Statistikk og økonomi, våren 2017

Transkript

1 Statistikk og økonomi, våren 207 Obligatorisk oppgave 3 Løsningsforslag Oppgave Produsenten av en type bærbar datamaskin har registrert at sannsynligheten er 0.2 for at tastaturet svikter, 0.09 for at skjermen svikter og 0.04 for at begge svikter. Hva er sannsynligheten for at en slik datamaskin ikke fungerer på grunn av at tastaturet eller skjermen ikke fungerer? Vi kan definere følgende hendelser: T: tastaturet svikter S: skjermen svikter Opplysningene i oppgaven kan vi da skrive slik: P ( T) 0.2 P ( S) 0.09 P ( T S) 0.04 Datamaskinen fungerer ikke dersom enten tastaturet eller skjermen eller begge deler svikter. Sannsynligheten for dette er gitt ved addisjonssetningen: P ( T S) T) S) T S) Oppgave 2 En blå og en gul terning kastes samtidig. Hendelsen A er at summen av antall øyne er seks. Hendelsen B er at den blå terningen viser to øyne. a) Finn P ( A. Terningkast har uniform sannsynlighetsfordeling, så vi kan regne gunstige på mulige. Antall mulige utfall ved kast med to terninger, er i utgangspunktet 6 6 =. Men dersom vi vet at den blå viser to øyne, er det bare seks muligheter igjen for den gule, og det er bare en mulighet for at summen er seks, nemlig at den gule viser fire øyne. Sannsynligheten er derfor P ( A 6

2 En alternativ måte å regne ut dette på, er å bruke formelen A A A B er hendelsen at summen av øyne er seks samtidig som den blå viser to øyne. Antall mulige utfall av kast med to terninger er altså, og det er ett av disse utfallene som er gunstig. Sannsynligheten for dette er derfor P ( A Sannsynligheten for hendelsen B, altså at den blå terningen viser to øyne, er /6 fordi det er 6 mulige utfall på den blå terningen, mens ett av disse utfallene er gunstig. Den betingede sannsynligheten er derfor P ( A 6 b) Finn P ( B. Her er det kanskje lettest å bruke formelen 6 B A A fant vi i spørsmål a) at var /. Ser vi så på sannsynligheten for hendelse A, altså at summen av antall øyne er seks, ser vi at antall mulige utfall er. Antall gunstige utfall er 5 ( + 5, 2 + 4, 3 + 3, 4 + 2, 5 + ). Sannsynligheten for A er derfor P ( 5 Den betingede sannsynligheten er derfor A P ( B 5 5 Oppgave 3 En restaurering av en bygning kan bli forsinket på grunn av været. Anta at sannsynligheten for dårlig vær er Dersom det er bra vær, er sannsynligheten 0.92 for at arbeidet blir ferdig innen tidsfristen, mens den bare er 0.2 dersom det blir dårlig vær. Statistikk og økonomi, oblig 3, løsningsforslag Side 2

3 Hva er sannsynligheten for at arbeidet blir ferdig i tide? Vi kan definere følgende hendelser: D: det er dårlig vær F: arbeidet blir ferdig innen fristen Dessuten antar vi at bra vær er det komplementære av dårlig vær, altså som D. Opplysningene i oppgaven kan da skrives som og følgelig P ( D) 0.30 P ( D) Dessuten har vi P ( F D) 0.92 P ( F D) 0.2 Spørsmålet i oppgaven er altså etter P (F). Denne kan vi regne ut ved å bruke setningen om total sannsynlighet, altså P ( F) D) F D) D) F D) Oppgave 4 I en boks er det 50 % røde, 30 % grønne og 20 % blå baller. Noen av ballene har hvite prikker. Dette gjelder 4 % av de røde, 5 % av de grønne og % av de blå. En ball trekkes tilfeldig fra boksen. Vi definerer følgende hendelser: R: den uttrukne ballen er rød G: den uttrukne ballen er grønn B: den uttrukne ballen er blå H: den uttrukne ballen har hvite prikker Opplysningene i oppgaven kan da skrives slik: P ( R) 0.50 P ( G) 0.30 P ( 0.20 Statistikk og økonomi, oblig 3, løsningsforslag Side 3

