Notasjon. Løsninger. Problem. Kapittel 7
|
|
- Judith Hoff
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 3 Notasjon Kapittel 7 Funksjoner av stokastiske variabler Har n stokastiske variabler, X 1, X 2,..., X n, med kjent fordeling f( 1, 2,..., n ) og kumulativ fordeling F( 1, 2,..., n ). Ser på Y = u(x 1, X 2,..., X n ), der u er kjent funksjon. Hva er fordelingen til Y? TMA4240 H2006: Eirik Mo 2 4 Problem Hovedkarakter NTNU: I hvert fag fordeler karakterer seg i forhold til en sannsynlighetsfordeling. Hovedkarakter er et vektet gjennomsnitt av karakterer i alle fag. Hvilken fordeling har hovedkarakteren? Gass: Vi har en ideell gass i en tett beholder, pv = nrt. Vi har målt trykk (p), volum (V ) og temperatur (T ) med usikkerhet og vil vite fordelingen til antall mol av gassen (n). Vindmølle: Vi skal konstruere en vindølle for energiproduksjon. Vindmøllen må tåle kraftige vinder (og produsere maksimal med energi). Hvor kraftige vinder må vindmøllen tåle? Snølast: Hvilken foredeling har årsekstrem for snølast? Jeg skal fra stripa opp i 12 etasje i sentralbygg 2. Det er tre heiser, men en er avstengt pga. reparasjon. Jeg trykker på at jeg skal opp på begge de to heisene. Hvor mye korter ventetid ville jeg hatt hvis alle tre heisene var i funksjon? Løsninger 1. Fra kumulativ fordeling [Notat om Ordningsvariabler og ekstremvariabler]: Jobber med kumulativ fordeling P(Y y), og finner derifra fordeling g(y) (derivere eller ta differanser). Gjør dette for ekstremvariabler (når X-ene er uavhengige). Kan bli mye regning for generell situasjon. 2. Transformasjonsformler [kap. 7.2]: Jobber direkte med fordelingen g(y), for generell avhengighetsstruktur. Vi bruker det mest for en-til-en funksjon av EN stokastisk variabel. Formel i formelsamlingen.
2 5 7 Løsninger Maksimum Uavhengige stokastiske variabler: X 1, X 2,..., X n med kumulativ fordelingsfunksjon F X () = P(X ) og fordeling f X (). 1. Fra kumulativ fordeling [Notat om Ordningsvariabler og ekstremvariabler]: 2. Transformasjonsformler [kap. 7.2]: 3. Momentgenererende funksjoner [kap. 7.3]: En transformasjon som tar oss over i et annet rom (ligner på Laplace og Fourier-transform som dere møter i Matematikk 4N). Der er det enkelt å finne fordelingen til Y = lineær kombinasjon av uavhengige stokastiske variabler. Kan også enkelt finne momenter til Y. V = ma(x 1, X 2,..., X n ) Kumulativ fordelingsfunksjon for maksimum: F V (v) = [F X (v)] n Hvis maksimum er mindre enn v må alle være mindre enn v. Sannsynlighetstetthet (hvis X-ene er kontinuerlige) Eksempler: f V (v) = n[f X (v)] n 1 f X (v) Parallellsystem Ventetid til siste gjest ankommer (forlater) festen. Største årlige snølast og vindhastighet. 6 8 Ordningsvariabler Minimum Stokastiske variabler: X 1, X 2,..., X n Sorterer etter størrelse: X (1) X (2) X (n). Velger variabel basert på hvor i følgen den kommer Minimum X (1) = min(x 1, X 2,..., X n ) Maksimum X (n) = ma(x 1, X 2,..., X n ) kte ordningsvariabel: X (k) ) Median { X X = ((n+1)/2) hvis n er oddetall 1 2 (X (n/2) + X (n/2+1) ) hvis n er partall Variasjonsbredden X (n) X (1). Uavhengige stokastiske variabler: X 1, X 2,..., X n med kumulativ fordelingsfunksjon F X () = P(X ) og fordeling f X (). U = min(x 1, X 2,..., X n ) Kumulativ fordelingsfunksjon for minimum F U (v) = 1 [1 F X (u)] n Hvis minimum er større enn u, må alle være større enn u. Sannsynlighetstetthet (hvis X-ene er kontinuerlige) f U (u) = n[1 F X (u)] n 1 f X (u) Eksempler: Seriesystem, f.eks juletrelys Ventetid til første heis (av n) mulige kommer. Minimum av eksponensialfordelte størrelser er også eksponensialfordelt. Ditto for Weibull.
