parameter; her: P(forkaste H 0 µ = µ 1 ) = P(X 5.48 µ = µ 1 ) = P( X µ = P(Z 5.48 µ µ ) = γ(µ 1 ) µ = µ 1 ) Obs.: boken bruker β som symbol for styrke; Vi bruker γ Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 16 / 55

17 Styrke binomisk, n Styrken: γ(µ 1 ) = P(forkaste H 0 µ = µ 1 ) = P(Z 5.48 µ 1) er en funksjon av µ 1 Styrke i alternativene µ 1 = 5.75, 5.25 og 5.0: µ (6.0) 5.48 µ 1 1/ γ(µ 1 ) 0.48 µ (6.0) 5.48 µ 1 1/ γ(µ 1 ) Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 17 / 55

18 Styrke binomisk, n Plott av styrkefunksjonen: Plott av styrkefunksjonen for ph-eksempelet; test m/5% nivå. µ (6.0) 5.48 µ 1 1/ ( 1.645) γ(µ 1 ) (0.05) µ 1 på x-aksen og γ(µ 1 ) på y-aksen. Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 18 / 55

19 Styrke binomisk, n Plott av styrkefunksjonen for ph-eksempelet; test m/5% nivå. 0 Ideell styrkefunksjon: µ 1 på x-aksen og γ(µ 1 ) på y-aksen µ 1 på x-aksen og γ(µ 1 ) på y-aksen. Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 19 / 55

20 Styrke binomisk, n Styrke vs. signifikansnivå For fast n (antall data) kan vi ikke få både lavt sign.nivå og stor styrke. Vi prioriterer lavt sign.nivå. (Usymmetri i valg av H 0 og H 1 ) Lag en test med sign.nivå 0.01 for ph-dataene. Beregn styrken i alternativene 5.75, 5.5, 5.25, og skisser grafen til styrkefunksjonen. Kommenter! Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 20 / 55

21 Styrke binomisk, n Plott av styrkefunksjonen for ph-eksempelet; test m/5% nivå: rød, og test m/1% nivå: grønn µ 1 på x-aksen og γ(µ 1 ) på y-aksen. Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 21 / 55

22 Styrke binomisk, n Generell definisjon... Situasjon og modell fastlagt; test ang. parameteren θ Følgende er også fastlagt: H 0 og H 1 Teststørrelse, sign.nivå og forkastningsområde / kritisk verdi Def.: Styrkefunksjonen, γ, er definert ved: γ(θ) = P(forkaste H 0 θ). For en bestemt verdi θ 1 (slik at H 1 er riktig), kalles sannsynligheten γ(θ 1 ) for styrken i alternativet θ 1. Styrke (ev. tilnærmet styrke) kan finnes for alle testene vi har sett på til nå, på tilsvarende måte som i de to foregående eksemplene. Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 22 / 55

23 Styrke binomisk, n Eksempel, meningsmåling: Resultat: 91 av n = 500 vil stemme aktuelt parti. Er det grunnlag for å hevde at (virkelig) oppslutning har gått ned fra 0.2? Vi vil teste: H 0 : p = 0.2 mot H 1 : p < 0.2 Test med tiln. 5% sign.nivå: Forkast H 0 dersom p = Y/n Styrken til testen er en funksjon av andelen, p. Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 23 / 55

24 Styrke binomisk, n Styrken er en funksjon av andelen, p. For p 1 < 0.2: P(forkaste H 0 p = p 1 ) = P( p 0.17 p = p 1 ) = P( p p 1 p 1 (1 p 1 ) 500 P(Z 0.17 p 1 p 1 (1 p 1 ) p 1 p 1 (1 p 1 ) 500 p (0.2) γ(p 1 ) (0.05) ) = γ(p 1 ) p = p 1 ) Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 24 / 55

25 Oversikt, del 3 binomisk, n Styrke Tosidige tester 1. for forventingen, µ, i målemodellen med normalantakelse og kjent varians, σ for forventingen, µ, i målemodellen med n stor og normaltilnærming (variansen, σ 2, ukjent). 3. for suksessannsynligheten, p, i binomisk modell; n stor og normaltilnærming. Test for p i binomisk modell; n. t-fordeling, t-test, t-intervall Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 25 / 55

26 Tosidige tester binomisk, n Utgangspunkt: målemodellen med normalantakelse og kjent varians. n målinger: x 1,..., x n ; betraktes som utfall av: X 1,...,X n, u.i.f. tilfeldige variable E(X i ) = µ og Var(X i ) = σ 2, i = 1,...,n X i normalfordelt og σ 2 kjent. Test av H 0 : µ = µ 0 mot H 1 : µ < µ 0 Ensidig alternativ ; tilhørende test: Ensidig test (Tilsvarende ved test av H 0 : µ = µ 0 mot H 1 : µ > µ 0 ) Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 26 / 55

27 Tosidige tester binomisk, n Ofte vil man være interessert i å teste: H 0 : µ = µ 0 mot H 1 : µ µ 0 Tosidig alternativ ; tilhørende test: Tosidig test Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 27 / 55

28 Tosidige tester binomisk, n Eksempel: Hardhet til et spesielt stål blir undersøkt; seks målinger (i kg/mm 2 ): 351, 322, 297, 291, 354, 322. Gjennomsnitt: 322.8; Man er interessert i om hardheten er forskjelig fra 300 kg/mm 2. Tyder resultatene på at hardheten er ulik 300? Målemodell med normalantakelse; kjent varians, σ 2 = Forventningen, µ: virkelig hardhet Vil teste: H 0 : µ = 300 mot H 1 : µ 300 Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 28 / 55

29 Tosidige tester binomisk, n Vil teste: H 0 : µ = 300 mot H 1 : µ 300 Under H 0 er (teststørrelse, nullfordeling) Z = X N(0, 1) Forkaster H 0 dersom µ = X peker klart i retning av at H 1 er korrekt. Test (m/sign.nivå α): Forkast H 0 dersom Z z α/2 eller Z z α/ N(0, 1) tetthet Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 29 / 55

30 Tosidige tester binomisk, n Gjennomføring av test på 5% nivå: Sign.nivå, α = 0.05 α/2 = 0.025; z = 1.96 Data: Utfall av: X : = 2.23 Siden 2.23 > z = 1.96, kan vi forkaste H 0. Dataene tyder på at virkelig hardhet, µ, er ulik 300 kg/mm 2. Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 30 / 55

31 Tosidig test, binomisk, n Generelt; tosidig test for µ i målemodellen med normalantakelse og kjent varians, σ 2 : Teststørrelse: Z = X µ 0 σ 2 n Test (m/ sign.nivå α) for H 0 : µ = µ 0 mot H 1 : µ µ 0 Forkast H 0 dersom, Nullfordeling: N(0, 1) Z z α/2 eller Z z α/ N(0, 1) tetthet Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 31 / 55

32 Tosidig test, binomisk, n Generelt; tosidig test for µ i målemodellen med n stor og normaltilnærming: Teststørrelse: Z = X µ 0 S 2 n Test (m/ tilnærmet sign.nivå α) for H 0 : µ = µ 0 mot H 1 : µ µ 0 Forkast H 0 dersom, Nullfordeling: N(0, 1), (tiln.) Z z α/2 eller Z z α/ N(0, 1) tetthet Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 32 / 55

