ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Noen viktige sannsynlighetsmodeller. Binomisk modell. Kp. 3 Diskrete tilfeldige variable

Transkript

1 ÅMA Saslighetsregig med statistikk, våre K. 3 Diskrete tilfeldige variable Noe viktige saslighetsmodeller Noe viktige saslighetsmodeller ( Sas.modell : å betr det klasse/te sas.fordelig.) Biomisk modell (k. 3.6) Hergeometrisk modell (k. 3.7) Geometrisk modell (otater) Poisso-modell (k. 3.8) (Seiere skal vi se å viktige kotiuerlige saslighetsmodeller.) Biomisk modell Situasjo der biomisk modell vil kue asse: X atall gager e bestemt begivehet itreffer i løet av et fastlagt atall forsøk. (Dette skal resiseres seiere...) 3

2 Biomisk modell Situasjo der biomisk modell vil kue asse: X atall gager e bestemt begivehet itreffer i løet av et fastlagt atall forsøk. Eks.: atall kro i kast med et egestkke atall seksere i 5 kast med e terig atall togevister med e rekke i LOTTO hver uke i ett år 4 Biomisk modell X atall gager e bestemt begivehet itreffer i løet av et fastlagt atall forsøk. atall suksesser i delforsøk Delforsøkee må tilfredstille:. uavhegige resultat i ulike delforsøk. resultatet er ete suksess eller fiasko 3. P( suksess ) er kostat i alle delforsøkee Def.: Når disse kravee er tilfredsstilt kaller vi de delforsøkee for e biomisk forsøksrekke. 5 Biomisk modell Defiisjo: Når X atall suksesser i e biomisk forsøksrekke, sier vi at X er biomisk fordelt (, ) der P( suksess ) (kalles suksessaslighete). Skrivemåte: X ~ B(, ) 6

3 Biomisk modell Dersom: X ~ B(, ) X ka ata verdiee,,,..., sasligheter og forvetig og varias gitt ved formel: P ( X ) ( ), for,,, K, E ( X) ( X) ( ) Var (obs: forutsetigee om biomisk forsøksrekke medfører resultatee over.) 7 Biomisk modell Eks.: X atall seksere i fem terigkast ~ B( 5, /6 ) E( X) Var( X) ( ) 5 Forvetet : E( X) Var ( X) ( ) ( ) SD X 8 Biomisk modell Eks.: X atall seksere i fem terigkast ~ B( 5, /6 ) Berege sasligheter: P( X ) ( ) P( fem seksere ) P( mist P ( X 5) e sekser ) P ( X ) P( X )

4 Biomisk modell Eks.: X atall seksere i fem terigkast ~ B( 5, /6 ) Biomisk modell Eks.: LOTTO. Y ~ B( 5, ); / P 5 5 ( Y ) ( ),,,, K, 5,,8,6,4,, Biomisk modell Biomisk modell er svært me brukt. Tisk roblemstillig ka være fra medisisk FoU. Eks.: E behadligsmetode/medisi testes å asieter (som alle har e bestemt lidelse). Dersom vi vet at (f.eks. av erfarig) 7% blir helbredet med slik behadlig, hva er fordelige til atall helbredede blat de testidividee? (Tek ev. vs. gammel metode.) 4

5 Biomisk modell Eks.: asieter; 7% blir helbredet med slik behadlig; fordelige til atall helbredede blat de testidividee? La Yat. helbredede blat de. Resultatee for de asietee utgjør (ev. tilærmelsesvis) e biomisk forsøksrekke.. Ulike asieter blir helbredet uavhegig av hveradre (rimelig atakelse). Helbredet (suksess) eller ikke (fiasko) i alle delforsøk 3. P(helbredet).7 for e tilfeldig asiet 3 Biomisk modell Eks.: asieter; 7% blir helbredet med slik behadlig; fordelige til atall helbredede blat de testidividee? La Yat. helbredede blat de. Vi har da at Y ~ B(,.7 ) (biomisk fordelt med og.7).,3,5,,5,,5, atall helbredede 4 Biomisk modell Eks.: asieter; 7% blir helbredet med slik behadlig; fordelige til atall helbredede blat de testidividee? La Yat. helbredede blat de. Vi har da at Y ~ B(,.7 ) (biomisk fordelt med og.7).,3,5 (Obs: Når behadlige er, gjeomført, får vi e,5 observasjo av Y et av tallee fra, til. Seiere i kurset vil det være e,5 viktig tekemåte å teke å et, slikt data som et utfall av Y.) atall helbredede 5 5

6 Biomisk modell Eks.: Yatz hva er saslighete for å få to treere i et kast med fem teriger? - mist to treere? - fem treere? 6 Biomisk modell Begruelse (bevis) for formele for saslighetee. 7 Biomisk modell, fordelig Betrakter et eksemel: Xat. mt i kast med egestkke. P(X ) P(K K L K ) (- ) P(K )P(K ) LP(K ), fordi K 'ee er uavhegige i Formel: P(X ) ( ) (- ) P( X ) ( ) 8 6

7 7 9 Biomisk modell, fordelig (- ) ) ( ) P(X Formel: (- ) (- ) ) P(M ) )P(K P(K ) P(K ) P(M )P(K ) M K P(K ) K M P(K ) K K P(M ) P(X L L L L M L L ( ) ) ( X P Biomisk modell, fordelig som formelsier., (- ) ) P(X sekveser; derfor mulige fies Det (- ) ) K K M P(M sekves : mulig e for Sas. ) : P(X L ( ) ) ( X P Biomisk modell, fordelig,,...,, (- ) ) P(X : at iser vi og delforsøk, til ka ekelt geeraliseres Dette -

