10.4 Sannsynligheter ved flere i utvalget (kombinatorikk)

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "10.4 Sannsynligheter ved flere i utvalget (kombinatorikk)"

Transkript

1 10. er ved flere i utvalget (kombinatorikk) Så langt i framstillingen har vi diskutert den språklige siden, den matematiske tolkningen av sannsynlighetsbegrepet og presentert ulike modeller som kan anvendes for å tallfeste sannsynligheter for bestemte hendelser i noen utvalgte situasjoner. De fleste eksemplene og oppgavene har så langt vært forholdsvis enkle og oversiktlige slik at en nærmest har kunnet skrive svaret straks en har bestemt seg for hvilken sannsynlighetsmodell en skal benytte. runnen til dette er først og fremst at vi i de fleste situasjonene som er beskrevet, i prinsippet trekker ett element ut av en større samling av elementer; f.eks. ett kort fra en godt blandet kortstokk, kast med ett pengestykke eller en terning og resultatet av en barnefødsel. Det blir større utfordringer når vi nå skal betrakte de mulige resultater en kan få ved flere enn en trekning fra den samlingen en har i utgangspunktet. Konkrete eksempler på problemstillinger kan f.eks. være: Finne sannsynligheten for 1. å få en gutt og en jente i en tobarnsfamilie. å få to jenter og en gutt i en trebarnsfamilie 3. 1 rette i fotballtipping. 7 rette i LOTTO 5. å vinne i et kakelotteri Den mest vanlige måten å løse slike problemer på, går ut på å finne alle kombinasjonene som er mulig, og så telle opp hvor mange av disse som oppfyller den hendelsen det blir spurt om. Dette kalles i statistikken for kombinatorikk. I praksis vil det ofte være formålstjenlig å dele opp problemet i flere trinn, og se på hvilke muligheter som foreligger på hvert trinn. For å konkretisere nærmere, tar vi først for oss problemstilling 1 nevnt foran i dette avsnittet, sannsynligheten for å få en gutt og en jente i en tobarnsfamilie. Dette problemet har vi vært innom ved et par anledninger tidligere, bl.a. i forbindelse med De store talls lov. Vi skal nå se på en teoretisk løsningsmetode. På første trinn ser vi på hvilke muligheter som foreligger ved første fødsel. Resultatet kan bli en jente () eller en gutt (). På andre trinn (fødsel) har vi akkurat de samme mulighetene, uansett hva første trinn (fødsel) måtte ha resultert i (vi holder eneggede tvillinger utenfor i denne betraktningen). Det vi nå har sagt, kan vi sette opp i en enkel skisse: KAPITTEL

2 At resultatet i trinn kan inntreffe uansett hva som skjedde i trinn 1, betyr at for hvert resultat i trinn 1 kan en få et av de to utfallene i trinn. Vi kan derfor gjøre skissen noe mer oversiktlig ved å trekke forbindelsen mellom mulighetene en har i trinn 1 og i trinn : Denne skissen kalles for et trediagram og kan leses slik: Dersom første trinn resulterer i en jente, kan en på andre trinn få resultatet jente eller gutt. Er resultatet på første trinn gutt, kan en på andre trinn også få resultatet jente eller gutt. Dette gir opphavet til følgende utvidelse av trediagrammet: Mulige resultater Av denne skissen ser vi at det er fire muligheter for fordelingen av kjønn i løpet av to fødsler. I oppstillingen helt til høyre er resultatene ordnet slik at i andre linje betegner jente i første fødsel og gutt i andre fødsel (vi kunne også skrive og for denne fødselsrekkefølgen). i linjen under betegner den motsatte fødselsrekkefølgen. Vi har nå avdekket de mulige utfall, og det neste er å bestemme sannsynlighetene for disse utfallene. Ved en geometrisk/ teoretisk vurdering er det like stor sannsynlighet for gutt som for jente ved hver fødsel. Dette betyr at de fire utfallene har samme sannsynlighet for å inntreffe. Da vi søker sannsynligheten for hendelsen en gutt og en jente uten å tenke på fødselsrekkefølgen, ser vi at denne 10 STATISTIKK O SANNSYNLIHETSLÆRE

3 er oppfylt ved utfallene og. Regelen om antall gunstige delt på antall mulige gir at for en tobarnsfamilie vil P en gutt og en jente = antall gunstige antall mulige ( ) = = Ved opptelling finner vi videre at to jenter inntreffer en gang, og ingen jenter inntreffer en gang. Dette gir følgende sannsynlighetsfordeling for kjønnsfordelingen i en tobarnsfamilie Hendelse To jenter En jente Ingen jenter 1 1 en for jente er lik og at sannsynligheten for gutt er lik ved hver fødsel. For å komme fram til sannsynlighetene 1/, / og 1/ har vi kun argumentert med at sannsynligheten for jente og gutt er like store ved hver fødsel, og ikke benyttet oss av at vi vet at hver av dem har en sannsynligheten lik. Imidlertid kan det siste trediagrammet videreutvikles slik at vi kan finne fram til de søkte sannsynlighetene 1/, / og 1/ direkte gjennom å sette inn sannsynlighetene for de enkelte utfall i hvert trinn: Start Mulige resultater 1/ 1/ 1/ 1/ Punktet Start kan her assosieres med at f.eks. et ektepar planlegger å få to barn. Fra start til trinn 1 har vi fra den geometriske modellen at sannsynligheten for jente er lik 0.5, og tilsvarende for gutt. Altså kan vi tenke oss at halvparten av fødslene gir jente. Fra resultatet av trinn 1 til trinn er det tilsvarende resonnement. Hendelsen framkommer da i halvparten av halvparten (nemlig 1/) av alle tobarnsfødsler. en for to jenter er altså 1/. I dette eksemplet merker vi oss at 1 = 1 1 KAPITTEL 10 11

4 som betyr at sannsynligheten for er lik produktet av sannsynligheten for jente i første fødsel og sannsynligheten for jente i andre fødsel. Dette viser at når resultatet i et trinn er upåvirket av resultatene i et hvilket som helst annet trinn, vil sannsynligheten for hendelsen være lik produktet av sannsynlighetene for de enkelte utfall som utgjør hendelsen. F.eks. har vi altså at P() = P() P() som språklig uttrykker at «sannsynligheten for to jenter i en tobarnsfamilie er lik sannsynligheten for jente i første fødsel ganget med sannsynligheten for jente i andre fødsel». Som vi nevnte tidligere, kan venstre side av likhetstegnet også skrives P( og ) slik at vi har at P( og ) = P() P(). Dette er et eksempel på det som kalles for uavhengige hendelser, som er et viktig begrep i sannsylighetsregningen. Dersom vi generelt kan avgjøre at to hendelser A og B er uavhengige, kan vi finne sannsynligheten for at A og B skal inntreffe samtidig ved å multiplisere P(A) med P(B); dvs. at P(A og B) = P(A) P(B). Dette kalles for multiplikasjonssetningen for uavhengige hendelser. Tilbake til metoden til å finne sannsynligheter ved hjelp av trediagram. Et noe annet trediagram vil framkomme i de tilfeller resultatet på første trinn har konsekvenser for sannsynlighetene for resultatet på andre trinn. I slike tilfeller har vi avhengighet mellom hendelsene. For å illustrere dette, kan vi ta utgangspunkt i en gruppe på 5 elever. I denne gruppen er det gutter og 3 jenter. To elever fra denne gruppen skal trekkes ut tilfeldig for å representere klassen i en bestemt anledning. I en slik situasjon kan en stille opp flere problemstillinger: 1. Hva er sannsynligheten for at det blir gutter?. Hva er sannsynligheten for en gutt og en jente? 3. Hva er sannsynligheten for jenter?. Er sannsynligheten for gutter like stor som sannsynligheten for jenter? La oss løse disse problemstillingene ved hjelp av et trediagram. I dette trediagrammet vil vi i kolonnen for første trinn liste opp alle fem mulighetene vi har, nemlig to gutter og tre jenter. Den eleven som blir trukket ut i første trinn, kan ikke bli trukket ut på andre trinn. På andre trinn vil vi altså ha fire muligheter, en mulighet mindre enn på første trinn. Dette skal vi merke oss avviker fra forrige eksempel om kjønnsfordelingen i en tobarnsfamilie. 1 STATISTIKK O SANNSYNLIHETSLÆRE

