Sannsynlighet for alle.
|
|
|
- Ragna Elin Edvardsen
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Sannsynlighet for alle. Signe Holm Knudtzon Høgskolen i Buskerud og Vestfold Novemberkonferansen 2015 Novemberkonferansen 2015 Signe Holm Knudtzon. HBV. Sannsynlighet for alle 1
2 Sannsynlighet for alle. Verksted 90 min. Problemløsningsverksted. Vi arbeider med noen få utforskningsoppgaver. Oppgavene vil være lette å forstå og komme i gang med, men også ha dybde. Spesielt er vi opptatt av å løse oppgavene på flere måter. Hvilke problemløsningsstrategier bruker vi? Vi viser hvordan elever har arbeidet med og løst de samme oppgavene. Hvordan har elevene tegnet, prøvd og diskutert seg fram til løsningene? Hva har de oppdaget underveis? Elevene er fra 5. til 9. trinn. Mange problemløsningsoppgaver har en kombinatorisk kjerne. Klarer vi å finne fram til denne kjernen og analysere den vil ofte oppgaven være løst. Er et spill rettferdig? Hvis ikke, hvordan kan vi forandre reglene slik at det blir rettferdig? Hvordan kan vi utvikle våre og elevenes fortrolighet med ulike problemløsningsstrategier? Hvilke utfordringer har vi som lærere? Klarer vi å lytte til elevenes tenkning? Hva sliter lærerstudentene med? Hva må en lærer kunne? Klarer vi å vente? Hvilke hint kan være aktuelt å gi? Klarer vi å se og møte elevenes smarte løsninger? Har vi matematisk innsikt til det? Hva er matematikken bak oppgaven? Hvordan kan oppgaven utvides? Vi går dypt i noen få oppgaver fremfor å arbeide med mange oppgaver. Stikkord: sannsynlighet, kombinatorikk, utforskning, praktiske oppgaver, spill, kommunikasjon, problemløsningsstrategier, mønster, samarbeid, rike oppgaver, Novemberkonferansen 2015 Signe Holm Knudtzon. HBV. Sannsynlighet for alle 2
3 Sannsynlighet for alle Hva vil det si? Lett å forstå hva oppgaven går ut på - lav inngangsterskel Mulig å utvide - for å gi utfordringer til alle Novemberkonferansen 2015 Signe Holm Knudtzon. HBV. Sannsynlighet for alle 3
4 dropsoppgaven i en lærebok for 7. trinn: Hege har to røde og to gule drops i en pose. Mia tar to drops. Hvor stor er sannsynligheten for at Mia tar et rødt og et gult drops? Gjett, skriv på en lapp Deretter undersøkte gruppene dette. De trakk 20 ganger hver og diskuterte resultatet. Novemberkonferansen 2015 Signe Holm Knudtzon. HBV. Sannsynlighet for alle 4
5 Oppgavene: trekk to av fire, hva er sannsynligheten for at du trekker to forskjellige farger? To lyseblå og to blå kuler To røde og to gule drops Novemberkonferansen 2015 Signe Holm Knudtzon. HBV. Sannsynlighet for alle 5
6 Eks kuler eller drops Hva kan skje? Hvor mange kombinasjoner kan lages? Skal vi skrive dem opp, eller skal vi tegne dem? To måter å trekke To av sammen Farge. Fire måter å trekke to av forskjellig farge RR RG GG? Novemberkonferansen 2015 Signe Holm Knudtzon. HBV. Sannsynlighet for alle 6
7 Hva vil du som lærer si til denne tabellen? Trekk to drops. Novemberkonferansen 2015 Signe Holm Knudtzon. HBV. Sannsynlighet for alle 7
8 Drops Her er flere forslag til svar 1) RR, GG, RG gir sannsynlighet 1/3 2) rød rød, rød gul, gul gul, gul rød 2 av 4 Novemberkonferansen 2015 Signe Holm Knudtzon. HBV. Sannsynlighet for alle 8
9 En tenkemåte som kom opp fort var: Du trekker en, det er tre igjen Hva er sannsynligheten for å trekke den andre fargen nå? 2/3 Novemberkonferansen 2015 Signe Holm Knudtzon. HBV. Sannsynlighet for alle 9
10 Har noen lurt på: Om det har noe å si om du trekker en av gangen eller begge samtidig? Det pleier å bli en diskusjon En elev sa: Om du trekker en og en blir det større sannsynlighet for å få to forskjellige enn to like Men trekker du begge samtidig blir det lik sannsynlighet (0,5) Hva vil du som lærer si til det? Novemberkonferansen 2015 Signe Holm Knudtzon. HBV. Sannsynlighet for alle 10
11 Hvordan kan oppgaven utvides? Hvis vi har et spill der A får poeng om dropsene har samme farge og B får poeng om dropsene har forskjellig farge Hva kan du gjøre for at det skal bli et rettferdig spill? (ha maksimum 10 drops i posen) Hvordan kan dere undersøke dette? Novemberkonferansen 2015 Signe Holm Knudtzon. HBV. Sannsynlighet for alle 11
12 Hvilken skal ut? To hvite og to røde kuler. Trekk to kuler tilfeldig. A vinner hvis det blir to like, B vinner hvis det blir to ulike. Du kaster to mynter. A vinner hvis myntene viser samme side, B vinner hvis myntene viser forskjellige sider. To jenter og to gutter. To trekkes tilfeldig. A vinner hvis det trekkes to av samme kjønn, B vinner hvis det trekkes en av hvert kjønn. Dere har to røde og to svarte kort. Det trekkes to. B vinner hvis dere får to ulike. A vinner hvis dere får to like. Novemberkonferansen 2015 Signe Holm Knudtzon. HBV. Sannsynlighet for alle 12
