Denne uken: Kapittel 4.3 og 4.4

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "Denne uken: Kapittel 4.3 og 4.4"

Transkript

1 Sist: Kapittel 4.1, 4.2, 4.5 Tilfeldighet Sannsynlighetsmodeller Regler for sannsynlighet Denne uken: Kapittel 4.3 og 4.4 Tilfeldige variable Forventning og varians til tilfeldige variable

2 Litt repetisjon: Sannsynlighetsteori

3 Stokastisk forsøk og sannsynlighet Tilfeldig fenomen Individuelle utfall er usikre, men likevel et regulært mønster for et stort antall repetisjoner Sannsynlighet for et utfall av et tilfeldig fenomen Andel ganger et utfall skjer i en veldig lang serie av repetisjoner

4 Utfallsrom Utfallsrommet til et tilfeldig fenomen er mengden av alle mulige utfall En hendelse er et utfall eller et sett av utfall av et tilfeldig fenomen- det er altså en delmengde (undergruppe) av utfallsrommet Eksempel: Ett myntkast Utfallsrom: S={Mynt (M), Kron (K)} Eksempel hendelse: Ett myntkast gir mynt ={M} Eksempel: To myntkast Utfallsrom: S={MM,MK,KM,KK} Eksempel hendelse: To myntkast gir minst en mynt ={MM,MK,KM}

5 Egenskaper sannsynligheter - intuitivt 1. Tall mellom 0 og 1 P(Terning=1)=1/6 2. Alle mulige utfall må tilsammen ha sannsynlighet 1 P(Terning er 1,2,3,4,5 eller 6) = 1 3. Sannsynligheten for at en hendelse ikke inntreffer er 1 minus sannsynligheten for at den inntreffer P(Terning 1) = 1- P(Terning=1) = 1-1/6 = 5/6 = P(Terning = 2,3,4,5 eller 6) 4. To hendelser som ikke har noen felles utfall har sannsynlighet for at en av dem skjer lik summen av de individuelle utfallene P(Terning =1)=1/6, P(Terning=2)=1/6 P(Terning =1 eller 2)= 1/6 + 1/6 = 1/3

6 Disjunkte (ikke-overlappende) og ikkediskjunkte (overlappende) hendelser Her: P(A eller B)=P(A)+P(B) Her: P(A eller B) =P(A)+P(B)- P(A og B)

7 Eksempel: Benford's lov Første siffer i reelle tall som rapporteres inn (skatt, lønn, utgifter etc) følger ofte Benford s lov Oppdage fusk: Sammenlikne med tabell (falske rapporter følger ofte ikke samme mønster)

8 Eksempel: Benford's lov A={første tall er 6} P(A)=P(6)+P(7)+P(8)+P(9)=0.222 B={første tall er 1} P(B)=P(1)=0.301 P(A eller B) = P(første tall er 1, 6, 7, 8 eller 9) P(1)+P(6)+P(7)+P(8)+P(9)=0.727=P(A)+P(B)

9 Eksempel: Benford's lov A={første tall er 6} P(A)=P(6)+P(7)+P(8)+P(9)=0.222 B={første tall er odde} P(B)=P(1)+P(3)+P(5)+P(7)+P(9)=0.609 P(A eller B) = P(første tall er 1, 3, 5, 6, 7, 8 eller 9)= P(1)+P(3)+P(5)+P(6)+P(7)+P(8)+P(9)=0.727 P(A)+P(B) (fordi A og B ikke er disjunkte, de deler de individuelle utfallene 7 og 9)

10 Endelige antall utfall De individuelle utfallende til et tilfeldig fenomen er alltid disjunkte Addisjonsregelen gir dermed en metode for å gi sannsynligheter til hendelser med mer enn ett utfall Gi en sannsynlighet til hvert individuelle utfall (tall mellom 0 og 1 som tilsammen summerer seg til 1) Sannsynlighet for hendelse fås ved å summere sannsynlighetene for alle individuelle utfall involvert

11 Uavhengighet og multiplikasjonsregelen 5. Multiplikasjonsregel når A og B er uavhengige: P(A og B)=P(A) * P(B) Eksempel: Myntkast A = {Første kast er kron} B = {Andre kast er kron} Rimelig å anta at A og B er uavhengige Kunnskap om A endrer ikke sannsynligheten for B P(A og B) = P(A) * P(B) = 0.5*0.5=0.25

12 Utdeling kort 52 kort, 26 røde, A=første kort rødt, B=andre kort rødt P(A) = 26/52 = 0.5 P(andre kort rødt hvis første rødt) =P(B hvis A har skjedd) =25/51 < 0.5 P(andre kort rødt hvis første sort) =P(B hvis A ikke har skjedd) = 26/51 > 0.5 Altså: Å vite om A skjer påvirker sannsynligheten for om B skjer, derfor er A og B ikke uavhengige Vi kan altså ikke bruke multiplikasjonsregelen (som antar uavhengighet) for å finne P(A og B) Da har vi generelt P(A og B)=P(B A) * P(A)

13 Multiplikasjon: Kun ved uavhengighet! Krybbedød: 1 av 8500 dør uforklarlig, sanns. 0, To barn døde i samme familie Foreldre siktet for drap Uavhengighet: P(To barn dør)= * =1/ Flere kvinner siktet i England Royal Statistical Society: Uavhengighet ikke rimelig, kan være en genetisk faktor Britisk regjering tok opp 258 saker på nytt

14 Kap 4.3: Stokastiske variable Utfallsrom kan ta ulike former, ikke nødvendigvis tall. Eksempel myntkast: 3 myntkast, utfallsrom: S={MMM,MMK,MKM, MKK,KMM,KMK,...} Ønsker numeriske utfall Dersom X = antall kron i 3 myntkast, er utfallsrommet for X: S={0,1,2,3} X er en stokastisk ( eller tilfeldig) variabel som kan ta verdiene 0,1, 2 eller 3

15

16 Stokastiske variable Stokastisk variabel: Variabel som tar verdier som er det numeriske utfallet av et stokastisk fenomen Betegnes ofte med store bokstaver nær slutten av alfabetet, f.eks. X og Y

17

18 Stokastiske variable og sansynlighetsmodeller Utfallsrommet til en stokastisk variabel X: Alle mulige verdier som X kan ta Vi skiller mellom diskrete og kontinuerlige stokastiske variable, etter om utfallsrommet for variabelen er diskret eller kontinuerlig

19 Diskrete stokastiske variable En diskret stokastisk variabel X har et endelig antall mulige verdier Sannsynlighetsfordelingen for X viser de mulige verdiene av X med tilhørende sannsynligheter: Sannsynlighetene p i må tilfredsstille 1. Hver sannsynlighet p i er et tall mellom 0 og 1 (regel 1 om sannsynligheter) 2. p 1 +p 2 +p p k =1 (regel 2 om sannsynligheter) Sannsynligheten for en hendelse finnes ved å legge sammen sannsynlighetene p i for de verdiene x i hendelsen består av

20 Diskret stokastisk variabel: Eksempel I kurset Statistics 101 er karakterfordelingen som følger: 1% F-er, 5% D-er, 30% C-er, 43% B-er og 21% A-er En students karakter X på en heltallsskala fra 0 til 4 (der 0 tilsvarer F, 1 tilsvarer D,..., og 4 tilsvarer A) er en diskret stokastisk variabel. Sannsynlighetsfordelingen til X er da Hendelsen at en student får B eller bedre er det samme som at X=3 eller X=4. Sannsynligheten for at en student får B eller bedre er da P(X 3) = P(X=3) + P(X=4) = = 0.64