5 Start Mulige resultater Vi merker oss at de to første sekvensene med gutt i første trekning (trinn) er helt like, og tilsvarende er de tre siste sekvensene med jente i første trekning helt like. Tanken bak dette trediagrammet er å vise at vi i første trekning har fem muligheter mens det i andre trekning er muligheter. Av trediagrammet ser vi videre at det totale antall måter å trekke ut to elever tilfeldig fra de 5 er lik 5 = 0. Da vi fra den geometriske betraktningsmodellen kan si at hver av disse 0 resultatene er like sannsynlige, vil hver av dem bli tildelt sannsynligheten som vist i høyre kolonne. En annen måte å se dette på er å si at i første trekning har hver av elevene en sannsynlighet på 1/5 for å bli trukket ut. Er en elev først blitt trukket ut i første trekning, er gruppen elever redusert til KAPITTEL 10 13

6 fire elever. Ved andre trekning vil hver av disse elevene ha en sannsynlighet på 1/ for å bli trukket ut. en for hvert enkelt utfall blir da 1/5 1/ =. Ved opptelling kan vi nå finne svarene på våre innledende spørsmål. Dette gir følgende sannsynlighetsfordeling for kjønnsfordelingen i dette utvalget på to elever: Hendelse To jenter En jente Ingen jenter Disse sannsynlighetene kan en selvsagt forkorte til henholdsvis 3/ 10, 6/10 og 1/10 eller gjøre dem om til desimaltall. Vi merker oss at summen av sannsynlighetene er lik 1. Vi merker oss også at det i dette tilfellet er 3 ganger så sannsynlig med to jenter i utvalget som to gutter (ingen jenter). Når vi er blitt fortrolige med at sannsynlighetene for de enkelte utfall (kolonnen helt til høyre i trediagrammet) framkommer ved at sannsynlighetene for utfallene ved hvert trinn blir multiplisert med hverandre, kan en som vist i det følgende forenkle det foregående trediagrammet betraktelig: Start Mulige resultater 3/5 / / 6/0 6/0 /5 3/ 1/ 6/0 /0 runnen til denne forenklingen ligger i at vi egentlig ikke spør etter hvilken gutt eller jente som blir trukket ut, bare om det blir gutt eller jente. Før første trekning har en som trediagrammet viser, en sannsynlighet på /5 for å trekke en gutt og sannsynlighet 3/5 for å trekke en jente. Har en først trukket en jente i i første trekning, ser vi at det er like stor sannsynlighet for å trekke jente som gutt i andre trekning (/). en 6/0 for hendelsen framkommer ved å multiplisere sannsynlighetene som følger forbindelseslinjen fra start til i andre trekning. 1 STATISTIKK O SANNSYNLIHETSLÆRE

7 Legg merke til at vi i første trekning har at P( ) = 3, men at vi 5 til slutt får at P( og ) eller like gjerne P 6 0 mens P( ) P( ) = = Dette viser at vi ikke har uavhengighet mellom trinnene i dette eksemplet. runnen til dette er at vi ikke har trekning med tilbakelegging. Oppgaver Oppgave 67 En restaurant tilbyr fire hovedretter: Kjøttkaker, lutefisk, kylling og pølser. Til dessert tilbys multer, is og karamellpudding. Anta at en gjest velger tilfeldig en hovedrett og dessert. Hva er sannsynligheten for at a) gjesten velger kylling og karamellpudding? b) gjesten velger lutefisk? Oppgave 68 En tippekupong består av 1 fotballkamper hvor en tipper i hver kamp skal velge mellom tre mulige utfall H, U og B a) Hvorfor kan en si at å fylle ut en tipperekke er et forsøk bestående av 1 trinn? b) Hvor mange rekker må du fylle ut for å være helt sikker på å få de første to kampene riktig tippet? c) Hvor mange rekker må du fylle ut for å være helt sikker på å få alle tolv kampene riktig tippet? d) Du fyller ut en kupong med 10 ulike rekker. Hva er sannsynligheten for å oppnå 1 rette? Hvilke forutsetninger benytter du deg av? e) Det hevdes ofte at det er like vanskelig å få 0 rette som 1 rette på en tipperekke. Undersøk denne påstanden. Oppgave 69 Det lokale idrettslaget lodder ut to halve griser til jul. Det selges 500 lodder. a) Du kjøper to lodd. Hva er sannsynligheten for å vinne en halv gris? b) Hva er sannsynligheten for ikke å vinne på noen av loddene? c) Du kjøper tre lodd. Hva er sannsynligheten for å vinne en halv gris? d) Hva er sannsynligheten for ikke å vinne på noen av loddene? KAPITTEL 10 15

8 e) Hva er sannsynligheten for å vinne minst en halv gris? f) Hvilken sammenheng er det mellom sannsynlighetene i d) og e)? Oppgave 70 Anta du kaster med to terninger. a) Hva er sannsynligheten for å få to seksere? b) Hva er sannsynligheten for å få en sekser og en treer? Oppgave 71 Eva er en ivrig Yatzy-spiller. (Det spilles med 5 terninger.) a) Hva er sannsynligheten for at Eva skal få 5 seksere på ett kast med terningene? b) Hva er sannsynligheten for at Eva skal få 5 like på ett kast med terningene? c) Hva er sannsynligheten for at Eva skal få akkurat seksere på ett kast med terningene? d) Hva er sannsynligheten for at Eva skal få like på ett kast med terningene? e) Finn sannsynligheten for at Eva får seksere eller 5 seksere på ett kast med terningene. f) Finn sannsynligheten for at Eva får like eller 5 like på ett kast med terningene. Oppgave 7 Et firma kjøper inn artikler pakket i esker á 1 artikler. Som et ledd i kontrollrutinene tar firmaet og kontrollerer en og annen eske, og plukker tilfeldig ut to artikler fra esken. Anta at en eske som blir undersøkt egentlig inneholder tre defekte artikler. a) Hva er sannsynligheten for at akkurat en defekt artikkel blir trukket ut ved kontrollen? b) Finn sannsynligheten for at begge artiklene er defekte. c) Hva er sannsynligheten for at ingen artikler av de som blir trukket ut ved kontrollen er defekte? d) Hvorfor er summen av sannsynlighetene i a), b) og c) lik 1? e) Firmaet mener at esker som inneholder mer enn 0 % defekte artikler bør returneres. i en kommentar til firmaets kontrollrutiner i lys av dette kravet. Hvilke endringer i kontrollrutinene vil du foreslå, og hvorfor? Oppgave 73 I kortspillet poker får hver deltaker utdelt fem kort. a) Hva er sannsynligheten for at en deltaker får inngitt alle fem kortene i spar? b) Hva er sannsynligheten for at en deltaker får inngitt fem kort i en og samme sort? c) Hva er sannsynligheten for å få inngitt fire ess? 16 STATISTIKK O SANNSYNLIHETSLÆRE