13 Myntkast Du kaster en gang med to mynter. Hva er sannsynligheten for at resultatet blir en Kron og en Mynt? Gjett. Skriv på en lapp. Kast to mynter 10 ganger og noter resultatet. (arbeid to og to) Novemberkonferansen 2015 Signe Holm Knudtzon. HBV. Sannsynlighet for alle 13
14 Pascals talltrekant Novemberkonferansen 2015 Signe Holm Knudtzon. HBV. Sannsynlighet for alle 14
15 Valgtre Novemberkonferansen 2015 Signe Holm Knudtzon. HBV. Sannsynlighet for alle 15
16 Student: Jeg skjønner ikke når vi skal gange og når vi skal legge sammen. Novemberkonferansen 2015 Signe Holm Knudtzon. HBV. Sannsynlighet for alle 16
17 Memory 6 kort igjen, du kjenner to av dem, de er ikke like. Hva er sannsynligheten for at du klarer å trekke to like nå? (Gjett, tenk, undersøk) Novemberkonferansen 2015 Signe Holm Knudtzon. HBV. Sannsynlighet for alle 17
18 Memory Trekk blant de fire du ikke kjenner (det er ikke alltid femåringer gjør): 2/4 sjanse for at du trekker et av de to du kjenner Det er 2/4 sjanse for at du trekker et nytt tall, da er det 1/3 sjanse for at du trekker par. 2/4 + (2/4 * 1/3)= ½ + 1/6 = 4/6 = 2/3 Kan du tegne et valgtre for dette? Novemberkonferansen 2015 Signe Holm Knudtzon. HBV. Sannsynlighet for alle 18
19 sannsynlighet Kan løses direkte ved å tenke i sannsynlighet Kan løses ved å tenke kombinatorisk (Hvor mange gunstige utfall dividert med hvor mange mulige utfall) Da må vi telle riktig. Hjelp: hvordan kan vi representere situasjonen, tegne opp, bruke konkreter, skrive osv Kan undersøkes empirisk (evt simuleres på data) Novemberkonferansen 2015 Signe Holm Knudtzon. HBV. Sannsynlighet for alle 19
20 Novemberkonferansen 2015 Signe Holm Knudtzon. HBV. Sannsynlighet for alle 20
21 Løsning rettferdig spill (kort eller kuler i to farger) Ett sort og tre røde kort. Det gir tre muligheter for to farger og tre muligheter for en farge. Tre sorte og seks røde. Av ni kan en lage 36 toergrupper. Det er 3x6=18 kombinasjoner som har ett sort og ett rødt kort. (Det er 3 som har to sorte og 15 som har to røde). Dette kan finnes i Pascals talltrekant. Finnes det flere? Med maks ti kort? Novemberkonferansen 2015 Signe Holm Knudtzon. HBV. Sannsynlighet for alle 21
22 Arbeidsmåte Presentere problem Gjette (tegne) Prøve ut Begrunne, beregne, tegne, diskutere Novemberkonferansen 2015 Signe Holm Knudtzon. HBV. Sannsynlighet for alle 22
23 Hva er viktig? Når du skal trekke flere må du vite om du skal legge tilbake før du trekker på nytt. (med eller uten tilbakelegging) At det er det samme om du kaster fem terninger en gang eller en terning fem ganger terningen vet ikke hva de andre terningene viser, eller hva den var forrige gang eller hva den blir neste gang (uavhengighet) Noe kan skje på flere måter. ( f. eks å få akkurat en kron på tre kast du kan få kron på første, andre eller tredje kast) Sannsynligheten for hver av disse rekkefølgene må da legges sammen (adderes) Noen ganger er det lettest å finne sannsynligheten for det motsatte. (eks Hva er sannsynligheten for å klare å få sekser på tre kast? (eks LUDO) Da er det lettere å finne sannsynligheten for ikke å få noen seksere på tre kast og deretter trekke det fra en.) Novemberkonferansen 2015 Signe Holm Knudtzon. HBV. Sannsynlighet for alle 23
24 Områder undervisningskunnskap i matematikk består av (Ball, Thames & Phelps, 2008, s. 403, oversatt av Fauskanger, Mosvold og Bjuland, 2010). KFE KFU Novemberkonferansen 2015 Signe Holm Knudtzon. HBV. Sannsynlighet for alle 24
25 Allmenn fagkunnskap AFK (angående dropsoppgaven) De må kunne løse oppgaven. De må kunne sannsynlighet. I dette tilfelle må de se at det er en situasjon der sannsynligheten endrer seg når du skal trekke den andre. Det er ikke tilbakelegging. Det er en «hypergeometrisk situasjon». Det er ikke en «binomisk situasjon». Novemberkonferansen 2015 Signe Holm Knudtzon. HBV. Sannsynlighet for alle 25
26 Spesialisert fagkunnskap SFK De må kunne løse oppgaven på flere måter. De må vite noe om hva som er vanskelig for elevene. De må kunne representere oppgaven på en fornuftig måte. De må vite hvordan de kan undersøke en situasjon for å få et tallmateriale som er representativt. Novemberkonferansen 2015 Signe Holm Knudtzon. HBV. Sannsynlighet for alle 26
27 Områder undervisningskunnskap i matematikk består av (Ball, Thames & Phelps, 2008, s. 403, oversatt av Fauskanger, Mosvold og Bjuland, 2010). KFE KFU Novemberkonferansen 2015 Signe Holm Knudtzon. HBV. Sannsynlighet for alle 27