4 Det at 4 % av de røde ballene har prikker, kan uttrykkes ved P ( H R) 0.04 siden dette betyr at dersom vi trekker kun blant de røde ballene er sannsynligheten 0.04 for å få en med hvite prikker. Tilsvarende har vi og P ( H G) 0.05 P ( H 0.0 a) Hva er sannsynligheten for å trekke en ball med hvite prikker? Her skal vi regne ut. Dette kan vi finne ved setningen om total sannsynlighet: H ) P ( H) R) H R) G) H G) H b) Det trekkes en ball med hvite prikker. Hva er sannsynligheten for at ballen er rød? Det som det spørres etter her, er altså sannsynligheten for at ballen er rød gitt at den har hvite prikker, altså P ( R H). Denne kan vi regne ut ved hjelp av Bayes setning: R) H R) P ( R H ) 0.54 H ) c) Det trekkes en ball med hvite prikker. Hva er sannsynligheten for at ballen er blå? Denne kan også regnes ut ved hjelp av Bayes setning: H P ( B H ) H ) Oppgave 5 Gitt = 0.20 og A = Hva må være dersom A og B skal være uavhengige? (Denne er ikke så enkel som du muligens først tror, men heller ikke så vanskelig som du kanskje deretter tror ). Addisjonssetningen gjelder alltid og sier at A A Kravet for at to hendelser A og B er uavhengige, er at Statistikk og økonomi, oblig 3, løsningsforslag Side 4

5 A Dette betyr at dersom A og B skal være uavhengige, kan vi istedenfor addisjonssetningen skrive og får A A i I de to siste leddene på høyre side er en felles faktor som kan trekkes utenfor en parentes. Høyre side i dette uttrykket kan derfor omformes til slik at uttrykket blir A Flytter vi så over på andre siden, får vi A Løser vi så dette med hensyn på ved å dele på begge sider med, får vi A Setter vi inn tallverdier, får vi P ( Oppgave 6 Bjørn, Siv og Trond driver et firma sammen hvor det finnes et eget printerrom. De har en tendens til å glemme å lukke døra til printerrommet når de har vært innom der. Bjørn glemmer det 90 % av gangene, Siv 0 % av gangene og Trond 20 % av gangene. Til daglig er Bjørn 5 ganger på printerrommet, Siv er der 25 ganger og Trond 0 ganger. En dag bemerker en kunde at døra står åpen. Her er det fort gjort å definere hendelser som gjør at oppgaven blir vanskelig å regne på. Vi forsøker oss med å definere følgende hendelser: B: Bjørn har vært på printerrommet S: Siv har vært på printerrommet T: Trond har vært på printerrommet D: Døren til printerrommet er åpen Fra oppgaveteksten kan vi regne oss fram til følgende sannsynligheter: Statistikk og økonomi, oblig 3, løsningsforslag Side 5

6 Totalt er de tre personene på printerrommet = 40 ganger daglig. Bjørn er der 5 av de 40 av gangene, altså 2.5 %, Siv er der 25 av de 40 gangene, altså 62.5 %, mens Trond er der 0 av de 40 gangene, altså 25 %. Dette betyr at = 0.25 S) = T) = 0.25 Videre har vi den betingede sannsynligheten at døren til printerrommet er åpent gitt at det er Bjørn som har vært der: D = 0.9 Tilsvarende for de andre personene: D S) = 0. D T) = 0.2 a) Hva er sannsynligheten for at Bjørn er synderen? Dette er altså sannsynligheten for at det er Bjørn som har vært på printerrommet gitt at døren er åpen, altså B D). Denne kan vi finnes ved Bayes setning: B D) D D) For å kunne regne ut dette, må vi finne D). Denne kan vi finne ved setningen om total sannsynlighet: P ( D) D S) D S) T) D T) Vi får da P ( B D) b) Hva er sannsynligheten for at Siv er synderen? Dette blir helt tilsvarende som i oppgave a, og vi får S) D S) P ( S D) D) c) Hva er sannsynligheten for at Trond er synderen? Denne kan vi enten regne ut på samme måte som i oppgave a og b, eller ved å benytte at sannsynlighetene i a, b og c må være til sammen (det er helt sikkert at det er en av dem som er synderen), altså P ( T D) B D) S D) Bruker vi isteden Bayes setning, finner vi Statistikk og økonomi, oblig 3, løsningsforslag Side 6