3 9 kte ordningsvariabel Ser på X (k) : F X(k) () = P(k eller flere X i -er er ) Vi har en binomisk situasjon: n forsøk i hver forsøk (nummer i) registerer vi om X i eller ikke P(X i ) = F X () for alle forsøkene og de n forsøkene er uavhengige. n ( ) n F X(k) () = P(k eller flere X i -er er ) = [F X ()] j [1 F X ()] n j j Når X-ene er kontinuerlige kan sannsynlighetstettheten finnes ved å derivere m.h.p. og etter noe mellomregning kan den skrives: ( ) n 1 f X(k) () = n [F X ()] k 1 [1 F X ()] n k f X () k 1 j=k Transformasjoner: u() og w(y) y = u() er en transformasjon fra til y. Når y = u() er en-til-en, også kalt en-entydig, betyr det at en verdi av er knyttet til bare en verdi av (og omvendt). Ønsker å finne som en funksjon av y: Løser y = u(). Løsningen kaller vi = w(y). Vi kaller u() og w(y) for inverse (omvendte) funksjoner. 10 Eksponentialfordeling Blå (midterst) F X (), rød (øverst) min F U (), grønn (nederst) ma F V (). 12 Inverse funksjoner 2 * y=2 ^2 ^ * y=0.5 sqrt() y=sqrt()
4 13 en diskret variabel TEO 7.1: Anta at X er en diskret stokastisk variabel med fordeling f(). La Y = u(x) være en en-til-en transformasjon mellom verdiene av X og verdiene av Y, slik at ligningen y = u() har en unik løsning, kall den = w(y). Da er fordelingen til Y gitt som g(y) = f[w(y)]. g(y) = P(Y = y) = P[u(X) = y] = P[X = w(y)] = f[w(y)]. 15 Fordeling til funksjon av SV 1. Fra kumulativ fordeling [Notat om Ordningsvariabler og ekstremvariabler]: 2. Transformasjonsformler [kap. 7.2]: Jobber direkte med fordelingen g(y), for generell avhengighetsstruktur. Vi bruker det mest for en-til-en funksjon av EN stokastisk variabel. Formel i formelsamlingen. 3. Momentgenererende funksjoner [kap. 7.3]: En transformasjon som tar oss over i et annet rom (ligner på Laplace og Fourier-transform som dere møter i Matematikk 4N). Der er det enkelt å finne fordelingen til Y = lineær kombinasjon av uavhengige stokastiske variabler. Kan også enkelt finne momenter til Y. 14 to diskrete variabler TEO 7.2: Anta at X 1 og X 2 er diskrete stokastisk variabler med simultan fordeling f( 1, 2 ). La Y 1 = u 1 (X 1, X 2 ) og Y 2 = u 2 (X 1, X 2 ) være en en-til-en transformasjon mellom punktene ( 1, 2 ) og (y 1, y 2 ), slik at ligningene y 1 = u 1 ( 1, 2 ) y 2 = u 2 ( 1, 2 ) har en unik løsning for 1 og 2 som funksjoner av y 1 og y 2, kall dem 1 = w 1 (y 1, y 2 ) og 2 = w 2 (y 1, y 2 ). Da er den simultane fordelingen til Y 1 og Y 2 gitt som g(y 1, y 2 ) = f[w 1 (y 1, y 2 ), w 2 (y 1, y 2 )]. g(y 1, y 2 ) = P(Y 1 = y 1, Y 2 = y 2 ) = P(u 1 (X 1, X 2 ) = y 1, u 2 (X 1, X 2 ) = y 2 ) = P(X 1 = w 1 (y 1, y 2 ), X 2 = w 2 (y 1, y 2 )) = f[w 1 (y 1, y 2 ), w 2 (y 1, y 2 )] Transformasjoner: u() og w(y) y = u() er en transformasjon fra til y. Når y = u() er en-til-en, også kalt en-entydig, betyr det at en verdi av er knyttet til bare en verdi av (og omvendt). Ønsker å finne som en funksjon av y: Løser y = u(). Løsningen kaller vi = w(y). Vi kaller u() og w(y) for inverse (omvendte) funksjoner. ^2 ^2 sqrt() y=sqrt()
5 17 en diskret variabel TEO 7.1: Anta at X er en diskret stokastisk variabel med fordeling f(). La Y = u(x) være en en-til-en transformasjon mellom verdiene av X og verdiene av Y, slik at ligningen y = u() har en unik løsning, kall den = w(y). Da er fordelingen til Y gitt som g(y) = f[w(y)]. g(y) = P(Y = y) = P[u(X) = y] = P[X = w(y)] = f[w(y)]. Ikke en-entydig: dele opp i områder med en-entydighet og summere. 19 en kontinuerlig variabel TEO 7.3: Anta at X er en kontinuerlig stokastisk variabel med fordeling f(). La Y = u(x) være en en-til-en transformasjon mellom verdiene av X og verdiene av Y, slik at ligningen y = u() har en unik løsning, kall den = w(y). Da er fordelingen til Y gitt som g(y) = f[w(y)] J. der J = w (y) = dw(y) dy kalles Jakobi-determinanten til transformasjonen. Videre: Generaliseringen til to variabler i Teorem 7.4 er ikke pensum. 18 to diskrete variabler TEO 7.2: Anta at X 1 og X 2 er diskrete stokastisk variabler med simultan fordeling f( 1, 2 ). La Y 1 = u 1 (X 1, X 2 ) og Y 2 = u 2 (X 1, X 2 ) være en en-til-en transformasjon mellom punktene ( 1, 2 ) og (y 1, y 2 ), slik at ligningene y 1 = u 1 ( 1, 2 ) y 2 = u 2 ( 1, 2 ) har en unik løsning for 1 og 2 som funksjoner av y 1 og y 2, kall dem 1 = w 1 (y 1, y 2 ) og 2 = w 2 (y 1, y 2 ). Da er den simultane fordelingen til Y 1 og Y 2 gitt som g(y 1, y 2 ) = f[w 1 (y 1, y 2 ), w 2 (y 1, y 2 )]. g(y 1, y 2 ) = P(Y 1 = y 1, Y 2 = y 2 ) = P(u 1 (X 1, X 2 ) = y 1, u 2 (X 1, X 2 ) = y 2 ) = P(X 1 = w 1 (y 1, y 2 ), X 2 = w 2 (y 1, y 2 )) = f[w 1 (y 1, y 2 ), w 2 (y 1, y 2 )] 20 en kontinuerlig variabel TEO 7.5: Anta at X er en kontinuerlig stokastisk variabel med fordeling f(). La Y = u(x) være en transformasjon mellom verdiene av X og verdiene av Y som ikke er en-til-en. Hvis intervallet som X er definert på kan deles inn i k disjunkte intervaller slik at for hvert intervall så er de inverse funksjonene en-til-en. 1 = w 1 (y), 2 = w 2 (y),... k = w k (y) Da er fordelingsfunksjonen til Y g(y) = k f[w i (y)] J i. i=1 der J i = w i (y) = dw i(y) dy for i = 1,..., k