28 Kunnskap om faglig innhold og undervisning KFU Planlegge undervisningen. Hvilke oppgaver. Hvilke spørsmål? Hvilke spørsmål åpner/lukker? Hvordan vil jeg organisere arbeidet. Hvilket materiale skal være framme/tilgjengelig. For utprøving.. Representasjon? Hva er målet? Novemberkonferansen 2015 Signe Holm Knudtzon. HBV. Sannsynlighet for alle 28
29 Kunnskap om faglig innhold og elever. KFE Hva spør elevene om? De spør både ventede og uventede spørsmål. De løser oppgaven på forskjellig måte (hvis ikke læreren/læreboken har sagt akkurat hvordan de skal løse den.) De finner ofte smarte løsninger, smartere enn de som er i læreboken. Novemberkonferansen 2015 Signe Holm Knudtzon. HBV. Sannsynlighet for alle 29
30 Hva må en lærer kunne? - Utvide og forenkle oppgaver Utvide uten at de blir umulige Forenkle uten at oppgaven blir totalt uinteressante - Se hva som egentlig er det samme og hva som ikke er det (eks kaste mynter og trekke kuler) Novemberkonferansen 2015 Signe Holm Knudtzon. HBV. Sannsynlighet for alle 30
Fire kort. Mål. Gjennomføring. Film. Problemløsing Fire kort
Fire kort Mål Generelt: Søke etter mønster og sammenhenger. Gjennomføre undersøkelse og begrunne resultat. Utfordre elevene på å resonnere og kommunisere. Spesielt: Finne alle kombinasjoner når de adderer
Fire kort. Mål. Gjennomføring. Film. Problemløsing Fire kort
Fire kort Mål Generelt: Søke etter mønster og sammenhenger. Gjennomføre undersøkelse og begrunne resultat. Utfordre elevene på å resonnere og kommunisere. Spesielt: Finne alle kombinasjoner når de adderer
Oppgaver. Innhold. Sannsynlighet 1P, 1T og 2P-Y
Oppgaver Innhold 3.1 Hva er sannsynlighet?... 2 3.2 Addisjon av sannsynligheter. Gunstige og mulige utfall... 5 3.3 Beregne sannsynligheter ved å bruke tabeller... 9 3.4 Beregne sannsynligheter ved å bruke
Oppgaver. Innhold. Sannsynlighet Vg1P
Oppgaver Innhold Modul 1. Hva er sannsynlighet?... 2 Modul 2. Addisjon av sannsynligheter. Gunstige og mulige utfall... 6 Modul 3. Beregne sannsynligheter ved å bruke tabeller... 10 Modul 4. Beregne sannsynligheter
Fire kort. Mål. Gjennomføring. Film. Problemløsing Fire kort Planleggingsdokument
Fire kort Mål Generelt: Søke etter mønster og sammenhenger. Gjennomføre undersøkelse og begrunne resultat. Utfordre elevene på å resonnere og kommunisere. Spesielt: Finne alle kombinasjoner når de adderer
6. kurskveld Ila, 7. juni - 06 Statistikk og sannsynlighet
. kurskveld Ila, 7. juni - 0 Statistikk og sannsynlighet Sannsynlighet og kombinatorikk Sannsynlighet er noe vi omgir oss med nesten daglig. Vi spiller Lotto og andre spill, og håper vi har flaks og vinner.
Løsninger. Innhold. Sannsynlighet 1P, 1T og 2P-Y
Løsninger Innhold 3. Hva er sannsynlighet?... 2 3.2 Addisjon av sannsynligheter. Gunstige og mulige utfall... 3.3 Beregne sannsynligheter ved å bruke tabeller... 2 3.4 Beregne sannsynligheter ved å bruke
Oppgaver i sannsynlighetsregning 3
Oppgaver i sannsynlighetsregning 3 Oppgave 1 Vi har et lykkehjul med 8 like sektorer som er nummerert fra 1 til 8. Du har valgt sektor nummer 3. a) Tenk deg at du snurrer lykkehjulet en gang. Hva er sjansen
Notat kombinatorikk og sannsynlighetregning
Notat kombinatorikk og sannsynlighetregning av Peer Andersen Peer Andersen 2010 1 SANNSYNLIGHETSREGNING MED FLERE TRINN Sannsynlighetsregning med et trinn kan være situasjoner der vi spør hva sjansen er
Legg merke til at summen av sannsynlighetene for den gunstige hendelsen og sannsynligheten for en ikke gunstig hendelse, er lik 1.
Sannsynlighet Barn spiller spill, vedder og omgir seg med sannsynligheter på andre måter helt fra de er ganske små. Vi spiller Lotto og andre spill, og håper vi har flaks og vinner. Men hvor stor er sannsynligheten
10.4 Sannsynligheter ved flere i utvalget (kombinatorikk)
10. er ved flere i utvalget (kombinatorikk) Så langt i framstillingen har vi diskutert den språklige siden, den matematiske tolkningen av sannsynlighetsbegrepet og presentert ulike modeller som kan anvendes
Quiz, 4 Kombinatorikk og sannsynlighet
Quiz, 4 Kombinatorikk og sannsynlighet Innhold 4.1 Begreper i sannsynlighetsregning... 2 4.2 Addisjon av sannsynligheter... 6 4.3 Produktsetningen for sannsynlighet... 12 4.4 Kombinatorikk og sannsynlighetsberegning...
Problemløsningsverksted. Det må være et mønster her! Signe Holm Knudtzon Høgskolen i Buskerud og Vestfold Novemberkonferansen 2014
Problemløsningsverksted. Det må være et mønster her! Høgskolen i Buskerud og Vestfold Hva sier elever på 7.trinn? «Jeg vil lære noe nytt. Jeg vil lære noe som ikke er for lett. Jeg vil lære nye måter og
Sannsynlighet oppgaver
Sannsynlighet oppgaver Innhold 3.1 Pascals talltrekant... 2 3.2 Kombinatorikk... 4 3.3 Sannsynlighetsberegninger... 8 3.4 Hypergeometrisk sannsynlighetsmodell... 9 3.5 Binomisk sannsynlighetsmodell...