9 Oppgave 7 Anta at en familie planlegger å få tre barn (og vi antar ingen eneggede fødsler). a) Finn sannsynligheten for at familien får tre jenter. b) Finn sannsynligheten for at familien får tre gutter. c) Hva er sannsynligheten for 1 jente og gutter? d) Hva er sannsynligheten for jenter og 1 gutt? Oppgave 75 Tallspillet Lotto går ut på å markere 7 tall av 3 mulige tall. Førstepremie oppnås dersom en spiller har alle 7 tallene riktig. Anta at du har tippet en rekke i Lotto. a) Hva er sannsynligheten for å få 7 rette? b) Hva er sannsynligheten for å få 6 rette? Oppgave 76 La A betegne hendelsen 6 er i første kast med en terning og B betegne hendelsen 6 er i andre kast med terningen. Begrunn at A og B er uavhengige hendelser, og benytt dette til å finne P(A og B). Oppgave 77 Du trekker to kort fra en godt blandet kortstokk uten å legge det først uttrukne kortet tilbake. La A betegne hendelsen spar i første trekning og B betegne hendelsen spar i andre trekning. Begrunn at A og B er avhengige hendelser. Finn P(A og B). Oppgave 78 Du deltar i to lotterier A og B. en for å vinne i lotteri A er 0.05 og sannsynligheten for å vinne i lotteri B er Hva er din samlede sannsynlighet for å vinne? Oppgave 79 I avsnitt 10.1 og var vi inne på spørsmålet om hvordan og på hvilket grunnlag noen kunne hevde at sannsynligheten for at en bestemt person skal utvikle en hjertesykdom er 70 %. Har du noen forslag på hvilket grunnlag en slik sannsynlighet kan settes opp? 10.5 Mer kombinatorikk Den måten å nærme seg løsningen på kombinatoriske problemer som er utført i avsnitt 10., ligger tett opp til måten å arbeide med slike problemstillinger i grunnskolen. Vi skal legge merke til at vi i avsnitt 10. behandlet problemer som gikk over to trinn. Så lenge vi begrenser oss til to-tre trinn er trediagrammet en oversiktlig måte å arbeide på. I en vanlig LOTTO-trekning er det f.eks.7 trinn (trekninger) som avgjør førstepremie-rekken (jfr. oppg. 75). Vi skal i KAPITTEL 10 17

10.5 Mer kombinatorikk

10.5 Mer kombinatorikk bestemt person skal utvikle en hjertesykdom er 70 %. Har du noen forslag på hvilket grunnlag en slik sannsynlighet kan settes opp? 10.5 Mer kombinatorikk Den måten å nærme seg løsningen på kombinatoriske

Detaljer

Notat kombinatorikk og sannsynlighetregning

Notat kombinatorikk og sannsynlighetregning Notat kombinatorikk og sannsynlighetregning av Peer Andersen Peer Andersen 2010 1 SANNSYNLIGHETSREGNING MED FLERE TRINN Sannsynlighetsregning med et trinn kan være situasjoner der vi spør hva sjansen er

Detaljer

Forskjellige typer utvalg

Forskjellige typer utvalg Forskjellige typer utvalg Det skal deles ut tre pakker til en gruppe på seks. Pakkene inneholder en TV, en PC og en mobiltelefon. På hvor mange måter kan pakkene deles ut? Utdelingen skal være tilfeldig

Detaljer

6 Sannsynlighetsregning

6 Sannsynlighetsregning MATEMATIKK: 6 Sannsynlighetsregning 6 Sannsynlighetsregning 6.1 Forsøk. Utfallsrom. Sannsynlighet (sjanse). Sannsynlighetsmodell Ved ett kast med en terning vet vi at terningen vil vise enten ett, to,

Detaljer

- Et stokastisk forsøk er et forsøk underlagt tilfeldige variasjoner, for eks. kast med en terning, trekking av et lottotall o.l.

- Et stokastisk forsøk er et forsøk underlagt tilfeldige variasjoner, for eks. kast med en terning, trekking av et lottotall o.l. SANNSYNLIGHETSREGNING Terminologi Kombinatorikk Stokastisk Utfallsrom / utfall (enkeltutfall) - Et stokastisk forsøk er et forsøk underlagt tilfeldige variasjoner, for eks. kast med en terning, trekking

Detaljer

4.4 Sum av sannsynligheter

4.4 Sum av sannsynligheter 4.4 Sum av sannsynligheter Nina trekker kort fra en vanlig kortstokk med 52 kort. Vi innfører hendingene H: Kortet er en hjerter S: Kortet er en spar Det er 13 hjerter og 13 spar i stokken. Sannsynligheten

Detaljer

STK1100 våren 2017 Kombinatorikk

STK1100 våren 2017 Kombinatorikk STK1100 våren 2017 Kombinatorikk Svarer til avsnitt 2.3 i læreboka Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i Oslo 1 Uniform sannsynlighetsmodell Et stokastisk forsøk har N utfall. Det er de mulige

Detaljer

Fagdag 5-08.01.09. 2) Du skal fylle ut en tippekupong. På hvor mange måter kan dette gjøres?

Fagdag 5-08.01.09. 2) Du skal fylle ut en tippekupong. På hvor mange måter kan dette gjøres? Fagdag Plan Fagdag - 08.01.0 1,2 time: Repetisjon kapittel 3 - Sannsynlighet Oppgaver Teori (lesestoff) 3, time: Arbeide med.1 og.2: 16, 17, 18, 1 3, time: Ekstra vurdering før terminoppgjør Repetisjon

Detaljer

Sannsynlighetsregning og kombinatorikk

Sannsynlighetsregning og kombinatorikk Sannsynlighetsregning og kombinatorikk Introduksjon Formålet med sannsynlighet og kombinatorikk er å kunne løse problemer i statistikk, somoftegårutpååfattebeslutninger i situasjoner der tilfeldighet rår.