21 Sannsynlighets-histogrammer Høyden på søylene i histogrammet viser sannsynligheten av utfallet vist på den horisontale aksen. Summen av søylene summerer seg til 1 (a) viser et sannsynlighetshistogram for kast med en 9-sidet terning (b) viser et sannsynlighetshistogram for Benford s lov

22 Myntkast Hva er sannsynlighetsfordelingen til den diskrete stokastiske variabelen som teller antall kron i fire myntkast? X=antall kron (H) i 4 myntkast Gjør to rimelige antagelser P(H)=P(T)=1/2, dvs. balansert mynt Uavhengige kast Totalt 16 mulige utfall av de fire kastene, og 4 mulige verdier av X

23 Myntkast Multiplikasjonsregelen for uavhengige hendelser gir oss at f.eks. hendelsen HTTH har sannsynlighet P(HTTH)=1/2*1/2*1/2*1/2=1/16 - alle de seksten mulige utfallene av myntkastene har sannsynlighet 1/16 Den stokastiske variabelen X (som teller antall kron (H) i de fire myntkastene) har fire mulige verdier (0,1,2,3,4). Disse verdiene er ikke like sannsynlige: P(X=0)=P(TTTT)= (Antall «gunstige» kombinasjoner)/(antall mulige kombinasjoner) =1/16= P(X=2)= (Antall «gunstige» kombinasjoner)/(antall mulige kombinasjoner) =6/16=0.375 Tilsvarende finnes sannsynlighetene for de andre mulige verdiene av X

24 Symmetrisk! Idealisering av hva som ville skjedd etter veldig mange repetisjoner

25 Myntkast: Sannsynligheter for sammensatte hendelser P(X 2)=P(X=2)+P(X=3)+P(X=4) = = P(X 1)=1-P(X=0) (komplementregelen) = = (Kunne også funnet denne som P(X 1)= P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4), men enklere/mindre regning å bruke komplementregelen her)

26 Kontinuerlige stokastiske variable Datamaskiner genererer tilfeldige tall mellom 0 og 1 S={alle tall x slik at 0 x 1} Sprer data uniformt over S Hvordan kan vi f.eks. finne en sannsynlighet for hendelsen 0.3 x 0.7? Kan ikke lengre allokere sannsynligheter til hver mulig verdi av x og summere, for det er uendelig mange mulige verdier! Bruker da tetthetskurver og areal

27 Kontinuerlige tilfeldige variable En variabel X som tar verdier i et intervall av tall (ikke et eksakt, enkelt tall) Sannsynlighetsfordelingen til X beskrives av en tetthetskurve Kun ikkenegative verdier Totalt areal lik 1 Sannsynligheten for en hendelse er arealet under tetthetskurven og over de verdier av X som beskriver hendelsen

28 Uniform (lik) tetthetskurve mellom 0 og 1 Fordi en tetthetskurve har areal=1, og denne tetthetskurven er for X mellom 0 og 1, er høyden=1 (areal=1*1=1)

29

30 Generell tetthetskurve: Sannsynligheten for en hendelse

31 Sannsynlighet 0 for enkeltverdier Angir sannsynligheter for kontinuerlige variable ved intervaller istedet for individuelle utfall Et utfall vil i praksis aldri være helt lik en bestemt verdi Alle sannsynlighetsfordelinger for kontinuerlige variable gir sannsynlighet 0 til alle individuelle utfall (P(X=x)=0)

32 Eksempel: Et utfall av en kontinuerlig variabel med tetthetskurve mellom 0 og 1 vil i praksis aldri være helt lik 0.8 X=0.8 er en mengde av lengde 0 Altså er arealet under kurven=0, og P(X=0.8)=0 Intuitiv forståelse: Se på sannsynligheten for intervaller som krymper: Tre desimaler: At X ligger mellom og har sannsynlighet Seks desimaler: At X ligger mellom og har sannsynlighet Jo trangere vi gjør intervallet, jo nærmere 0.8 vi kommer, jo mer nærmer sannsynligheten seg 0

33 Kontinuerlige variable: Ingen forskjell på < og Fordi det ikke er noen sannsynlighet for eksakt X=0.8, har hendelsene X< 0.8 og X 0.8 samme sannsynlighet Kan ignorere forskjellen mellom < og for kontinuerlige stokastiske variable (men ikke for diskrete!) Tilsvarende for > og

34 Normalfordeling Kjenner fra før tetthetskurven for normalfordelingen Normalfordelingen er en sannsynlighetsfordeling Hvis X er normalfordelt med forventning μ og standardavvik σ, sier vi at X er N(μ,σ)-fordelt Z=(X-μ)/σ er da N(0,1)-fordelt Skriver

35 Eksempel: Normalfordeling p=andel studenter som jukser på eksamen, parameter i populasjonen p =andel observert jukset i et tilfeldig utvalg på 400 studenter, observator vi kan bruke til å estimere (anslå) p p er en stokastisk variabel, repeterte utvalg vil gi ulike verdier av p Kan vise (kap. 5): p er tilnærmet N(0.12,0.016)-fordelt (hvis p=0.12). Har også sett dette i kap. 3 * Hva er sannsynligheten for at observatoren fra utvalget ikke er mer enn 0.02 forskjellig fra den sanne populasjonsverdien av p? Dvs. hva er sannsynligheten for at 0.10 p 0.14?

36 * Husk figur fra kap. 3:

37 P(0.10 p 0.14)=P(0.10 < p < 0.14) = P( ( )/0.016 < (p )/0.016 < ( )/0.016 ) = P(1.25 < Z < 1.25) = = Dette har vi lært å regne på før, men nå bruker vi sannsynlighetsspråket (i kap 1.3 snakket vi om andeler)

38 Forventning og varians til stokastiske variable Histogrammer for observerte data Gir et bilde av fordelingen av faktisk observerte data Sannsynlighets-histogrammer og tetthetskurver for stokastiske variable Gir et bilde av fordelingen til stokastiske variable, hvordan vi forventer at data vil oppføre seg før de er samlet inn

39 Tidligere har vi sett på gjennomsnitt og empirisk varians til observerte data Numeriske beskrivelser av observerte data Nå skal vi se på forventning og (teoretisk) varians til stokastiske variable Numeriske beskrivelser av teoretisk oppførsel

40 Velger tall mellom 000 og 999 Spill-eksempel Et tall trekkes tilfeldig ut og en vinner $500 hvis en har valgt riktig tall slike tresifrede tall, sannsynlighetene for å tape/vinne er derfor Eksempel tre spill: En spiller vant ingen av gangene. Observert gevinst er x 1 =$0, x 2 =$0 og x 3 =$0. Gjennomsittlig observert gevinst: x =(x 1 +x 2 +x 3 )/3=$0 En lang rekke av spill: 0.1% av gangene blir det gevinst, 99.9% av gangene blir det ikke det. Gjennomsnittlig utbetaling blir da $500* $0*0.999=$0.50 En lang rekke av spill gjenspeiler teoretisk forventet gjennomsnittlig utbetaling pr spill: $0.50

41 Idealisering Sannsynlighetsfordeling: Idealisert beskrivelse av andeler i det lange løp Forventning: Beskriver forventet verdi av gjennomsnittet i det lange løp Forventning=μ (eller μ X, for å huske at det er forventningen til X)

42

43 Eksempel S={1,2,3,4,5,6,7,8,9} P(X=i)=1/9=0.111 for alle i=1,2,3,...,9 μ X =1* * *0.111=5 Sannsynligheter etter Benford's lov μ X =1* * *0.046=3.441

