Test, 3 Sannsynlighet og statistikk
|
|
|
- Geir Løken
- 5 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Test, 3 Sannsynlighet og statistikk Innhold 3. Stokastiske variabler og sannsynlighetsfordelinger Forventningsverdi, varians og standardavvik Normalfordelingen Sentralgrensesetningen Hypotesetesting... Oppgaver Grete Larsen/NDLA 3. Stokastiske variabler og sannsynlighetsfordelinger ) En hendelse er stokastisk hvis vi kjenner sannsynligheten for at hendelsen skal inntreffe, uten at vi kan si sikkert når den inntreffer. ) Når vi kaster mynt og kron, er utfallsrommet U, 3) Dersom vi gjentar et forsøk mange nok ganger, vil den relative frekvensen for et utfall nærme seg en bestemt verdi. Denne verdien kaller vi sannsynligheten for utfallet.
2 4) Dersom du kaster to tikroner gjentatte ganger og undersøker hvilke myntsider som vises, vil du komme fram til denne sannsynlighetsmodellen: x 0 P X x 0,5 0,50 0,5 Her står X for antall kron. Dette er en stokastisk sannsynlighetsmodell 5) Sannsynlighetsfordelingen til en stokastisk variabel X er en liste med alle verdiene X kan ha og sannsynlighetene for hver av disse verdiene. Summen av sannsynlighetene kan variere. ) Vi kaster en terning 00 ganger. Når vi skal uttrykke den kumulative sannsynligheten for 5 øyne på terningen, kan vi skrive P X 4 P X 5 P X 5 7) Vi kaster en terning 00 ganger. Når vi skal uttrykke sannsynligheten for å få mer enn 4 øyne på terningen, kan vi skrive P X 4 P X 5 P X 5 8) Vi kaster en terning 00 ganger. Den kumulative sannsynligheten for 5 øyne på terningen er P X P X 5 P X
3 9) Sannsynlighetsfordelingen til en stokastisk variabel X er gitt ved Tallet som skal stå i stedet for A er 0,05 0,95 x 3 4 P X x 0,35 0,30 A 0,30 3
4 0) Sannsynlighetsfordelingen til en stokastisk variabel X er gitt ved Hva er P X? 0,30 0,35 0,5 x 3 4 P X x 0,35 0,30 A 0,30 ) Geografilæreren til lille Marius har laget en prøve hvor han har brukt flervalgsoppgaver. Prøven består av 0 oppgaver og for hver oppgave er det 4 svaralternativer. Lille Marius er ikke forberedt og alle svaralternativene virker like sannsynlige. Hva er sannsynligheten for at lille Marius svarer riktig på første spørsmål? ) Geografilæreren til lille Marius har laget en prøve hvor han har brukt flervalgsoppgaver. Prøven består av 0 oppgaver og for hver oppgave er det 4 svaralternativer. Lille Marius er ikke forberedt og alle svaralternativene virker like sannsynlige. Hva er sannsynligheten for at lille Marius svarer riktig på alle spørsmålene? P X 0 P X 0 P X
5 3) Geografilæreren til lille Marius har laget en prøve hvor han har brukt flervalgsoppgaver. Prøven består av 0 oppgaver og for hver oppgave er det 4 svaralternativer. Lille Marius er ikke forberedt og alle svaralternativene virker like sannsynlige. Hva er sannsynligheten for at lille Marius ikke svarer rett på noen spørsmål? P X P X P X ) Geografilæreren til lille Marius har laget en prøve hvor han har brukt flervalgsoppgaver. Prøven består av 0 oppgaver og for hver oppgave er det 4 svaralternativer. Lille Marius er ikke forberedt og alle svaralternativene virker like sannsynlige. Hva er sannsynligheten for at lille Marius svarer rett på akkurat halvparten av spørsmålene? P X P X P X ) En bedrift produserer elektriske komponenter. Sannsynligheten for at en komponent som blir produsert er defekt er 5 %. Vi tester 00 komponenter. Sannsynligheten for at ingen av komponentene er defekte er 00 0, ,95 3. Forventningsverdi, varians og standardavvik ) Hvis vi multipliserer hvert utfall med sannsynligheten for å få akkurat dette utfallet og til slutt summerer de svarene vi får, finner vi forventningsverdien, til forsøket. 5
6 ) Sannsynlighetsfordelingen til en stokastisk variabel X er gitt ved Forventningsverdien er,5,5 x 3 4 P X x 0,5 0,50 0 0,5 3) Sannsynlighetsfordelingen til en stokastisk variabel X er gitt ved Her blir variansen, Var X til X 0, 0 x P X x 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 4) Sannsynlighetsfordelingen til en stokastisk variabel X er gitt ved Her blir standardavviket, til X 0, 0 x P X x 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 5) Kvadratroten av variansen til en stokastisk variabel kaller vi standardavvik. ) Standardavviket, til en stokastisk variabel X er alltid positivt, men variansen, Var X kan være negativ
7 7) x Sum P X x,0 x P X x ,5 P Y y Sum y y P Y y,0 Per har laget et pengespill med følgende regler: Hver spiller satser fem kroner. Spillerne kaster én terning. Hvis terningen viser et oddetall, er det ingen gevinst. Hvis terningen viser et partall, er gevinsten én krone per øye. En toer gir altså en gevinst på to kroner, en firer en gevinst på fire kroner og en sekser en gevinst på seks kroner. Se tabellen. Hva blir forventningsverdien, for gevinsten? To kroner Fem kroner Seks kroner 7
8 8) P X x Sum x x P X x 3 4 5,0 3,5 y Sum P Y y,0 Per har laget et pengespill med følgende regler: Hver spiller satser ti kroner. Spillerne kaster én terning. Gevinsten er to kroner per øye. En ener gir altså en gevinst på to kroner og så videre. Se tabellen. Hva blir forventningsverdien, for gevinsten? Fem kroner Sju kroner Ti kroner 8
9 9) P X x Sum x x P X x 3 4 5,0 3,5 x P X x,04 0,375 0,04 0,04 0,375,04 Var X,98 y Sum P Y y,0 Per har laget et pengespill med følgende regler: Hver spiller satser ti kroner. Spillerne kaster én terning. Gevinsten er to kroner per øye. En ener gir altså en gevinst på to kroner og så videre. Se tabellen. Hva blir variansen,,98 5,83,7 Var Y for gevinsten? 9
