TMA4240 Statistikk H2015

Transkript

1 TMA4240 Statistikk H2015 Kapittel 4: Matematisk forventning [4.1+start 4.3] Quiz kjørt med Kahoot! fra kahoot.it. Mette Langaas wiki.math.ntnu.no/emner/tma4240/2015h/start/

2

3

4

5

6

7

8 2 Høyde, kvinner Frequency

9

10 3 4.1 Forventing til en stokastisk variabel DEF 4.1: La X være en stokastisk variabel med sannsynlighetsfordeling f (x). Forventningsverdien (mean, expected value) til X er µ = E(X) = x x f (x) hvis X er diskret, og µ = E(X) = hvis X er kontinuerlig. x f (x)dx

11 4 Forsinket tog Vi betrakter ankomst- og oppholdstider for et bestemt lokaltog på en jernbanestasjon. Toget skal etter rutetabellen ankomme hver hverdag klokka 8:00, men kommer alltid etter dette tidspunktet. La X (minutter) betegne togets forsinkelse på en tilfeldig valgt hverdag. Vi antar at X er en stokastisk variabel med sannsynlighetstetthet f (x) = { 4xe 2x for x > 0 0 for x 0 Hva er forventingsverdien til X? I denne oppgaven kan du bruke uten å vise det at 0 x r e ax dx = r! når a > 0 og r er et heltall 0 ar+1

12

13 5 Togforsinkelse

14 6 Prosjektstyring X = tid for å samle inn data x f (x) Hva er forventingsverdien til X?

15

16 7 Prosjektstyring (forts.) X= tid for å samle inn data. Kunden har betalt 1200 kr for datainnsamlingen, og prosjektarbeideren som skal utføre datainnsamlingen får 500 kr timen. Hva er forventet inntekt for datainnsamlingen? f (x) g(x)

17 8 Forventing til funksjon av en stokastisk variabel TEO 4.1: La X være en stokastisk variabel med sannsynlighetsfordeling f (x). Forventningsverdien til den stokastiske variablen g(x) er µ g(x) = E[g(X)] = x g(x)f (x) hvis X er diskret, og µ g(x) = E[g(X)] = hvis X er kontinuerlig. g(x)f (x)dx

18

19 9 E(aX + b) TEO 4.5: Hvis a og b er konstanter, så er E(aX + b) = ae(x) + b COR 1: Setter vi a = 0 ser vi at E(b) = b COR 2: Setter vi b = 0 ser vi at E(aX) = ae(x)

20 10 E(sum eller differanse) TEO 4.6: Forventningsverdien til summen eller differansen av to eller flere funksjoner av den stokastiske variablen X, er summen eller differansen til forventningsverdiene til funksjonene. Det vil si, siden E[g 1 (X) ± g 2 (X)] = E[g 1 (X)] ± E[g 2 (X)]. g(x) = g 1 (X) ± g 2 (X) E(g(X)) = E(g 1 (X) ± g 2 (X)) = [g 1 (X) ± g 2 (X)] f (x)dx = E[g 1 (X)] ± E[g 2 (X)].

21 11 Prosjektstyring Vi ser på to stokastiske variabler, X og Y. X = tid for datainnsamling. Y = tid for dataanalyse. Simultanfordelingen til X og Y er gitt ved: x y Finn E(Y /X) (forholdet mellom de to oppgavene) og E(X + Y ) (summen av de to oppgavene).

22 12 f (x, y): simultan sannsynlighetsfordeling X og Y diskrete: 1. f (x, y) 0 for alle (x, y) 2. x y f (x, y) = 1 3. P(X = x Y = y) = f (x, y) (punktsannsynlighet) For enhver region A is xyrommet så er P[(X, Y ) A] = A f (x, y). X og Y kontinuerlige: 1. f (x, y) 0 for alle (x, y) 2. f (x, y)dxdy = 1 3. P[(X, Y ) A] = A f (x, y)dxdy for enhver region A i (x, y)-pl anet.

23 13 Forventning til funksjon av to stokastiske variabler DEF 4.2: La X og Y være stokastisk variabler med simultan sannsynlighetsfordeling f (x, y). Forventningsverdien til den stokastiske variabelen g(x, Y ) er µ g(x,y ) = E[g(X, Y )] = x hvis X og Y er diskrete, og µ g(x,y ) = E[g(X, Y )] = g(x, y)f (x, y) y hvis X og Y er kontinuerlige. g(x, y)f (x, y)dxdy

24

25 14 Prosjektstyring (forts.) x y Er interessert i forholdet g(x, Y ) = Y X mellom varigheten av datainnsamling og dataanalyse. [ ] Y E X = x y y f (x, y) x = (1/2) (1/3) (2/3) 0.03 = 1.44 NB: E [ ] Y X E(Y ) E(X) (3/2) (4/3) 0.15

26 17 Oppsummering Forventingsverdien til en SV kan beskrives som Diskrete SV: E(X) = x xf (x): et sannsynlighetsveid gjennomsnitt. Kontinuerlig SV: E(X) = xf (x)dx. Tyngdepunktet i fordelingen (hvor sette vipphuskefeste for å balansere). Noteres gjerne som µ. For to SV X og Y så ser vi på forventningsverdien til en funksjon g av de to SV: E[g(X, Y )]. Denne veies med simultansannynligheten f (x, y). Diskrete SV: E[g(X, Y )] = x y g(x, y)f (x, y) Kontinuerlig SV: E[g(X, Y )] = g(x, y)f (x, y)dxdy. Regneregler for E er basert på at E regnes ut ved en sum eller integral.