44

45 Forventning for kontinuerlige variable Kap 1: Balansepunkt i fordeling Symmetriske fordelinger Lik senter Generelt: Regnes ut som et integral (der f(x) er sannsynlighetstettheten til x)

46

47 Statistisk estimering μ=forventet høyde i populasjon av kvinner μ: ukjent parameter Enkelt randomisert utvalg: x 1,...,x n Estimat for μ: x x observator, stokastisk variabel x forventningsrett Hvis vi fortsetter å legge til nye observasjoner til vårt tilfeldige utvalg, vil x garantert komme så nær vi ønsker den sanne forventningen μ (store talls lov)

48

49 Store talls lov x =(x 1 +x x n )/n x 1, x 2,...,x n uavhengige fra samme populasjon med forventning μ Når antall observasjoner, n, øker, vil x nærme seg μ Jacob Bernoulli i 1713

50 Høyde kvinner

51 Store talls lov Sier oss at gjennomsnitt er stabile og oppfører seg på en spesiell måte Et spillekasino kan tape på enkeltspillere, men vil gjennomsnittelig vinne fordi store talls lov sier dem hva gjennomsnittlig inntekt vil være over lang tid Et forsikringsselskap kan tape på enkeltkunder, men vil gjennomsnittelig tjene, fordi store talls lov sier dem hva gjennomsnittlig inntekt/utbetaling vil være for mange kunder Kan vises matematisk Hvor stort er stort? Avhenger av variabilitet på hver enkelt x i (jo større variabilitet, jo flere observasjoner trengs)

52 Regler for forventning For konstanter a og b, slik at a+bx er en lineærtransformasjon av X: For to stokastiske variable X og Y:

53 Regler for forventning: Eksempler Den stokastiske variabelen X har forventning 2 Forventningen til den stokastiske variabelen Y=3+5*X er da 3+5*2=13 Forventningen til den stokastiske variabelen Z=X+Y er 2+13=15

54 Eksempel: Bruk av regneregler for forventning og varians Eksempel på bruk av regnereglene: Doping i idrett Effekten X A av et prestasjonsfremmende medikament A har forventet prestasjonsøkning på μ XA =20% per mg medikament, standardavvik σ XA =5% Effekten X B av et annet prestasjonsfremmende medikament B har forventning μ XB =12.5% per mg medikament, med standardavvik σ XB =3% Effekten av de to medikamentene er uavhengig av hverandre, dvs. korrelasjonen=0 Sjansen for å oppdage medikamentene i en blodprøve er mindre jo lavere dose du tar, derfor prøver man å bruke så lite så mulig av hvert medikament, og samtidig oppnå prestasjonsøkning. Det er lettere å oppdage 1 mg av medikament A enn 1 mg av medikament B, derfor «tryggere» å bruke mer av medikament B (men dårligere effekt enn A)

55 La Z betegne prestasjonsøkningen dersom man tar 0.25 mg av medikament A og 0.6 mg av medikament B. Hva er forventet prestasjonsøkning? Dvs. hva er forventningen til Z? Z = 0.25*X A + 0.6*X B μ Z = μ 0.25*XA+0.6*XB = 0.25*μ XA + 0.6*μ XB = 0.25*20% + 0.6*12.5% = 12.5%

56 Variansen til en stokastisk variabel Varians og standardavvik er teoretiske mål på spredningen (variabiliteten) i sannsynlighetsfordelingen Observert varians for et datasett betegner vi s 2 Observert standardavvik for et datasett betegner vi s Teoretisk varians for den stokastiske variabelen X betegner vi σ 2 eller σ X 2 Teoretisk standardavvik for den stokastiske variabelen X betegner vi σ eller σ X Som for s 2 er den teoretisk variansen et slags gjennomsnitt (vektet av sannsynligheter som for forventningen) av kvadratet av avvikene (X-μ X ) 2

57

58

59 Standardavvik NB!!! Regel 2 for varianser betyr at standardavviket til summen av to uavhengige stokastiske variable ikke er lik summen av standardavvikene! Fremgangsmåte for å kombinere standardavvik: Bruk reglene for varianser, og ta deretter kvadratroten for å finne standardavviket

60 Dopingeksempelet igjen: La Z betegne prestasjonsøkningen dersom man tar 0.25 mg av medikament A og 0.6 mg av medikament B. Hva er forventet prestasjonsøkning? Dvs. hva er forventningen til Z? Og hva er standardavviket? Z = 0.25*X A + 0.6*X B σ Z 2 = σ *XA+0.6*XB = *σ XA *σ XB 2 = *(5%) *(12.5%) 2 = 4.8 % 2 σ Z = σ Z2 = 2.2% NB! Her var X A og X B uavhengige

61 Det viktige tilfellet X-Y (der X og Y er uavhengige): Hva når X og Y ikke er uavhengige?

62 Teoretisk korrelasjon Empirisk korrelasjon r mellom to observerte variable: Gjennomsnittet av produktet av de standardiserte observasjonene for hvert individ Teoretisk korrelasjon ρ mellom de stokastiske variablene X og Y: En type vektet gjennomsnitt av produktet av de standardiserte stokastiske variablene

63

64 Regneregler for forventning og varians: Eksempel

65 Oppsummering: Forventning til stokastiske variable Forventning: Idealisert beskrivelse av langtids utfall av gjennomsnitt For diskrete stokastisk variable: Vektet gjennomsnitt av x i -ene med sannsynlighetene som vekter For kontinuerlige stokastisk variable må vi integrere produktet av x og sannsynlighetstettheten til x

66 Oppsummering: Varians til stokastiske variable Teoretisk varians: Idealisert beskrivelse av langtids utfall av spredningen/variabiliteten For diskrete stokastisk variable: Vektet gjennomsnitt av (x i -μ X ) 2 -ene med sannsynlighetene som vekter For kontinuerlige stokastisk variable må vi integrere produktet av (x-μ X ) 2 og sannsynlighetstettheten til x

67 Oppsummering: Regneregler for forventning og varians

68 Neste uke: Forelesninger (Kapittel 5) tirsdag Plenumsregning onsdag Gjennomgang av midtveiseksamen 2010 onsdag

Kapittel 4.3: Tilfeldige/stokastiske variable

Kapittel 4.3: Tilfeldige/stokastiske variable Kapittel 4.3: Tilfeldige/stokastiske variable Litt repetisjon: Sannsynlighetsteori Stokastisk forsøk og sannsynlighet Tilfeldig fenomen Individuelle utfall er usikre, men likevel et regulært mønster for

Detaljer

Kapittel 4.4: Forventning og varians til stokastiske variable

Kapittel 4.4: Forventning og varians til stokastiske variable Kapittel 4.4: Forventning og varians til stokastiske variable Forventning og varians til stokastiske variable Histogrammer for observerte data: Sannsynlighets-histogrammer og tetthetskurver for stokastiske

Detaljer

Slide 1. Slide 2 Statistisk inferens. Slide 3. Introduction to the Practice of Statistics Fifth Edition

Slide 1. Slide 2 Statistisk inferens. Slide 3. Introduction to the Practice of Statistics Fifth Edition Slide 1 David S. Moore George P. McCabe Introduction to the Practice of Statistics Fifth Edition Chapter 4: Probability: The Study of Randomness 9/22/2010 Copyright 2005 by W. H. Freeman and Company Slide

Detaljer

Introduction to the Practice of Statistics

Introduction to the Practice of Statistics David S. Moore George P. McCabe Introduction to the Practice of Statistics Fifth Edition Chapter 4: Probability: The Study of Randomness Copyright 2005 by W. H. Freeman and Company Statistisk inferens