10 0) P X x Sum SD X x x P X x 3 4 5,0 3,5 x P X x,04 0,375 0,04 0,04 0,375,04 P Y Var X,98,708 y Sum SD X y Per har laget et pengespill med følgende regler: Hver spiller satser ti kroner. Spillerne kaster én terning. Gevinsten er to kroner per øye. En ener gir altså en gevinst på to kroner og så videre. Se tabellen. Hva blir standardavviket, for gevinsten?,708 3,4,833,0 0
11 ) x Sum P X x,0 x P X x ,5 y Sum P Y y,0 Per har laget et pengespill med følgende regler: Hver spiller satser tjue kroner. Spillerne kaster én terning. Gevinsten er kvadratet av antall øyne. En toer gir altså en gevinst på fire kroner og så videre. Se tabellen. Hva blir forventningsverdien, for gevinsten? 3,5 9 9
12 ) x Sum P X x,0 x P X x ,5 y Sum P Y y,0 z Sum P Z z,0 Per har laget et pengespill med følgende regler: Hver spiller satser ti kroner. Spillerne kaster én terning to ganger. På første kast er gevinsten to kroner per øye. En ener gir altså en gevinst på to kroner og så videre. På andre kast er gevinsten antall øyne pluss to kroner. En ener gir da en gevinst på tre kroner og så videre Se tabellen. Hva blir forventningsverdien, for gevinsten? 9 kroner,5 kroner,50 kroner
13 3) P X x Sum x x P X x 3 4 5,0 3,5 x P X x,04 0,375 0,04 0,04 0,375,04 P Y P Z Var X,98 y Sum y z Sum z Per har laget et pengespill med følgende regler: Hver spiller satser ti kroner. Spillerne kaster én terning to ganger. På første kast er gevinsten to kroner per øye. En ener gir altså en gevinst på to kroner og så videre. På andre kast er gevinsten antall øyne pluss to kroner. En ener gir da en gevinst på tre kroner og så videre Se tabellen. Hva blir variansen, Var X for gevinsten?,98,98,98,0,0 4) Du skal fylle ut en tippekupong med fotballkamper. For hver kamp har du tre alternativ: hjemme, uavgjort og borte. Du kjenner ingen av lagene som spiller. Vi kan derfor anta at sannsynligheten for å tippe riktig er i hver kamp. (Ser bort fra at H strengt tatt har litt større 3 sannsynlighet). Hva er forventningsverdien for antall riktige? 4 8 3
14 5) Du skal fylle ut en tippekupong med fotballkamper. For hver kamp har du tre alternativ: hjemme, uavgjort og borte. Du kjenner ingen av lagene som spiller. Vi kan derfor anta at sannsynligheten for å tippe riktig er i hver kamp. (Ser bort fra at H strengt tatt har litt større 3 sannsynlighet). Hva er variansen for antall riktige? Normalfordelingen ) Tabellen er et utdrag fra en tabell som viser ulike sannsynligheter, PZ z normalfordeling Tabellen viser at P Z0,45 0,734 i en standardisert 4
15 ) Tabellen er et utdrag fra en tabell som viser ulike sannsynligheter, PZ z normalfordeling Tabellen viser at P Z0,45 0,70540 i en standardisert 3) Tabellen er et utdrag fra en tabell som viser ulike sannsynligheter PZ z normalfordeling P Z 0,45 0,734 Ut fra tabellen kan vi vise at i en standardisert 5
16 4) Tabellen er et utdrag fra en tabell som viser ulike sannsynligheter PZ z normalfordeling Ut fra tabellen kan vi vise at P Z 0,45 0,33 i en standardisert 5) Tabellen er et utdrag fra en tabell som viser ulike sannsynligheter PZ z normalfordeling Tabellen viser at P Z 0 0,45 0,734 i en standardisert
17 ) Tabellen er et utdrag fra en tabell som viser ulike sannsynligheter PZ z normalfordeling Ut fra tabellen kan vi vise at P Z0,45 0,734 i en standardisert 7) I en standardisert normalfordeling er forventningsverdien lik og standardavviket lik 8) I en normalfordeling er P X 0,5 9) I en standardisert normalfordeling er P X 0 0,5 0) I en normalfordeling er P X 0,954 7
18 ) Hvis vi regner med en gjennomsnittshøyde for kvinner på 70 cm og bruker samme standardavvik som for menn,,8, får vi en normalfordeling som vist i figuren. Hvor stor del av kvinnene er over 80 cm? 0,993 % 7,07 % 9,93 % 8
19 ) Hvis vi regner med en gjennomsnittshøyde for kvinner på 70 cm og bruker samme standardavvik som for menn,,8, får vi en normalfordeling som vist i figuren. Hvor stor del av kvinnene er under 70 cm? 0,50 % 0 % 50 % 9
20 3) Hvis vi regner med en gjennomsnittshøyde for kvinner på 70 cm og bruker samme standardavvik som for menn,,8, får vi en normalfordeling som vist i figuren. Hvor stor del av kvinnene er under 75 cm? 3, % 73, % 7,89 % 0
21 4) Hvis vi regner med en gjennomsnittshøyde for kvinner på 70 cm og bruker samme standardavvik som for menn,,8, får vi en normalfordeling som vist i figuren. Hvor stor del av kvinnene er over 75 cm? 3, % 73, % 7,89 %
22 5) Figuren viser grafen til den standardiserte normalfordelingen for høyden til kvinner med gjennomsnittshøyde på 70 cm og med standardavvik,8, Hvor stor del av kvinnene er over 83, cm?,8 % 97,7 % Det kan vi ikke si noe om ut fra opplysningene
23 3.4 Sentralgrensesetningen ) Du skal fylle ut en tippekupong med fotballkamper. For hver kamp har du tre alternativ: hjemme, uavgjort og borte. Du kjenner ingen av lagene som spiller. Vi kan derfor anta at sannsynligheten for å tippe riktig er i hver kamp. (Ser bort fra at H strengt tatt har litt større 3 sannsynlighet). Vi lar den stokastiske variabelen X være antall riktige du får. Vi kan regne med at sannsynlighetsfordelingen for å tippe riktig er normalfordelt ) Du skal kaste en terning n ganger. Vi lar den stokastiske variabelen X være antall seksere du får. Hvor mange ganger må du kaste for at vi skal kunne regne med at forsøket er normalfordelt? Mer enn 0. Mer enn 0. Mer enn 30. 3) Du skal kaste en terning 5ganger. Vi lar den stokastiske variabelen X være antall seksere du får. I dette forsøket er standardavviket ) Du skal kaste en terning n ganger. Vi lar den stokastiske variabelen X være antall partall du får. Hvor mange ganger må du kaste for at vi skal kunne regne med at forsøket er normalfordelt? Mer enn 0. Mer enn 0. Mer enn 30. 3