33 Tosidig test, binomisk, n Generelt; tosidig test for p i binomisk modell med n stor og normaltilnærming: Teststørrelse: Z = p p 0 p 0 (1 p 0 ) n Test (m/ tilnærmet sign.nivå α) for H 0 : p = p 0 mot H 1 : p p 0 Forkast H 0 dersom, Nullfordeling: N(0, 1), (tiln.) Z z α/2 eller Z z α/ N(0, 1) tetthet Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 33 / 55

34 Oversikt, del 3 binomisk, n Styrke Tosidige tester 1. for forventingen, µ, i målemodellen med normalantakelse og kjent varians, σ for forventingen, µ, i målemodellen med n stor og normaltilnærming (variansen, σ 2, ukjent). 3. for suksessannsynligheten, p, i binomisk modell; n stor og normaltilnærming. Test for p i binomisk modell; n. t-fordeling, t-test, t-intervall Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 34 / 55

35 Test, binomisk, n binomisk, n Test for p i binomisk modell, n Eksempel: En ny medisin for en bestemt sykdom skal prøves ut. Gammel medisin for denne sykdommen helbreder i 60% av tilfellene (fastslått etter lang tids erfaring). Forsøk for å prøve ut den nye: 20 tilfeldig valgte individ med sykdommen får medisinen og det blir registrert at 14 blir helbredet; 14 av 20 er 70%. Tyder dette resultatet på at den nye er bedre enn den gamle? Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 35 / 55

36 Test, binomisk, n binomisk, n Statistisk tenking: Vi betrakter resultatet (14 av 20 helbredet) som utfall av en tilfeldig variabel Y, der Y B(n, p), n = 20, p: ukjent. Obs.: det er rimelig med binomisk fordeling for Y! p er helbredelsessannsynligheten for ny medisin. For den gamle har vi: p = 0.6. Vi vil teste H 0 : p = 0.6 mot H 1 : p > 0.6 Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 36 / 55

37 Test, binomisk, n binomisk, n Vi vil teste H 0 : p = 0.6 mot H 1 : p > 0.6 Teststørrelse: Y ; nullfordeling: Y B(20, 0.6): Dette beskriver hva som er tenkelige utfall under H 0 Store verdier av Y indikerer at H 1 er riktig. Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 37 / 55

38 Test, binomisk, n binomisk, n Store verdier av Y indikerer at H 1 er riktig. Derfor: Test: Forkast H 0 dersom Y k, der k (kritisk verdi) er slik at testen får ønsket signifikansnivå (...). Kritisk verdi, k, finnes vha. binomisk tabell (n = 20, p = 0.6) slik at sign.nivå = P(forkaste H 0 H 0 riktig) = P(Y k p = 0.6) er nærmest mulig ønsket sign.nivå Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 38 / 55

39 Test, binomisk, n binomisk, n Fra binomisk tabell: y P(Y y) Vi må prøve oss fram med forskjellige verdier av k. Dersom vi ønsker sign.nivå (nærmest mulig) 0.05, ser vi at P(Y 16) = 1 P(Y 15) = = Dvs., med k = 16 får vi en test med sign.nivå Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 39 / 55

40 Test, binomisk, n binomisk, n Gjennomføring/konklusjon: Data: utfall av Y : 14 k = 16 Konklusjon: behold H 0 ; Det er ikke grunnlag for å påstå at ny medisin har høyere helbredelsessannsynlighet. Skisser styrkefunksjonen til denne testen! Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 40 / 55

41 Tosidig test, binomisk, n binomisk, n Eksempel: Vi har gjort 20 kast med terning; 6 gav partall. Vi er interessert i p = P(partall). Vi betrakter resultatet (6 partall av 20 kast ) som utfall av en tilfeldig variabel Y, der Y B(n, p), n = 20, p: ukjent. Vil teste H 0 : p = 0.5 mot H 1 : p 0.5; Ønsker å bruke signifikansnivå Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 41 / 55

42 Tosidig test, binomisk, n binomisk, n Vi vil teste H 0 : p = 0.5 mot H 1 : p 0.5 Teststørrelse: Y ; nullfordeling: Y B(20, 0.5): Dette beskriver hva som er tenkelige utfall under H 0 Store eller små verdier av Y indikerer at H 1 er riktig. Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 42 / 55

43 Tosidig test, binomisk, n binomisk, n Store eller små verdier av Y indikerer at H 1 er riktig. Derfor: Test: Forkast H 0 dersom Y k 1 eller dersom Y k 2, der k 1 og k 2 (kritiske verdier) er slik at testen får ønsket signifikansnivå (...). k 1 og k 2, finnes vha. binomisk tabell (n = 20, p = 0.5) slik at sign.nivå = P(forkaste H 0 H 0 riktig) = P(Y k 1 p = 0.5) + P(Y k 2 p = 0.5) er nærmest mulig ønsket sign.nivå Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 43 / 55

44 Tosidig test, binomisk, n binomisk, n Fra binomisk tabell: y P(Y y) Vi må prøve oss fram med forskjellige verdier av k 1 og k 2. Dersom vi ønsker sign.nivå (nærmest mulig) 0.05, ser vi at P(Y 5) = , og P(Y 15) = 1 P(Y 14) = = Dvs., med k 1 = 5 og k 2 = 15 får vi en test med sign.nivå = Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 44 / 55

45 Tosidig test, binomisk, n binomisk, n Gjennomføring/konklusjon: Data: utfall av Y : 6 k 1 = 5 (eller større enn k 2 ) Konklusjon: behold H 0 ; Det er ikke grunnlag for å påstå at p 0.5. Skisser styrkefunksjonen til denne testen! Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 45 / 55

46 Oversikt, del 3 binomisk, n Styrke Tosidige tester 1. for forventingen, µ, i målemodellen med normalantakelse og kjent varians, σ for forventingen, µ, i målemodellen med n stor og normaltilnærming (variansen, σ 2, ukjent). 3. for suksessannsynligheten, p, i binomisk modell; n stor og normaltilnærming. Test for p i binomisk modell; n. t-fordeling, t-test, t-intervall Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 46 / 55

47 t-fordeling binomisk, n Rett på definisjon: Utgangspunktet er målemodellen med normalantakelse: X 1,...,X n, u.i.f. tilf. var. der X i N(µ, σ 2 ). La σ 2 = S 2 = 1 n 1 n i=1 (X i X) 2, og T = X µ S 2 n Def. Student s t-fordeling: Dersom X 1,...,X n, er n u.i.f. tilf. var. der X i er normalfordelt med forventning µ og varians σ 2, i = 1,...,n, så er T (Student s) t-fordelt med n 1 frihetsgrader: T t(n 1) Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 47 / 55

48 t-fordeling Obs: I den beskrevne situasjonen har vi: X µ σ 2 n N(0, 1) og X µ S 2 n t(n 1) binomisk, n Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 48 / 55

49 t-fordeling Egenskaper til t-fordelingen: binomisk, n n(x) f1(x) f2(x) f15(x) t-fordelingen er avhengig av n. Den blir mer og mer lik N(0, 1)-fordelingen når n øker. symmetrisk omkring 0 tyngre haler enn N(0, 1)-fordelingen t-tabell!! Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 49 / 55

50 t-fordeling Fraktiler i t-fordelingen: binomisk, n Def. t α,d Dersom T er (Student s) t- fordelt med d frihetsgrader, defineres tallet t α,d ved at P(T > t α,d ) = α. Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 50 / 55

51 t-test Situasjon der vi bruker t-test: binomisk, n Målemodellen m/normalantakelse og ukjent varians, σ 2 : n målinger: x 1,..., x n ; betraktes som utfall av: X 1,...,X n, u.i.f. tilfeldige variable E(X i ) = µ og Var(X i ) = σ 2, i = 1,...,n X i normalfordelt og σ 2 ukjent. Obs. 1: X i normalfordelt Obs. 2: n (Dersom n er stor, trenger vi ikke bry oss med t-fordeling.) Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 51 / 55