Detaljer

Sannsynlighet: Studiet av tilfeldighet

Sannsynlighet: Studiet av tilfeldighet Sannsynlighet: Studiet av tilfeldighet Vi så i forrige kapittel at utvalgsfordeling til en observator er fordelingen av verdien til observatoren i alle utvalg av samme størrelse fra populasjonen. Spesielt

Detaljer

Diskrete sannsynlighetsfordelinger som histogram. Varians. Histogram og kumulativ sannsynlighet. Binomial-fordelingen

Diskrete sannsynlighetsfordelinger som histogram. Varians. Histogram og kumulativ sannsynlighet. Binomial-fordelingen Diskret sannsynlighetsfordeling (kap 1.1-1.6) Oversikt Utfallsrom (sample space) Sannsynlighetsfordeling Forventning (expectation), E(, populasjonsgjennomsnitt Bruk av figurer og histogram Binomialfordelingen

Detaljer

Diskrete sannsynlighetsfordelinger som histogram. Varians. Histogram og kumulativ sannsynlighet. Forventning (gjennomsnitt) (X=antall mynt i tre kast)

Diskrete sannsynlighetsfordelinger som histogram. Varians. Histogram og kumulativ sannsynlighet. Forventning (gjennomsnitt) (X=antall mynt i tre kast) Diskret sannsynlighetsfordeling (kap 1.1-1.6) Oversikt Utfallsrom (sample space) Sannsynlighetsfordeling Forventning (expectation), E(X), populasjonsgjennomsnitt Bruk av figurer og histogram Binomialfordelingen

Detaljer

Utvalgsfordelinger (Kapittel 5)

Utvalgsfordelinger (Kapittel 5) Utvalgsfordelinger (Kapittel 5) Observator En observator er en funksjon av data for mange individer, for eksempel Gjennomsnitt Andel Stigningstall i regresjonslinje En observator er en tilfeldig variabel

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO Matematisk Institutt

UNIVERSITETET I OSLO Matematisk Institutt UNIVERSITETET I OSLO Matematisk Institutt Midtveiseksamen i: STK 1000: Innføring i anvendt statistikk Tid for eksamen: Onsdag 9. oktober 2013, 11:00 13:00 Hjelpemidler: Lærebok, ordliste for STK1000, godkjent

Detaljer

Kapittel 4: Sannsynlighet - Studiet av tilfeldighet

Kapittel 4: Sannsynlighet - Studiet av tilfeldighet Kapittel 4: Sannsynlighet - Studiet av tilfeldighet Vi så i forrige kapittel at utvalgsfordeling til en statistikk (observator) er fordelingen av verdiene til statistikken over alle utvalg av samme størrelse

Detaljer

TMA4240 Statistikk H2010

TMA4240 Statistikk H2010 TMA4240 Statistikk H2010 Statistisk inferens: 8.1: Tilfeldig utvalg 9.1-9.3: Estimering Mette Langaas Foreleses uke 40, 2010 2 Utfordring Ved en bedrift produseres en elektrisk komponent. Komponenten må

Detaljer

Utfordring. TMA4240 Statistikk H2010. Mette Langaas. Foreleses uke 40, 2010

Utfordring. TMA4240 Statistikk H2010. Mette Langaas. Foreleses uke 40, 2010 TMA4240 Statistikk H2010 Statistisk inferens: 8.1: Tilfeldig utvalg 9.1-9.3: Estimering Mette Langaas Foreleses uke 40, 2010 2 Utfordring Ved en bedrift produseres en elektrisk komponent. Komponenten må

Detaljer

Forelening 1, kapittel 4 Stokastiske variable

Forelening 1, kapittel 4 Stokastiske variable Forelening 1, kapittel 4 Stokastiske variable Eksempel X = "antall kron på kast med to mynter (før de er kastet)" Uniformt utfallsrom {MM, MK, KM, KK}. X = x beskriver hendelsen "antall kron på kast med

Detaljer

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Fra første forelesning: Populasjon Den mengden av individer/objekter som vi ønsker å analysere. Utvalg En delmengde av

Detaljer

ECON Statistikk 1 Forelesning 4: Stokastiske variable, fordelinger. Jo Thori Lind

ECON Statistikk 1 Forelesning 4: Stokastiske variable, fordelinger. Jo Thori Lind ECON2130 - Statistikk 1 Forelesning 4: Stokastiske variable, fordelinger Jo Thori Lind j.t.lind@econ.uio.no Oversikt 1. Betinget sannsynlighet 2. Stokastiske variable 3. Forventning og varians 4. Regneregler

Detaljer

Utvalgsfordelinger (Kapittel 5)

Utvalgsfordelinger (Kapittel 5) Utvalgsfordelinger (Kapittel 5) Oversikt pensum, fortid og fremtid Eksplorativ data-analyse (Kap 1, 2) Hvordan produsere data (Kap 3) Sannsynlighetsteori (Kap 4) Utvalgsfordelinger til observatorer (Kap

Detaljer

Seksjon 1.3 Tetthetskurver og normalfordelingen

Seksjon 1.3 Tetthetskurver og normalfordelingen Seksjon 1.3 Tetthetskurver og normalfordelingen Har sett på ulike metoder for å plotte eller oppsummere data Vil nå starte på hvordan beskrive data ved modeller Hovedmetode er tetthetskurver Tetthetskurver

Detaljer

Seksjon 1.3 Tetthetskurver og normalfordelingen

Seksjon 1.3 Tetthetskurver og normalfordelingen Seksjon 1.3 Tetthetskurver og normalfordelingen Har sett på ulike metoder for å plotte eller oppsummere data ved tall Vil nå starte på hvordan beskrive data ved modeller Hovedmetode er tetthetskurver Tetthetskurver

Detaljer

Utvalgsfordelinger. Utvalg er en tilfeldig mekanisme. Sannsynlighetsregning dreier seg om tilfeldige mekanismer.

Utvalgsfordelinger. Utvalg er en tilfeldig mekanisme. Sannsynlighetsregning dreier seg om tilfeldige mekanismer. Utvalgsfordelinger Vi har sett at utvalgsfordelinger til en statistikk (observator) er fordelingen av verdiene statistikken tar ved mange gjenttatte utvalg av samme størrelse fra samme populasjon. Utvalg

Detaljer

Forelesning 5: Kontinuerlige fordelinger, normalfordelingen. Jo Thori Lind

Forelesning 5: Kontinuerlige fordelinger, normalfordelingen. Jo Thori Lind Forelesning 5: Kontinuerlige fordelinger, normalfordelingen Jo Thori Lind j.t.lind@econ.uio.no Oversikt 1. Kontinuerlige fordelinger 2. Uniform fordeling 3. Normal-fordelingen 1. Kontinuerlige fordelinger

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO Deleksamen i: UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet STK1000 Innføring i anvendt statistikk. Eksamensdag: Onsdag 10. oktober 2012. Tid for eksamen: 15:00 17:00. Oppgavesettet

Detaljer

Fra første forelesning:

Fra første forelesning: 2 Fra første forelesning: ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag opulasjon Den mengden av individer/objekter som vi ønsker å analysere. Utvalg En delmengde av populasjonen

Detaljer

Terningkast. Utfallsrommet S for et terningskast med en vanlig spillterning med 6 sider er veldefinert 1, 2, 3, 4, 5, 6

Terningkast. Utfallsrommet S for et terningskast med en vanlig spillterning med 6 sider er veldefinert 1, 2, 3, 4, 5, 6 Terningkast Halvor Aarnes, UiO, 2014 Innhold Ett terningkast og utfallsrom... 1 Union og snitt... 4 Betinget sannsynlighet... 5 Forventningsverdi E(X) og varianse Var(X)... 5 Konfidensintervall for proporsjoner...

