ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2011

Transkript

1 ÅMA0 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 0 Kp. 3 Diskrete tilfeldige variable Noen viktige sannsynlighetsmodeller Noen viktige sannsynlighetsmodeller ( Sanns.modell : nå betyr det klasse/type sanns.fordeling. Binomisk modell (kp. 3.6 Hypergeometrisk modell (kp. 3.7 Geometrisk modell (notater Poisson-modell (kp. 3.8 (Seinere skal vi se på viktige kontinuerlige sannsynlighetsmodeller.

2 Binomisk modell Situasjon der binomisk modell vil kunne passe: X = antall ganger en bestemt begivenhet inntreffer i løpet av et fastlagt antall forsøk. (Dette skal presiseres seinere... 3 Binomisk modell Situasjon der binomisk modell vil kunne passe: X = antall ganger en bestemt begivenhet inntreffer i løpet av et fastlagt antall forsøk. Eks.: antall kron i 0 kast med et pengestykke antall seksere i 5 kast med en terning antall toppgevinster med en rekke i LOTTO hver uke i ett år 4

3 Binomisk modell X = antall ganger en bestemt begivenhet inntreffer i løpet av et fastlagt antall forsøk. = antall suksesser i n delforsøk Delforsøkene må tilfredstille: Def.: Når disse kravene er tilfredsstilt kaller vi de n delforsøkene for en binomisk forsøksrekke. 5 Binomisk modell Definisjon: Når X = antall suksesser i en binomisk forsøksrekke, sier vi at X er binomisk fordelt (n, p der p = P( suksess (kalles suksessannsynligheten. Skrivemåte: X ~ B(n, p 6

4 Binomisk modell Dersom: X ~ B(n, p X kan anta verdiene sannsynligheter og forventning og varians gitt ved formel: (obs: forutsetningene om binomisk forsøksrekke medfører resultatene over. 7 Binomisk modell Eks.: X = antall seksere i fem terningkast ~ B( 5, /6 E Forventet : E X X Var np X np( p Var X SD X 8

5 Binomisk modell Eks.: X = antall seksere i fem terningkast ~ B( 5, /6 Beregne sannsynligheter: P n x x nx X x p ( p P( fem seksere P( minst en sekser 9 Binomisk modell Eks.: X = antall seksere i fem terningkast ~ B( 5, /6 0

6 Binomisk modell Eks.: LOTTO. Y ~ B( 5, p ; p=/ P Y y,0 0,8 0,6 0,4 0, 0, Binomisk modell Binomisk modell er svært mye brukt. Typisk problemstilling kan være fra medisinsk FoU. Eks.: En behandlingsmetode/medisin testes på n=0 pasienter (som alle har en bestemt lidelse. Dersom vi vet at (f.eks. av erfaring 70% blir helbredet med slik behandling, hva er fordelingen til antall helbredede blant de 0 testindividene? (Tenk ev. ny vs. gammel metode.

7 Binomisk modell Eks.: n=0 pasienter; 70% blir helbredet med slik behandling; fordelingen til antall helbredede blant de 0 testindividene? La Y=ant. helbredede blant de 0. Resultatene for de n=0 pasientene utgjør (ev. tilnærmelsesvis en binomisk forsøksrekke.. Ulike pasienter blir helbredet uavhengig av hverandre (rimelig antakelse. Helbredet (suksess eller ikke (fiasko i alle delforsøk 3. P(helbredet=0.7 for en tilfeldig pasient 3 Binomisk modell Eks.: n=0 pasienter; 70% blir helbredet med slik behandling; fordelingen til antall helbredede blant de 0 testindividene? La Y=ant. helbredede blant de 0. Vi har da at Y ~ B( 0, 0.7 (binomisk fordelt med n=0 og p=0.7. 0,30 (Obs: Når behandlingen er gjennomført, får vi en observasjon av Y et av tallene fra 0 til 0. Seinere i kurset vil det være en viktig tenkemåte å tenke på et slikt data som et utfall av Y. 0,5 0,0 0,5 0,0 0,05 0, y = antall helbredede 4

8 Binomisk modell Eks.: Yatzy hva er sannsynligheten for å få to treere i et kast med fem terninger? - minst to treere? - fem treere?. Begrunnelse (bevis for formelen for sannsynlighetene. 5 Binomisk modell, fordeling Betrakter et eksempel: X=ant. mynt i 0 kast med pengestykke. P(X 0 P(K K K0 Formel: P(X 0 P n x x nx X x p ( p 6