Detaljer

Total sannsynlighet. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk = Vi kan skrive en hendelse B som en disjunkt

Total sannsynlighet. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk = Vi kan skrive en hendelse B som en disjunkt MAT000V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk Total sannsynlighet Vi kan skrive en hendelse B som en disjunkt union av A B og A B Total sannsynlighet og Bayes' setning Kombinatorikk Ordnede utvalg med

Detaljer

Oppgaver. Innhold. Sannsynlighet Vg1P

Oppgaver. Innhold. Sannsynlighet Vg1P Oppgaver Innhold Modul 1. Hva er sannsynlighet?... 2 Modul 2. Addisjon av sannsynligheter. Gunstige og mulige utfall... 6 Modul 3. Beregne sannsynligheter ved å bruke tabeller... 10 Modul 4. Beregne sannsynligheter

Detaljer

Forelesning 6, kapittel 3. : 3.6: Kombinatorikk.

Forelesning 6, kapittel 3. : 3.6: Kombinatorikk. Forelesning 6, kapittel 3. : 3.6: Kombinatorikk. Kombinatorikk betyr her: Formler for opptelling av antall kombinasjoner. Generelt er denne grenen av matematikk videre, og omfatter blant annet grafteori.

Detaljer

9.5 Uavhengige hendinger

9.5 Uavhengige hendinger 9. Uavhengige hendinger Vi kaster en terning to ganger og innfører hendingene A: Det første kastet gir sekser B: Det andre kastet gir sekser Om vi får sekser på det første kastet, endrer ikke det sannsynligheten

Detaljer

Sannsynlighetsregning

Sannsynlighetsregning Sannsynlighetsregning Per G. Østerlie Thora Storm vgs per.osterlie@stfk.no 5. april 203 Hva og hvorfor? Hva? Vi får høre at det er sannsynlig at et eller annet kommer til å skje. Sannsynligheten for å

Detaljer

Sannsynlighet for alle.

Sannsynlighet for alle. Sannsynlighet for alle. Signe Holm Knudtzon Høgskolen i Buskerud og Vestfold Novemberkonferansen 2015 Novemberkonferansen 2015 Signe Holm Knudtzon. HBV. Sannsynlighet for alle 1 Sannsynlighet for alle.

Detaljer

Undervisningsopplegg for ungdomstrinnet om statistikk og sannsynlighet

Undervisningsopplegg for ungdomstrinnet om statistikk og sannsynlighet Undervisningsopplegg for ungdomstrinnet om statistikk og sannsynlighet Kilde: www.clipart.com 1 Statistikk, sannsynlighet og kombinatorikk. Lærerens ark Hva sier læreplanen? Statistikk, sannsynlighet og

Detaljer

Fire kort. Mål. Gjennomføring. Film. Problemløsing Fire kort

Fire kort. Mål. Gjennomføring. Film. Problemløsing Fire kort Fire kort Mål Generelt: Søke etter mønster og sammenhenger. Gjennomføre undersøkelse og begrunne resultat. Utfordre elevene på å resonnere og kommunisere. Spesielt: Finne alle kombinasjoner når de adderer

Detaljer

Fire kort. Mål. Gjennomføring. Film. Problemløsing Fire kort Planleggingsdokument

Fire kort. Mål. Gjennomføring. Film. Problemløsing Fire kort Planleggingsdokument Fire kort Mål Generelt: Søke etter mønster og sammenhenger. Gjennomføre undersøkelse og begrunne resultat. Utfordre elevene på å resonnere og kommunisere. Spesielt: Finne alle kombinasjoner når de adderer

Detaljer

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere [4]

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere [4] ST0202 Statistikk for samfunnsvitere [4] Kapittel 4: Sannsynlighet 4.4: Disjunkte hendelser, 4.5: Uavhengige hendelser 4.6: Er disjunkthet og uavhengighet relatert til hverandre? Bruk av sannsynlighetsregning

Detaljer

Sannsynlighetsbegrepet

Sannsynlighetsbegrepet Sannsynlighetsbegrepet Notat til STK1100 Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i Oslo Januar 2004 Formål Dette notatet er et supplement til kapittel 1 i Mathematical Statistics and Data Analysis

Detaljer

Sannsynlighetsregning

Sannsynlighetsregning Sannsynlighetsregning Læreplan. Forsøk og simuleringer. Sannsynlighet 3.3 Sum av sannsynligheter 5.4 Multiplikasjonsprinsippet 9.5 Uavhengige hendinger 0. Avhengige hendinger 5 Symboler, formler og eksempler

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2011

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2011 ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2011 Kp. 2 Sannsynlighetsregning i (sannsynlighetsteori) t i) 2.5 Betinget sannsynlighet 1 Betinget sannsynlighet (kp. 2.5) - innledning Eks.: Et terningkast;

Detaljer

6 Sannsynlighetsregning

6 Sannsynlighetsregning 6 Sannsynlighetsregning Det anbefales å lese orienteringsstoffet om kombinatorikk som følger etter oppgave 34. 1 a) Sett opp alle mulige kombinasjoner for et kast med to terninger. b) Regn ut sannsynlighetene

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007 ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007 Kp. 2 Sannsynlighetsregning (sannsynlighetsteori) 1 Grunnbegrep Stokastisk forsøk: forsøk med uforutsigbart utfall Enkeltutfall: et av de mulige

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2011

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2011 ÅMA0 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 0 Kp. 3 Diskrete tilfeldige variable Noen viktige sannsynlighetsmodeller Noen viktige sannsynlighetsmodeller ( Sanns.modell : nå betyr det klasse/type sanns.fordeling.

Detaljer

Statistikk 1 kapittel 3

Statistikk 1 kapittel 3 Statistikk 1 kapittel 3 Nico Keilman ECON 2130 Vår 2014 Kapittel 3 Sannsynlighetsregning Formål: å kvantifisere usikkerhet ved hjelp av sannsynligheter Viktige begreper stokastisk forsøk: et forsøk der

Detaljer

Lottotrekningen i Excel

Lottotrekningen i Excel Peer Andersen Lottotrekningen i Excel Mange leverer ukentlig inn sin lottokupong i håp om å vinne den store gevinsten. Men for de aller fleste blir den store gevinsten bare en uoppnåelig drøm. En kan regne

Detaljer

Betinget sannsynlighet. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk. Vi trenger en definisjon av betinget sannsynlighet!

Betinget sannsynlighet. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk. Vi trenger en definisjon av betinget sannsynlighet! MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk Betinget sannsynlighet og uavhengige hendelser Produktsetningen Total sannsynlighet og Bayes' setning Betinget sannsynlighet Vil repeterer først et eksempel

Detaljer

Sannsynlighetsregning og Statistikk

Sannsynlighetsregning og Statistikk Sannsynlighetsregning og Statistikk Leksjon 2. Leksjon 2 omhandler begreper og regneregler for sannsynligheter. Dette er behandlet i kapittel 3.1 og 3.2 i læreboka. Du bør når du har fullført leksjon 2

Detaljer

Kapittel 10. Sannsynlighetsregning

Kapittel 10. Sannsynlighetsregning Kapittel 10. Sannsynlighetsregning Sannsynlighet handler om å finne ut hvor ofte noe vil skje i en prosess som kan gjentas mange ganger. Kapitlet handler blant annet om dette: Hva er sannsynlighet. Beregne

Detaljer

Kapittel 3: Kombinatorikk

Kapittel 3: Kombinatorikk Kapittel 3: Kombinatorikk Kombinatorikk handler om å telle opp antall muligheter i ulike situasjoner (for eksempel telle opp antall gunstige og antall mulige i forbindelse med sannsynlighetsberegninger).