Detaljer

Kap. 5.2: Utvalgsfordelinger for antall og andeler

Kap. 5.2: Utvalgsfordelinger for antall og andeler Kap. 5.2: Utvalgsfordelinger for antall og andeler Binære data (1/0, Ja/Nei, Suksess/Feil) Utvalgsundersøkelser: Ja/Nei-spørsmål Tilstedeværelse av arter: Tilstede/Ikke-tilstede (1/0) Overlevelse etter

Detaljer

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Tilfeldige variable (5.2) Dersom vi til hvert utfall av eksperimentet tilordner et tall, har vi laget en tilfeldig variabel.

Detaljer

Statistikk og dataanalyse

Statistikk og dataanalyse Njål Foldnes, Steffen Grønneberg og Gudmund Horn Hermansen Statistikk og dataanalyse En moderne innføring Kapitteloversikt del 1 INTRODUKSJON TIL STATISTIKK Kapittel 1 Populasjon og utvalg 19 Kapittel

Detaljer

Tilfeldige variable (5.2)

Tilfeldige variable (5.2) Tilfeldige variable (5.) Dersom vi til hvert utfall av eksperimentet tilordner et tall, har vi laget en tilfeldig variabel. Tilfeldig variabel: En variabel som har en numerisk verdi for hvert utfall i

Detaljer

Denne uken: kap : Introduksjon til statistisk inferens. - Konfidensintervall - Hypotesetesting - P-verdier - Statistisk signifikans

Denne uken: kap : Introduksjon til statistisk inferens. - Konfidensintervall - Hypotesetesting - P-verdier - Statistisk signifikans Denne uken: kap. 6.1-6.2-6.3: Introduksjon til statistisk inferens - Konfidensintervall - Hypotesetesting - P-verdier - Statistisk signifikans VG 25/9 2011 Statistisk inferens Mål: Trekke konklusjoner

Detaljer

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Kapittel 7: Utvalgsfordeling Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Fra kapittel 1: Populasjon Den mengden av individer/objekter som vi ønsker å analysere. Utvalg

Detaljer

Kapittel 3: Stokastiske variable og sannsynlighetsfordelinger

Kapittel 3: Stokastiske variable og sannsynlighetsfordelinger Kapittel 3: Stokastiske variable og sannsynlighetsfordelinger TMA4245 Statistikk (B, K1, I) 3.1, 3.2, 3.3 foreleses torsdag 15.januar 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 160 170 180 190 hoyde i cm Mette.Langaas@math.ntnu.no

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO Deleksamen i: UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet STK1000 Innføring i anvendt statistikk. Eksamensdag: Onsdag 13. oktober 2010. Tid for eksamen: 15:00 17:00. Oppgavesettet

Detaljer

STK Oppsummering

STK Oppsummering STK1100 - Oppsummering Geir Storvik 6. Mai 2014 STK1100 Tre temaer Deskriptiv/beskrivende statistikk Sannsynlighetsteori Statistisk inferens Sannsynlighetsregning Hva Matematisk verktøy for å studere tilfeldigheter

Detaljer

Sannsynligheten for en hendelse (4.2) Empirisk sannsynlighet. ST0202 Statistikk for samfunnsvitere

Sannsynligheten for en hendelse (4.2) Empirisk sannsynlighet. ST0202 Statistikk for samfunnsvitere 2 Sannsynligheten for en hendelse (4.2) Sannsynligheten for en hendelse sier oss hvor ofte vi forventer at hendelsen inntreffer, dvs. den forventede relative frekvens av hendelsen. ST0202 Statistikk for

Detaljer

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag Situasjonen er som i quiz-eksempelet: n = 4, p = 1/3 ( suksess betyr å gjette riktig alternativ), q = 2/3. Oppgave: Finn

Detaljer

Binomisk sannsynlighetsfunksjon

Binomisk sannsynlighetsfunksjon ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Binomisk sannsynlighetsfunksjon La det være n forsøk, sannsynlighet p for suksess og sannsynlighet q for fiasko. Den tilfeldige

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 Oppsummering Bjørn H. Auestad Institutt for matematikk og naturvitenskap Universitetet i Stavanger 24. april Bjørn H. Auestad Oppsummering våren

Detaljer

Denne uken: kap : Introduksjon til statistisk inferens. - Konfidensintervall - Hypotesetesting - P-verdier - Statistisk signifikans

Denne uken: kap : Introduksjon til statistisk inferens. - Konfidensintervall - Hypotesetesting - P-verdier - Statistisk signifikans Denne uken: kap. 6.1-6.2-6.3: Introduksjon til statistisk inferens - Konfidensintervall - Hypotesetesting - P-verdier - Statistisk signifikans VG 25/9 2011 Statistisk inferens Mål: Trekke konklusjoner

Detaljer

Betinget sannsynlighet

Betinget sannsynlighet Betinget sannsynlighet Multiplikasjonsloven for sannsynligheter (s. 49 i bok): P( AB ) = P( A B ) P(B) Veldig viktig verktøy for å finne sannsynligheter for snitt. (Bevises ved rett fram manipulering av

Detaljer

TMA4240 Statistikk H2010 Kapittel 5: Diskrete sannsynlighetsfordelinger : Uniform, binomisk, hypergeometrisk fordeling

TMA4240 Statistikk H2010 Kapittel 5: Diskrete sannsynlighetsfordelinger : Uniform, binomisk, hypergeometrisk fordeling TMA4240 Statistikk H2010 Kapittel 5: Diskrete sannsynlighetsfordelinger 5.1-5.4: Uniform, binomisk, hypergeometrisk fordeling Mette Langaas 2 Arbeidshverdag etter endt studium Studere et fenomen (f.eks.

Detaljer

TMA4245 Statistikk Eksamen desember 2016

TMA4245 Statistikk Eksamen desember 2016 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4245 Statistikk Eksamen desember 2016 Oppgave 1 En bedrift produserer elektriske komponenter. Komponentene kan ha to typer

Detaljer

Oppfriskning av blokk 1 i TMA4240

Oppfriskning av blokk 1 i TMA4240 Oppfriskning av blokk 1 i TMA4240 Geir-Arne Fuglstad November 21, 2016 2 Hva har vi gjort i dette kurset? Vi har studert to sterkt relaterte grener av matematikk Sannsynlighetsteori: matematisk teori for

Detaljer

Denne uken: kap. 6.1-6.2-6.3: Introduksjon til statistisk inferens. - Konfidensintervall - Hypotesetesting - P-verdier - Statistisk signifikans

Denne uken: kap. 6.1-6.2-6.3: Introduksjon til statistisk inferens. - Konfidensintervall - Hypotesetesting - P-verdier - Statistisk signifikans Denne uken: kap. 6.1-6.2-6.3: Introduksjon til statistisk inferens - Konfidensintervall - Hypotesetesting - P-verdier - Statistisk signifikans VG 25/9 2011 Statistisk inferens Mål: Trekke konklusjoner

Detaljer

STK1000 Uke 36, Studentene forventes å lese Ch 1.4 ( ) i læreboka (MMC). Tetthetskurver. Eksempel: Drivstofforbruk hos 32 biler