24 5) Du skal kaste en terning 00 ganger. Vi lar den stokastiske variabelen X være antall partall du får. I dette forsøket er forventningsverdien ) Du skal kaste en terning 00 ganger. Vi lar den stokastiske variabelen X være antall partall du får. I dette forsøket er standardavviket 4 5 7) Du skal kaste en terning n ganger. Vi lar den stokastiske variabelen X være antall kast som gir antall øyne mindre eller lik 5. Hvor mange ganger må du kaste for at vi skal kunne regne med at forsøket er normalfordelt? Mer enn Mer enn 0 Mer enn 30 8) Du skal kaste en terning n ganger. Vi lar den stokastiske variabelen X være antall kast som gir antall øyne større enn eller lik 5. Hvor mange ganger må du kaste for at vi skal kunne regne med at forsøket er normalfordelt? Mer enn 5 Mer enn 0 Mer enn 30 9) Du skal kaste en terning 00 ganger. Vi lar den stokastiske variabelen X være antall partall du får. Så gjentar du dette forsøket 5 ganger. La X være gjennomsnittet av 5 uavhengige forsøk der hvert forsøk består av 00 kast. Da er forventningsverdien til X
25 0) Du skal kaste en terning 00 ganger. Vi lar den stokastiske variabelen X være antall partall du får. Så gjentar du dette forsøket 5 ganger. La X være gjennomsnittet av 5 uavhengige forsøk der hvert forsøk består av 00 kast. Da er standardavviket til X 0,5 5 ) I denne oppgaven skal du regne med en gjennomsnittshøyde for kvinner er 70 cm med standardavvik,,8. Ved ulike skoler ble høyden til 5 russejenter målt. La X være gjennomsnittet av resultatet på de ulike skolene. Standardavviket til X er.,3,8,8 0 ) I denne oppgaven skal du regne med en gjennomsnittshøyde for kvinner er 70 cm med standardavvik,,8. Ved ulike skoler ble høyden til 5 russejenter målt. La X være gjennomsnittet av resultatet på de ulike skolene. Forventningsverdien til X er ) I denne oppgaven skal du regne med at gjennomsnittsvekten for nyfødte gutter er 300 gram med standardavvik, 00 gram. På et stort sykehus blir det med jevne mellomrom tatt en stikkprøve på 5 nyfødte gutter. La X være gjennomsnittsvekta til de 5 guttene. Forventningsverdien til X er. 70 gram 300 gram 4000 gram 5
26 4) I denne oppgaven skal du regne med at gjennomsnittsvekten for nyfødte gutter er 300 gram med standardavvik, 00 gram. På et stort sykehus blir det med jevne mellomrom tatt en stikkprøve på 5 nyfødte gutter. La X være gjennomsnittsvekta til de 5 guttene. Standardavviket, til X er. 0 gram 0 gram 00 gram 5) I denne oppgaven skal du regne med at gjennomsnittsvekten for nyfødte gutter er 300 gram med standardavvik, 00 gram. På et stort sykehus blir det med jevne mellomrom tatt en stikkprøve på 9 nyfødte gutter. La X være gjennomsnittsvekta til de 9 guttene. Standardavviket, til X er. 0 gram 0 gram 00 gram 3.5 Hypotesetesting ) En nullhypotese, H 0. sier at situasjonen er uendret. ) Effekten av en ny medisin for influensa skal undersøkes. Vi har en tradisjonell behandling der 70 % av pasientene ble friske etter 4 dager, og vi ønsker å finne ut om den nye medisinen er bedre. Vi lar p være andelen som blir friske etter 4 dager og setter opp en nullhypotese, H 0 : Den nye medisinen er like god som den gamle, p 0,7 og en alternativ hypotese H : Den nye medisinen er bedre enn den gamle, p 0,7 Dette er en høyresidig test Dette er en venstresidig test Dette er en dobbelsidig test
27 3) Effekten av en ny medisin mot influensa skal undersøkes. Vi har en tradisjonell behandling der 70 % av pasientene ble friske etter 4 dager, og vi ønsker å finne ut om den nye medisinen er bedre. Vi lar p være andelen som blir friske etter 4 dager og setter opp en nullhypotese, H 0 : Den nye medisinen er like god som den gamle, p 0,7 og en alternativ hypotese H : Den nye medisinen er bedre enn den gamle, p 0,7 Vi setter signifikansnivået til 5 % og tester 0 pasienter med influensa med den nye medisinen. Det viser seg at 8 av pasientene var friske etter 4 dager Bruk utdraget fra tabell for kumulativ sannsynlighet for binomisk fordeling med n0 og p 0,7 og bestem P - verdien til testen. P - verdien er 0,8 % 3, % 99, % 4) Effekten av alternativ behandling av influensa skal undersøkes. Vi har en tradisjonell behandling der 70 % av pasientene ble friske etter 4 dager, og vi ønsker å finne ut om den alternative behandlingen er like god. Vi lar p være andelen som blir friske etter 4 dager og setter opp en nullhypotese, H 0 : Den alternative behandlingen er like god som den gamle, p 0,7 og en alternativ hypotese H : Den alternative behandlingen er dårligere enn den gamle, p 0,7 Dette er en høyresidig test Dette er en venstresidig test Dette er en dobbelsidig test 5) Berit er 70 cm høy og påstår at det er gjennomsnittshøyden for norske kvinner på 8 år. Kari mener at det er feil. Klassen til Berit og Kari vil bruke hypotesetesting for å undersøke om Berit eller Kari har rett. De bestemmer seg for å velge ut 00 jenter på 8 år tilfeldig og så finne gjennomsnittshøyden til jentene i denne stikkprøven. De velger som nullhypotese at Berits påstand er korrekt H : 70 0 Som alternativhypotese sier de at Karis påstand er korrekt H : 70 Dette er en høyresidig test Dette er en venstresidig test Dette er en dobbelsidig test 7