52 t-test binomisk, n Eksempel: 10 blodsukkerinnh.målinger: 4.1, 5.1, 4.3, 3.8, 3.7, 5.2, 4.5, 4.8, 3.6, 4.4 Ønsker å teste H 0 : µ = 4.0 mot H 1 : µ > 4.0 Vi antar at: De n = 10 målingene: x 1,..., x n ; kan betraktes som utfall av: X 1,...,X n, u.i.f. tilfeldige variable, der E(X i ) = µ og Var(X i ) = σ 2, i = 1,...,n, og der X i er normalfordelt og σ 2 er ukjent. Variansen,σ 2 estimeres med: σ 2 = S 2 = 1 n 1 n i=1 (X i X) 2 Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 52 / 55

53 t-test binomisk, n Vil teste: H 0 : µ = 4 mot H 1 : µ > 4 Under H 0 er (teststørrelse, nullfordeling) T = X 4 S 2 10 t(9) Forkaster H 0 dersom µ = X peker klart i retning av at H 1 er korrekt. Test (m/sign.nivå α): Forkast H 0 dersom f9(x) 0.1 Z t α/2, t(9) tetthet Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 53 / 55

54 t-test binomisk, n Gjennomføring av test på 5% nivå: Sign.nivå, α = 0.05 t 0.05,9 = 1.83 Data: (Gj.sn. = 4.35, emp. varians = ) Utfall av: X 4 S 2 10 : = Siden > t 0.05,9 = 1.83, kan vi forkaste H 0. Dataene tyder på at virkelig blodsukkerinnhold, µ, er større enn 4. Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 54 / 55

55 t-test Generelt, tosidig... binomisk, n Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 3 55 / 55

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 Kp. 6, del 3

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 Kp. 6, del 3 ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 Kp. 6, del 3 Bjørn H. Auestad Institutt for matematikk og naturvitenskap Universitetet i Stavanger 20. mars Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 Kp. 6, del 4

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 Kp. 6, del 4 ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 Kp. 6, del 4 Bjørn H. Auestad Institutt for matematikk og naturvitenskap Universitetet i Stavanger 27. mars Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Hypotesetesting (kp. 6) Hypotesetesting. Kp. 6 Hypotesetesting ...

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Hypotesetesting (kp. 6) Hypotesetesting. Kp. 6 Hypotesetesting ... ÅMA Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 6 Kp. 6 (kp. 6)... Begrep: nullhypotese alternativhypotese ensidig, tosidig teststørrelse (testobservator) nullfordeling kritisk verdi, forkastningsområde

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Hypotesetesting (kp. 6) Hypotesetesting, innledning. Kp.

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Hypotesetesting (kp. 6) Hypotesetesting, innledning. Kp. ÅMA Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 8 Kp. 6 Hypotesetesting Hypotesetesting (kp. 6) Tre deler av faget/kurset:. Beskrivende statistikk. Sannsynlighetsteori, sannsynlighetsregning 3. Statistisk

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010 Oppsummering

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010 Oppsummering ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010 Oppsummering Bjørn H. Auestad Institutt for matematikk og naturvitenskap Universitetet i Stavanger 21. april Bjørn H. Auestad Oppsummering våren

Detaljer

Hypotesetesting (kp. 6) ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Tre deler av faget/kurset: 1. Beskrivende statistikk

Hypotesetesting (kp. 6) ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Tre deler av faget/kurset: 1. Beskrivende statistikk ÅMA Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2 Kp. 6 Hypotesetesting Hypotesetesting (kp. 6) Tre deler av faget/kurset:. Beskrivende statistikk 2. Sannsynlighetsteori, sannsynlighetsregning 3. Statistisk

Detaljer

ÅMA110 Sannsylighetsregning og statistikk Løsningsforslag til eksamen høst 2010, s. 1. Oppgave 1. Histogram over frekvenser.

ÅMA110 Sannsylighetsregning og statistikk Løsningsforslag til eksamen høst 2010, s. 1. Oppgave 1. Histogram over frekvenser. ÅMA1 Sannsylighetsregning og statistikk Løsningsforslag til eksamen høst 0, s. 1 (Det tas forbehold om feil i løsningsforslaget.) a) Gjennomsnitt: x = 1 Emp. standardavvik: Median: 1 (1.33 + 1.) = 1.35

Detaljer

ÅMA 110 SANNSYNLIGHETSREGNING MED STATISTIKK Løsningsforslag til regneøving nr. 12 (s. 34)

ÅMA 110 SANNSYNLIGHETSREGNING MED STATISTIKK Løsningsforslag til regneøving nr. 12 (s. 34) ÅMA 110 SANNSYNLIGHETSREGNING MED STATISTIKK Løsningsforslag til regneøving nr. s. 34 Oppgave.1 Situasjon betraktes som 7 Bernoulliforsøk; Suksess: dyr velger belønning 1, motsatt fiasko. P suksess = p;

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010 Kp. 6, del 4

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010 Kp. 6, del 4 ÅMA11 Sasylighetsregig med statistikk, våre 21 Kp. 6, del 4 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap Uiversitetet i Stavager 22. mars Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 4 1/ 29 Bjør

Detaljer

ÅMA 110 (TE 199) Sannsylighetsregning og statistikk Løsningsforslag til eksamen vår 2005, s. 1. Oppgave 1

ÅMA 110 (TE 199) Sannsylighetsregning og statistikk Løsningsforslag til eksamen vår 2005, s. 1. Oppgave 1 ÅMA 0 (TE 99) Sannsylighetsregning og statistikk Løsningsforslag til eksamen vår 005, s. Oppgave a) P (X 0) 0.04 + 0.04 + 0.06 + 0.06 + 0. + 0. + 0. 0.6 P (0 X 40) 0.0 + 0.0 + 0.04 + 0.04 + 0.06 0.0 P

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 Kp. 6, del 5

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 Kp. 6, del 5 ÅMA110 Sasylighetsregig med statistikk, våre 2006 Kp. 6, del 5 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap Uiversitetet i Stavager 3. april Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 5 1 / 56

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2008 Kp. 6, del 5

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2008 Kp. 6, del 5 ÅMA110 Sasylighetsregig med statistikk, våre 2008 Kp. 6, del 5 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap Uiversitetet i Stavager 26. mars Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 5 1/ 53

Detaljer

Hypotesetesting, del 4

Hypotesetesting, del 4 Oversikt, del 4 t-fordelig t-test t-itervall Del 5 Kofidesitervall vs. test p-verdi t-fordelig Rett på defiisjo: Utgagspuktet er målemodelle med ormalatakelse: X 1,...,X,u.i.f.tilf.var.derX i Nμ, σ 2 ).La

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007 Kp. 6, del 5. Hypotesetesting, del 5

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007 Kp. 6, del 5. Hypotesetesting, del 5 ÅMA11 Sasylighetsregig med statistikk, våre 7 Kp. 6, del 5 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap Uiversitetet i Stavager 26. mars Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 5 1/ 59 Bjør

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2008 Kp. 6, del 5

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2008 Kp. 6, del 5 ÅMA110 Sasylighetsregig med statistikk, våre 2008 Kp. 6, del 5 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap Uiversitetet i Stavager 3. april Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 5 1/ 56

Detaljer

Oversikt, del 5. Vi har sett på styrkefunksjon for ensidige tester. Eksempler (styrke, dimensjonering,...) Eksempler fra slutten av forrige uke

Oversikt, del 5. Vi har sett på styrkefunksjon for ensidige tester. Eksempler (styrke, dimensjonering,...) Eksempler fra slutten av forrige uke Hypotesetestig, del 4 oppsummerig fra Hypotesetestig, del 5 Kofidesitervall dimesjoerig Oversikt, del 5 Eksempler fra slutte av forrige uke Kofidesitervall p-verdi Eksempler Eksempler styrke, dimesjoerig,...