STK1000 Uke 36, Studentene forventes å lese Ch 1.4 ( ) i læreboka (MMC). Tetthetskurver. Eksempel: Drivstofforbruk hos 32 biler STK1000 Uke 36, 2016. Studentene forventes å lese Ch 1.4 (+ 3.1-3.3 + 3.5) i læreboka (MMC). Tetthetskurver Eksempel: Drivstofforbruk hos 32 biler Fra histogram til tetthetskurver Anta at vi har kontinuerlige

Detaljer

Høgskolen i Telemark. Institutt for økonomi og informatikk FORMELSAMLING Statistikk I. Til bruk ved eksamen. Per Chr. Hagen

Høgskolen i Telemark. Institutt for økonomi og informatikk FORMELSAMLING Statistikk I. Til bruk ved eksamen. Per Chr. Hagen Høgskolen i Telemark Institutt for økonomi og informatikk FORMELSAMLING 6005 Statistikk I Til bruk ved eksamen Per Chr. Hagen . Sannsynlighetsregning. Regneregler Komplementsetningen: Addisjonssetningen:

Detaljer

Tilfeldige variabler. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk

Tilfeldige variabler. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk Forventning, varians og standardavvik Tilnærming av binomiske sannsynligheter Konfidensintervall Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i Oslo

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i STK1000 Innføring i anvendt statistikk. Eksamensdag: Torsdag 9. oktober 2008. Tid for eksamen: 15:00 17:00. Oppgavesettet er på

Detaljer

Forelesning 6: Punktestimering, usikkerhet i estimering. Jo Thori Lind

Forelesning 6: Punktestimering, usikkerhet i estimering. Jo Thori Lind Forelesning 6: Punktestimering, usikkerhet i estimering Jo Thori Lind j.t.lind@econ.uio.no Oversikt 1. Trekke utvalg 2. Estimatorer og observatorer som stokastiske variable 3. Egenskapene til en estimator

Detaljer

Loven om total sannsynlighet. Bayes formel. Testing for sykdom. ST0202 Statistikk for samfunnsvitere

Loven om total sannsynlighet. Bayes formel. Testing for sykdom. ST0202 Statistikk for samfunnsvitere 2 Loven om total sannsynlighet La A og Ā være komplementære hendelser, mens B er en annen hendelse. Da er: P(B) P(B oga)+p(b ogā) P(B A)P(A)+P(B Ā)P(Ā) ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Bo Lindqvist

Detaljer

Kapittel 5: Tilfeldige variable, forventning og varians.

Kapittel 5: Tilfeldige variable, forventning og varians. Kapittel 5: Tilfeldige variable, forventning og varians. Tilfeldige variable Tilfeldige variable kalles også stokastiske variable. En tilfeldig variabel er en variabel som får sin numeriske verdi bestemt

Detaljer

STK1100 våren Kontinuerlige stokastiske variabler Forventning og varians Momentgenererende funksjoner

STK1100 våren Kontinuerlige stokastiske variabler Forventning og varians Momentgenererende funksjoner STK1100 våren 2017 Kontinuerlige stokastiske variabler Forventning og varians Momentgenererende funksjoner Svarer til avsnittene 4.1 og 4.2 i læreboka Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i

Detaljer

TMA4240 Statistikk Høst 2008

TMA4240 Statistikk Høst 2008 TMA4240 Statistikk Høst 2008 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer 7 Oppgave 1 Tippekonkurranse Denne oppgaven er ment som en kjapp test på hva du har

Detaljer

Løsningsforslag ECON 2130 Obligatorisk semesteroppgave 2017 vår

Løsningsforslag ECON 2130 Obligatorisk semesteroppgave 2017 vår Løsningsforslag ECON 130 Obligatorisk semesteroppgave 017 vår Andreas Myhre Oppgave 1 1. (i) Siden X og Z er uavhengige, vil den simultane fordelingen mellom X og Z kunne skrives som: f(x, z) = P(X = x

Detaljer

Forelesning 7: Store talls lov, sentralgrenseteoremet. Jo Thori Lind

Forelesning 7: Store talls lov, sentralgrenseteoremet. Jo Thori Lind Forelesning 7: Store talls lov, sentralgrenseteoremet Jo Thori Lind j.t.lind@econ.uio.no Oversikt 1. Estimering av variansen 2. Asymptotisk teori 3. Store talls lov 4. Sentralgrenseteoremet 1.Estimering

Detaljer

ST1101/ST6101 Sannsynlighetsregning og statistikk Vår 2019

ST1101/ST6101 Sannsynlighetsregning og statistikk Vår 2019 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag ST/ST Sannsynlighetsregning og statistikk Vår 9 Oppgaver fra boka 3..9 Ved et terningkast anses utfallet antall øyne lik for

Detaljer

TMA4240 Statistikk H2010

TMA4240 Statistikk H2010 TMA4240 Statistikk H2010 3.3: Kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger 4.1: Matematisk forventing (univariat del) Mette Langaas Foreleses mandag 6. september 2010 2 3.1 Stokastisk variabel (repetisjon)

Detaljer

3.1 Stokastisk variabel (repetisjon)

3.1 Stokastisk variabel (repetisjon) TMA4240 Statistikk H2010 3.3: Kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger 4.1: Matematisk forventing (univariat del) Mette Langaas Foreleses mandag 6. september 2010 2 3.1 Stokastisk variabel (repetisjon)

Detaljer

Statistikk 1 kapittel 4

Statistikk 1 kapittel 4 Statistikk 1 kapittel 4 Nico Keilman ECON 2130 Vår 2017 Kapittel 4 Stokastiske (tilfeldige) variabler Anta 1) Vi kjenner sannsynligheter for ulike utfall knyttet til et forsøk 2) Hvert utfall har en (meningsfull)

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010 Oppsummering

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010 Oppsummering ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010 Oppsummering Bjørn H. Auestad Institutt for matematikk og naturvitenskap Universitetet i Stavanger 21. april Bjørn H. Auestad Oppsummering våren

Detaljer

1 Section 4-1: Introduksjon til sannsynlighet. 2 Section 4-2: Enkel sannsynlighetsregning. 3 Section 5-1: Introduksjon til sannsynlighetsfordelinger

1 Section 4-1: Introduksjon til sannsynlighet. 2 Section 4-2: Enkel sannsynlighetsregning. 3 Section 5-1: Introduksjon til sannsynlighetsfordelinger 1 Section 4-1: Introduksjon til sannsynlighet 2 Section 4-2: Enkel sannsynlighetsregning 3 Section 5-1: Introduksjon til sannsynlighetsfordelinger 4 Section 5-2: Tilfeldige variable 5 Section 5-3: Binomisk

Detaljer

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Kapittel 5: Sannsynlighetsfordelinger for diskrete variabler Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Tilfeldige variabler (5.1) Dersom vi til hvert utfall av eksperimentet

Detaljer

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Loven om total sannsynlighet La A og Ā være komplementære hendelser, mens B er en annen hendelse. Da er: P(B) =P(B oga)+p(b

Detaljer

Emnenavn: Eksamenstid: 4 timer. Faglærer: Hans Kristian Bekkevard

Emnenavn: Eksamenstid: 4 timer. Faglærer: Hans Kristian Bekkevard EKSAMEN Emnekode: SFB107111 Emnenavn: Metode 1, statistikk deleksamen Dato: 16. mai 2017 Hjelpemidler: Godkjent kalkulator og vedlagt formelsamling m/tabeller Eksamenstid: 4 timer Faglærer: Hans Kristian

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: STK1000 Innføring i anvendt statistikk Eksamensdag: Fredag 28. oktober 2016 Tid for eksamen: 14.00 16.00 Oppgavesettet er på

Detaljer

Forelesning 3. april, 2017

Forelesning 3. april, 2017 Forelesning 3. april, 2017 APPENDIX TIL KAP. 6 Sentralgrenseteoremet AVSNITT 6.3 Anvendelser av sentralgrenseteoremet Histogrammer S-kurver Q-Q-plot Diverse eksempler MGF for følger av uavhengige identisk

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2008

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2008 ÅMA0 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 008 Kp. Sannsynlighetsregning (sannsynlighetsteori).5 Betinget sannsynlighet Betinget sannsynlighet (kp..5) - innledning Eks.: Et terningkast; {,, 3, 4,

Detaljer

Utvalgsfordelinger. Utvalg er en tilfeldig mekanisme. Sannsynlighetsregning dreier seg om tilfeldige mekanismer.