Sannsynlighet løsninger
Sannsynlighet løsninger Innhold 3.1 Pascals talltrekant... 2 3.2 Kombinatorikk... 5 3.3 Sannsynlighetsberegninger... 10 3.4 Hypergeometrisk sannsynlighetsmodell... 12 3.5 Binomisk sannsynlighetsmodell...
MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk
MAT000V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk Uordnet utvalg uten tilbakelegging (repetisjon) Tilfeldige variabler og sannsynlighetsfordelinger Hypergeometrisk fordeling Binomisk fordeling Ørnulf Borgan
Aktiviteter i sannsynlighetsregning på samlingen i MAT102 onsdag 8. februar
Aktiviteter i sannsynlighetsregning på samlingen i MAT102 onsdag 8. februar Her er en rekke aktiviteter som utvikler begrepsforståelsen i sannsynlighet. Målet med disse aktivitetene er å kunne vurdere
Sannsynlighetsregning
Sannsynlighetsregning Per G. Østerlie Thora Storm vgs per.osterlie@stfk.no 5. april 203 Hva og hvorfor? Hva? Vi får høre at det er sannsynlig at et eller annet kommer til å skje. Sannsynligheten for å
Kompetansemål Sannsynlighet, S Innledning Pascals talltrekant Binomialkoeffisienter Kombinatorikk...
Sannsynlighet Innhold Kompetansemål Sannsynlighet, S1... 2 Innledning... 2 3.1 Pascals talltrekant... 3 Binomialkoeffisienter... 6 3.2 Kombinatorikk... 9 Ordnet og uordnet utvalg... 10 Med og uten tilbakelegging...
Hvorfor sannsynlighetsregning og kombinatorikk?
Sannsynlighet og kombinatorikk i videregående skole Helmer Aslaksen Institutt for lærerutdanning og skoleforskning/matematisk institutt Universitetet i Oslo helmer.aslaksen@gmail.com www.math.nus.edu.sg/aslaksen/
Sannsynlighet og kombinatorikk i videregående skole
Sannsynlighet og kombinatorikk i videregående skole Helmer Aslaksen Institutt for lærerutdanning og skoleforskning/matematisk institutt Universitetet i Oslo helmer.aslaksen@gmail.com www.math.nus.edu.sg/aslaksen/
Prøve 6 1T 24.02.12 80 minutter. Alle hjelpemidler
Prøve 6 T 24.02.2 80 minutter. Alle hjelpemidler Oppgave I boks A er det 6 svarte og 2 hvite kuler. I boks B er det 8 svarte og 4 hvite kuler. Vi trekker en kule fra en av krukkene. a) va er sannsynligheten
Sannsynlighet og statistikk
Sannsynlighet og statistikk Arkeologiske utgravinger har vist at mennesker har underholdt seg med forskjellige spill i tusener av år. Terninger fra India som ble brukt i spill, er faktisk 5000 år gamle.
SANNSYNLIGHETSREGNING
SANNSYNLIGHETSREGNING Er tilfeldigheter tilfeldige? Når et par får vite at de skal ha barn, vurderes sannsynligheten for pike eller gutt normalt til rundt 50/50. Det kan forklare at det fødes omtrent like
Betinget sannsynlighet. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk. Vi trenger en definisjon av betinget sannsynlighet!
MAT000V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk Betinget sannsynlighet og uavhengige hendelser Produktsetningen Total sannsynlighet og Bayes' setning Betinget sannsynlighet Vil repeterer først et eksempel
Løsninger. Innhold. Sannsynlighet Vg1P
Løsninger Innhold Modul. Hva er sannsynlighet?... 2 Modul 2. Addisjon av sannsynligheter. Gunstige og mulige utfall... 7 Modul 3. Beregne sannsynligheter ved å bruke tabeller... 3 Modul 4. Beregne sannsynligheter
Telle med 15 fra 4. Mål. Gjennomføring. Telle i kor Telle med 15 fra 4 Planleggingsdokument
Telle med 15 fra 4 Mål Generelt: Søke etter mønster og sammenhenger. Gi grunner for at mønstrene oppstår. Lage nye mønstre ved å utnytte mønstre en allerede har funnet. Utfordre elevene på å resonnere
6 Sannsynlighetsregning
MATEMATIKK: 6 Sannsynlighetsregning 6 Sannsynlighetsregning 6.1 Forsøk. Utfallsrom. Sannsynlighet (sjanse). Sannsynlighetsmodell Ved ett kast med en terning vet vi at terningen vil vise enten ett, to,
Mynter. Fordeling av ulike Totalt antall mulige
Tema: Sannsynlighet Aktiviteter: Kronestykker 5 ulike cola-typer beger papir og blyant karameller og 3 kinderegg Tidsbruk: 2 timer Utstyr: Anskaffelse av utstyr: Dette er utstyr de fleste har fra før.
Tilfeldige variabler. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk
MAT000V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk Tilfeldige variabler og sannsynlighetsfordelinger Hypergeometrisk fordeling Binomisk fordeling Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i Oslo Tilfeldige
Oppgaver som utfordrer og engasjerer
1 av 5 Oppgaver som utfordrer og engasjerer Forfatter: Anne-Gunn Svorkmo Publisert: 8. januar 2019 2 av 5 Alle elever trenger å bli utfordret kognitivt i matematikkundervisningen, også elever som presterer
Sannsynlighetsregning og kombinatorikk
Sannsynlighetsregning og kombinatorikk Introduksjon Formålet med sannsynlighet og kombinatorikk er å kunne løse problemer i statistikk, somoftegårutpååfattebeslutninger i situasjoner der tilfeldighet rår.
INNHOLD. Matematikk for ungdomstrinnet
INNHOLD STATISTIKK... 2 FREKVENS... 2 RELATIV FREKVENS... 2 FREKVENSTABELL... 2 KLASSEDELING... 3 SØYLEDIAGRAM (STOLPEDIAGRAM)... 3 LINJEDIAGRAM... 4 SEKTORDIAGRAM... 4 HISTOGRAM... 4 FRAMSTILLING AV DATA...