Detaljer

Eksempler fra slutten av forrige uke. Eksempler (styrke, dimensjonering,...) Eksempler fra slutten av forrige uke

Eksempler fra slutten av forrige uke. Eksempler (styrke, dimensjonering,...) Eksempler fra slutten av forrige uke Oversikt, del 5 Hypotesetestig, del 4 (oppsummerig fra Hypotesetestig, del 5 Kofidesitervall dimesjoerig Eksempler fra slutte av forrige uke Kofidesitervall p-verdi Eksempler Eksempler (styrke, dimesjoerig,...

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007 Kp. 6, del 4. Hypotesetesting, del 4

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007 Kp. 6, del 4. Hypotesetesting, del 4 ÅMA11 Sasylighetsregig med statistikk, våre 27 Kp. 6, del 4 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap Uiversitetet i Stavager 19. mars Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 4 1/ 27 Bjør

Detaljer

Oppgave 1. . Vi baserer oss på at p 47 1 og p 2 er tilnærmet normalfordelte (brukbar tilnærming). Vi har tilnærmet at (n 1 = n 2 = 47)

Oppgave 1. . Vi baserer oss på at p 47 1 og p 2 er tilnærmet normalfordelte (brukbar tilnærming). Vi har tilnærmet at (n 1 = n 2 = 47) MOT310 tatistiske metoder 1 Løsningsforslag til eksamen vår 006, s. 1 Oppgave 1 a) En tilfeldig utvalgt besvarelse får F av sensor 1 med sannsynlighet p 1 ; resultatene for ulike besvarelser er uavhengige.

Detaljer

Kandidatene 4507, 4542, 4545 og 4569 har meget gode besvarelser supert!

Kandidatene 4507, 4542, 4545 og 4569 har meget gode besvarelser supert! MOT 310 Statistiske metoder 1 Løsningsforslag til eksamen høst 2006, s. 1 Flott! Samlet sett leverer dere gode resultater. Kandidatene 4507, 4542, 4545 og 4569 har meget gode besvarelser supert! Totalt

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 ÅMA110 Sasylighetsregig med statistikk, våre 2006 Kp. 6, del 2 Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesig del 2 1/ 38 Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesig del 2 2/ 38 Oversikt 1. Hva er hypotesetestig? 2. Hypotesetestig

Detaljer

Hypotesetesting. Formulere en hypotesetest: Når vi skal test om en parameter θ kan påstås å være større enn en verdi θ 0 skriver vi dette som:

Hypotesetesting. Formulere en hypotesetest: Når vi skal test om en parameter θ kan påstås å være større enn en verdi θ 0 skriver vi dette som: Hypotesetesting. 10 og fore- Dekkes av pensumsidene i kap. lesingsnotatene. Hypotesetesting er en systematisk fremgangsmåte for å undersøke hypoteser (påstander) knyttet til parametre i sannsynlighetsfordelinger.

Detaljer

Oppgave 1. X 1 B(n 1, p 1 ) X 2. Vi er interessert i forskjellen i andeler p 1 p 2, som vi estimerer med. p 1 p 2 = X 1. n 1 n 2.

Oppgave 1. X 1 B(n 1, p 1 ) X 2. Vi er interessert i forskjellen i andeler p 1 p 2, som vi estimerer med. p 1 p 2 = X 1. n 1 n 2. Løsningsforslag til eksamen i MOT310 STATISTISKE METODER 1 VARIGHET: 4 TIMER DATO: 17 november 2008 TILLATTE HJELPEMIDLER: Kalkulator: HP30S, Casio FX82 eller TI-30 Tabeller og formler i statistikk Tapir

Detaljer

Rep.: generelle begrep og definisjoner Kp. 10.1, 10.2 og 10.3

Rep.: generelle begrep og definisjoner Kp. 10.1, 10.2 og 10.3 Kp. 1, oversikt ; oversikt, t- ; oversikt ; stor ; Hypoteseig; ett- og to-utvalg Rep.: geerelle begrep og defiisjoer Kp. 1.1, 1.2 og 1.3 Rep.: ett-utvalgser for μ (...), p Kp. 1 og 1.8 Nytt: ett-utvalgs

Detaljer

MOT 310 Statistiske metoder 1 Løsningsforslag til eksamen høst 2006, s. 1. Oppgave 1

MOT 310 Statistiske metoder 1 Løsningsforslag til eksamen høst 2006, s. 1. Oppgave 1 MOT 310 Statistiske metoder 1 Løsningsforslag til eksamen høst 2006, s. 1 Oppgave 1 a) Normalantakelse: Målingene x 1,..., x 21 og y 1,..., y 8 betraktes som utfall av tilfeldige variable X 1,..., X 21

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007 Kp. 6, del 2

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007 Kp. 6, del 2 ÅMA11 Sasylighetsregig med statistikk, våre 27 Kp. 6, del 2 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap 5. mars 21 Bjør H. Auestad Kp. 6: del 1/2 1/ 42 Bjør H. Auestad Kp. 6: del 1/2 2/ 42

Detaljer

MOT310 Statistiske metoder 1, høsten 2011

MOT310 Statistiske metoder 1, høsten 2011 MOT310 Statistiske metoder 1, høsten 2011 Bjørn H. Auestad Institutt for matematikk og naturvitenskap Universitetet i Stavanger 30. oktober, 2011 Bjørn H. Auestad Kp. 13: Én-faktor eksperiment 1 / 15 -tabell

Detaljer

Oppgave 1. a) Anlysetype: enveis variansanalyse (ANOVA). Modell for y ij = ekspedisjonstid nr. j for skrankeansatt nr. i:

Oppgave 1. a) Anlysetype: enveis variansanalyse (ANOVA). Modell for y ij = ekspedisjonstid nr. j for skrankeansatt nr. i: MOT310 tatistiske metoder 1 Løsningsforslag til eksamen høst 010, s 1 Oppgave 1 a) Anlysetype: enveis variansanalyse (ANOVA) Modell for y ij ekspedisjonstid nr j for skrankeansatt nr i: Y ij µ i + ε ij,

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010 Kp. 6, del 5

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010 Kp. 6, del 5 ÅMA110 Sasylighetsregig med statistikk, våre 2010 Kp. 6, del 5 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap Uiversitetet i Stavager 12. april Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 4 1/ 59

Detaljer

TMA4240 Statistikk Høst 2007

TMA4240 Statistikk Høst 2007 TMA4240 Statistikk Høst 2007 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer b4 Løsningsskisse Oppgave 1 Eksamen juni 1999, oppgave 3 av 3 a) µ populasjonsgjennomsnitt,

Detaljer

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Kap. 10: Inferens om to populasjoner Situasjon: Vi ønsker å sammenligne to populasjoner med populasjonsgjennomsnitt henholdsvis

Detaljer

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Statistisk inferens (kap. 8) Statistisk inferens er å tolke/analysere resultater fra utvalget for å finne ut mest mulig