6 21 en kontinuerlig variabel 23 Momenter fra momentgenererende funksjoner Viktige resultater: Hvis X er normalfordelt med forventning µ og varians σ 2, så er Z = X µ σ standard normalfordelt (forventning 0 og varians 1). Videre er Z 2 kjikvadrat-fordelt med ν = 1 frihetsgrader. TEO 7.6: La X være en stokastisk variabel med momentgenererende funksjon M X (t). Da er d r M X (t) dt r t=0 = µ r Momenter og momentgenererende funksjoner DEF 7.1: rte ordens moment til en stokastisk variabel X er gitt som { µ r = E(X r ) = r f() diskret r f()d kontinuerlig DEF 7.2: Den moment-genererende funksjonen til en stokastisk variabel X er gitt ved E(e tx ) og kalles M X (t). Dermed, { M X (t) = E(e tx ) = etx f() diskret etx f()d kontinuerlig M X (t) eksisterer bare hvis summen (evt. intergralet) eksisterer. Formelsamlingen: M X (t) for de fordelingene vi har jobbet med står i formelsamlingen. 24 Fordeling fra momentgenererende funksjoner TEO 7.7: Unikhet La X og Y være to stokastiske variabler med moment-genererende funksjoner M X (t) og M Y (t). Hvis M X (t) = M Y (t) for alle verdier av t, så har X og Y samme fordeling. TEO 7.8: TEO 7.9: M X+b (t) = e bt M X (t) M X+b (t) = E[e t(x+b) ] = e bt E(e tx ) = e bt M X (t) M ax (t) = M X (at) M ax (t) = E[e t(ax) ] = E(e (at)x ) = M X (at)
7 25 Fordeling fra momentgenererende funksjoner 27 Sum av uavhengige variabler TEO 7.11 Hvis X 1, X 2,..., X n er uavhengige normalfordelte stokastiske variabler med forventninger µ 1, µ 2,..., µ n og varianser σ1 2, σ2 2,..., σ2 n, så er TEO 7.10: Hvis X 1, X 2,..., X n er uavhengige stokastiske variabler med momentgenererende funksjoner M X1 (t), M X2 (t),..., M Xn (t), og la Y = X 1 + X 2 + X n. Da er M Y (t) = M X1 (t) M X2 (t) M Xn (t) Y = a 1 X 1 + a 2 X a n X n også normalfordelt med forventning µ Y = a 1 µ 1 + a 2 µ a n µ n og varians σ 2 Y = a2 1 σ2 1 + a2 2 σ a2 n σ2 n 26 Sum av uavhengige variabler Binomisk: Hvis X 1,..., X n er uavhengige og binomisk fordelt med parametre m i og p (samme p for alle variabler), så vil n i=1 X i være binomisk fordelt med parametre m = n i=1 m i og p. Poisson: Hvis X 1,..., X n er uavhengige og hver Poisson-fordelt med parameter µ i, så vil n i=1 X i være Poisson-fordelt med parameter µ = n i=1 µ i. 28 Sum av uavhengige kjikvadrat-fordelte variabler TEO 7.12 Hvis X 1, X 2,..., X n er uavhengige kjikvadratfordelte stokastiske variabler med ν 1, ν 2,..., ν n frihetsgrader, så er Y = X 1 + X X n en kjikvadratfordelt stokastisk variabel med ν = ν 1 + ν ν n frihetsgrader. COR Hvis X 1, X 2,..., X n er uavhengige normalfordelte stokastiske variabler, der alle har forventning µ og varians σ 2, da er den stokastiske variabelen n Y = ( X i µ ) 2 σ i=1 kjikvadratfordelt med ν = n frihetsgrader.
8 29 BEVIS: Sum uavhengige normal SV X n(; µ, σ) M X (t) = e µt+ 1 2 σ2 t 2, slik at M Xi (t) = e µ i t+ 1 2 σ2 i t 2, i = 1,...,n. M ai X i (t) = M Xi (a i t) = e a iµ i t+ 1 2 a2 i σ 2 i t 2, i = 1,..., n. M Y (t) = M P n i=1 a i X i (t) = M a1 X 1 (t) M a2 X 2 (t) M an X n (t) = e a 1µ 1 t+ 1 2 a2 1 σ2 1 t2 e a 2µ 2 t+ 1 2 a2 2 σ2 2 t2 e a nµ n t+ 1 2 a2 n σ2 n t2 = e P n i=1 a iµ i t + P n i=1 1 2 a2 i σ 2 i t 2 = e (P n i=1 a iµ i )t (P n i=1 a2 i σ 2 i )t 2 Gjenkjenner dette som momentgenererende funksjon for en normalfordelt stokastisk variabel med µ = E(Y) = n i=1 a iµ i og σ 2 = Var(Y) = n i=1 a2 i σ2 i, dvs. Y n(y; µ, σ).
TMA4240 Statistikk H2015
TMA4240 Statistikk H2015 Funksjoner av stokastiske variabler (kapittel 7+notat) Fokus på start med kumulativ fordeling 7.2 Funksjon av en SV (inkludert en-entydighet). Fordeling til max/min (fra notat).
DetaljerDagens tekst. Kap 7: Funksjonar av stokastiske variable Transformasjon av variable Moment Momentgenererande funksjon
Dagens tekst Kap 7: Funksjonar av stokastiske variable Transformasjon av variable Moment Momentgenererande funksjon Notat: Ordningsvariable og ekstremvariable Ordnings variable Maksimum Minumum Transformasjon
DetaljerKapittel 2: Hendelser
Kapittel 2: Hendelser FENOMEN Eksperiment Utfall Utfallsrom Eksperiment. Utfall. Eksperiment Utfall Hendelse Sannsynlighet: egenskaper, gunstige vs. mulige, relativ frekvens Sannsynlighet for mer enn en
DetaljerDenne veka. Kap 7: Funksjonar av stokastiske variable Transformasjon av variable Moment Momentgenererande funksjon
Denne veka Kap 7: Funksjonar av stokastiske variable Transformasjon av variable Moment Momentgenererande funksjon Notat: Ordningsvariable og ekstremvariable Ordnings variable Maksimum Minumum Transformasjon
DetaljerDenne veka. Kap 7: Funksjonar av stokastiske variable Transformasjon av variable Moment Momentgenererande funksjon
Denne veka Kap 7: Funksjonar av stokastiske variable Transformasjon av variable Moment Momentgenererande funksjon Notat: Ordningsvariable og ekstremvariable Ordnings variable Maksimum Minumum Transformasjon
DetaljerFunksjoner av stokastiske variable.