Betinget sannsynlighet. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk. Vi trenger en definisjon av betinget sannsynlighet!
MAT000V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk Betinget sannsynlighet Vi repeterer først et eksempel fra samlingen for sist uke Betinget sannsynlighet og uavhengige hendelser Produktsetningen Total sannsynlighet
Sannsynlighet og kombinatorikk tips til bruk av Smart tavle
1 av 6 Sannsynlighet og kombinatorikk tips til bruk av Smart tavle Maximum Smart Tavle har to delverktøy: bokrommet og tavlerommet. I bokrommet kan du hente opp bokoppslagene på skjermen. Verktøyet gir
Fasit. Grunnbok. Kapittel 5. Bokmål
Fasit Grunnbok Kapittel 5 Bokmål Kapittel 5 Fra erfaring til sannsynlighet 5. a P = 3 5.2 a P = 2 5.3 B har rett 5.4 a P = 4 b P = 4 b P = 2 b c P = 7 c P = 5 2 c d P = 25 d P = 5 2 5.5 a b Den eksperimentelle
Sensorveiledning LSKMAT1Y18. Emnekode: Tall og algebra for yrkesfaglærere. Emnenavn: Dato: Torsdag Khaled Jemai
Sensorveiledning Emnekode: LSKMATY8 Emnenavn: Tall og algebra for yrkesfaglærere Eksamensform: Individuell skriftlig eksamen, timer. Dato: Torsdag 20.2.8 Faglærer(e): Pål Jom Khaled Jemai Eventuelt: Hjelpemidler
Tilfeldige variabler. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk
MAT000V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk Tilfeldige variabler og sannsynlighetsfordelinger (repetisjon) Hypergeometrisk fordeling (repetisjon) Binomisk fordeling Forventningsverdi Tilfeldige variabler
Betinget sannsynlighet. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk. Vi trenger en definisjon av betinget sannsynlighet!
MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk Betinget sannsynlighet og uavhengige hendelser Produktsetningen Total sannsynlighet og Bayes' setning Betinget sannsynlighet Vil repeterer først et eksempel
Notater til forelesning i Sannsynlighetsregning SK 101 Matematikk i grunnskolen I
Notater til forelesning i Sannsynlighetsregning SK 101 Matematikk i grunnskolen I 4 Kombinatorikk Vi må lære tellemetoder når valgtrær, som vi brukte tidligere, blir for store og vanskelig å håndtere.
KOMBINATORIKK OG SANNSYNLIGHET 4 MER ØVING
Oppgave 1 En dag lurer du på hva du skal ha på deg. Du ser i skapet og ser at det ligger 3 bukser, en lys og en mørk olabukse og en grå bukse. Du leter etter en genser og finner fire forskjellige gensere.
Statistikk og økonomi, våren 2017
Statistikk og økonomi, våren 207 Obligatorisk oppgave 3 Løsningsforslag Oppgave Produsenten av en type bærbar datamaskin har registrert at sannsynligheten er 0.2 for at tastaturet svikter, 0.09 for at
Simulering - Sannsynlighet
Simulering - Sannsynlighet Når regnearket skal brukes til simulering, er det et par grunninnstillinger som må endres i Excel. Hvis du får feilmelding om 'sirkulær programmering', betyr det vanligvis at
Telle med 19 fra 19. Mål. Gjennomføring. Telle i kor Telle med 19 fra 19 Planleggingsdokument
Telle med 19 fra 19 Mål Generelt: Søke etter mønstre og sammenhenger. Gi grunner for at mønstrene oppstår. Lage nye mønstre ved å utnytte mønstre en allerede har funnet. Utfordre elevene på å resonnere
Dybdelæring å gripe terskelbegrepene
Dybdelæring å gripe terskelbegrepene MARS 2018 Anne-Mari Jensen NTNU Innholdsfortegnelse INNLEDNING... 3 BRØK... 3 HVOR LIGGER PROBLEMET?... 3 HVORDAN KAN VI ARBEIDE FOR Å SKAPE BEDRE FORSTÅELSE?... 5
1 av 7. Institutt for lærerutdanning Matematikksenteret. Hvordan utfordre? Forfatter: Anne-Gunn Svorkmo. Publisert: 8. januar Matematikksenteret
1 av 7 Hvordan utfordre? Forfatter: Anne-Gunn Svorkmo Publisert: 8. januar 2019 2 av 7 For å lykkes i matematikk er det blant annet viktig å kunne arbeide systematisk og strukturert. Dette er noe alle
Regning som grunnleggende ferdighet Ny GIV! Møre og Romsdal
Regning som grunnleggende ferdighet Ny GIV! Møre og Romsdal Hefte med praktiske eksempler Tone Elisabeth Bakken Molde, 29.januar 2013 Ønsker du beskrivelse av og informasjon om flere metoder, - ta kontakt!
Kompetansemål Hva er sannsynlighet?... 2
3 Sannsynlighet Innhold Kompetansemål... 2 3. Hva er sannsynlighet?... 2 Utfall og utfallsrom... 3 Tilfeldig forsøk... 3 Definisjon av sannsynlighet... 5 Sannsynlighetsmodeller... Andre eksempler på tilfeldige
Oppgaver i sannsynlighetsregning 1
Oppgaver i sannsynlighetsregning 1 Oppgave 1 Forklar hva som menes med en uniform sannsynlighetsmodell. Gi minst et eksempel på en uniform sannsynlighetsmodell. Begrunn hvorfor den er uniform. Gi også
ST1101/ST6101 Sannsynlighetsregning og statistikk Vår 2019
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag ST1101/ST6101 Sannsynlighetsregning og statistikk Vår 201 Oppgaver fra boka 2.6.1 En kjemiker vil observere effekten av 2 ulike
Fagdag 5-08.01.09. 2) Du skal fylle ut en tippekupong. På hvor mange måter kan dette gjøres?