28 ) Effekten av en alternativ behandling av influensa skal undersøkes. Vi har en tradisjonell behandling der 70 % av pasientene ble friske etter 4 dager, og vi ønsker å finne ut om den alternative behandlingen er like god. Vi lar p være andelen som blir friske etter 4 dager og setter opp en nullhypotese, H 0 : Den alternative behandlingen er like god som den gamle, p 0,7 og en alternativ hypotese H : Den alternative behandlingen er dårligere enn den gamle, p 0,7 Vi setter signifikansnivået til 5 % og tester 0 pasienter med influensa med den nye medisinen. Det viser seg at av pasientene var friske etter 4 dager Bruk utdraget fra tabell for kumulativ sannsynlighet for binomisk fordeling med n0 og p 0,7 og bestem P - verdien til testen. P -verdien er 4,8 %,3 % 88,7 % 7) Jo høyere signifikansnivå man velger ved hypotesetesting, jo større grad av sikkerhet forlanger man før man forlater nullhypotesen. 8) Dersom hypotesetesting brukes som bevis i straffesaker, bruker man et høyt signifikansnivå. 9) Effekten av en ny medisin mot influensa skal undersøkes. Vi har en tradisjonell behandling der 70 % av pasientene ble friske etter 4 dager, og vi ønsker å finne ut om den nye medisinen er bedre. Vi lar p være andelen som blir friske etter 4 dager og setter opp en nullhypotese, H 0 : Den nye medisinen er like god som den gamle, p 0,7 og en alternativ hypotese H : Den nye medisinen er bedre enn den gamle, p 0,7 Vi ønsker å teste 0 pasienter med influensa med den nye medisinen. Da kan vi bruke normaltilnærmet binomisk fordeling. 8
29 0) Effekten av en ny medisin mot influensa skal undersøkes. Vi har en tradisjonell behandling der 70 % av pasientene ble friske etter 4 dager, og vi ønsker å finne ut om den nye medisinen er bedre. Vi lar p være andelen som blir friske etter 4 dager og setter opp en nullhypotese, H 0 : Den nye medisinen er like god som den gamle, p 0,7 og en alternativ hypotese H : Den nye medisinen er bedre enn den gamle, p 0,7 Hva er det minste antall pasienter vi må teste for at vi skal kunne bruke normaltilnærmet binomisk fordeling? 8 7 ) Effekten av en ny medisin mot influensa skal undersøkes. Vi har en tradisjonell behandling der 70 % av pasientene ble friske etter 4 dager, og vi ønsker å finne ut om den nye medisinen er bedre. Vi lar p være andelen som blir friske etter 4 dager og setter opp en nullhypotese, H 0 : Den nye medisinen er like god som den gamle, p 0,7 og en alternativ hypotese H : Den nye medisinen er bedre enn den gamle, p 0,7 Vi ønsker å teste 0 pasienter med influensa med den nye medisinen. Vi vil bruke normaltilnærmet binomisk fordeling i testen. Hva blir forventningsverdien,? 4 5 ) Effekten av en ny medisin mot influensa skal undersøkes. Vi har en tradisjonell behandling der 70 % av pasientene ble friske etter 4 dager, og vi ønsker å finne ut om den nye medisinen er bedre. Vi lar p være andelen som blir friske etter 4 dager og setter opp en nullhypotese, H 0 : Den nye medisinen er like god som den gamle, p 0,7 og en alternativ hypotese H : Den nye medisinen er bedre enn den gamle, p 0,7 Vi ønsker å teste pasienter med influensa med den nye medisinen. Vi vil bruke normaltilnærmet binomisk fordeling i testen. Hva blir standardavviket,? 0,5,, 9
30 3) Effekten av en ny medisin mot influensa skal undersøkes. Vi har en tradisjonell behandling der 70 % av pasientene ble friske etter 4 dager, og vi ønsker å finne ut om den nye medisinen er bedre. Vi lar p være andelen som blir friske etter 4 dager og setter opp en nullhypotese, H 0 : Den nye medisinen er like god som den gamle, p 0,7 og en alternativ hypotese H : Den nye medisinen er bedre enn den gamle, p 0,7 Vi setter signifikansnivået til 5 % og tester pasienter med influensa med den nye medisinen. Det viser seg at 7 av pasientene var friske etter 4 dager Vi bruker normaltilnærmet binomisk fordeling. Resultatet tilsier at vi kan forlate nullhypotesen 30
31 4) Berit er 70 cm høy og påstår at det er gjennomsnittshøyden for norske kvinner på 8 år. Kari mener at gjennomsnittshøyden er større. Klassen til Berit og Kari vil bruke hypotesetesting for å undersøke om Berit eller Kari har rett. De bestemmer seg for å velge ut 00 jenter på 8 år tilfeldig og så finne gjennomsnittshøyden til jentene i denne stikkprøven. De velger som nullhypotese at Berits påstand er korrekt H : 70 0 Som alternativhypotese sier de at Karis påstand er korrekt H : 70 Dette er en høyresidig test 5) Berit er 70 cm høy og påstår at det er gjennomsnittshøyden for norske kvinner på 8 år. Kari mener at gjennomsnittshøyden er større. Klassen til Berit og Kari vil bruke hypotesetesting for å undersøke om Berit eller Kari har rett. De bestemmer seg for å velge ut 00 jenter på 8 år tilfeldig og så finne gjennomsnittshøyden til jentene i denne stikkprøven. De velger som nullhypotese at Berits påstand er korrekt H : 70 0 Som alternativhypotese sier de at Karis påstand er korrekt H : 70 Klassen regner med at standardavviket for høyden på norske jenter på 8 år er,8. Hva blir standardavviket for gjennomsnittet av stikkprøven 0,8,8,8 00 3
Sannsynlighet og statistikk S2 Løsninger
Sannsynlighet og statistikk S2 Løsninger Innhold 3. Stokastiske variabler og sannsynlighetsfordelinger... 2 3.2 Forventningsverdi Varians Standardavvik... 9 3.3 Normalfordelingen... 7 3.4 Sentralgrensesetningen...
Sannsynlighet og statistikk S2 Oppgaver
annsynlighet og statistikk 2 Oppgaver Innhold 3 tokastiske variabler og sannsynlighetsfordelinger 2 32 Forventningsverdi Varians tandardavvik 5 33 Normalfordelingen 9 34 entralgrensesetningen 35 Hypotesetesting
Sannsynlighet og statistikk
Sannsynlighet og statistikk Innhold Kompetansemål Sannsynlighet og statistikk, S... 3. Stokastiske variabler og sannsynlighetsfordelinger... 3 Stokastisk forsøk... 3 Definisjon av sannsynlighet og sannsynlighetsmodell...
Quiz, 4 Kombinatorikk og sannsynlighet
Quiz, 4 Kombinatorikk og sannsynlighet Innhold 4.1 Begreper i sannsynlighetsregning... 2 4.2 Addisjon av sannsynligheter... 6 4.3 Produktsetningen for sannsynlighet... 12 4.4 Kombinatorikk og sannsynlighetsberegning...
Prøvemidtveiseksamen TMA4240 Statistikk H2004
Prøvemidtveiseksamen TMA4240 Statistikk H2004 Lagt ut 21.09.2004, løsningsforslag tilgjengelig 04.10.2004. Tilatte hjelpemiddel: Bestemt enkel kalkulator, dvs. HP30S. Tabeller og formler i statistikk (Tapir).