Funksjoner av stokastiske variable. Dekkes av pensumsidene i kap. 7 I ulike sammenhenger, blant annet for å finne fordelingen til estimatorer, er vi interesserte i fordelingen til funksjoner av stokastiske
DetaljerTMA4240 Statistikk Høst 2009
TMA44 Statistikk Høst 9 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer b Løsningsskisse Oppgave X er en stokastisk variabel med sannsynlighetstetthet { f(x),
DetaljerFORMELSAMLING TIL STK1100 OG STK1110
FORMELSAMLING TIL STK1100 OG STK1110 (Versjon av 16. november 2009) 1. Sannsynlighet La A, B, A 1, A 2,...,B 1, B 2,... være begivenheter, dvs. delmengder av et utfallsrom Ω. a) Aksiomene: Et sannsynlighetsmål
DetaljerFunksjoner av stokastiske variable.
Funksjoner av stokastiske variable. Dekkes av pensumsidene i kap. 7 I ulike sammenhenger, blant annet for å finne fordelingen til estimatorer, er vi interesserte i fordelingen til funksjoner av stokastiske
DetaljerA) B) 400 C) 120 D) 60 E) 10. Rett svar: C. Fasit: ( 5 6 = 60. Hvis A, B, C er en partisjon av utfallsrommet S, så er P (A B) lik.
Oppgave 1 Det skal velges en komité bestående av 2 menn og 1 kvinne. Komitéen skal velges fra totalt 5 menn og 6 kvinner. Hvor mange ulike komitéer kan dannes? A) 86400 B) 400 C) 120 D) 60 E) 10 Rett svar:
DetaljerTMA4240 Statistikk H2010
TMA4240 Statistikk H2010 Kapittel 6: Kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger 6.4-5.7: Normalfordelingen, normalapproksimasjon, eksponensial og gamma. Mette Langaas Foreleses mandag 27. september 2010 2
DetaljerSTK1100 våren Kontinuerlige stokastiske variabler Forventning og varians Momentgenererende funksjoner
STK1100 våren 2017 Kontinuerlige stokastiske variabler Forventning og varians Momentgenererende funksjoner Svarer til avsnittene 4.1 og 4.2 i læreboka Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Deleksamen i: STK Sannsynlighetsregning og statistisk modellering Eksamensdag: Mandag 4. mars 26 Tid for eksamen: 5. 7. Oppgavesettet er
DetaljerBernoulli forsøksrekke og binomisk fordeling
Bernoulli forsøksrekke og binomisk fordeling Bernoulli forsøksrekke i) gjentar et forsøk n ganger ii) hvert forsøk gir enten suksess eller fiasko iii) sannsynligheten for suksess er p i alle forsøkene
DetaljerTyngdepunkt. Togforsinkelsen (Eksamen Des2003.1a) I denne oppgaven kan du bruke uten å vise det at. Kapittel 4
3 Tyngdepunkt Kapittel 4 Forventningsverdi, varians, kovarians for én stokastisk variabel og funksjoner av stokastiske variabler TMA4240 H2006: Eirik Mo 2 4.1 Forventing til en stokastisk variabel DEF
DetaljerTMA4240 Statistikk Høst 2015
TMA4240 Statistikk Høst 2015 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer 9, blokk II Oppgave 1 X er kontinuerlig fordelt med sannsynlighetstetthet f(x) = 2xe
DetaljerFORMELSAMLING TIL STK1100 OG STK1110
FORMELSAMLING TIL STK1100 OG STK1110 (Versjon av 11. november 2017) 1. Sannsynlighet La A, B, A 1, A 2,..., B 1, B 2,... være begivenheter, dvs. delmengder av et utfallsrom Ω. a) Aksiomene: Et sannsynlighetsmål
DetaljerForelesing 27 Oppsummering. Torstein Fjeldstad Institutt for matematiske fag, NTNU
Forelesing 27 Oppsummering Torstein Fjeldstad Institutt for matematiske fag, NTNU 18.04.2018 I dag Lineær regresjon (sjekk av modellantagelser) Praktisk informasjon Andre statistikk-kurs Oversikt over
DetaljerOppfriskning av blokk 1 i TMA4240
Oppfriskning av blokk 1 i TMA4240 Geir-Arne Fuglstad November 21, 2016 2 Hva har vi gjort i dette kurset? Vi har studert to sterkt relaterte grener av matematikk Sannsynlighetsteori: matematisk teori for
DetaljerHøgskolen i Telemark. Institutt for økonomi og informatikk FORMELSAMLING Statistikk I. Til bruk ved eksamen. Per Chr. Hagen
Høgskolen i Telemark Institutt for økonomi og informatikk FORMELSAMLING 6005 Statistikk I Til bruk ved eksamen Per Chr. Hagen . Sannsynlighetsregning. Regneregler Komplementsetningen: Addisjonssetningen:
DetaljerTMA4240 Statistikk Høst 2008
TMA4240 Statistikk Høst 2008 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer 7 Oppgave 1 Tippekonkurranse Denne oppgaven er ment som en kjapp test på hva du har
DetaljerTMA4240 Statistikk Høst 2016
Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Anbefalt øving 9 Løsningsskisse Oppgave 1 a) Vi lar her Y være antall fugler som kolliderer med vindmølla i løpet av den gitte
DetaljerEksamensoppgave i Løsningsskisse TMA4240 Statistikk
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i Løsningsskisse TMA440 Statistikk Faglig kontakt under eksamen: Håkon Tjelmeland a, Sara Martino b Tlf: a 48 18 96, b 99 40 33 30 Eksamensdato: 30. november
Detaljer6.1 Kontinuerlig uniform fordeling
Kapittel 6 Noen kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger TMA4240 H2006: Eirik Mo 2 6.1 Kontinuerlig uniform fordeling Kontinuerlig uniform fordeling: Sannsynlighetstettheten til den kontinuerlige uniforme
DetaljerLøsningsforslag til eksamen i TMA4245 Statistikk 7. juni 2007
Løsningsforslag til eksamen i TMA4245 Statistikk 7. juni 2007 Oppgave 1: Pengespill a) For hver deltaker har vi følgende situasjon: Deltakeren får en serie oppgaver. Hver runde har to mulige utfall: Deltakeren
DetaljerTransformasjoner av stokastiske variabler
Transformasjoner av stokastiske variabler Notasjon merkelapper på fordelingene Sannsynlighetstettheten og den kumulative fordelingen til en stokastisk variabel X betegnes hhv. f X og F X. Indeksen er altså
Detaljer6.2 Normalfordeling. Høyde kvinner og menn. 6.1 Kontinuerlig uniform fordeling. Kapittel 6
3 6.2 Normalfordeling Kapittel 6 Noen kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger TMA4245 V2007: Eirik Mo Normalfordeling: Sannsynlighetstettheten til en normalfordelt stokastisk variabel, X, med forventning
DetaljerKapittel 6: Kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger 6.4-5.7: Normalfordelingen, normalapproksimasjon, eksponensial og gamma.