Fagdag Plan Fagdag - 08.01.0 1,2 time: Repetisjon kapittel 3 - Sannsynlighet Oppgaver Teori (lesestoff) 3, time: Arbeide med.1 og.2: 16, 17, 18, 1 3, time: Ekstra vurdering før terminoppgjør Repetisjon
1T kapittel 4 Sannsynlighet Løsninger til innlæringsoppgavene
1T kapittel 4 Sannsynlighet Løsninger til innlæringsoppgavene 4.4 a Du kan få 1, 2, 3, 4, 5 eller 6 øyne på terningen. Utfallsrommet er U = {1,2,3,4,5,6}. b Hvert av de seks utfallene har samme sannsynlighet.
ØVINGER 2017 Løsninger til oppgaver. 3.1 Myntkast For et enkelt myntkast har vi to mulige utfall, M og K. Utfallsrommet blir
ØVINGER 017 Løsninger til oppgaver Øving 3.1 Myntkast For et enkelt myntkast har vi to mulige utfall, M og K. Utfallsrommet blir S = {M, K}. Med to etterfølgende myntkast blir utfallsrommet S = {MM, MK,
ECON Statistikk 1 Forelesning 3: Sannsynlighet. Jo Thori Lind
ECON2130 - Statistikk 1 Forelesning 3: Sannsynlighet Jo Thori Lind j.t.lind@econ.uio.no Oversikt 1. Hva er sannsynlighet? 2. Grunnleggende regler for sannsynlighetsregning 3. Tilfeldighet i datamaskinen
4.4 Sum av sannsynligheter
4.4 Sum av sannsynligheter Nina trekker kort fra en vanlig kortstokk med 52 kort. Vi innfører hendingene H: Kortet er en hjerter S: Kortet er en spar Det er 13 hjerter og 13 spar i stokken. Sannsynligheten
Foreldrene betyr all verden
Foreldrene betyr all verden Gjett tre kort Mona Røsseland Nasjonalt senter for Matematikk i opplæringen, NTNU (i studiepermisjon) Lærebokforfatter; MULTI 15-Sep-09 15-Sep-09 2 Mastermind Hva påvirker elevenes
TMA4240/TMA4245 Statistikk Oppsummering diskrete sannsynlighetsfordelinger
TMA4240/TMA4245 Statistikk Oppsummering diskrete sannsynlighetsfordelinger Binomisk fordeling* ( ) n b(x; n, p) = p x (1 p) n x = x ( ) n p x q n x, x x = 0, 1, 2,..., n Fenomén: i) n forsøk. ii) Suksess/fiasko
Lag det tallet. Mål. Gjennomføring. Utstyr: Kortstokk. Organisering: 3-4 elever spiller sammen. Spillets gang:
Lag det tallet Mål Generelt: Vurdere tallstørrelser og forståelse for hva de ulike regneoperasjonene gjør med tallene. Eksperimentering med tall og øvelse i hoderegning. Spesielt: Prioritering av regnearter.
Matematisk kompetanse en aktivitet
Matematisk kompetanse en aktivitet Matematisk kompetanse - Aktivitet Hvor mange røde kvadrater? Matematisk kompetanse - Aktivitet Hvor mange røde kvadrater? Prinsipper for god regneopplæring 1. Sett klare
Læringsmiljø Hadeland. Felles skoleutviklingsprosjekt for Gran, Lunner og Jevnaker. Vurderingsbidrag
Vurderingsbidrag Fag: Matematikk Tema: Sannsynlighet Trinn: 10 Tidsramme: 10 12 timer ----------------------------------------------------------------------------- Undervisningsplanlegging Konkretisering
Telle med 120 fra 120
Telle med 120 fra 120 Mål Generelt: Søke etter mønstre og sammenhenger. Gi grunner for at mønstrene oppstår. Lage nye mønstre ved å utnytte mønstre en allerede har funnet. Utfordre elevene på å resonnere
DAG 2 1. Hans og Grete er til sammen 63 år. Hans er dobbelt så gammel som det Grete var da Hans var så gammel som Grete er nå. Hvor gammel er Hans?
SETT 12 OPPGAVER FRA ABELS HJØRNE I DAGBLADET DAG 1 1. Hvilket av følgende tall er delelig med 9? A) 309 B) 456 C) 696 D) 783 E) 939 2. To esker inneholder to røde og to hvite kuler hver. Vi tar en tilfeldig
Lærer: vil du høre hvordan vi har tenkt?