MAT4010 PROSJEKTOPPGAVE: Statistikk i S2. Olai Sveine Johannessen, Vegar Klem Hafnor & Torstein Mellem
MAT400 PROSJEKTOPPGAVE: Statistikk i S2 Olai Sveine Johannessen, Vegar Klem Hafnor & Torstein Mellem 20. mai 205 Innhold. Stokastisk Variabel.. Stokastiske variable som funksjoner 3 2. Forventningsverdi
TMA4240 Statistikk Høst 2015
TMA4240 Statistikk Høst 2015 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer 11, blokk II I denne øvingen skal vi fokusere på hypotesetesting. Vi ønsker å gi dere
Regneregler for forventning og varians
Regneregler for forventning og varians Det fins regneregler som er til hjelp når du skal finne forventningsverdier og varianser. Vi skal her se nærmere på disse reglene. Vi viser deg også hvordan reglene
Diskrete sannsynlighetsfordelinger som histogram. Varians. Histogram og kumulativ sannsynlighet. Forventning (gjennomsnitt) (X=antall mynt i tre kast)
Diskret sannsynlighetsfordeling (kap 1.1-1.6) Oversikt Utfallsrom (sample space) Sannsynlighetsfordeling Forventning (expectation), E(X), populasjonsgjennomsnitt Bruk av figurer og histogram Binomialfordelingen
Hypotesetesting. Hvorfor og hvordan? Gardermoen 21. april 2016 Ørnulf Borgan. H. Aschehoug & Co Sehesteds gate 3, 0102 Oslo Tlf:
Hypotesetesting Hvorfor og hvordan? Gardermoen 21. april 2016 Ørnulf Borgan H. Aschehoug & Co Sehesteds gate 3, 0102 Oslo Tlf: 22 400 400 www.aschehoug.no 1 Oversikt Sannsynlighetsregning og statistikk
Tilfeldige variabler. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk
MAT000V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk Tilfeldige variabler og sannsynlighetsfordelinger (repetisjon) Hypergeometrisk fordeling (repetisjon) Binomisk fordeling Forventningsverdi Tilfeldige variabler
Kapittel 9 og 10: Hypotesetesting
Kapittel 9 og 1: Hypotesetesting Hypotesetesting er en standard vitenskapelig fremgangsmåte for å sjekke påstander. Generell problemstilling: Basert på informasjonen i data fra et tilfeldig utvalg ønsker
Diskrete sannsynlighetsfordelinger som histogram. Varians. Histogram og kumulativ sannsynlighet. Binomial-fordelingen
Diskret sannsynlighetsfordeling (kap 1.1-1.6) Oversikt Utfallsrom (sample space) Sannsynlighetsfordeling Forventning (expectation), E(, populasjonsgjennomsnitt Bruk av figurer og histogram Binomialfordelingen
Kapittel 9 og 10: Hypotesetesting
Kapittel 9 og 1: ypotesetesting ypotesetesting er en standard vitenskapelig fremgangsmåte for å sjekke påstander. Generell problemstilling: Basert på informasjonen i data fra et tilfeldig utvalg ønsker
Kompetansemål Hva er sannsynlighet?... 2
3 Sannsynlighet Innhold Kompetansemål... 2 3. Hva er sannsynlighet?... 2 Utfall og utfallsrom... 3 Tilfeldig forsøk... 3 Definisjon av sannsynlighet... 5 Sannsynlighetsmodeller... Andre eksempler på tilfeldige
i x i
TMA4245 Statistikk Vår 2016 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Anbefalte oppgaver 11, blokk II Oppgavene i denne øvingen dreier seg om hypotesetesting og sentrale
Sannsynlighet i uniforme modeller. Addisjon av sannsynligheter
Sannsynlighet i uniforme modeller. Addisjon av sannsynligheter Fagstoff Listen [] Hendelse En hendelse i en sannsynlighetsmodell består av ett eller flere utfall. Vi ser på det tilfeldige forsøket «kast
Kan vi stole på resultater fra «liten N»?
Kan vi stole på resultater fra «liten N»? Olav M. Kvalheim Universitetet i Bergen Plan for dette foredraget Hypotesetesting og p-verdier for å undersøke en variabel p-verdier når det er mange variabler
Tilfeldige variabler. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk
MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk Forventning, varians og standardavvik Tilnærming av binomiske sannsynligheter Konfidensintervall Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i Oslo
ST0202 Statistikk for samfunnsvitere
ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Kapittel 5: Sannsynlighetsfordelinger for diskrete variabler Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Tilfeldige variabler (5.1) Dersom vi til hvert utfall av eksperimentet
TMA4245 Statistikk Eksamen desember 2016
Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4245 Statistikk Eksamen desember 2016 Oppgave 1 En bedrift produserer elektriske komponenter. Komponentene kan ha to typer
Emnekode: LGU Emnenavn: Matematikk 2 (5 10), emne 2. Semester: VÅR År: 2016 Eksamenstype: Skriftlig
Sensurveiledning Emnekode: LGU 52003 Emnenavn: Matematikk 2 (5 10), emne 2 Semester: VÅR År: 2016 Eksamenstype: Skriftlig Oppgave 1 Grafen i Vedlegg 1 viser farten som en deltaker i et ultramaraton holder
Hypotesetesting. mot. mot. mot. ˆ x
Kapittel 6.4-6.5: ypotesetesting ypotesetesting er en standard vitenskapelig fremgangsmåte for å sjekke påstander. Generell problemstilling: Basert på informasjonen i data fra et tilfeldig utvalg ønsker
Forelening 1, kapittel 4 Stokastiske variable
Forelening 1, kapittel 4 Stokastiske variable Eksempel X = "antall kron på kast med to mynter (før de er kastet)" Uniformt utfallsrom {MM, MK, KM, KK}. X = x beskriver hendelsen "antall kron på kast med
TMA4240 Statistikk Høst 2016
TMA4240 Statistikk Høst 2016 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Anbefalt øving 11 Oppgavene i denne øvingen dreier seg om hypotesetesting og sentrale begreper
Eksamen REA3028 S2, Høsten 2011
Eksamen REA08 S, Høsten 0 Del Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave (4 poeng) a) Deriver funksjonene ) f f 4 ) g e g e 6e ) h
DEL 1. Uten hjelpemidler. Oppgave 1 (5 poeng) Oppgave 2 (3 poeng) Deriver funksjonene. x x. På figuren har vi tegnet grafen til en funksjon f gitt ved
DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (5 poeng) Deriver funksjonene a) f ( ) e b) g ( ) 1 c) h( ) (3 1) e Oppgave (3 poeng) På figuren har vi tegnet grafen til en funksjon f gitt ved 3 f( ) k k, D f f a) Faktoriser
Eksamen S2 va ren 2015 løsning
Eksamen S va ren 05 løsning Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler. Oppgave (5 poeng) Deriver funksjonene. a) x f x e x f x e e x b) gx x x x x x
Løsning eksamen desember 2017
Løsning eksamen desember 017 Oppgave 1 Innfører hendelsene D: enheten er defekt K: enheten blir kassert a i Disse sannsynlighetene kan leses ut av oppgaveteksten: P D = 0, 10 P K D = 0, 07 P K D = 0, 95
DEL 1. Uten hjelpemidler. Avgjør om de geometriske rekkene er konvergente. Bestem i så fall summen.
DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (5 poeng) Deriver funksjonene a) b) c) f( x) e x 4 x 1 g( x) x h( x) x 3 ln x Oppgave (3 poeng) Avgjør om de geometriske rekkene er konvergente. Bestem i så fall summen.