Detaljer

TMA4240 Statistikk 2014

TMA4240 Statistikk 2014 TMA4240 Statistikk 2014 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer 12, blokk II Oppgave 1 På ein av vegane inn til Trondheim er UP interessert i å måle effekten

Detaljer

Econ 2130 uke 16 (HG)

Econ 2130 uke 16 (HG) Econ 213 uke 16 (HG) Hypotesetesting I Løvås: 6.4.1 6, 6.5.1-2 1 Testing av µ i uid modellen (situasjon I Z-test ). Grunnbegreper. Eksempel. En lege står overfor følgende problemstilling. Standardbehandling

Detaljer

Statistisk inferens (kap. 8) Hovedtyper av statistisk inferens. ST0202 Statistikk for samfunnsvitere

Statistisk inferens (kap. 8) Hovedtyper av statistisk inferens. ST0202 Statistikk for samfunnsvitere 2 Statistisk inferens (kap. 8) Statistisk inferens er å tolke/analysere resultater fra utvalget for å finne ut mest mulig om populasjonen. Konkret: Analysere en observator for å finne ut noe om korresponderende

Detaljer

Statistisk inferens (kap. 8) Hovedtyper av statistisk inferens. ST0202 Statistikk for samfunnsvitere

Statistisk inferens (kap. 8) Hovedtyper av statistisk inferens. ST0202 Statistikk for samfunnsvitere 2 Statistisk inferens (kap. 8) Statistisk inferens er å tolke/analysere resultater fra utvalget for å finne ut mest mulig om populasjonen. Konkret: Å analysere en utvalgsobservator for å trekke slutninger

Detaljer

Kapittel 8: Tilfeldige utvalg, databeskrivelse og fordeling til observatorar, Kapittel 9: Estimering

Kapittel 8: Tilfeldige utvalg, databeskrivelse og fordeling til observatorar, Kapittel 9: Estimering Kapittel 8: Tilfeldige utvalg, databeskrivelse og fordeling til observatorar, Kapittel 9: Estimering TMA4245 Statistikk Kapittel 8.1-8.5. Kapittel 9.1-9.3+9.15 Turid.Follestad@math.ntnu.no p.1/21 Har sett

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2011

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2011 ÅMA0 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 0 Kp. 3 Diskrete tilfeldige variable Noen viktige sannsynlighetsmodeller Noen viktige sannsynlighetsmodeller ( Sanns.modell : nå betyr det klasse/type sanns.fordeling.

Detaljer

2. Hypotesetesting i ulike sitausjoner: i. for forventingen, μ, i målemodellen med normalantakelse og kjent varians, σ 2.

2. Hypotesetesting i ulike sitausjoner: i. for forventingen, μ, i målemodellen med normalantakelse og kjent varians, σ 2. Oversikt 1. Hva er hypotesetestig? 2. i ulike sitausjoer: i. for forvetige, μ, med ormalatakelse og kjet varias, σ 2. ii. for forvetige, μ, med stor og ormaltilærmig (variase, σ 2, ukjet). iii. for suksessasylighete,

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Kp. 3 Diskrete tilfeldige variable. Diskrete tilfeldige variable, varians (kp. 3.

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Kp. 3 Diskrete tilfeldige variable. Diskrete tilfeldige variable, varians (kp. 3. ÅMA Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 8 Kp. Diskrete tilfeldige variable Kp. Diskrete tilfeldige variable Har sett på (tidligere: begrep/definisjoner; tilfeldig (stokastisk variabel sannsynlighetsfordeling

Detaljer

i x i

i x i TMA4245 Statistikk Vår 2016 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Anbefalte oppgaver 11, blokk II Oppgavene i denne øvingen dreier seg om hypotesetesting og sentrale

Detaljer

TMA4240 Statistikk Høst 2016

TMA4240 Statistikk Høst 2016 TMA4240 Statistikk Høst 2016 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Anbefalt øving 11 Oppgavene i denne øvingen dreier seg om hypotesetesting og sentrale begreper

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007 ÅMA Sasylighetsregig med statistikk, våre 27 Kp. 6 (kp. 6) Tre deler av faget/kurset:. Beskrivede statistikk 2. Sasylighetsteori, sasylighetsregig 3. Statistisk iferes estimerig kofidesitervall hypotesetestig

Detaljer

TMA4240 Statistikk Høst 2015

TMA4240 Statistikk Høst 2015 TMA4240 Statistikk Høst 2015 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer 11, blokk II I denne øvingen skal vi fokusere på hypotesetesting. Vi ønsker å gi dere

Detaljer

+ S2 Y ) 2. = 6.737 6 (avrundet nedover til nærmeste heltall) n Y 1

+ S2 Y ) 2. = 6.737 6 (avrundet nedover til nærmeste heltall) n Y 1 Løsningsforslag for: MOT10 STATISTISKE METODER 1 VARIGHET: 4 TIMER DATO: 6. november 007 TILLATTE HJELPEMIDLER: Kalkulator: HP0S, Casio FX8 eller TI-0 Tabeller og formler i statistikk (Tapir forlag) MERKNADER:

Detaljer

Kapittel 9 og 10: Hypotesetesting

Kapittel 9 og 10: Hypotesetesting Kapittel 9 og 1: ypotesetesting ypotesetesting er en standard vitenskapelig fremgangsmåte for å sjekke påstander. Generell problemstilling: Basert på informasjonen i data fra et tilfeldig utvalg ønsker

Detaljer

Kapittel 10: Hypotesetesting

Kapittel 10: Hypotesetesting Kapittel 10: Hypotesetesting TMA445 Statistikk 10.1, 10., 10.3: Introduksjon, 10.5, 10.6, 10.7: Test for µ i normalfordeling, 10.4: p-verdi Turid.Follestad@math.ntnu.no p.1/19 Estimering og hypotesetesting

Detaljer

α =P(type I feil) = P(forkast H 0 H 0 er sann) =1 P(220 < X < 260 p = 0.6)

α =P(type I feil) = P(forkast H 0 H 0 er sann) =1 P(220 < X < 260 p = 0.6) TMA4245 Statistikk Vår 212 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving 4 blokk II Løsningsskisse Oppgave 1 4 personer spurt. Hvis mellom 22 og 26 personer svarer

Detaljer

Oppgaven består av 9 delspørsmål som anbefales å veie like mye. Kommentarer og tallsvar er skrevet inn mellom << >>. Oppgave 1

Oppgaven består av 9 delspørsmål som anbefales å veie like mye. Kommentarer og tallsvar er skrevet inn mellom << >>. Oppgave 1 ECON 0 EKSMEN 007 VÅR SENSORVEILEDNING Oppgaven består av 9 delspørsmål som anbefales å veie like mye. Kommentarer og tallsvar er skrevet inn mellom >. Oppgave. La begivenhetene BC,, være slik at og

Detaljer

Merk at vi for enkelthets skyld antar at alle som befinner seg i Roma sentrum enten er italienere eller utenlandske turister.