7 T) D T) P ( T D) D) Oppgave 7 I poker består en korthånd av fem kort. a) Hvor mange ulike korthender kan det dannes i poker? Dette et er uordnet utvalg (fordi rekkefølgen jeg mottar kortene i er uten betydning) uten tilbakelegging (fordi jeg ikke kan få samme kort to ganger). Det er 52 kort i en kortstokk. Antallet er derfor gitt ved 52 52! ! (52 5)! 5! 47! b) Hvor mange ulike korthender kan det dannes i poker når alle de fem kortene skal ha samme «farge», hvor farge betyr spar, hjerter, kløver og ruter? Fordi det er 3 spar i en kortstokk, er antall måter vi kan velge ut en korthånd med bare spar 3 5 Det er fire ulike farger, så totalt får vi 3 3! (3 5)! 5! Oppgave 8 I bridge består en korthånd av 3 kort. a) Hvor mange ulike korthender kan det dannes i bridge? Dette er uordnet utvalg uten tilbakelegging, og vi får 52 52! (52 3)! 3! b) Hvor mange ulike korthender kan det dannes i bridge når en korthånd bare skal bestå av kortene 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9? Her har vi altså åtte kort hver farge som hånden kan bestå av. Med fire farger gir dette totalt 32 kort. Med en korthånd som består av 3 kort, får vi følgelig 32 32! (32 3)! 3! Statistikk og økonomi, oblig 3, løsningsforslag Side 7

8 c) Hvor mange ulike korthender kan det dannes i bridge når en korthånd skal bestå av nøyaktig fire honnørkort (ess, konge, dame, knekt) og ni andre kort? Her skal vi altså velge fire av de 6 honnørkortene som finnes. Dette kan gjøres på 6 måter. 4 I tillegg må vi velge ni av de resterende 52 6 = kortene. Dette kan gjøres på 9 måter. Totalt antall måter da gitt av multiplikasjonsprinsippet: 6 6!! ! 4! 27! 9! Oppgave 9 En urne inneholder sju hvite og fem svarte kuler. Vi trekker tre kuler uten tilbakelegging. a) Hva er sannsynligheten for at to av kulene er hvite? Vi kan anta at dette har en uniform sannsynlighetsfordeling (noe som betyr at alle utfall er like sannsynlige). Vi kan derfor regne sannsynlighet ved gunstige på mulige. Siden vi totalt har = 2 kuler i urna, er antall mulige utfall (her har vi uordnet utvalg uten tilbakelegging) 2 3 Antall gunstige utfall kan vi regne ut slik: Når vi skal trekke tre kuler og skal få to hvite, må vi trekke 2 av de 7 hvite og av de 5 svarte kulene. Antall gunstige utfall er følgelig Sannsynligheten (som altså er gitt ved gunstige på mulige) er følgelig 7 5 7! 5 2 (7 2)! 2! to hvite kuler) = ! 44 3 (2 3)! 3! Statistikk og økonomi, oblig 3, løsningsforslag Side 8

9 b) Hva er sannsynligheten for at minst to av de uttrukne kulene er hvite? Her kan altså to eller tre av kulene være hvite. I spørsmål a regnet vi ut antall måter vi kan trekke ut nøyaktig to hvite kuler. Vi må i tillegg ha antall måter vi kan trekke ut nøyaktig tre hvite kuler. Dette er 7 3 Disse to antallene gir til sammen totalt antall måter å trekke minst to hvite kuler på: Dette er antall gunstige. Sannsynligheten er derfor minst to hvite kuler) = ! 7! 5 (7 2)! 2! (7 3)! 3! ! (2 3)! 3! c) Hva er sannsynligheten for at minst en av de uttrukne kulene er svart? «Minst én» betyr altså at én, to eller tre av kulene er svarte. Dette kan vi regne ut på to måter: Det letteste er dersom vi observerer at dersom minst én av de uttrukne kulene er svarte, så er det enten ingen, én eller to hvite kuler. Dette er det komplementære av at alle kulene er hvite. Altså P (minst én svart kule) = P (ingen svarte kuler) = P (tre hvite kuler). Antall måter vi kan trekke tre hvite kuler på, er 7 3 Sannsynligheten for å trekke tre hvite kuler er følgelig 7 3 P (tre hvite kuler) = Følgelig er sannsynligheten for å trekke minst én svart kule Statistikk og økonomi, oblig 3, løsningsforslag Side 9

10 P (minst én svart kule) = P (tre hvite kuler) = En alternativ måte å regne ut dette på, er slik: Antall måter vi kan trekke ut én av de fem svarte kulene på og følgelig to av de sju hvite, er Antall måter vi kan trekke ut to av de fem svarte kulene på og følgelig én av de sju hvite, er Antall måter vi kan trekke ut tre svarte kuler på (og ingen hvite), er Totalt antall måter vi kan trekke ut minst én svart kule på er summen av disse. Sannsynligheten er derfor minst én svart kule) = 2 3 7! 5! 5! 5 7 (7 2)! 2! (5 2)! 2! (5 3)! 3! Statistikk og økonomi, oblig 3, løsningsforslag Side 0