ST1101/ST6101 Sannsynlighetsregning og statistikk Vår 2019
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag ST/ST Sannsynlighetsregning og statistikk Vår 9 Oppgaver fra boka 3..9 Ved et terningkast anses utfallet antall øyne lik for
DEL 1. Uten hjelpemidler. Oppgave 1 (5 poeng) Oppgave 2 (4 poeng) Oppgave 3 (2 poeng) Oppgave 4 (2 poeng) Deriver funksjonene a) ( ) x e x
DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (5 poeng) Deriver funksjonene a) b) c) f( x) 2x 4x g x 2 ( ) x e x 2 3 h x x x 3 ( ) ln( 3 1) Oppgave 2 (4 poeng) a) Utfør divisjonen 3 2 ( x 5x 4x 20) : ( x 5) b) Bestem
Høgskolen i Telemark. Institutt for økonomi og informatikk FORMELSAMLING Statistikk I. Til bruk ved eksamen. Per Chr. Hagen
Høgskolen i Telemark Institutt for økonomi og informatikk FORMELSAMLING 6005 Statistikk I Til bruk ved eksamen Per Chr. Hagen . Sannsynlighetsregning. Regneregler Komplementsetningen: Addisjonssetningen:
ST0103 Brukerkurs i statistikk Høst 2014
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag ST0103 Brukerkurs i statistikk Høst 2014 Løsningsforslag Øving 1 2.1 Frekvenstabell For å lage en frekvenstabell må vi telle
Oppgaver. Innhold. Sannsynlighet Vg1P
Oppgaver Innhold Modul 1. Hva er sannsynlighet?... 2 Modul 2. Addisjon av sannsynligheter. Gunstige og mulige utfall... 6 Modul 3. Beregne sannsynligheter ved å bruke tabeller... 10 Modul 4. Beregne sannsynligheter
ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Hypotesetesting (kp. 6) Hypotesetesting. Kp. 6 Hypotesetesting ...
ÅMA Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 6 Kp. 6 (kp. 6)... Begrep: nullhypotese alternativhypotese ensidig, tosidig teststørrelse (testobservator) nullfordeling kritisk verdi, forkastningsområde
Illustrasjon av regel 5.19 om sentralgrenseteoremet og litt om heltallskorreksjon (som i eksempel 5.20).
Econ 130 HG mars 017 Supplement til forelesningen 7. februar Illustrasjon av regel 5.19 om sentralgrenseteoremet og litt om heltallskorreksjon (som i eksempel 5.0). Regel 5.19 sier at summer, Y X1 X X
ST0202 Statistikk for samfunnsvitere
ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Tilfeldige variable (5.2) Dersom vi til hvert utfall av eksperimentet tilordner et tall, har vi laget en tilfeldig variabel.
Tilfeldige variable (5.2)
Tilfeldige variable (5.) Dersom vi til hvert utfall av eksperimentet tilordner et tall, har vi laget en tilfeldig variabel. Tilfeldig variabel: En variabel som har en numerisk verdi for hvert utfall i
Fasit for tilleggsoppgaver
Fasit for tilleggsoppgaver Uke 5 Oppgave: Gitt en rekke med observasjoner x i (i = 1,, 3,, n), definerer vi variansen til x i som gjennomsnittlig kvadratavvik fra gjennomsnittet, m.a.o. Var(x i ) = (x
TMA4245 Statistikk Eksamen august 2014
TMA4245 Statistikk Eksamen august 2014 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Oppgave 1 En bedrift produserer en type medisin i pulverform Medisinen selges på flasker
A) B) 400 C) 120 D) 60 E) 10. Rett svar: C. Fasit: ( 5 6 = 60. Hvis A, B, C er en partisjon av utfallsrommet S, så er P (A B) lik.
Oppgave 1 Det skal velges en komité bestående av 2 menn og 1 kvinne. Komitéen skal velges fra totalt 5 menn og 6 kvinner. Hvor mange ulike komitéer kan dannes? A) 86400 B) 400 C) 120 D) 60 E) 10 Rett svar:
Eksamen S2 høsten 2017 løsninger
Eksamen S høsten 017 løsninger Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler. Oppgave 1 (5 poeng) Deriver funksjonene a) 3 f x x 4x 4 1 f x x x g x x e b)
µ = E(X) = Ʃ P(X = x) x
Redigerte høydepunkt fra forrige episode 3.2: Punktsannsynlighet og kumulativ sannsynlighet punktsannsynlighet: sanns. for at en stok. var. X har en viss verdi x; P(X = x) kumulativ sannsynlighet: sanns.
Eksamen vår 2009 Løsning Del 1
S Eksamen, våren 009 Løsning Eksamen vår 009 Løsning Del Oppgave a) Deriver funksjonene: ) f f f 3 3 f f 4 ) g e 3 g e g e e g e b) ) Gitt rekka 468 Finn ledd nummer 0 og summen av de 0 første leddene.
Oppgaver til Studentveiledning 4 MET 3431 Statistikk
Oppgaver til Studentveiledning 4 MET 3431 Statistikk 8. mai 2012 kl 17.15-20.15 i B2 Handelshøyskolen BI 2 Oppgaver 1. Eksamensoppgaver: Eksamen 22/11/2011: Oppgave 1-7. Eksamensoppgaven fra 11/2011 er
MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk
MAT000V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk Uordnet utvalg uten tilbakelegging (repetisjon) Tilfeldige variabler og sannsynlighetsfordelinger Hypergeometrisk fordeling Binomisk fordeling Ørnulf Borgan
Hypotesetesting (kp. 6) ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Tre deler av faget/kurset: 1. Beskrivende statistikk
ÅMA Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2 Kp. 6 Hypotesetesting Hypotesetesting (kp. 6) Tre deler av faget/kurset:. Beskrivende statistikk 2. Sannsynlighetsteori, sannsynlighetsregning 3. Statistisk
Eksamen REA3028 S2, Våren 2013
Eksamen REA308 S, Våren 013 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler. Oppgave 1 (3 poeng) Deriver funksjonene x a) f x x e b) gx x 1 x 3 Oppgave
Terningkast. Utfallsrommet S for et terningskast med en vanlig spillterning med 6 sider er veldefinert 1, 2, 3, 4, 5, 6
Terningkast Halvor Aarnes, UiO, 2014 Innhold Ett terningkast og utfallsrom... 1 Union og snitt... 4 Betinget sannsynlighet... 5 Forventningsverdi E(X) og varianse Var(X)... 5 Konfidensintervall for proporsjoner...