Merk at vi for enkelthets skyld antar at alle som befinner seg i Roma sentrum enten er italienere eller utenlandske turister. ECON230: EKSAMEN 20 VÅR - UTSATT PRØVE 2 TALLSVAR. Oppgave Da Anne var på besøk i Roma, fikk hun raskt problemer med språket. Anne snakker engelsk, men ikke italiensk, og kun av 5 italienere behersker

Detaljer

a ) Forventningen estimeres med gjennomsnittet: x = 1 12 (x 1 + + x 12 ) = 1 (755 + 708 + + 748) = 8813/12 = 734.4

a ) Forventningen estimeres med gjennomsnittet: x = 1 12 (x 1 + + x 12 ) = 1 (755 + 708 + + 748) = 8813/12 = 734.4 ÅMA110 Sannsylighetsregning og statistikk Løsningsforslag til eksamen høst 011, s. 1 (Det tas forbehold om feil i løsningsforslaget. Oppgave 1 Vi betrakter dataene x 1,..., x 1 somutfall av n = 1 u.i.f.

Detaljer

Kap. 10: Inferens om to populasjoner. Eksempel. ST0202 Statistikk for samfunnsvitere

Kap. 10: Inferens om to populasjoner. Eksempel. ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Kap. 10: Inferens om to populasjoner Situasjon: Vi ønsker å sammenligne to populasjoner med populasjonsgjennomsnitt henholdsvis μ 1 og μ. Vi trekker da ett utvalg fra hver populasjon. ST00 Statistikk for

Detaljer

Inferens. STK Repetisjon av relevant stoff fra STK1100. Eksempler. Punktestimering - "Fornuftig verdi"

Inferens. STK Repetisjon av relevant stoff fra STK1100. Eksempler. Punktestimering - Fornuftig verdi Inferens STK1110 - Repetisjon av relevant stoff fra STK1100 Geir Storvik 12. august 2015 Data x 1,..., x n evt også y 1,..., y n Ukjente parametre θ kan være flere Vi ønsker å si noe om θ basert på data.

Detaljer

Estimering og hypotesetesting

Estimering og hypotesetesting Kapittel 10 Ett- og toutvalgs hypotesetesting TMA4240 H2006: Eirik Mo 2 Estimering og hypotesetesting Fenomen Bilkjøring Høyden til studenter Spørsmål Hvor stor andel av studentene synes de er flinkere

Detaljer

EKSAMEN KANDIDATNUMMER: EKSAMENSDATO: 11. juni HiS Jørstadmoen. TID: kl EMNEANSVARLIG: Hans Petter Hornæs

EKSAMEN KANDIDATNUMMER: EKSAMENSDATO: 11. juni HiS Jørstadmoen. TID: kl EMNEANSVARLIG: Hans Petter Hornæs KANDIDATNUMMER: EKSAMEN EMNENAVN: EMNENUMMER: Statistikk. BtG27 EKSAMENSDATO: 11. juni 28 KLASSE: HiS 6-9 Jørstadmoen. TID: kl. 8. 13.. EMNEANSVARLIG: Hans Petter Hornæs ANTALL SIDER UTLEVERT: 4 (innkl.

Detaljer

H 0 : Null hypotese. Konservativ. H 1 : Alternativ hypotese. Endring. Kap.10 Hypotesetesting

H 0 : Null hypotese. Konservativ. H 1 : Alternativ hypotese. Endring. Kap.10 Hypotesetesting Hypotesetesting H 0 : Null hypotese. Konservativ. H 1 : Alternativ hypotese. Endring. Rettsvesen hypotese Tiltalte er uskyldig inntil det motsatte er bevist. Hypoteser H 0 : Tiltalte er uskyldig H 1 :

Detaljer

HØGSKOLEN I STAVANGER

HØGSKOLEN I STAVANGER EKSAMEN I: MOT0 STATISTISKE METODER VARIGHET: TIMER DATO:. NOVEMBER 00 TILLATTE HJELPEMIDLER: KALKULATOR, TABELLER OG FORMLER I STATISTIKK (TAPIR FORLAG) OPPGAVESETTET BESTÅR AV OPPGAVER PÅ 7 SIDER HØGSKOLEN

Detaljer

Estimering og hypotesetesting

Estimering og hypotesetesting Kapittel 10 Ett- og toutvalgs hypotesetesting TMA4245 V2007: Eirik Mo 2 Estimering og hypotesetesting Fenomen Bilkjøring Høyden til studenter Spørsmål Hvor stor andel av studentene synes de er flinkere

Detaljer

Løsningsforslag eksamen 25. november 2003

Løsningsforslag eksamen 25. november 2003 MOT310 Statistiske metoder 1 Løsningsforslag eksamen 25. november 2003 Oppgave 1 a) Vi har µ D = µ X µ Y. Sangere bruker generelt trapesius-muskelen mindre etter biofeedback dersom forventet bruk av trapesius

Detaljer

STK Oppsummering

STK Oppsummering STK1110 - Oppsummering Geir Storvik 11. November 2015 STK1110 To hovedtemaer Introduksjon til inferensmetoder Punktestimering Konfidensintervall Hypotesetesting Inferens innen spesifikke modeller/problemer

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen i Statistikk SIF5060 Aug 2002

Løsningsforslag Eksamen i Statistikk SIF5060 Aug 2002 Løsningsforslag Eksamen i Statistikk SIF5060 Aug 2002 Oppgave 1 a) En god estimator er forventningsrett og har liten varians. Vi tester forventningsretthet: E[ˆµ] E[Y ] µ E[ µ] E[ 1 2 X + 1 2 Y ] 1 2 E[X]

Detaljer

Hypotesetesting av λ og p. p verdi.

Hypotesetesting av λ og p. p verdi. Forelesning 7, kapittel 6 Hypotesetesting av λ og p. p verdi. Det som gjøres i denne forelesningen er nær opptil det vi gjorde da vi konstruerte z test for µ, og styrkefunksjon for denne. I tillegg til

Detaljer

Notasjon og Tabell 8. ST0202 Statistikk for samfunnsvitere

Notasjon og Tabell 8. ST0202 Statistikk for samfunnsvitere 2 Inferens om varians og standardavvik for ett normalfordelt utvalg (9.4) Inferens om variansen til en normalfordelt populasjon bruker kjikvadrat-fordelingen ( chi-square distribution ) (der kji er den

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Noen viktige sannsynlighetsmodeller. Binomisk modell. Kp. 3 Diskrete tilfeldige variable

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Noen viktige sannsynlighetsmodeller. Binomisk modell. Kp. 3 Diskrete tilfeldige variable ÅMA Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 006. 3 Diskrete tilfeldige variable Noen viktige sannsynlighetsmodeller Noen viktige sannsynlighetsmodeller (k. 3.6 Hyergeometrisk modell (k. 3.7 Geometrisk

Detaljer

EKSAMEN. TILLATTE HJELPEMIDLER: Kalkulator. Hornæs: Formelsamling statistikk HiG. John Haugan: Formler og tabeller.

EKSAMEN. TILLATTE HJELPEMIDLER: Kalkulator. Hornæs: Formelsamling statistikk HiG. John Haugan: Formler og tabeller. KANDIDATNUMMER: EKSAMEN FAGNAVN: FAGNUMMER: Statistikk. REA1081 EKSAMENSDATO: 11. juni 2007. KLASSE: Ingeniørklasser. TID: kl. 9.00 13.00. FAGLÆRER: Hans Petter Hornæs ANTALL SIDER UTLEVERT: 4 (innkl.