TMA4240 Statistikk H2010 Kapittel 6: Kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger 6.4-5.7: Normalfordelingen, normalapproksimasjon, eksponensial og gamma. Mette Langaas Foreleses mandag 27. september 2010 2
Detaljerfor x 0 F X (x) = 0 ellers Figur 1: Parallellsystem med to komponenter Figur 2: Seriesystem med n komponenter
TMA4245 Statistikk Vår 2016 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Innlevering 3, blokk II Dette er den første av to innleveringer i blokk 2. Denne øvingen skal oppsummere
DetaljerTMA4240 Statistikk H2015
TMA4240 Statistikk H2015 Kapittel 4: Matematisk forventning [4.1+start 4.3] Quiz kjørt med Kahoot! fra kahoot.it. Mette Langaas wiki.math.ntnu.no/emner/tma4240/2015h/start/ 2 Høyde, kvinner Frequency
DetaljerKapittel 8: Tilfeldige utvalg, databeskrivelse og fordeling til observatorar, Kapittel 9: Estimering
Kapittel 8: Tilfeldige utvalg, databeskrivelse og fordeling til observatorar, Kapittel 9: Estimering TMA4245 Statistikk Kapittel 8.1-8.5. Kapittel 9.1-9.3+9.15 Turid.Follestad@math.ntnu.no p.1/21 Har sett
DetaljerDEL 1 GRUNNLEGGENDE STATISTIKK
INNHOLD 1 INNLEDNING 15 1.1 Parallelle verdener........................... 18 1.2 Telle gunstige.............................. 20 1.3 Regneverktøy og webstøtte....................... 22 1.4 Oppgaver................................
DetaljerForeleses onsdag 8. september 2010
TMA4240 Statistikk H200 4.2: Varians (univariat del) 4.4: Chebyshevs teorem 3.4: Simultanfordelinger Mette Langaas Foreleses onsdag 8. september 200 Mette.Langaas@math.ntnu.no, TMA4240H200 2 4.2 Varians
DetaljerTMA4240 Statistikk Høst 2015
Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer 9, blokk II Løsningsskisse Oppgave X er kontinuerlig fordelt med sannsynlighetstetthet f X (x) = { x exp( x ) x
DetaljerTMA4240 Statistikk H2010
TMA4240 Statistikk H2010 3.3: Kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger 4.1: Matematisk forventing (univariat del) Mette Langaas Foreleses mandag 6. september 2010 2 3.1 Stokastisk variabel (repetisjon)
Detaljer3.1 Stokastisk variabel (repetisjon)
TMA4240 Statistikk H2010 3.3: Kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger 4.1: Matematisk forventing (univariat del) Mette Langaas Foreleses mandag 6. september 2010 2 3.1 Stokastisk variabel (repetisjon)
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: Eksamensdag: Torsdag 2. juni 24 Tid for eksamen: 4.3 8.3 Oppgavesettet er på 5 sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler: STK429
Detaljer3.4: Simultanfordelinger (siste rest) 4.1,4.2,4.3: Multivariat del (ferdig med kapittel 3 og 4 etter denne forelesningen)
TMA4240 Statistikk H200 3.4: Simultanfordelinger (siste rest) 4.,4.2,4.3: Multivariat del (ferdig med kapittel 3 og 4 etter denne forelesningen) Mette Langaas Foreleses mandag 3. september 200 2 f (x,
DetaljerUtvalgsfordelinger; utvalg, populasjon, grafiske metoder, X, S 2, t-fordeling, χ 2 -fordeling
Kapittel 8 Utvalgsfordelinger; utvalg, populasjon, grafiske metoder, X, S 2, t-fordeling, χ 2 -fordeling TMA4240 H2006: Eirik Mo 2 Til nå... Definert sannsynlighet og stokastiske variabler (kap. 2 & 3).
DetaljerTogforsinkelsen (Eksamen Des2003.1a) I denne oppgaven kan du bruke uten å vise det at
Kapittel 4 Forventningsverdi, varians, kovarians for én stokastisk variabel og funksjoner av stokastiske variabler TMA4245 V2007: Eirik Mo 2 4.1 Forventing til en stokastisk variabel DEF 4.1: La X være
DetaljerForelesning 5: Kontinuerlige fordelinger, normalfordelingen. Jo Thori Lind
Forelesning 5: Kontinuerlige fordelinger, normalfordelingen Jo Thori Lind j.t.lind@econ.uio.no Oversikt 1. Kontinuerlige fordelinger 2. Uniform fordeling 3. Normal-fordelingen 1. Kontinuerlige fordelinger
Detaljerx λe λt dt = 1 e λx for x > 0 uavh = P (X 1 v)p (X 2 v) = F X (v) 2 = (1 e λv ) 2 = 1 2e λv + e 2λv = 2 1 λ 1 2λ = 3
Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Anbefalt øving 7 Løsningsskisse Oppgave 1 a) Regner først ut den kumulative fordelingsfunksjonen til X: F X (x) = x λe λt dt
DetaljerTMA4240 Statistikk Høst 2015
Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer 8, blokk II Løsningsskisse Oppgave 1 Da komponentene danner et parallellsystem, vil systemet fungere dersom minst
DetaljerKapittel 4: Matematisk forventning
Kapittel 4: Matematisk forventning TMA4240 Statistikk (F2 og E7) Multivariate tilfeller foreleses mandag 6.september, 2004 Ole.Petter.Lodoen@math.ntnu.no p.1/16 Forventing til funksjon av flere stokastiske
DetaljerMidtveiseksamen i STK1100 våren 2017
Midtveiseksamen i STK1100 våren 2017 Denne midtveiseksamenen består av 20 oppgaver. Det er ett riktig svaralternativ for hvert spørsmål. Hvis svaret er oppgitt som et desimaltall, er det rundet av til
DetaljerTMA4240 Statistikk. Øving nummer 7. Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag
TMA4240 Statistikk Vår 2008 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer 7 Oppgave Blandet drops a) Tippekupong På en tippekupong er det gitt 2 fotballkamper.