Lærer: vil du høre hvordan vi har tenkt? PROBLEMLØSNING FOR SMÅTRINNET Tove Branæs Tone Skori Griser og høner På en gård er det griser og høner. Det er til sammen 24 dyr og 68 bein på gården. Hvor mange
Tilfeldige variabler. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk
MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk Forventning, varians og standardavvik Tilnærming av binomiske sannsynligheter Konfidensintervall Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i Oslo
Hvilken kunnskap må en fremtidig matematikklærer ha? «Framtidas matematikklærer» Halden, Janne Fauskanger & Reidar Mosvold
Hvilken kunnskap må en fremtidig matematikklærer ha? «Framtidas matematikklærer» Halden, 18.09.13 Janne Fauskanger & Reidar Mosvold Hvor mange er egentlig «hundrevis»? Hvilken kunnskap trenger barnehagelæreren
www.fiboline.no 18.02.2012 Gjett tre kort Mastermind www.fiboline.no Resultat i matematikk på kunnskapsnivåer, 8.trinn Utstyr En kortstokk
Foreldrene betyr all verden! Mona Røsseland Lærebokforfatter, MULTI www.fiboline.no Utstyr En kortstokk Gjett tre kort Regler Et spill for 2 3 spillere eller for en stor gruppe En person trekker tre kort
1 Sannsynlighetsrgning
1 Sannsynlighetsrgning 1.1 Det er 13 grønne og 18 røde baller i en eske. Vi trekker ut to baller etter hverandre. a) Hva er sannsynligheten for å få to grønne baller? Svar: P(g 1, g 2 ) = p(g 1 ) p(g 2
Oppgavestreng Halvering/dobling i multiplikasjon
Oppgavestreng Halvering/dobling i multiplikasjon Mål Generelt: Resonnere omkring egenskaper ved tall regneoperasjoner. Bruke ulike representasjoner i utforskning begrunnelse av egenskaper strategier. Spesielt:
STK1100 våren Betinget sannsynlighet og uavhengighet. Svarer til avsnittene 2.4 og 2.5 i læreboka
STK1100 våren 2017 Betinget sannsynlighet og uavhengighet Svarer til avsnittene 2.4 og 2.5 i læreboka Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i Oslo 1 Eksempel 1 Vi vil først ved hjelp av et eksempel
Rike oppgaver. Kirkenes, May-08
Rike oppgaver Kirkenes, 15.04.08 5-May-08 Rike oppgaver? Hva er det? Hvorfor er det noe som elevene bør få arbeide med? Hvordan kan vi finne og lage rike oppgaver? 5-May-08 2 Problem Et problem er en spesiell
NUMICON-intensivopplæring I utarbeidet av Tone Dalvang og Gjermund Torkildsen, Statped sørøst
1 Dette er et intensivopplegg utviklet for elever som presterer lavt på tallforståelse. Intensivopplegget tar i bruk Numicon, som er et multisensorisk materiell. Tanken er at elevene oppdager matematiske
6 Sannsynlighetsregning
6 Sannsynlighetsregning Det anbefales å lese orienteringsstoffet om kombinatorikk som følger etter oppgave 34. 1 a) Sett opp alle mulige kombinasjoner for et kast med to terninger. b) Regn ut sannsynlighetene
Kengurukonkurransen 2019
2019 «Et sprang inn i matematikken» Benjamin (6. 8. trinn) Løsninger og registreringsskjema Dette heftet inneholder: Fasit og korte løsningsforslag Registreringsskjema Fasit med korte kommentarer Mange
S1 kapittel 7 Sannsynlighet Løsninger til oppgavene i boka
S1 kapittel 7 Sannsynlighet Løsninger til oppgavene i oka 7.1 a c d 4 1 P (sum antall øyne lir 5) = = 36 9 6 1 P (sum antall øyne lir minst 10) = = 36 6 6 1 P (sum antall øyne lir høyst 4) = = 36 6 11
Sannsynlighet og kombinatorikk i videregående skole
Sannsynlighet og kombinatorikk i videregående skole Helmer Aslaksen Institutt for lærerutdanning og skoleforskning/matematisk institutt Universitetet i Oslo helmer.aslaksen@gmail.com www.math.nus.edu.sg/aslaksen/
9.5 Uavhengige hendinger
9. Uavhengige hendinger Vi kaster en terning to ganger og innfører hendingene A: Det første kastet gir sekser B: Det andre kastet gir sekser Om vi får sekser på det første kastet, endrer ikke det sannsynligheten
Kommunikasjon og muntlig aktivitet
Kommunikasjon og muntlig aktivitet 1. 4. trinn Ann-Christin Arnås ann-christin.arnas@gyldendal.no Kunnskapsløftet: Det er en del av den matematiske kompetansen å kunne kommunisere i og med matematikk.
Faktor 3 Oppgavebok. Løsningsforslag. Løsningsforslag til kapittel 6: Statistikk, kombinatorikk og sannsynlighet. Kategori 1
Faktor 3 Oppgavebok til kapittel : Statistikk, kombinatorikk og sannsynlighet Kategori 1.101 a) Gjennomsnittsverdien blir: 3 + + 1 + 9 = 7,50 kr Gjennomsnittsverdien blir: 9 + + 11 + + 1 = 7, m 5.10 a)
Utforsking og undring med kenguruoppgaver
Utforsking og undring med kenguruoppgaver Småtrinnet Anne-Gunn Svorkmo Litt fakta om Kengurukonkurransen En internasjonal matematikkonkurranse for elever fra 6 til 19 år Første gang arrangert i 1994 Norge
Inspirasjon og motivasjon for matematikk
Mona Røsseland Matematikksenteret, NTNU Leder i Lamis Lærebokforfatter, MULTI Inspirasjon og motivasjon for matematikk God matematikkundervisning... hva er det? for hvem? 15-Oct-06 15-Oct-06 Matte er bare
Rike oppgaver. Tana, May-08
Rike oppgaver Tana, 16.04.08 5-May-08 Rike oppgaver? Hva er det? Hvorfor er det noe som elevene bør få arbeide med? Hvordan kan vi finne og lage rike oppgaver? 5-May-08 2 Problem Et problem er en spesiell
Tall, forståelse og eksamen Videregående skole (1P, 2P og 2PY)
Tall, forståelse og eksamen Videregående skole (1P, 2P og 2PY) Oslo, 16.-17.10.14 Astrid Bondø 19-Nov-15 Bygda Alvfjord Eksamen har i dag 5000 innbyggere. 2P 2014 Man regner med at innbyggertallet vil
Elevers beskrivelse og løsning av kombinatoriske problemer
Elevers beskrivelse og løsning av kombinatoriske problemer Oda Tingstad Burheim Charlottenlund skole Frode Rønning Institutt for matematiske fag NTNU Kunnskap for en bedre verden www.laudim.no Mål for
Sannsynlighetsregning
Sannsynlighetsregning Læreplan. Forsøk og simuleringer. Sannsynlighet 3.3 Sum av sannsynligheter 5.4 Multiplikasjonsprinsippet 9.5 Uavhengige hendinger 0. Avhengige hendinger 5 Symboler, formler og eksempler
Et nytt, felles matematikkurs for GLU 1-7. Nettverk for matematikk Gry Tuset, HSH
Et nytt, felles matematikkurs for GLU 1-7 Nettverk for matematikk Gry Tuset, HSH Matematikknivået er urovekkende lavt 30.10.2012: Statsråden mener lærerstudenter må møte en undervisning som er relevant
Kapittel 2: Sannsynlighet [ ]
![Kapittel 2: Sannsynlighet [ ]](/thumbs/91/105500625.jpg "Kapittel 2: Sannsynlighet [ ]")
Kapittel 2: Sannsynlighet [2.3-2.5] TMA4240 Statistikk (F2 og E7) 2.3, 2.4, 2.5: Kombinatorikk og sannsynlighet [18.august 2004] Ole.Petter.Lodoen@math.ntnu.no p.1/21 Produktregel for valgprosess TEO 2.1
- Et stokastisk forsøk er et forsøk underlagt tilfeldige variasjoner, for eks. kast med en terning, trekking av et lottotall o.l.