Detaljer

Sannsynlighet og statistikk

Sannsynlighet og statistikk Sannsynlighet og statistikk Arkeologiske utgravinger har vist at mennesker har underholdt seg med forskjellige spill i tusener av år. Terninger fra India som ble brukt i spill, er faktisk 5000 år gamle.

Detaljer

Diofantiske likninger Peer Andersen

Diofantiske likninger Peer Andersen Diofantiske likninger av Peer Andersen Peer Andersen 2013 Innhold Når en diofantisk likning har løsning... 3 Generell løsning av den diofantiske likningen... 4 Løsningsmetode når vi kjenner en spesiell

Detaljer

Notater til forelesning i Sannsynlighetsregning SK 101 Matematikk i grunnskolen I

Notater til forelesning i Sannsynlighetsregning SK 101 Matematikk i grunnskolen I Notater til forelesning i Sannsynlighetsregning SK 101 Matematikk i grunnskolen I 4 Kombinatorikk Vi må lære tellemetoder når valgtrær, som vi brukte tidligere, blir for store og vanskelig å håndtere.

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2011

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2011 ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2011 Kp. 2 Sannsynlighetsregning (sannsynlighetsteori) 1 Grunnbegrep Stokastisk forsøk: forsøk med uforutsigbart utfall Enkeltutfall: et av de mulige

Detaljer

Sannsynlighet i uniforme modeller. Addisjon av sannsynligheter

Sannsynlighet i uniforme modeller. Addisjon av sannsynligheter Sannsynlighet i uniforme modeller. Addisjon av sannsynligheter Fagstoff Listen [] Hendelse En hendelse i en sannsynlighetsmodell består av ett eller flere utfall. Vi ser på det tilfeldige forsøket «kast

Detaljer

Oppgaver i sannsynlighetsregning 1

Oppgaver i sannsynlighetsregning 1 Oppgaver i sannsynlighetsregning 1 Oppgave 1 Forklar hva som menes med en uniform sannsynlighetsmodell. Gi minst et eksempel på en uniform sannsynlighetsmodell. Begrunn hvorfor den er uniform. Gi også

Detaljer

Tilfeldige variabler. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk

Tilfeldige variabler. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk Forventning, varians og standardavvik Tilnærming av binomiske sannsynligheter Konfidensintervall Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i Oslo

Detaljer

Basisoppgaver til 1P kap. 4 Sannsynlighet

Basisoppgaver til 1P kap. 4 Sannsynlighet Basisoppgaver til P kap. 4 Sannsynlighet 4. Sannsynlighet og relativ frekvens 4.2 Sannsynlighetsmodeller 4.3 Uniforme sannsynlighetsmodeller 4.4 Addisjonssetningen 4.5 Produktsetningen for uavhengige hendelser

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010 ÅM0 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 00 Kp. Sannsynlighetsregning (sannsynlighetsteori).5 (kp..5) - innledning Eks.: Et terningkast; {,, 3, 4, 5, 6}. Ved bruk av uniform modell: hvert utfall

Detaljer

Sannsynligheten for en hendelse (4.2) Empirisk sannsynlighet. ST0202 Statistikk for samfunnsvitere

Sannsynligheten for en hendelse (4.2) Empirisk sannsynlighet. ST0202 Statistikk for samfunnsvitere 2 Sannsynligheten for en hendelse (4.2) Sannsynligheten for en hendelse sier oss hvor ofte vi forventer at hendelsen inntreffer, dvs. den forventede relative frekvens av hendelsen. ST0202 Statistikk for

Detaljer

Legg merke til at summen av sannsynlighetene for den gunstige hendelsen og sannsynligheten for en ikke gunstig hendelse, er lik 1.

Legg merke til at summen av sannsynlighetene for den gunstige hendelsen og sannsynligheten for en ikke gunstig hendelse, er lik 1. Sannsynlighet Barn spiller spill, vedder og omgir seg med sannsynligheter på andre måter helt fra de er ganske små. Vi spiller Lotto og andre spill, og håper vi har flaks og vinner. Men hvor stor er sannsynligheten

Detaljer

Kapittel 9. Sannsynlighetsregning

Kapittel 9. Sannsynlighetsregning Kapittel 9. Sannsynlighetsregning Sannsynlighet handler om å finne ut hvor ofte noe vil skje i en prosess som kan gjentas mange ganger. Kapitlet handler blant annet om dette: Hva er sannsynlighet. Beregne

Detaljer

SANNSYNLIGHETSREGNING I GRUNNSKOLEN

SANNSYNLIGHETSREGNING I GRUNNSKOLEN 1 I GRUNNSKOLEN Etterutdanningskurs for lærere på grunnskolens ungdomstrinn Opplegget som her presenteres til fordypning i STATISTIKK / SANNSYNLIGHETSDELEN av MATEMANIA er i utgangspunktet skrevet for

Detaljer

Statistikk 1 kapittel 5

Statistikk 1 kapittel 5 Statistikk 1 kapittel 5 Nico Keilman ECON 2130 Vår 2014 Kapittel 5 Sannsynlighetsmodeller I kap. 4 så vi et eksempel om en s.v. X som hadde en uniform sannsynlighetsfordeling: alle verdier av x har like

Detaljer

Oppgaver i Sannsynlighetsregning og kombinatorikk MAT0100V våren 2015

Oppgaver i Sannsynlighetsregning og kombinatorikk MAT0100V våren 2015 Oppgaver i Sannsynlighetsregning og kombinatorikk MAT0100V våren 2015 Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i Oslo Oppgave 1 Et forsøk er deterministisk hvis vi kan forutsi resultatet. Hvis

Detaljer

Trekking uten tilbakelegging. Disjunkte hendelser (4.5) Forts. ST0202 Statistikk for samfunnsvitere

Trekking uten tilbakelegging. Disjunkte hendelser (4.5) Forts. ST0202 Statistikk for samfunnsvitere 2 Trekking uten tilbakelegging ST0202 Statistikk for samfunnsvitere o Lindqvist Institutt for matematiske fag En bolle inneholder 7 kuler, 5 gule (Y) og to røde (). To kuler trekkes uten tilbakelegging,

Detaljer

Sannsynlighetsregning

Sannsynlighetsregning Sannsynlighetsregning 1 Sannsynlighet Mål for opplæringa er at eleven skal kunne formulere, eksperimentere med og drøfte enkle uniforme og ikkje-uniforme sannsynsmodellar berekne sannsyn ved hjelp av systematiske

Detaljer

Oppgaver i sannsynlighetsregning 3

Oppgaver i sannsynlighetsregning 3 Oppgaver i sannsynlighetsregning 3 Oppgave 1 Vi har et lykkehjul med 8 like sektorer som er nummerert fra 1 til 8. Du har valgt sektor nummer 3. a) Tenk deg at du snurrer lykkehjulet en gang. Hva er sjansen

Detaljer

Statistikk 1 kapittel 5

Statistikk 1 kapittel 5 Statistikk 1 kapittel 5 Nico Keilman ECON 2130 Vår 2015 Kapittel 5 Sannsynlighetsmodeller I kap. 4 så vi et eksempel om en s.v. X som hadde en uniform sannsynlighetsfordeling: alle verdier av x har like