DetaljerTMA4240 Statistikk Høst 2009
TMA4240 Statistikk Høst 2009 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer 5 Løsningsskisse Oppgave 1 En lottorekke kan oppfattes som et ikke-ordnet utvalg på
DetaljerOm eksamen. Never, never, never give up!
I dag I dag Rekning av eksamensoppgåver Eksamen Mai 2014, oppgåve 2 (inkl normal fordeling, lin.reg. og deskriptiv statistikk) Eksamen August 2012, oppgåve 3 a og b (inkl SME) Om eksamen (Truleg) 10 punkt.
DetaljerRegneregler for forventning og varians
Regneregler for forventning og varians Det fins regneregler som er til hjelp når du skal finne forventningsverdier og varianser. Vi skal her se nærmere på disse reglene. Vi viser deg også hvordan reglene
DetaljerST1101/ST6101 Sannsynlighetsregning og statistikk Vår 2019
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag ST/ST Sannsynlighetsregning og statistikk Vår 9 Oppgaver fra boka 3..9 Ved et terningkast anses utfallet antall øyne lik for
DetaljerFasit for tilleggsoppgaver
Fasit for tilleggsoppgaver Uke 5 Oppgave: Gitt en rekke med observasjoner x i (i = 1,, 3,, n), definerer vi variansen til x i som gjennomsnittlig kvadratavvik fra gjennomsnittet, m.a.o. Var(x i ) = (x
DetaljerTMA4245 Statistikk Eksamen desember 2016
Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4245 Statistikk Eksamen desember 2016 Oppgave 1 En bedrift produserer elektriske komponenter. Komponentene kan ha to typer
DetaljerRegneøvelse 22/5, 2017
Regneøvelse 22/5, 217 Arne Bang Huseby Eksamen STK11 212: oppgave 1 og 2 Eksamen STK11 28: oppgave 1) og 2 Eksamen 212, oppgave 1 Ved en bestemt butikk i en større dagligvarekjede viser langvarige data
DetaljerObservatorer. STK Observatorer - Kap 6. Utgangspunkt. Eksempel høyde Oxford studenter
Observatorer STK00 - Observatorer - Kap 6 Geir Storvik 4. april 206 Så langt: Sannsynlighetsteori Stokastiske modeller Nå: Data Knytte data til stokastiske modeller Utgangspunkt Eksempel høyde Oxford studenter
Detaljer6.5 Normalapproksimasjon til. binomisk fordeling
....3.4.5..5..5..5...4.6.8....4.6.8....3.4..5..5 Kaittel 6: Kontinuerlige sannsynsfordelingar TMA445 Statistikk Ka 6.5-6.8. 6.5: Normal aroksimasjon til binomisk fordeling, 6.6-6.8: Eksonensialfordeling,
DetaljerSTK Oppsummering
STK1100 - Oppsummering Geir Storvik 6. Mai 2014 STK1100 Tre temaer Deskriptiv/beskrivende statistikk Sannsynlighetsteori Statistisk inferens Sannsynlighetsregning Hva Matematisk verktøy for å studere tilfeldigheter
DetaljerOm eksamen. Never, never, never give up!
Plan vidare Onsdag Gjere ferdig kap 11 + repetisjon Fredag Rekning av eksamensoppgåver Eksamen Mai 2014, oppgåve 2 (inkl normal fordeling, lin.reg. og deskriptiv statistikk) Eksamen August 2012, oppgåve
DetaljerEksamensoppgave i TMA4240 Statistikk
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA4240 Statistikk Faglig kontakt under eksamen: Mette Langaas a, Ingelin Steinsland b, Geir-Arne Fuglstad c Tlf: a 988 47 649, b 926 63 096, c 452 70 806
DetaljerKontinuerlige sannsynlighetsfordelinger.
Kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger. Dekkes av kap. 6 og deler av kap. 8.5 i boka. Husk: f(x) er sannsynlighetstettheten til en kontinuerlig X dersom: 1. f(x) 0 for alle x R 2. f(x)dx =1 3. P (a
DetaljerSum to terninger forts. Eksempel: kast med to terninger. Sum to terninger forts. Kapittel 3. TMA4240 H2006: Eirik Mo
3 Sum to terninger forts. Kapittel 3 TMA4240 H200: Eirik Mo 2 3 4 5,,2,3,4,5, 2 2, 2,2 2,3 2,4 2,5 2, Andre 3 3, 3,2 3,3 3,4 3,5 3, terning 4 4, 4,2 4,3 4,4 4,5 4, 5 5, 5,2 5,3 5,4 5,5 5,,,2,3,4,5, Med
DetaljerForelesning 13. mars, 2017
Forelesning 13. mars, 217 AVSNITT 5.2 Kovariansen mellom to variable Korrelasjon mellom to variable AVSNITT 5.3 Betingede fordelinger Kovariansen mellom to stokastiske variable Kovariansen mellom to stokastiske
DetaljerKap. 6, Kontinuerlege Sannsynsfordelingar
Kapittel 6, Kontinuerlege Sannsynsfordelingar Sjå på eit utval av ofte brukte kontinuerlege sannsynsfordelingar Uniform Onsdag Normal Onsdag Eksponensial I dag Gamma I dag Kji-kvadrat I dag Student-T (Kap
DetaljerEmnenavn: Eksamenstid: 4 timer. Faglærer: Hans Kristian Bekkevard
EKSAMEN Emnekode: SFB107111 Emnenavn: Metode 1, statistikk deleksamen Dato: 16. mai 2017 Hjelpemidler: Godkjent kalkulator og vedlagt formelsamling m/tabeller Eksamenstid: 4 timer Faglærer: Hans Kristian
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Kp. 3 Diskrete tilfeldige variable. Diskrete tilfeldige variable, varians (kp. 3.