SANNSYNLIGHETSREGNING Terminologi Kombinatorikk Stokastisk Utfallsrom / utfall (enkeltutfall) - Et stokastisk forsøk er et forsøk underlagt tilfeldige variasjoner, for eks. kast med en terning, trekking
1 Section 4-1: Introduksjon til sannsynlighet. 2 Section 4-2: Enkel sannsynlighetsregning. 3 Section 5-1: Introduksjon til sannsynlighetsfordelinger
1 Section 4-1: Introduksjon til sannsynlighet 2 Section 4-2: Enkel sannsynlighetsregning 3 Section 5-1: Introduksjon til sannsynlighetsfordelinger 4 Section 5-2: Tilfeldige variable 5 Section 5-3: Binomisk
TERNINGER. - variasjon i matematikkundervisningen. Astrid Bondø NSMO. 18-Aug-13
TERNINGER - variasjon i matematikkundervisningen Astrid Bondø NSMO 18-Aug-13 Siffer blir tall Lamis skriftserie: Et ess i ermet Bruk en vanlig 6-er terning eller en 0-9 terning. Kast terningene. Du får
Forskjellige typer utvalg
Forskjellige typer utvalg Det skal deles ut tre pakker til en gruppe på seks. Pakkene inneholder en TV, en PC og en mobiltelefon. På hvor mange måter kan pakkene deles ut? Utdelingen skal være tilfeldig
Matematisk julekalender for trinn, 2012
Matematisk julekalender for 1.-4. trinn, 2012 Årets julekalender for 1. 4. trinn består av ni oppgaver. Alle oppgavene er laget i tre utgaver; lett, middels og vanskelig (merket med hhv. L, M og V). Alle
Tall: Hovedområdet tall og algebra handler om å utvikle tallforståing og innsikt i hvordan tall og tallbehandling inngår i
Lærebok: Tusen Millioner, Gjerdrum Skovdahl Tallbok (rutebok i A5 format) Barn lærer matematikk gjennom spill, leik, utforsking aktiv samhandling. Språkets betydning er veldig viktig for å forstå matematikk.
Begynneropplæringen i matematikk. 1.-3.trinn 07.03.2012. Dagsoversikt. Tallfølelse
07.03.2012 Begynneropplæringen i matematikk 1.-3.trinn Tillegskomponenter: Kartleggingsprøver: Halvårsprøve og årsprøve Grublishefte 1-4 og 5-7 Nettsted: www.gyldendal.no/multi Elevoppgaver Lærersider
Mattemoro! Går r det virkelig an å leke seg til ferdigheter i matematikk? Hva kjennertegner den. Oversikt. Spill til hjelp i automatiseringen av
Mattemoro! Mona Røsseland, R som har tenkt å gjøre et forsøk! Går r det virkelig an å leke seg til ferdigheter i matematikk? Hva kjennertegner den gode lærer? l Entusiasme og engasjement. Kjennskap til
Telle med 0,3 fra 0,3
Telle med 0,3 fra 0,3 Mål Generelt: Søke etter mønster og sammenhenger. Gi grunner for at mønstrene oppstår. Lage nye mønstre ved å utnytte mønstre en allerede har funnet. Utfordre elevene på å resonnere
Skriftlig innlevering
2011 Skriftlig innlevering Spørre undersøkelse VG2 sosiologi Vi valgte temaet kantinebruk og ville finne ut hvem som handlet oftest i kantinen av første-, andre- og tredje klasse. Dette var en problem
Hvordan tenker Jonas i matematikk? Dynamisk kartlegging
Hvordan tenker Jonas i matematikk? Dynamisk kartlegging Sinus matematikkseminar Oslo, 17. mars 2017 Svein Aastrup, Statped midt 1 Utgangspunkt for all kartlegging: At man, naar det i Sandhet skal lykkes
Planlegging, prosess & produkt
MAM Mestre Ambisiøs Matematikkundervisning Planlegging, prosess & produkt Novemberkonferansen 2016 Ambisiøs matematikkundervisning En undervisningspraksis hvor lærerne engasjerer seg i elevens tenkning,
Eksamen MAT1017 Matematikk 2T. Nynorsk/Bokmål
Eksamen 27.11.2013 MAT1017 Matematikk 2T Nynorsk/Bokmål Nynorsk Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemiddel på Del 1: Hjelpemiddel på Del 2: Framgangsmåte: Rettleiing om vurderinga: Andre opplysningar:
Niels Henrik Abels matematikkonkurranse 2009 2010
okmål Niels Henrik bels matematikkonkurranse 009 00 Første runde. november 009 Ikke bla om før læreren sier fra! belkonkurransens første runde består av 0 flervalgsoppgaver som skal løses i løpet av 00