Utvalgsfordelinger. Utvalg er en tilfeldig mekanisme. Sannsynlighetsregning dreier seg om tilfeldige mekanismer. Utvalgsfordelinger Vi har sett at utvalgsfordelinger til en observator er fordelingen av verdiene observatoren tar ved mange gjenttatte utvalg av samme størrelse fra samme populasjon. Utvalg er en tilfeldig

Detaljer

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Kapittel 6: Normalfordelingen

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Kapittel 6: Normalfordelingen ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Kapittel 6: Normalfordelingen Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Kap. 6: Normalfordelingen Normalfordelingen regnes som den viktigste statistiske fordelingen!

Detaljer

Kap. 6.1: Fordelingen til en observator og stok. simulering

Kap. 6.1: Fordelingen til en observator og stok. simulering Kap. 6.1: Fordelingen til en observator og stok. simulering Data, observatorer og relaterte fordelinger. Stokastisk simulering. Illustrasjon: - Sammenligning av jury bedømmelser i idrett. Fra data til

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010. ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010. ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010 ÅMA Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Kp. Diskrete tilfeldige variable ÅMA Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Kp. Diskrete tilfeldige variable Diskrete tilfeldige variable, innledning

Detaljer

Løsning på Dårlige egg med bruk av Tabell 2 i Appendix B

Løsning på Dårlige egg med bruk av Tabell 2 i Appendix B Situasjonen er som i quiz-eksempelet: n = 4, p = 1/3 ( suksess betyr å gjette riktig alternativ), q = 2/3. Oppgave: Finn P(x), x=0,1,2,3,4 fra den generelle formelen for binomisk sannsynlighetsfordeling

Detaljer

statistikk, våren 2011

statistikk, våren 2011 ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 011 Kp. 3 Diskrete tilfeldige variable 1 Diskrete tilfeldige variable, innledning Hva er en tilfeldig variabel (stokastisk variabel)? Diskret tilfeldig

Detaljer

Sannsynlighet og statistikk

Sannsynlighet og statistikk Sannsynlighet og statistikk Innhold Kompetansemål Sannsynlighet og statistikk, S... 3. Stokastiske variabler og sannsynlighetsfordelinger... 3 Stokastisk forsøk... 3 Definisjon av sannsynlighet og sannsynlighetsmodell...

Detaljer

Fasit for tilleggsoppgaver

Fasit for tilleggsoppgaver Fasit for tilleggsoppgaver Uke 5 Oppgave: Gitt en rekke med observasjoner x i (i = 1,, 3,, n), definerer vi variansen til x i som gjennomsnittlig kvadratavvik fra gjennomsnittet, m.a.o. Var(x i ) = (x

Detaljer

Statistikk 1 kapittel 5

Statistikk 1 kapittel 5 Statistikk 1 kapittel 5 Nico Keilman ECON 2130 Vår 2017 Kapittel 5 Sannsynlighetsmodeller I kap. 4 så vi et eksempel med en s.v. X som hadde en uniform sannsynlighetsfordeling: alle verdier av x har like

Detaljer

Eksamensoppgave i TMA4240 Statistikk

Eksamensoppgave i TMA4240 Statistikk Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA4240 Statistikk Faglig kontakt under eksamen: Mette Langaas a, Ingelin Steinsland b, Geir-Arne Fuglstad c Tlf: a 988 47 649, b 926 63 096, c 452 70 806

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO Deleksamen i: UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet STK1000 Innføring i anvendt statistikk. Eksamensdag: Onsdag 12. oktober 2011. Tid for eksamen: 15:00 17:00. Oppgavesettet

Detaljer

Da vil summen og gjennomsnittet være tilnærmet normalfordelte : Summen: X 1 +X X n ~N(nµ,nσ 2 ) Gjennomsnittet: X 1 +X

Da vil summen og gjennomsnittet være tilnærmet normalfordelte : Summen: X 1 +X X n ~N(nµ,nσ 2 ) Gjennomsnittet: X 1 +X Me me me me metallic hvit 4.4: Tilnærming til normalfordeling Tilnærming til normalfordeling: binomisk og Poisson kan tilnærmes v.h.a. normalfordeling under bestemte forhold (ved "mange" delforsøk/hendelser)

Detaljer

TMA4240 Statistikk H2010

TMA4240 Statistikk H2010 TMA4240 Statistikk H2010 Statistisk inferens: 9.14: Sannsynlighetsmaksimeringsestimatoren 8.5: Fordeling til gjennomsnittet 9.4: Konfidensintervall for µ (σ kjent) Mette Langaas Foreleses mandag 11.oktober,

Detaljer

Eksempel: kast med to terninger

Eksempel: kast med to terninger Kapittel 3 TMA4245 V2007: Eirik Mo 2 Eksempel: kast med to terninger I et eksperiment kaster vi to terninger og registerer antall øyne på hver terning. Utfallsrom S={(,),(,2),(,3),...,(,), (2,),...,(2,),...,(,)}

Detaljer

Statistisk inferens: 9.14: Sannsynlighetsmaksimeringsestimatoren 8.5: Fordeling til gjennomsnittet 9.4: Konfidensintervall for µ (σ kjent)

Statistisk inferens: 9.14: Sannsynlighetsmaksimeringsestimatoren 8.5: Fordeling til gjennomsnittet 9.4: Konfidensintervall for µ (σ kjent) TMA440 Statistikk H010 Statistisk inferens: 9.14: Sannsynlighetsmaksimeringsestimatoren 8.5: Fordeling til gjennomsnittet 9.4: Konfidensintervall for µ (σ kjent) Mette Langaas Foreleses mandag 11.oktober,

Detaljer

Sum to terninger forts. Eksempel: kast med to terninger. Sum to terninger forts. Kapittel 3. TMA4240 H2006: Eirik Mo

Sum to terninger forts. Eksempel: kast med to terninger. Sum to terninger forts. Kapittel 3. TMA4240 H2006: Eirik Mo 3 Sum to terninger forts. Kapittel 3 TMA4240 H200: Eirik Mo 2 3 4 5,,2,3,4,5, 2 2, 2,2 2,3 2,4 2,5 2, Andre 3 3, 3,2 3,3 3,4 3,5 3, terning 4 4, 4,2 4,3 4,4 4,5 4, 5 5, 5,2 5,3 5,4 5,5 5,,,2,3,4,5, Med

Detaljer

Tyngdepunkt. Togforsinkelsen (Eksamen Des2003.1a) I denne oppgaven kan du bruke uten å vise det at. Kapittel 4

Tyngdepunkt. Togforsinkelsen (Eksamen Des2003.1a) I denne oppgaven kan du bruke uten å vise det at. Kapittel 4 3 Tyngdepunkt Kapittel 4 Forventningsverdi, varians, kovarians for én stokastisk variabel og funksjoner av stokastiske variabler TMA4240 H2006: Eirik Mo 2 4.1 Forventing til en stokastisk variabel DEF