ÅMA Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 8 Kp. Diskrete tilfeldige variable Kp. Diskrete tilfeldige variable Har sett på (tidligere: begrep/definisjoner; tilfeldig (stokastisk variabel sannsynlighetsfordeling
DetaljerEksamensoppgave i TMA4240 / TMA4245 Statistikk
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA4240 / TMA4245 Statistikk Faglig kontakt under eksamen: Håkon Tjelmeland Tlf: 48 22 18 96 Eksamensdato: 10. august 2017 Eksamenstid (fra til): 09.00-13.00
DetaljerFormelsamling V-2014 MAT110. Statistikk 1. Per Kristian Rekdal
Formelsamling V-2014 MAT110 Statistikk 1 Per Kristian Rekdal 2 Forord Dette er formelsamlingen i emnet MAT110 Statistikk 1 ved høgskolen i Molde. Formlene i denne formelsamlingen er stort sett de formlene
DetaljerLøsningsforslag til andre sett med obligatoriske oppgaver i STK1110 høsten 2010
Løsningsforslag til andre sett med obligatoriske oppgaver i STK1110 høsten 2010 Oppgave 1 a Forventet antall dødsulykker i år i er E(X i λ i. Dermed er θ i λ i E(X i forventet antall dødsulykker per 100
DetaljerTMA4240 Statistikk H2010
TMA4240 Statistikk H2010 Statistisk inferens: 9.14: Sannsynlighetsmaksimeringsestimatoren 8.5: Fordeling til gjennomsnittet 9.4: Konfidensintervall for µ (σ kjent) Mette Langaas Foreleses mandag 11.oktober,
DetaljerForelesning 27. mars, 2017
Forelesning 27. mars, 2017 AVSNITT 5.5 Ordningsobservatorene AVSNITT 6.1 Observatorer og deres fordelinger Ordningsobservatorene La X 1,..., X n være n uavhengige stokastiske variable som alle har samme
DetaljerKapittel 6: Kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger
Kapittel 6: Kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger TMA4240 Statistikk (F2 og E7) Foreleses 15. september, 2004. µ µ µ + Basert på slides av Mette Langås p.1/16 6.1 Kontinuerlig uniform fordeling Kontinuerlig
DetaljerSTK1100 våren Normalfordelingen. Normalfordelingen er den viktigste av alle sannsynlighetsfordelinger
STK00 våren 206 Normalfordelingen Svarer til avsnitt 4.3 i læreboka Geir Storvik Matematisk institutt Universitetet i Oslo Normalfordelingen er den viktigste av alle sannsynlighetsfordelinger Normalfordelingen
DetaljerEksempel: kast med to terninger
Kapittel 3 TMA4245 V2007: Eirik Mo 2 Eksempel: kast med to terninger I et eksperiment kaster vi to terninger og registerer antall øyne på hver terning. Utfallsrom S={(,),(,2),(,3),...,(,), (2,),...,(2,),...,(,)}
DetaljerStatistisk inferens: 9.14: Sannsynlighetsmaksimeringsestimatoren 8.5: Fordeling til gjennomsnittet 9.4: Konfidensintervall for µ (σ kjent)
TMA440 Statistikk H010 Statistisk inferens: 9.14: Sannsynlighetsmaksimeringsestimatoren 8.5: Fordeling til gjennomsnittet 9.4: Konfidensintervall for µ (σ kjent) Mette Langaas Foreleses mandag 11.oktober,
DetaljerDekkes av kap , 9.10, 9.12 og forelesingsnotatene.
Estimering 2 -Konfidensintervall Dekkes av kap. 9.4-9.5, 9.10, 9.12 og forelesingsnotatene. En (punkt-)estimator ˆΘ gir oss et anslag på en ukjent parameterverdi, men gir oss ikke noen direkte informasjon
DetaljerTMA4245 Statistikk. Innlevering 3. Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag
TMA4245 Statistikk Vår 2017 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Innlevering 3 Dette er den første av to innleveringer i blokk 2 Denne øvingen skal oppsummere pensum
DetaljerTMA4240 Statistikk H2010
TMA4240 Statistikk H2010 Statistisk inferens: 8.1: Tilfeldig utvalg 9.1-9.3: Estimering Mette Langaas Foreleses uke 40, 2010 2 Utfordring Ved en bedrift produseres en elektrisk komponent. Komponenten må
DetaljerUtfordring. TMA4240 Statistikk H2010. Mette Langaas. Foreleses uke 40, 2010
TMA4240 Statistikk H2010 Statistisk inferens: 8.1: Tilfeldig utvalg 9.1-9.3: Estimering Mette Langaas Foreleses uke 40, 2010 2 Utfordring Ved en bedrift produseres en elektrisk komponent. Komponenten må
DetaljerTMA4240 Statistikk Eksamen desember 2015
Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4240 Statistikk Eksamen desember 15 Oppgave 1 La den kontinuerlige stokastiske variabelen X ha fordelingsfunksjon (sannsynlighetstetthet
DetaljerFørste sett med obligatoriske oppgaver i STK1110 høsten 2015
Første sett med obligatoriske oppgaver i STK1110 høsten 2015 Dette er det første obligatoriske oppgavesettet i STK1110 høsten 2015. Oppgavesettet består av fire oppgaver. Du må bruke Matematisk institutts
DetaljerTMA4240 Statistikk H2010 Kapittel 5: Diskrete sannsynlighetsfordelinger : Uniform, binomisk, hypergeometrisk fordeling
TMA4240 Statistikk H2010 Kapittel 5: Diskrete sannsynlighetsfordelinger 5.1-5.4: Uniform, binomisk, hypergeometrisk fordeling Mette Langaas 2 Arbeidshverdag etter endt studium Studere et fenomen (f.eks.