Kapittel 4.4: Forventning og varians til stokastiske variable
Kapittel 4.4: Forventning og varians til stokastiske variable Forventning og varians til stokastiske variable Histogrammer for observerte data: Sannsynlighets-histogrammer og tetthetskurver for stokastiske
Eksamensoppgave i TMA4245 Statistikk
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA4245 Statistikk Faglig kontakt under eksamen: Håkon Tjelmeland Tlf: 48 22 18 96 Eksamensdato:??. august 2014 Eksamenstid (fra til): 09:00 13:00 Hjelpemiddelkode/Tillatte
Del 1. Oppgave 1. a) Deriver funksjonene. 2) g( x) b) 1) Finn summen av den uendelige rekka: 9 + 0,9+
Del Oppgave a) Deriver funksjonene 3 2 ) f ( x) = 4x 5x + 3x+ 3 2) g( x) = 2 x e 3x b) ) Finn summen av den uendelige rekka: 9 + 0,9+ 0,09+ 0, 009+ L 2) Finn summen av de 9 første naturlige tallene. c)
Eksamensoppgave i TMA4240 Statistikk
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA4240 Statistikk Faglig kontakt under eksamen: Mette Langaas a, Ingelin Steinsland b, Geir-Arne Fuglstad c Tlf: a 988 47 649, b 926 63 096, c 452 70 806
Tilfeldige variabler. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk
MAT000V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk Tilfeldige variabler og sannsynlighetsfordelinger Hypergeometrisk fordeling Binomisk fordeling Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i Oslo Tilfeldige
Binomisk fordeling. Tilfeldige variabler. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk
MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk Forventning, varians og standardavvik Tilfeldige variabler Når vi kaster to terninger er det 36 utfall Vi ser på X = «sum antall øyne» De mulige verdiene
1 Section 4-1: Introduksjon til sannsynlighet. 2 Section 4-2: Enkel sannsynlighetsregning. 3 Section 5-1: Introduksjon til sannsynlighetsfordelinger
1 Section 4-1: Introduksjon til sannsynlighet 2 Section 4-2: Enkel sannsynlighetsregning 3 Section 5-1: Introduksjon til sannsynlighetsfordelinger 4 Section 5-2: Tilfeldige variable 5 Section 5-3: Binomisk
Eksamen 31.05.2011. REA3028 Matematikk S2. Nynorsk/Bokmål
Eksamen 1.05.2011 REA028 Matematikk S2 Nynorsk/Bokmål Bokmål Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemidler på Del 1: Hjelpemidler på Del 2: 5 timer: Del 1 skal leveres inn etter 2 timer. Del 2 skal leveres
ØVINGER 2017 Løsninger til oppgaver. 3.1 Myntkast For et enkelt myntkast har vi to mulige utfall, M og K. Utfallsrommet blir
ØVINGER 017 Løsninger til oppgaver Øving 3.1 Myntkast For et enkelt myntkast har vi to mulige utfall, M og K. Utfallsrommet blir S = {M, K}. Med to etterfølgende myntkast blir utfallsrommet S = {MM, MK,
1 Section 6-2: Standard normalfordelingen. 2 Section 6-3: Anvendelser av normalfordelingen. 3 Section 6-4: Observator fordeling
1 Section 6-2: Standard normalfordelingen 2 Section 6-3: Anvendelser av normalfordelingen 3 Section 6-4: Observator fordeling 4 Section 6-5: Sentralgrenseteoremet Oversikt Kapittel 6 Kontinuerlige tilfeldige
Eksamensoppgave i TMA4240 Statistikk
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA4240 Statistikk Faglig kontakt under eksamen: Jo Eidsvik og Arild Brandrud Næss Tlf: 90 12 74 72 og 99 53 82 94 Eksamensdato: 9. desember 2013 Eksamenstid
ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Hypotesetesting (kp. 6) Hypotesetesting, innledning. Kp.
ÅMA Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 8 Kp. 6 Hypotesetesting Hypotesetesting (kp. 6) Tre deler av faget/kurset:. Beskrivende statistikk. Sannsynlighetsteori, sannsynlighetsregning 3. Statistisk
3 Sannsynlighet, Quiz
3 Sannsynlighet, Quiz Innhold 3.1 Begreper i sannsynlighetsregning... 1 3.2 Addisjon av sannsynligheter... 3.3 Produtsetningen for sannsynlighet... 11 3. Binomis sannsynlighet... 17 3.1 Begreper i sannsynlighetsregning
Eksamen S2 va r 2017 løsning
Eksamen S va r 017 løsning Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler. Oppgave 1 (5 poeng) Deriver funksjonene a) f 1 f b) g ln 1 g h 1 e c) h e e e Oppgave
TMA4240 Statistikk Høst 2008
TMA4240 Statistikk Høst 2008 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer 7 Oppgave 1 Tippekonkurranse Denne oppgaven er ment som en kjapp test på hva du har
Eksamensoppgave i ST0103 Brukerkurs i statistikk
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i ST0103 Brukerkurs i statistikk Faglig kontakt under eksamen: Nikolai Ushakov Tlf: 45128897 Eksamensdato: August 2018 Eksamenstid (fra til): 09:00 13:00 Hjelpemiddelkode/Tillatte
Sannsynlighetsregning
Sannsynlighetsregning Per G. Østerlie Thora Storm vgs per.osterlie@stfk.no 5. april 203 Hva og hvorfor? Hva? Vi får høre at det er sannsynlig at et eller annet kommer til å skje. Sannsynligheten for å
STK1100 våren Forventningsverdi. Forventning, varians og standardavvik
STK00 våren 0 Forventning, varians og standardavvik Svarer til avsnitt 3.3 i læreboka Geir Storvik (Ørnulf Borgan) Matematisk institutt Universitetet i Oslo Forventningsverdi Punktsannsynligheten px (
Oppgaver. Innhold. Sannsynlighet 1P, 1T og 2P-Y
Oppgaver Innhold 3.1 Hva er sannsynlighet?... 2 3.2 Addisjon av sannsynligheter. Gunstige og mulige utfall... 5 3.3 Beregne sannsynligheter ved å bruke tabeller... 9 3.4 Beregne sannsynligheter ved å bruke
Litt om forventet nytte og risikoaversjon. Eksempler på økonomisk anvendelse av forventning og varians.
H. Goldstein Revidert januar 2008 Litt om forventet nytte og risikoaversjon. Eksempler på økonomisk anvendelse av forventning og varians. Dette notatet er ment å illustrere noen begreper fra Løvås, kapittel
ST0202 Statistikk for samfunnsvitere
ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Statistisk inferens (kap. 8) Statistisk inferens er å tolke/analysere resultater fra utvalget for å finne ut mest mulig
Sannsynlighet oppgaver
Sannsynlighet oppgaver Innhold 3.1 Pascals talltrekant... 2 3.2 Kombinatorikk... 4 3.3 Sannsynlighetsberegninger... 8 3.4 Hypergeometrisk sannsynlighetsmodell... 9 3.5 Binomisk sannsynlighetsmodell...
TMA4245 Statistikk Eksamen desember 2016
Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4245 Statistikk Eksamen desember 2016 Oppgave 1 Ei bedrift produserer elektriske komponentar. Komponentane kan ha to typar
a) Vi har det lineære likningssettet
Høgskolen i Østfold Avdeling for ingeniørfag EKSAMEN Faglærer: Mikjel Thorsrud, 1R113511 Grunnleggende matematikk Dato: 30.03.2016 Tid: 0900-1300 og statistikk Sensurfrist: 20.04.2016 Antall oppgavesider:
ST0202 Statistikk for samfunnsvitere
ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Statistisk inferens (kap. 8) Statistisk inferens er å tolke/analysere resultater fra utvalget for å finne ut mest mulig
Statistikk. Forkurs 2017
Statistikk Forkurs 2017 Hva er statistikk? Undersøke Registrere Lage oversikt Presentasjon av informasjon Formidle Arbeidet med statistikk kan vi dele inn i to hovedområder: Samle inn og ordne opplysninger
ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Kp. 3 Diskrete tilfeldige variable. Diskrete tilfeldige variable, varians (kp. 3.