Detaljer

TMA4240 Statistikk H2010

TMA4240 Statistikk H2010 TMA4240 Statistikk H2010 9.8: To uvalg (siste del) 9.9: Parvise observasjoner 9.10-9.11: Andelser 9.12: Varians Mette Langaas Foreleses onsdag 20.oktober, 2010 2 Norske hoppdommere og Janne Ahonen Janne

Detaljer

for x 0 F X (x) = 0 ellers Figur 1: Parallellsystem med to komponenter Figur 2: Seriesystem med n komponenter

for x 0 F X (x) = 0 ellers Figur 1: Parallellsystem med to komponenter Figur 2: Seriesystem med n komponenter TMA4245 Statistikk Vår 2016 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Innlevering 3, blokk II Dette er den første av to innleveringer i blokk 2. Denne øvingen skal oppsummere

Detaljer

Norske hoppdommere og Janne Ahonen

Norske hoppdommere og Janne Ahonen TMA440 Statistikk H010 9.8: To uvalg (siste del) 9.9: Parvise observasjoner 9.10-9.11: Andelser 9.1: Varians Mette Langaas Foreleses onsdag 0.oktober, 010 Norske hoppdommere og Janne Ahonen Janne Ahonen

Detaljer

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Kap. 9: Inferens om én populasjon I Kapittel 8 brukte vi observatoren z = x µ σ/ n for å trekke konklusjoner om µ. Dette

Detaljer

Dekkes av pensumsidene i kap. lesingsnotatene. Hypotesetesting er en systematisk fremgangsmåte

Dekkes av pensumsidene i kap. lesingsnotatene. Hypotesetesting er en systematisk fremgangsmåte Hypotesetesting. 10 og fore- Dekkes av pensumsidene i kap. lesingsnotatene. Hypotesetesting er en systematisk fremgangsmåte for å undersøke hypoteser (påstander) knyttet til parametre i sannsynlighetsfordelinger.

Detaljer

Oppgaver fra 8.3, 8.4, , 8.51, 8.52, 8.231, 8.232, 8.250, 8.252

Oppgaver fra 8.3, 8.4, , 8.51, 8.52, 8.231, 8.232, 8.250, 8.252 Oppgaver fra 8.3, 8.4, 8.5 8.41, 8.51, 8.52, 8.231, 8.232, 8.250, 8.252 8.41 Populasjon: Tilfeldig variabel X : Trekke en tilfeldig flaske og måle volumet Ukjent sannsynlighetsfordeling, men forventning

Detaljer

EKSAMEN KANDIDATNUMMER: EKSAMENSDATO: 26. mai 2006. SENSURFRIST: 16. juni 2006. KLASSE: HIS 04 07. TID: kl. 8.00 13.00.

EKSAMEN KANDIDATNUMMER: EKSAMENSDATO: 26. mai 2006. SENSURFRIST: 16. juni 2006. KLASSE: HIS 04 07. TID: kl. 8.00 13.00. KANDIDATNUMMER: EKSAMEN FAGNAVN: FAGNUMMER: Statistikk. BtG207 EKSAMENSDATO: 26. mai 2006. SENSURFRIST: 16. juni 2006. KLASSE: HIS 04 07. TID: kl. 8.00 13.00. FAGLÆRER: Hans Petter Hornæs ANTALL SIDER

Detaljer

Statistisk inferens: 9.14: Sannsynlighetsmaksimeringsestimatoren 8.5: Fordeling til gjennomsnittet 9.4: Konfidensintervall for µ (σ kjent)

Statistisk inferens: 9.14: Sannsynlighetsmaksimeringsestimatoren 8.5: Fordeling til gjennomsnittet 9.4: Konfidensintervall for µ (σ kjent) TMA440 Statistikk H010 Statistisk inferens: 9.14: Sannsynlighetsmaksimeringsestimatoren 8.5: Fordeling til gjennomsnittet 9.4: Konfidensintervall for µ (σ kjent) Mette Langaas Foreleses mandag 11.oktober,

Detaljer

Eksamensoppgave i ST1201/ST6201 Statistiske metoder

Eksamensoppgave i ST1201/ST6201 Statistiske metoder Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i ST1201/ST6201 Statistiske metoder Faglig kontakt under eksamen: Nikolai Ushakov Tlf: 45128897 Eksamensdato: 04. desember 2015 Eksamenstid (fra til): 09:00

Detaljer

Medisinsk statistikk Del I høsten 2009:

Medisinsk statistikk Del I høsten 2009: Medisinsk statistikk Del I høsten 2009: Kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger Pål Romundstad Beregning av sannsynlighet i en binomisk forsøksrekke generelt Sannsynligheten for at suksess intreffer X

Detaljer

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Kapittel 9: Inferens om én populasjon

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Kapittel 9: Inferens om én populasjon ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Kapittel 9: Inferens om én populasjon Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Kap. 9: Inferens om én populasjon Statistisk inferens har som mål å tolke/analysere

Detaljer

TMA4240 Statistikk Høst 2009

TMA4240 Statistikk Høst 2009 TMA4240 Statistikk Høst 2009 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer b6 Oppgave 1 Oppgave 11.5 fra læreboka. Oppgave 2 Oppgave 11.21 fra læreboka. Oppgave

Detaljer

MOT310 Statistiske metoder 1, høsten 2011 Løsninger til regneøving nr. 7 (s. 1) Oppgaver fra boka: n + (x 0 x) 2 1. n + (x 0 x) 1 2 ) = 1 γ

MOT310 Statistiske metoder 1, høsten 2011 Løsninger til regneøving nr. 7 (s. 1) Oppgaver fra boka: n + (x 0 x) 2 1. n + (x 0 x) 1 2 ) = 1 γ MOT310 Statistiske metoder 1, høsten 2011 Løsninger til regneøving nr. 7 (s. 1) Oppgaver fra boka: Oppgave 11.25 (11.27, 11.6:13) Modell: Y i = α + βx i + ε i der ε 1,..., ε n u.i.f. N(0, σ 2 ). Skal nne

Detaljer

Tilfeldige variabler. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk

Tilfeldige variabler. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk Forventning, varians og standardavvik Tilnærming av binomiske sannsynligheter Konfidensintervall Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i Oslo

Detaljer

Løsning på Dårlige egg med bruk av Tabell 2 i Appendix B

Løsning på Dårlige egg med bruk av Tabell 2 i Appendix B Situasjonen er som i quiz-eksempelet: n = 4, p = 1/3 ( suksess betyr å gjette riktig alternativ), q = 2/3. Oppgave: Finn P(x), x=0,1,2,3,4 fra den generelle formelen for binomisk sannsynlighetsfordeling

Detaljer

Løsningsforslag til eksamen i TMA4245 Statistikk 7. juni 2007

Løsningsforslag til eksamen i TMA4245 Statistikk 7. juni 2007 Løsningsforslag til eksamen i TMA4245 Statistikk 7. juni 2007 Oppgave 1: Pengespill a) For hver deltaker har vi følgende situasjon: Deltakeren får en serie oppgaver. Hver runde har to mulige utfall: Deltakeren

Detaljer

Kap. 6, Kontinuerlege Sannsynsfordelingar

Kap. 6, Kontinuerlege Sannsynsfordelingar Kapittel 6, Kontinuerlege Sannsynsfordelingar Sjå på eit utval av ofte brukte kontinuerlege sannsynsfordelingar Uniform I går Normal I går Eksponensial I dag Gamma I dag Kji-kvadrat I dag Nokre eigenskapar

Detaljer

Observatorer. STK Observatorer - Kap 6. Utgangspunkt. Eksempel høyde Oxford studenter

Observatorer. STK Observatorer - Kap 6. Utgangspunkt. Eksempel høyde Oxford studenter Observatorer STK00 - Observatorer - Kap 6 Geir Storvik 4. april 206 Så langt: Sannsynlighetsteori Stokastiske modeller Nå: Data Knytte data til stokastiske modeller Utgangspunkt Eksempel høyde Oxford studenter