9 7 Binomisk modell, fordeling p(- p 0 p ( p 0 P(X Formel: p(- p 0 (- p p 0 P(M P(K P(K P(K P(M P(K M K P(K K M P(K K K P(M P(X x n x p ( p x n x X P 8 Binomisk modell, fordeling som formel sier., (- p p 0 P(X sekvenser; derfor mulige 0 finnes Det (- p p K K M P(M sekvens : mulig en for Sanns. : P(X x n x p ( p x n x X P

10 Binomisk modell, fordeling Dette kan enkelt generaliseres til n delforsøk, og vi innser at : n P(X x p x x (- p n-x, x 0,,..., n 9 Binomisk modell Sannsynligheter kan beregnes. vha. formel, eller. vha. tabeller over binomiske sannsynligheter (som er lagt ut på nettstedet. Obs.: Gjør dere kjent med tabeller til fordelingene som blir gjennomgått! 0

11 Binomisk modell, tabeller Binomisk modell, tabeller

12 Binomisk modell, tabeller 3 Binomisk modell, tabeller 4

13 Binomisk modell, forventning og varians; utledninger Vi har slått fast at dersom X ~ B( n, p, så: E X Var np X np( p Dette skal vi begrunne (bevise! 5 Binomisk modell, forventning og varians; utledninger Vi kan skrive : X n, der j 0,, dersom fiasko i delforsøk nr. j dersom suksess i delforsøk nr. j, j,,...,n Hver j har fordelingen : i 0 P( j =i -p p Og alle j 'ene er uavhengige. Begge deler følger av forutsetningene om binomisk forsøksrekke. 6

14 Binomisk modell, forventning og varians; utledninger Da får vi: E( j i 0 P( j =i -p p og siden : X n, får vi : E( X E( n 7 Binomisk modell, forventning og varians; utledninger Videre, får vi: E( j i 0 P( j =i -p p som gir : Var( j 8

15 Binomisk modell, forventning og varians; utledninger Og da: siden : X n, og j 'ene er uavhengige får vi: Var( X Var( n Var( j p( p 9 Noen viktige sannsynlighetsmodeller Binomisk modell (kp. 3.6 Hypergeometrisk modell (kp. 3.7 Geometrisk modell (notater Poisson-modell (kp. 3.8 (Seinere skal vi se på viktige kontinuerlige sannsynlighetsmodeller. 30

16 Hypergeometrisk modell Hypergeometrisk modell / hypergeometrisk fordeling Eks.: Vi har fem kuler, tre svarte og to røde i en boks og skal trekke to tilfeldig. La X=ant. svarte blant de to uttrukne. Kan binomisk modell brukes for X? 3 Hypergeometrisk modell Eks.: Vi har fem kuler, tre svarte og to røde i en boks og skal trekke to tildeldig. La X=ant. svarte blant de to uttrukne. Kan binomisk modell brukes for X? Hver trekning: delforsøk, n= delforsøk, og suksess = svart kule trukket fiasko = rød kule trukket P(svart på første kule = 3/5 P(svart på andre kule =?? 3

17 Hypergeometrisk modell Eks.: P(svart på første kule = 3/5 P(svart på andre kule = 3/5, den også (! Obs. ubetinget sannsynlighet; betinget på hva som skjer i første trekning vil vi få andre resultat. Dette viser at resultatene i slike delforsøk ikke er uavhengige! Dvs.: binomisk modell kan ikke brukes. 33 Hypergeometrisk modell Vi kan enkelt finne fordelingen til X i eksempelet: P(X 3 34

18 Hypergeometrisk modell Tilsvarende for de andre mulige verdiene: P(X 0 P(X x 0 P(X=x Hypergeometrisk modell Generelt: Vi trekker n stykker fra en populasjon på N objekt; hvert objekt kan kategoriseres som defekt eller ikke-defekt ; det er M defekte blant de N. N-M (ikke-defekte M (defekte 36

19 Hypergeometrisk modell Def.: Når Y er hypergeometrisk fordelt, (N,M,n, er sannsynlighetsfordelingen gitt ved: N-M (ikke-defekte M (defekte n-y y N M n y M y 37 Hypergeometrisk modell Eks.: Meningsmåling. N=3.3 mill. stemmeberettigede M=antall for en bestemt sak. blant de N n=utvalgsstørrelse (omkring 00 N-M (ikke-defekte M (defekte Y=antall for i utvalget, er hypergeometrisk fordelt, (N,M,n. 38

20 Hypergeometrisk modell Forventning og varians Setning: Dersom Y er hypergeometrisk fordelt, (N,M,n, så: N-M (ikke-defekte M (defekte 39 Hypergeometrisk modell Eks.: Meningsmåling; N=3.3 mill.; Anta at M=.0 mill. (60.6% er for en bestemt sak. blant de N, og anta at n = utvalgsstørrelse = 00 Forventet antall som er for i utvalget = 40