DetaljerTMA4240 Statistikk H2015
TMA4240 Statistikk H2015 Ett utvalg: estimere forventningsverdi og intervall [9.4] Student-t fordeling [8.6] Quiz fra SME og konfidensintervall Mette Langaas Institutt for matematiske fag, NTNU wiki.math.ntnu.no/emner/tma4240/2015h/start/
DetaljerKap. 6, Kontinuerlege Sannsynsfordelingar
Kapittel 6, Kontinuerlege Sannsynsfordelingar Sjå på eit utval av ofte brukte kontinuerlege sannsynsfordelingar Uniform I går Normal I går Eksponensial I dag Gamma I dag Kji-kvadrat I dag Nokre eigenskapar
DetaljerBinomisk sannsynlighetsfunksjon
ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Binomisk sannsynlighetsfunksjon La det være n forsøk, sannsynlighet p for suksess og sannsynlighet q for fiasko. Den tilfeldige
DetaljerTMA4240/TMA4245 Statistikk Oppsummering diskrete sannsynlighetsfordelinger
TMA4240/TMA4245 Statistikk Oppsummering diskrete sannsynlighetsfordelinger Binomisk fordeling* ( ) n b(x; n, p) = p x (1 p) n x = x ( ) n p x q n x, x x = 0, 1, 2,..., n Fenomén: i) n forsøk. ii) Suksess/fiasko
DetaljerEKSAMEN I EMNE SIF5072 STOKASTISKE PROSESSER Lørdag 16. august 2003 Tid: 09:00 14:00
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 6 Bokmål Faglig kontakt under eksamen: Håkon Tjelmeland 73 59 35 38/73 94 27 25 EKSAMEN I EMNE SIF5072 STOKASTISKE PROSESSER
DetaljerUtvalgsfordelinger (Kapittel 5)
Utvalgsfordelinger (Kapittel 5) Oversikt pensum, fortid og fremtid Eksplorativ data-analyse (Kap 1, 2) Hvordan produsere data (Kap 3) Sannsynlighetsteori (Kap 4) Utvalgsfordelinger til observatorer (Kap
Detaljeronsdag_19_09_2018_poisson_eksponential_normalfordelng_vikartime_bygg_v2.notebook
September 19, The story so far Kap. 3: Diskrete stokastiske variable variablene er "diskrete", dvs. tellevariable som kun har verdier X = 0, X = 1, X = 2,... beregne forventningsverdi og varians for variabel
DetaljerTMA4240 Statistikk H2010
TMA4240 Statistikk H2010 Statistisk inferens: 9.4: Konfidensintervall for µ 8.7: Student-t fordeling 8.6: Fordeling til S 2 Mette Langaas Foreleses onsdag 13.oktober, 2010 2 Estimering Mål: finne sannheten
DetaljerTMA4240 Statistikk Høst 2015
Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer 0, blokk II Løsningsskisse Oppgave Surhetsgrad i ferskvann Eksamen august 00, oppgave av 3 a) En god estimator
DetaljerForeleses onsdag 13.oktober, 2010
TMA440 Statistikk H010 Statistisk inferens: 9.4: Konfidensintervall for µ 8.7: Student-t fordeling 8.6: Fordeling til S Mette Langaas Foreleses onsdag 13.oktober, 010 Estimering Mål: finne sannheten om
DetaljerTMA4240 Statistikk Høst 2007
TMA4240 Statistikk Høst 2007 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer b4 Løsningsskisse Oppgave 1 Eksamen juni 1999, oppgave 3 av 3 a) µ populasjonsgjennomsnitt,
DetaljerST0202 Statistikk for samfunnsvitere
ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag Situasjonen er som i quiz-eksempelet: n = 4, p = 1/3 ( suksess betyr å gjette riktig alternativ), q = 2/3. Oppgave: Finn
DetaljerSiden vi her har brukt første momentet i fordelingen (EX = EX 1 ) til å konstruere estimatoren kalles denne metoden for momentmetoden.
Estimeringsmetoder Momentmetoden La X, X 2,..., X n være uavhengige variable som er rektangulært fordelte på intervallet [0, θ]. Vi vet da at forventningsverdiene til hver observasjon og forventningen
DetaljerKapittel 3: Stokastiske variable og sannsynlighetsfordelinger
Kapittel 3: Stokastiske variable og sannsynlighetsfordelinger TMA4245 Statistikk (B, K1, I) 3.1, 3.2, 3.3 foreleses torsdag 15.januar 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 160 170 180 190 hoyde i cm Mette.Langaas@math.ntnu.no
DetaljerTMA4240 Statistikk Høst 2015
Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer 6, blokk I Løsningsskisse Oppgave 1 Vi antar X er normalfordelt, X N(3315, 55 2. Ved bruk av formelheftet finner
DetaljerTo-dimensjonale kontinuerlige fordelinger
To-dimensjonale kontinuerlige fordelinger Noen resultater for diskrete fordelinger Vi har tidligere definert punktsannsynligheten p(x, y) for en todimensjonal variabel (X, Y ) som p(x, y) = P ({X = x}
DetaljerFormelsamling i medisinsk statistikk
Formelsamling i medisinsk statistikk Versjon av 6. mai 208 Dette er en formelsamling til O. O. Aalen (red.): Statistiske metoder i medisin og helsefag, Gyldendal, 208. Gjennomsnitt x = n (x + x 2 + x 3
DetaljerKap. 6, Kontinuerlege Sannsynsfordelingar
Kapittel 6, Kontinuerlege Sannsynsfordelingar Sjå på eit utval av ofte brukte kontinuerlege sannsynsfordelingar Uniform I går Normal I går Eksponensial I dag Gamma I dag Kji-kvadrat I dag Nokre eigenskapar
DetaljerTMA4240 Statistikk Høst 2009
TMA4240 Statistikk Høst 2009 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer b5 Løsningsskisse Oppgave 1 Vi ønsker å finne ut om et nytt serum kan stanse leukemi.
DetaljerOm fordelingen tilx +Y
Variansen til X +Y Om fordelingen til X +Y Vi viste at generelt, dvs. også når X og Y er avhengige gjelder E[X +Y] = E[X]+E[Y] Med µ X og µ Y forventningen til X og Y har vi da STK1100 V11 1. Variansen
Detaljer