Detaljer

Statistikk 1 kapittel 5

Statistikk 1 kapittel 5 Statistikk 1 kapittel 5 Nico Keilman ECON 2130 Vår 2016 Kapittel 5 Sannsynlighetsmodeller I kap. 4 så vi et eksempel med en s.v. X som hadde en uniform sannsynlighetsfordeling: alle verdier av x har like

Detaljer

S1 kapittel 7 Sannsynlighet Løsninger til oppgavene i boka

S1 kapittel 7 Sannsynlighet Løsninger til oppgavene i boka S1 kapittel 7 Sannsynlighet Løsninger til oppgavene i oka 7.1 a c d 4 1 P (sum antall øyne lir 5) = = 36 9 6 1 P (sum antall øyne lir minst 10) = = 36 6 6 1 P (sum antall øyne lir høyst 4) = = 36 6 11

Detaljer

6. kurskveld Ila, 7. juni - 06 Statistikk og sannsynlighet

6. kurskveld Ila, 7. juni - 06 Statistikk og sannsynlighet . kurskveld Ila, 7. juni - 0 Statistikk og sannsynlighet Sannsynlighet og kombinatorikk Sannsynlighet er noe vi omgir oss med nesten daglig. Vi spiller Lotto og andre spill, og håper vi har flaks og vinner.

Detaljer

Hvorfor sannsynlighetsregning og kombinatorikk?

Hvorfor sannsynlighetsregning og kombinatorikk? Sannsynlighet og kombinatorikk i videregående skole Helmer Aslaksen Institutt for lærerutdanning og skoleforskning/matematisk institutt Universitetet i Oslo helmer.aslaksen@gmail.com www.math.nus.edu.sg/aslaksen/

Detaljer

Sannsynlighet og kombinatorikk i videregående skole

Sannsynlighet og kombinatorikk i videregående skole Sannsynlighet og kombinatorikk i videregående skole Helmer Aslaksen Institutt for lærerutdanning og skoleforskning/matematisk institutt Universitetet i Oslo helmer.aslaksen@gmail.com www.math.nus.edu.sg/aslaksen/

Detaljer

Simulering - Sannsynlighet

Simulering - Sannsynlighet Simulering - Sannsynlighet Når regnearket skal brukes til simulering, er det et par grunninnstillinger som må endres i Excel. Hvis du får feilmelding om 'sirkulær programmering', betyr det vanligvis at

Detaljer

Innledning kapittel 4

Innledning kapittel 4 Innledning kapittel 4 Sannsynlighet og tilfeldighet Basert på materiale fra Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i Oslo 1 Deterministiske fenomener Almanakk for Norge viser: når det er fullmåne

Detaljer

Multiplikasjon og divisjon av brøk

Multiplikasjon og divisjon av brøk Geir Martinussen, Bjørn Smestad Multiplikasjon og divisjon av brøk I denne artikkelen vil vi behandle multiplikasjon og divisjon av brøk, med særlig vekt på hvilke kontekster vi kan bruke og hvordan vi

Detaljer

Tilfeldighetenes spill Undervisningsopplegg for ungdomstrinnet

Tilfeldighetenes spill Undervisningsopplegg for ungdomstrinnet Tilfeldighetenes spill Undervisningsopplegg for ungdomstrinnet Utviklet med støtte fra Bakgrunn og innledning Tilfeldighetenes spill var et eksperiment som ble kjørt på Akvariet i Bergen under Forskningsdagene

Detaljer

QED 1 7. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 2. Fasit kapittel 4 Statistikk og kvantitativ metode

QED 1 7. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 2. Fasit kapittel 4 Statistikk og kvantitativ metode QED 1 7 Matematikk for grunnskolelærerutdanningen Bind 2 Fasit kapittel 4 Statistikk og kvantitativ metode Kapittel 4 Oppgave 1 La være antall øyne på terningen. a) Vi får følgende sannsynlighetsfordeling

Detaljer

Statistikk 1 kapittel 3

Statistikk 1 kapittel 3 Statistikk 1 kapittel 3 Nico Keilman ECON 2130 Vår 2016 Kapittel 3 Sannsynlighetsregning Formål: å kvantifisere usikkerhet ved hjelp av sannsynligheter Viktige begreper stokastisk forsøk: et forsøk der

Detaljer

I tillegg trengs 2 terninger.

I tillegg trengs 2 terninger. SORIA MORIA 1 Informasjonsdokument Element - og andre spill - Spilleregler for kortspillene Element, Guldag, Slagmark, Svinepels/Niding & Kul Spillene består av en kortstokk med 72 kort. På kortene finner

Detaljer

Betinget sannsynlighet

Betinget sannsynlighet Betinget sannsynlighet Multiplikasjonsloven for sannsynligheter (s. 49 i bok): P( AB ) = P( A B ) P(B) Veldig viktig verktøy for å finne sannsynligheter for snitt. (Bevises ved rett fram manipulering av

Detaljer

TMA4240 Statistikk Høst 2015

TMA4240 Statistikk Høst 2015 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer 3, blokk I Løsningsskisse Oppgave 1 Hvis hendelsene A og B er uavhengige, vil enhver kunnskap om hvorvidt A har

Detaljer

Oppgaveløsninger til undervisningsfri uke 8

Oppgaveløsninger til undervisningsfri uke 8 1 HG Februar 2013 Oppgaveløsninger til undervisningsfri uke 8 Oppgave 3.17 Definer to begivenheter Oppgitt A = løgntesten sier at Per lyver B = Per lyver faktisk PAB ( ) = 0.85 PA ( B) = 0.70 PB ( ) =

Detaljer

Innledning kapittel 4

Innledning kapittel 4 Innledning kapittel 4 Sannsynlighet og tilfeldighet Basert på materiale fra Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i Oslo 1 Deterministiske fenomener Almanakk for Norge viser: når det er fullmåne

Detaljer

Regler for: Videregående. Det anbefales at man først ser på powerpoint-reglene når man skal lære seg ulike spill med kortstokkene!

Regler for: Videregående. Det anbefales at man først ser på powerpoint-reglene når man skal lære seg ulike spill med kortstokkene! (x²) 1 2 Regler for: getsmart Grå Algebra Videregående 8 _ (x²) 1 2 Algebra 4 (2 2³) 1 4 _ xy (2 2³) 1 4 _ xy (x²) 1 2 _ (2 2³) 1 4 _ xy (x²) 1 2 _ (2 2³) 1 4 _ xy 4 Algebra Algebra _ 8 Det anbefales at

Detaljer

Forelesning 5, kapittel 3. : 3.5: Uavhengige hendelser.

Forelesning 5, kapittel 3. : 3.5: Uavhengige hendelser. Forelesning 5, kapittel 3. : 3.5: Uavhengige hendelser. Kast med to terninger, A er sekser på første terning og B er sekser på andre terning. Sekser på begge terningene er Fra definisjonen av betinget

Detaljer

1 Innledning. 1.1 Hva er statistikk?

1 Innledning. 1.1 Hva er statistikk? 1 Innledning 1.1 Hva er statistikk? I et forsøk på å svare på hva statistikk er for noe, skal vi først betrakte et par praktiske situasjoner. Situasjon 1. Arne, Berit, Dina og Even sitter i samme gruppe

Detaljer

Forelesning 3, kapittel 3. : 3.2: Sannsynlighetsregning. Kolmogoroffs aksiomer og bruk av disse.