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO Matematisk Institutt

UNIVERSITETET I OSLO Matematisk Institutt UNIVERSITETET I OSLO Matematisk Institutt Midtveiseksamen i: STK 1000: Innføring i anvendt statistikk Tid for eksamen: Onsdag 9. oktober 2013, 11:00 13:00 Hjelpemidler: Lærebok, ordliste for STK1000, godkjent

Detaljer

Kp. 11 Enkel lineær regresjon (og korrelasjon) Kp. 11 Regresjonsanalyse; oversikt

Kp. 11 Enkel lineær regresjon (og korrelasjon) Kp. 11 Regresjonsanalyse; oversikt Bjørn H. Auestad Kp. 11: Regresjonsanalyse 1 / 57 Kp. 11 Regresjonsanalyse; oversikt 11.1 Introduction to Linear Regression 11.2 Simple Linear Regression 11.3 Least Squares and the Fitted Model 11.4 Properties

Detaljer

Løsningsforslag ECON 2130 Obligatorisk semesteroppgave 2017 vår

Løsningsforslag ECON 2130 Obligatorisk semesteroppgave 2017 vår Løsningsforslag ECON 130 Obligatorisk semesteroppgave 017 vår Andreas Myhre Oppgave 1 1. (i) Siden X og Z er uavhengige, vil den simultane fordelingen mellom X og Z kunne skrives som: f(x, z) = P(X = x

Detaljer

Denne uken: kap : Introduksjon til statistisk inferens. - Konfidensintervall - Hypotesetesting - P-verdier - Statistisk signifikans

Denne uken: kap : Introduksjon til statistisk inferens. - Konfidensintervall - Hypotesetesting - P-verdier - Statistisk signifikans Denne uken: kap. 6.1-6.2-6.3: Introduksjon til statistisk inferens - Konfidensintervall - Hypotesetesting - P-verdier - Statistisk signifikans VG 25/9 2011 Statistisk inferens Mål: Trekke konklusjoner

Detaljer

Introduksjon til inferens

Introduksjon til inferens Introduksjon til inferens Hittil: Populasjon der verdien til et individ/enhet beskrives med en fordeling. Her inngår vanligvis ukjente parametre, μ, p,... Enkelt tilfeldig utvalg (SRS), observator p =

Detaljer

Om eksamen. Never, never, never give up!

Om eksamen. Never, never, never give up! Plan vidare Onsdag Gjere ferdig kap 11 + repetisjon Fredag Rekning av eksamensoppgåver Eksamen Mai 2014, oppgåve 2 (inkl normal fordeling, lin.reg. og deskriptiv statistikk) Eksamen August 2012, oppgåve

Detaljer

Oppgave 1. T = 9 Hypotesetest for å teste om kolesterolnivået har endret seg etter dietten: T observert = 2.16 0

Oppgave 1. T = 9 Hypotesetest for å teste om kolesterolnivået har endret seg etter dietten: T observert = 2.16 0 Løsningsforslag til eksamen i MOT310 STATISTISKE METODER 1 VARIGHET: 4 TIMER DATO: 08. mai 2008 TILLATTE HJELPEMIDLER: Kalkulator: HP30S, Casio FX82 eller TI-30 Tabeller og formler i statistikk (Tapir

Detaljer

Oppgaven består av 10 delspørsmål som anbefales å veie like mye. Kommentarer og tallsvar er skrevet inn mellom <<. >>. Oppgave 1

Oppgaven består av 10 delspørsmål som anbefales å veie like mye. Kommentarer og tallsvar er skrevet inn mellom <<. >>. Oppgave 1 ECON 0 EKSAMEN 004 VÅR SENSORVEILEDNING Oppgaven består av 0 delspørsmål som anbefales å veie like mye. Kommentarer og tallsvar er skrevet inn mellom

Detaljer

Verdens statistikk-dag.

Verdens statistikk-dag. Verdens statistikk-dag http://unstats.un.org/unsd/wsd/ Signifikanstester Ønsker å teste hypotese om populasjon Bruker data til å teste hypotese Typisk prosedyre Beregn sannsynlighet for utfall av observator

Detaljer

Konfidensintervall for µ med ukjent σ (t intervall)

Konfidensintervall for µ med ukjent σ (t intervall) Forelesning 3, kapittel 6 Konfidensintervall for µ med ukjent σ (t intervall) Konfidensintervall for µ basert på n observasjoner fra uavhengige N( µ, σ) fordelinger når σ er kjent : Hvis σ er ukjent har

Detaljer

EKSAMEN. TILLATTE HJELPEMIDLER: Kalkulator. Hornæs: Formelsamling statistikk HiG. John Haugan: Formler og tabeller.

EKSAMEN. TILLATTE HJELPEMIDLER: Kalkulator. Hornæs: Formelsamling statistikk HiG. John Haugan: Formler og tabeller. KANDIDATNUMMER: EKSAMEN FAGNAVN: FAGNUMMER: Statistikk. BtG207 EKSAMENSDATO: 11. juni 2007. KLASSE: HIS 05 08. TID: kl. 8.00 13.00. FAGLÆRER: Hans Petter Hornæs ANTALL SIDER UTLEVERT: 5 (innkl. forside)

Detaljer

Løsningsforslag oblig 1 STK1110 høsten 2014

Løsningsforslag oblig 1 STK1110 høsten 2014 Løsningsforslag oblig STK høsten 4 Oppgave I forbindelse med en studie av antioksidanter og antocyanider, ble innholdet av antocyan i 5 beger med blåbær målt. De målte verdiene var (i mg per gram): 55

Detaljer

Kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger.

Kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger. Kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger. Dekkes av kap. 6 og deler av kap. 8.5 i boka. Husk: f(x) er sannsynlighetstettheten til en kontinuerlig X dersom: 1. f(x) 0 for alle x R 2. f(x)dx =1 3. P (a

Detaljer

TMA4240 Statistikk Høst 2016

TMA4240 Statistikk Høst 2016 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Anbefalt øving 9 Løsningsskisse Oppgave 1 a) Vi lar her Y være antall fugler som kolliderer med vindmølla i løpet av den gitte

Detaljer

Løsningsforslag til andre sett med obligatoriske oppgaver i STK1110 høsten 2010

Løsningsforslag til andre sett med obligatoriske oppgaver i STK1110 høsten 2010 Løsningsforslag til andre sett med obligatoriske oppgaver i STK1110 høsten 2010 Oppgave 1 a Forventet antall dødsulykker i år i er E(X i λ i. Dermed er θ i λ i E(X i forventet antall dødsulykker per 100

Detaljer

Eksamensoppgåve i ST1201/ST6201 Statistiske metoder

Eksamensoppgåve i ST1201/ST6201 Statistiske metoder Institutt for matematiske fag Eksamensoppgåve i ST1201/ST6201 Statistiske metoder Fagleg kontakt under eksamen: Nikolai Ushakov Tlf: 45128897 Eksamensdato: 04. desember 2015 Eksamenstid (frå til): 09:00

Detaljer

Gammafordelingen og χ 2 -fordelingen

Gammafordelingen og χ 2 -fordelingen Gammafordelingen og χ 2 -fordelingen Gammafunksjonen Gammafunksjonen er en funksjon som brukes ofte i sannsynlighetsregning. I mange fordelinger dukker den opp i konstantleddet. Hvis man plotter n-fakultet

Detaljer