ÅMA Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 8 Kp. Diskrete tilfeldige variable Kp. Diskrete tilfeldige variable Har sett på (tidligere: begrep/definisjoner; tilfeldig (stokastisk variabel sannsynlighetsfordeling
ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2011
ÅMA0 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 0 Kp. 3 Diskrete tilfeldige variable Noen viktige sannsynlighetsmodeller Noen viktige sannsynlighetsmodeller ( Sanns.modell : nå betyr det klasse/type sanns.fordeling.
9.5 Uavhengige hendinger
9. Uavhengige hendinger Vi kaster en terning to ganger og innfører hendingene A: Det første kastet gir sekser B: Det andre kastet gir sekser Om vi får sekser på det første kastet, endrer ikke det sannsynligheten
UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT
Utsatt eksamen i: ECON2130 - Statistikk 1 Eksamensdag: 19.06.2014 Tid for eksamen: kl. 09:00 12:00 Oppgavesettet er på 4 sider UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Tillatte hjelpemidler: Alle trykte
Heldagsprøve. Matematikk - S2. 6 Mai 2010
S2 -Heldagsprøve V0 Heldagsprøve Matematikk - S2 6 Mai 200 Løsningsskisser Del Oppgave a) En rekke er gitt ved 7 3 9... ) Finn ledd nummer 25 i rekken. a 25 a d n 6 25 45 2) Finn summen av de første 50
Statistikk. Forkurs 2018
Statistikk Forkurs 2018 Hva er statistikk? Undersøke Registrere Lage oversikt Presentasjon av informasjon Formidle Arbeidet med statistikk kan vi dele inn i to hovedområder: Samle inn og ordne opplysninger
Eksamen S2 høsten 2017
Eksamen S2 høsten 2017 Tid: 2 timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler. Oppgave 1 (5 poeng) Deriver funksjonene 2 3 f x 2x 4x g x x e b) 2 x c) hx lnx 3
Kræsjkurs i statistikk
Kræsjkurs i statistikk Tommy Odland 22. november 2016 Sammendrag En liten samling oppgaver basert løst på fagene ELE103 (HiB) og STAT110 (UiB). Tema: Kombinatorikk Forkunnskaper: multiplikasjonsprinsippet,
ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 Kp. 6, del 3
ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 Kp. 6, del 3 Bjørn H. Auestad Institutt for matematikk og naturvitenskap Universitetet i Stavanger 20. mars Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting
Eksamen S2, Va ren 2013
Eksamen S, Va ren 0 Del Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler. Oppgave ( poeng) Deriver funksjonene f x x e a) x x x f x x e x e x x e x e e x x
Statistisk inferens (kap. 8) Hovedtyper av statistisk inferens. ST0202 Statistikk for samfunnsvitere
2 Statistisk inferens (kap. 8) Statistisk inferens er å tolke/analysere resultater fra utvalget for å finne ut mest mulig om populasjonen. Konkret: Analysere en observator for å finne ut noe om korresponderende
10.4 Sannsynligheter ved flere i utvalget (kombinatorikk)
10. er ved flere i utvalget (kombinatorikk) Så langt i framstillingen har vi diskutert den språklige siden, den matematiske tolkningen av sannsynlighetsbegrepet og presentert ulike modeller som kan anvendes
STK1100 våren Kontinuerlige stokastiske variabler Forventning og varians Momentgenererende funksjoner
STK1100 våren 2017 Kontinuerlige stokastiske variabler Forventning og varians Momentgenererende funksjoner Svarer til avsnittene 4.1 og 4.2 i læreboka Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i
Eksamensoppgave i TMA4240 Statistikk
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA4240 Statistikk Faglig kontakt under eksamen: Håkon Tjelmeland a, Sara Martino b Tlf: a 48 22 18 96, b 99 40 33 30 Eksamensdato: 30. november 2017 Eksamenstid
Mer om hypotesetesting
Mer om hypotesetesting I underkapittel 36 i læreboka gir vi en kort innføring i tankegangen ved hypotesetesting Vi gir her en grundigere framstilling av temaet Problemstilling Vi forklarer problemstillingen
ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Noen viktige sannsynlighetsmodeller. Binomisk modell. Kp. 3 Diskrete tilfeldige variable
ÅMA Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 006. 3 Diskrete tilfeldige variable Noen viktige sannsynlighetsmodeller Noen viktige sannsynlighetsmodeller (k. 3.6 Hyergeometrisk modell (k. 3.7 Geometrisk
Beskrivende statistikk.
Obligatorisk oppgave i Statistikk, uke : Beskrivende statistikk. 1 Høgskolen i Gjøvik Avdeling for teknologi, økonomi og ledelse. Statistikk Ukeoppgaver uke I løpet av uken blir løsningsforslag lagt ut
Statistisk inferens (kap. 8) Hovedtyper av statistisk inferens. ST0202 Statistikk for samfunnsvitere
2 Statistisk inferens (kap. 8) Statistisk inferens er å tolke/analysere resultater fra utvalget for å finne ut mest mulig om populasjonen. Konkret: Å analysere en utvalgsobservator for å trekke slutninger
Matematikk med TI-83
Matematikk med TI-83 3MX/Y Brukerveiledning knyttet til eksempler av Eystein Raude Arbeidet bygger på Matematikk med TI-83 på GK og VKI Eksemplene oppfyller læreplanens mål Læreplanens mål 1 Mål 3 Funksjonslære
for x 0 F X (x) = 0 ellers Figur 1: Parallellsystem med to komponenter Figur 2: Seriesystem med n komponenter
TMA4245 Statistikk Vår 2016 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Innlevering 3, blokk II Dette er den første av to innleveringer i blokk 2. Denne øvingen skal oppsummere
DEL 1 Uten hjelpemidler
DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (5 poeng) Deriver funksjonene a) b) c) f( x) g x x x ( ) ln( x 1) h x ( ) x e x Oppgave ( poeng) Løs likningssystemet x y z 0 x y z 4x y z 1 Oppgave 3 (6 poeng) I en aritmetisk
TMA4240 Statistikk Eksamen desember 2015
Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4240 Statistikk Eksamen desember 15 Oppgave 1 La den kontinuerlige stokastiske variabelen X ha fordelingsfunksjon (sannsynlighetstetthet
Oppgaver fra 8.3, 8.4, , 8.51, 8.52, 8.231, 8.232, 8.250, 8.252
Oppgaver fra 8.3, 8.4, 8.5 8.41, 8.51, 8.52, 8.231, 8.232, 8.250, 8.252 8.41 Populasjon: Tilfeldig variabel X : Trekke en tilfeldig flaske og måle volumet Ukjent sannsynlighetsfordeling, men forventning
INNHOLD. Matematikk for ungdomstrinnet
INNHOLD STATISTIKK... 2 FREKVENS... 2 RELATIV FREKVENS... 2 FREKVENSTABELL... 2 KLASSEDELING... 3 SØYLEDIAGRAM (STOLPEDIAGRAM)... 3 LINJEDIAGRAM... 4 SEKTORDIAGRAM... 4 HISTOGRAM... 4 FRAMSTILLING AV DATA...