Forelesning 3, kapittel 3. : 3.2: Sannsynlighetsregning. Kolmogoroffs aksiomer og bruk av disse. Forelesning 3, kapittel 3. : 3.2: Sannsynlighetsregning. Kolmogoroffs aksiomer og bruk av disse. Den klassiske definisjonen (uniform modell) av sannsynlighet for en hendelse A i et utfallsrom S er at sannsynligheten

Detaljer

Forsøk med sannsynlighetsregning/fra forsøk til sannsynlighet

Forsøk med sannsynlighetsregning/fra forsøk til sannsynlighet Sannsynlighet Sannsynligheter angis som 1. (desimal)tall fra 0 til 1, der 0 angir at noe aldri vil skje og at 1 angir at noe vil skje hver gang 2. prosent mellom 0 og 100 %, der 0 % angir at noe aldri

Detaljer

Regler for: getsmart Gul og Blå. Det anbefales at man først ser på powerpoint-reglene når man skal lære seg ulike spill med kortstokkene!

Regler for: getsmart Gul og Blå. Det anbefales at man først ser på powerpoint-reglene når man skal lære seg ulike spill med kortstokkene! Regler for: getsmart Gul og Blå 6 Diagram Brøk Diagram 6 Brøk Det anbefales at man først ser på powerpoint-reglene når man skal lære seg ulike spill med kortstokkene! Sjekk hjemmesiden for flere powerpoint-presentasjoner.

Detaljer

SAMMENDRAG OG FORMLER

SAMMENDRAG OG FORMLER SAMMENDRAG OG FORMLER SAMMENDRAG OG FORMLER Nye Mega 8A Kapittel A GEOMETRI LINJE, LINJESTYKKE OG STRÅLE linje stråle linjestykke VINKLER VINKELBEIN OG TOPPUNKT En vinkel har et toppunkt. Denne vinkelen

Detaljer

Diskrete sannsynlighetsfordelinger.

Diskrete sannsynlighetsfordelinger. Diskrete sannsynlighetsfordelinger. Dekkes av kapittel 5 i læreboka. Husk: f() er punktsannsynligheten til en diskret X dersom: 1. f() 0 2. f() =1 3. f() =P (X = ) Vi skal nå sepå situasjoner der vi har

Detaljer

Løsningskisse seminaroppgaver uke 11 ( mars)

Løsningskisse seminaroppgaver uke 11 ( mars) HG Mars 008 Løsningskisse seminaroppgaver uke (0.-4. mars) ECON 0 EKSAMEN 004 VÅR Oppgave En gitt prøve er laget som en flervalgsprøve ( multiple choice test ). Prøven består av tre spørsmål. For hvert

Detaljer

STK1100 våren Introduksjon til sannsynlighetsbegrepet. Svarer til avsnittene 2.1 og 2.2 i læreboka

STK1100 våren Introduksjon til sannsynlighetsbegrepet. Svarer til avsnittene 2.1 og 2.2 i læreboka STK1100 våren 2017 Introduksjon til sannsynlighetsbegrepet Svarer til avsnittene 2.1 og 2.2 i læreboka Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i Oslo 1 Deterministiske fenomener Almanakk for Norge

Detaljer

= 5, forventet inntekt er 26

= 5, forventet inntekt er 26 Eksempel på optimal risikodeling Hevdet forrige gang at i en kontrakt mellom en risikonøytral og en risikoavers person burde den risikonøytrale bære all risiko Kan illustrere dette i en enkel situasjon,

Detaljer

Multiplikation och division av bråk

Multiplikation och division av bråk Geir Martinussen & Bjørn Smestad Multiplikation och division av bråk Räkneoperationer med bråk kan visualiseras för att ge stöd åt resonemang som annars kan upplevas som abstrakta. I denna artikel visar

Detaljer

9.5 Uavhengige hendinger

9.5 Uavhengige hendinger 9. Uavhengige hendinger Vi kaster en terning to ganger og innfører hendingene A: Det første kastet gir sekser B: Det andre kastet gir sekser Om vi får sekser på det første kastet, endrer ikke det sannsynligheten

Detaljer

Sannsynlighet i kortspill

Sannsynlighet i kortspill Prosjektoppgave i MAT400 vår 0 Sannsynlighet i kortspill Av: Paul Høglend Mats Myhr Hansen. mai 0 Prosjektoppgave i MAT400 vår 0 Sannsynlighet i 7-kortpoker I denne presentasjonen av sannsynlighetene for

Detaljer

Regning som grunnleggende ferdighet Ny GIV! Møre og Romsdal

Regning som grunnleggende ferdighet Ny GIV! Møre og Romsdal Regning som grunnleggende ferdighet Ny GIV! Møre og Romsdal Hefte med praktiske eksempler Tone Elisabeth Bakken Molde, 29.januar 2013 Ønsker du beskrivelse av og informasjon om flere metoder, - ta kontakt!

Detaljer

4: Sannsynlighetsregning

4: Sannsynlighetsregning Plan for hele året: - Kapittel 5: Januar - Kapittel 6: Februar - Kapittel 7: Februar/mars 4: Sannsynlighetsregning - Kapittel 8: Mars/april - Repetisjon: April/mai - Økter, prøver, prosjekter: Mai - juni

Detaljer

Diskrete sannsynlighetsfordelinger.

Diskrete sannsynlighetsfordelinger. Diskrete sannsynlighetsfordelinger. Dekkes av kapittel 5 i læreboka. Husk: f(x) er punktsannsynligheten til en diskret X dersom: 1. f(x) 0 2. x f(x) =1 3. f(x) =P (X = x) Vi skal nå sepå situasjoner der

Detaljer

OPPGAVER FRA ABELS HJØRNE I DAGBLADET SETT 27 DAG 1 DAG 2

OPPGAVER FRA ABELS HJØRNE I DAGBLADET SETT 27 DAG 1 DAG 2 SETT 27 OPPGAVER FRA ABELS HJØRNE I DAGBLADET DAG 1 1. På figuren er de to små sirklene like store. Hva er forholdet mellom arealene av det skraverte og det ikkeskraverte området? A) 1:1 B) 1:2 C) 3:4

Detaljer

Prøve 6 1T 24.02.12 80 minutter. Alle hjelpemidler

Prøve 6 1T 24.02.12 80 minutter. Alle hjelpemidler Prøve 6 T 24.02.2 80 minutter. Alle hjelpemidler Oppgave I boks A er det 6 svarte og 2 hvite kuler. I boks B er det 8 svarte og 4 hvite kuler. Vi trekker en kule fra en av krukkene. a) va er sannsynligheten

Detaljer

2.3: Kombinatorikk 2.4: Sannsynlighet, og Monte Carlo simulering. Foreleses onsdag 25. august 2010

2.3: Kombinatorikk 2.4: Sannsynlighet, og Monte Carlo simulering. Foreleses onsdag 25. august 2010 TMA4240 Statistikk H2010 2.3: Kombinatorikk 2.4: Sannsynlighet, og Monte Carlo simulering. Mette Langaas Foreleses onsdag 25. august 2010 2 Sist - Kap 0 Hva er statistikk, og hvorfor skal du lære det?