Detaljer

TMA4240 Statistikk Eksamen desember 2015

TMA4240 Statistikk Eksamen desember 2015 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4240 Statistikk Eksamen desember 15 Oppgave 1 La den kontinuerlige stokastiske variabelen X ha fordelingsfunksjon (sannsynlighetstetthet

Detaljer

Statistikk 1 kapittel 5

Statistikk 1 kapittel 5 Statistikk 1 kapittel 5 Nico Keilman ECON 2130 Vår 2016 Kapittel 5 Sannsynlighetsmodeller I kap. 4 så vi et eksempel med en s.v. X som hadde en uniform sannsynlighetsfordeling: alle verdier av x har like

Detaljer

Kapittel 2: Hendelser

Kapittel 2: Hendelser Kapittel 2: Hendelser FENOMEN Eksperiment Utfall Utfallsrom Eksperiment. Utfall. Eksperiment Utfall Hendelse Sannsynlighet: egenskaper, gunstige vs. mulige, relativ frekvens Sannsynlighet for mer enn en

Detaljer

Observatorer. STK Observatorer - Kap 6. Utgangspunkt. Eksempel høyde Oxford studenter

Observatorer. STK Observatorer - Kap 6. Utgangspunkt. Eksempel høyde Oxford studenter Observatorer STK00 - Observatorer - Kap 6 Geir Storvik 4. april 206 Så langt: Sannsynlighetsteori Stokastiske modeller Nå: Data Knytte data til stokastiske modeller Utgangspunkt Eksempel høyde Oxford studenter

Detaljer

Et lite notat om og rundt normalfordelingen.

Et lite notat om og rundt normalfordelingen. Et lite notat om og rundt normalfordelingen. Anta at vi har kontinuerlige data. Hva er likt og ulikt for histogrammer og fordelingskurver? Observasjoner Histogram Viser fordelingen av faktiske observerte

Detaljer

TMA4240/TMA4245 Statistikk Oppsummering diskrete sannsynlighetsfordelinger

TMA4240/TMA4245 Statistikk Oppsummering diskrete sannsynlighetsfordelinger TMA4240/TMA4245 Statistikk Oppsummering diskrete sannsynlighetsfordelinger Binomisk fordeling* ( ) n b(x; n, p) = p x (1 p) n x = x ( ) n p x q n x, x x = 0, 1, 2,..., n Fenomén: i) n forsøk. ii) Suksess/fiasko

Detaljer

Introduksjon til statistikk og dataanalyse. Arild Brandrud Næss TMA4240 Statistikk NTNU, høsten 2013

Introduksjon til statistikk og dataanalyse. Arild Brandrud Næss TMA4240 Statistikk NTNU, høsten 2013 Introduksjon til statistikk og dataanalyse Arild Brandrud Næss TMA4240 Statistikk NTNU, høsten 2013 Introduksjon til statistikk og dataanalyse Hollywood-filmer fra 2011 135 filmer Samla budsjett: $ 7 166

Detaljer

Forslag til endringar

Forslag til endringar Forslag til endringar Bakgrunn: Vi har ingen forelesningar veka etter påske. Eg skal bort 18. og 19. april. Eksamen er 30.mai Forslag til endringar: Ekstra forelesningar onsdag 16.mars og onsdag 30 mars

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: ST 101 Innføring i statistikk og sannsynlighetsregning. Eksamensdag: Mandag 30. november 1992. Tid for eksamen: 09.00 15.00.

Detaljer

TALLSVAR. Det anbefales at de 9 deloppgavene merket med A, B, teller likt uansett variasjon i vanskelighetsgrad. Svarene er gitt i <<< >>>.

TALLSVAR. Det anbefales at de 9 deloppgavene merket med A, B, teller likt uansett variasjon i vanskelighetsgrad. Svarene er gitt i <<< >>>. 1 ECON213: EKSAMEN 217 VÅR - UTSATT PRØVE TALLSVAR. Det anbefales at de 9 deloppgavene merket med A, B, teller likt uansett variasjon i vanskelighetsgrad. Svarene er gitt i

Detaljer

Et lite notat om og rundt normalfordelingen. Anta at vi har kontinuerlige data. Hva er likt og ulikt for histogrammer og fordelingskurver?

Et lite notat om og rundt normalfordelingen. Anta at vi har kontinuerlige data. Hva er likt og ulikt for histogrammer og fordelingskurver? Et lite notat om og rundt normalfordelingen. Anta at vi har kontinuerlige data. Hva er likt og ulikt for histogrammer og fordelingskurver? Boka (Ch 1.4) motiverer dette ved å gå fra histogrammer til tetthetskurver.

Detaljer

MAT4010 PROSJEKTOPPGAVE: Statistikk i S2. Olai Sveine Johannessen, Vegar Klem Hafnor & Torstein Mellem

MAT4010 PROSJEKTOPPGAVE: Statistikk i S2. Olai Sveine Johannessen, Vegar Klem Hafnor & Torstein Mellem MAT400 PROSJEKTOPPGAVE: Statistikk i S2 Olai Sveine Johannessen, Vegar Klem Hafnor & Torstein Mellem 20. mai 205 Innhold. Stokastisk Variabel.. Stokastiske variable som funksjoner 3 2. Forventningsverdi

Detaljer

Formelsamling V-2014 MAT110. Statistikk 1. Per Kristian Rekdal

Formelsamling V-2014 MAT110. Statistikk 1. Per Kristian Rekdal Formelsamling V-2014 MAT110 Statistikk 1 Per Kristian Rekdal 2 Forord Dette er formelsamlingen i emnet MAT110 Statistikk 1 ved høgskolen i Molde. Formlene i denne formelsamlingen er stort sett de formlene

Detaljer

µ = E(X) = Ʃ P(X = x) x

µ = E(X) = Ʃ P(X = x) x Redigerte høydepunkt fra forrige episode 3.2: Punktsannsynlighet og kumulativ sannsynlighet punktsannsynlighet: sanns. for at en stok. var. X har en viss verdi x; P(X = x) kumulativ sannsynlighet: sanns.

Detaljer

TMA4240 Statistikk Høst 2018

TMA4240 Statistikk Høst 2018 TMA4240 Statistikk Høst 2018 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Innlevering 5 Dette er andre av tre innleveringer i blokk 2. Denne øvingen skal oppsummere pensum

Detaljer

ECON2130 Kommentarer til oblig

ECON2130 Kommentarer til oblig ECON2130 Kommentarer til oblig Her har jeg skrevet ganske utfyllende kommentarer til en del oppgaver som mange slet med. Har noen steder gått en del utover det som det strengt tatt ble spurt om i oppgaven,

Detaljer

Test, 3 Sannsynlighet og statistikk

Test, 3 Sannsynlighet og statistikk Test, 3 Sannsynlighet og statistikk Innhold 3. Stokastiske variabler og sannsynlighetsfordelinger... 3. Forventningsverdi, varians og standardavvik... 5 3.3 Normalfordelingen... 4 3.4 Sentralgrensesetningen...

Detaljer

Sannsynlighetsregning og Statistikk

Sannsynlighetsregning og Statistikk Sannsynlighetsregning og Statistikk Leksjon 2. Leksjon 2 omhandler begreper og regneregler for sannsynligheter. Dette er behandlet i kapittel 3.1 og 3.2 i læreboka. Du bør når du har fullført leksjon 2

Detaljer