Detaljer

Sannsynlighet. Sti 1 Sti 2 Sti 3 4.1 Sannsynlighet og relativ frekvens 400, 401, 402, 406, 410 411, 412, 415, 416, 418

Sannsynlighet. Sti 1 Sti 2 Sti 3 4.1 Sannsynlighet og relativ frekvens 400, 401, 402, 406, 410 411, 412, 415, 416, 418 4 Sannsynlighet STIFINNEREN Kompetansemål: Mål for opplæringen er at eleven skal kunne formulere, eksperimentere med og drøfte enkle uniforme og ikkeuniforme sannsynlighetsmodeller beregne sannsynligheter

Detaljer

Regler for: getsmart Måling. Det anbefales at man først ser på powerpoint-reglene når man skal lære seg ulike spill med kortstokkene!

Regler for: getsmart Måling. Det anbefales at man først ser på powerpoint-reglene når man skal lære seg ulike spill med kortstokkene! Regler for: getsmart Måling Det anbefales at man først ser på powerpoint-reglene når man skal lære seg ulike spill med kortstokkene! Sjekk hjemmesiden for flere PowerPoint presentasjoner. Det vil bli lagt

Detaljer

TMA4240 Statistikk H2010 Kapittel 5: Diskrete sannsynlighetsfordelinger : Uniform, binomisk, hypergeometrisk fordeling

TMA4240 Statistikk H2010 Kapittel 5: Diskrete sannsynlighetsfordelinger : Uniform, binomisk, hypergeometrisk fordeling TMA4240 Statistikk H2010 Kapittel 5: Diskrete sannsynlighetsfordelinger 5.1-5.4: Uniform, binomisk, hypergeometrisk fordeling Mette Langaas 2 Arbeidshverdag etter endt studium Studere et fenomen (f.eks.

Detaljer

Fasit. Grunnbok. Kapittel 5. Bokmål

Fasit. Grunnbok. Kapittel 5. Bokmål Fasit Grunnbok Kapittel 5 Bokmål Kapittel 5 Fra erfaring til sannsynlighet 5. a P = 3 5.2 a P = 2 5.3 B har rett 5.4 a P = 4 b P = 4 b P = 2 b c P = 7 c P = 5 2 c d P = 25 d P = 5 2 5.5 a b Den eksperimentelle

Detaljer

Divisjon med desimaltall

Divisjon med desimaltall Divisjon med desimaltall Mål Generelt: Divisjon med desimaltall. Mønster og sammenhenger i divisjon. Spesielt: Bruke overslag til å vurdere plassering av desimalkomma. Se hva som skjer med kvotienten når

Detaljer

oppgaver fra abels hjørne i dagbladet

oppgaver fra abels hjørne i dagbladet oppgaver fra abels hjørne i dagbladet sett 37 dag 1 1. Dersom vi dobler et bestemt tall, og så trekker fra tre, får vi tre mer enn halvparten av det tallet vi begynte med. Hvilket tall begynte vi med?

Detaljer

Læreplan i matematikk. Kompetansemål etter 10. årstrinn

Læreplan i matematikk. Kompetansemål etter 10. årstrinn Læreplan i matematikk Kompetansemål etter 10. årstrinn Tall og algebra Eleven skal kunne: 1. Sammenlikne og regne om hele tal, desimaltall, brøker, prosent, promille og tall på standardform 2. Regne med

Detaljer

Forfatterne bak Multi: Multi i praksis. 5.-7.trinn. En bred matematisk kompetanse. Oppbyggingen av Multi. Grunntanken bak Multi

Forfatterne bak Multi: Multi i praksis. 5.-7.trinn. En bred matematisk kompetanse. Oppbyggingen av Multi. Grunntanken bak Multi Forfatterne bak Multi: Multi i praksis 5.-7.trinn Bjørnar Alseth Universitetet i Oslo Henrik Kirkegaard, Flisnes skole, Ålesund Mona Røsseland, Matematikksenteret Gunnar Nordberg, Høgskolen i Oslo Grunntanken

Detaljer

Kvikkbilde Mål. Gjennomføring. Planleggingsdokument Kvikkbilde 4 12

Kvikkbilde Mål. Gjennomføring. Planleggingsdokument Kvikkbilde 4 12 Kvikkbilde 4 12 Mål Generelt: Sammenligne og diskutere ulike måter å se et antall på. Utfordre elevene på å resonnere omkring tallenes struktur og egenskaper, samt egenskaper ved regneoperasjoner. Spesielt:

Detaljer

Bokmål. Eksamensinformasjon

Bokmål. Eksamensinformasjon Eksamen 27052010 REA022 Matematikk R1 Nynorsk/Bokmål Bokmål Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemidler på del 1: Hjelpemidler på del 2: Vedlegg: Framgangsmåte: Veiledning om vurderingen: 5 timer: Del

Detaljer

Betinget sannsynlighet, total sannsynlighet og Bayes setning Kapittel 4.5

Betinget sannsynlighet, total sannsynlighet og Bayes setning Kapittel 4.5 Betinget sannsynlighet, total sannsynlighet og Bayes setning Kapittel 4.5 På bakgrunn av materiale fra Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i Oslo 1 Vi vil først ved hjelp av et eksempel se

Detaljer

3.1 Betinget sannsynlighet

3.1 Betinget sannsynlighet 3. Betinget sannsynlighet Oppgave 3.0 På en skole er det 20 elever på vg2. 72 elever har valgt matematikkfaget R og 34 elever har valgt kjemi Blant de 72 som har valgt R, er det 28 som har valgt kjemi

Detaljer

Regler for: Ungdomstrinnet. Det anbefales at man først ser på powerpoint-reglene når man skal lære seg ulike spill med kortstokkene!

Regler for: Ungdomstrinnet. Det anbefales at man først ser på powerpoint-reglene når man skal lære seg ulike spill med kortstokkene! (x²) 1 2 Regler for: getsmart Grå Ungdomstrinnet 8 _ (x²) 1 2 4 (x²) 1 2 _ (x²) 1 2 _ 4 _ 8 Det anbefales at man først ser på powerpoint-reglene når man skal lære seg ulike spill med kortstokkene! Sjekk

Detaljer

Regler for: Det anbefales at man først ser på powerpoint-reglene når man skal lære seg ulike spill med kortstokkene!

Regler for: Det anbefales at man først ser på powerpoint-reglene når man skal lære seg ulike spill med kortstokkene! 3 2 Regler for: getsmart Lilla 9 Graf y 4 7 3 2 2 3 Funksjon 1-4 4-3 -2-1 -1 1 2 3-2 x f(x)= f(x)= 3 2 2 3 3 2 2 3-3 -4 Graf 9 3 2 2 3 Funksjon 7 Det anbefales at man først ser på powerpoint-reglene når

Detaljer