8 Biomisk modell Sasligheter ka bereges. vha. formel, eller. vha. tabeller over biomiske sasligheter (som er lagt ut å ettstedet). Obs.: Gjør dere kjet med tabeller til fordeligee som blir gjeomgått! Biomisk modell, tabeller 3 Biomisk modell, tabeller 4 8

9 Biomisk modell, tabeller 5 Biomisk modell, tabeller 6 Biomisk modell, forvetig og varias; utlediger Vi har slått fast at dersom X ~ B(, ), så: E ( X) ( X) ( ) Var Dette skal vi begrue (bevise)! 7 9

10 Biomisk modell, forvetig og varias; utlediger Vi ka skrive : X I + I + L+ I, der, I j, dersom fiasko i delforsøk r. dersom suksess i delforsøk r. j j, j,,..., Hver I j har fordelige : i P(I j i) - Og alle I j 'ee er uavhegige. Begge deler følger av forutsetigee om biomisk forsøksrekke. 8 Biomisk modell, forvetig og varias; utlediger Da får vi: E(I ) ( ) +, j i P(I ji) - og side : X I + I + L+ I, får vi : E( X ) E( I + I + L+ I ) E( I ) + E( I ) + L+ E( I ) + + L+ 9 Biomisk modell, forvetig og varias; utlediger Videre, får vi: E(I j ) ( ) +, i P(I j i) - som gir : Var(I ) E(I j j ) { E(I j )} ( ), 3

11 Biomisk modell, forvetig og varias; utlediger Og da: side : X I + I + L+ I, og I 'ee er uavhegige j får vi : Var( X ) Var( I + I + L+ I ) Var( I ) + Var( I ) + L+ Var( I ) ( ) + ( ) + L+ ( ) ( ) Var(I j ) ( ) 3 Noe viktige saslighetsmodeller Biomisk modell (k. 3.6) Hergeometrisk modell (k. 3.7) Geometrisk modell (otater) Poisso-modell (k. 3.8) (Seiere skal vi se å viktige kotiuerlige saslighetsmodeller.) 3 Hergeometrisk modell Hergeometrisk modell / hergeometrisk fordelig Eks.: Vi har fem kuler, tre svarte og to røde i e boks og skal trekke to tilfeldig. La Xat. svarte blat de to uttruke. Ka biomisk modell brukes for X? 33

12 Hergeometrisk modell Eks.: Vi har fem kuler, tre svarte og to røde i e boks og skal trekke to tildeldig. La Xat. svarte blat de to uttruke. Ka biomisk modell brukes for X? Hver trekig: delforsøk, delforsøk, og suksess svart kule trukket fiasko rød kule trukket P(svart å første kule) 3/5 P(svart å adre kule)?? 34 Hergeometrisk modell Eks.: P(svart å første kule) 3/5 P(svart å adre kule) 3/5, de også (!) Obs. ubetiget saslighet; betiget å hva som skjer i første trekig vil vi få adre resultat. Dette viser at resultatee i slike delforsøk ikke er uavhegige! Dvs.: biomisk modell ka ikke brukes. 35 Hergeometrisk modell Vi ka ekelt fie fordelige til X i eksemelet: P(X ) P( e svart, e rød ) /

13 Hergeometrisk modell Tilsvarede for de adre mulige verdiee: P(X ) P( ige svart, to røde ) / P(X ) P( to svarte, ige røde ) / P(X) Hergeometrisk modell Geerelt: Vi trekker stkker fra e oulasjo å N objekt; hvert objekt ka kategoriseres som defekt eller ikke-defekt ; det er M defekte blat de N N-M (ikke-defekte) M (defekte) Y atall defekte i utvalget 38 Hergeometrisk modell Geerelt: Vi trekker stkker fra e oulasjo å N objekt; hvert objekt ka kategoriseres som defekt eller ikke-defekt ; det er M defekte blat de N N-M (ikke-defekte) M (defekte) Y atall defekte i utvalget Vi sier da at Y er hergeometrisk fordelt, (N,M,) 39 3

14 Hergeometrisk modell Def.: Når Y er hergeometrisk fordelt, (N,M,), er saslighetsfordelige gitt ved: P(Y ) P( akkurat defekte i utvalget ) M N m, for,,,..., N N-M (ikke-defekte) - N M M (defekte) M ( P(Y ), dersom > M. ) 4 Hergeometrisk modell Eks.: Meigsmålig. N3.3 mill. stemmeberettigede Matall for e bestemt sak. blat de N utvalgsstørrelse (omkrig ) N-M (ikke-defekte) M (defekte) Yatall for i utvalget, er hergeometrisk fordelt, (N,M,). 4 Hergeometrisk modell Forvetig og varias Setig: Dersom Y er hergeometrisk fordelt, (N,M,), så: M E(Y) N N-M (ikke-defekte) M (defekte) M M N Var(Y) N N N 4 4

15 Hergeometrisk modell Eks.: Meigsmålig; N3.3 mill.; Ata at M. mill. (6.6%) er for e bestemt sak. blat de N, og ata at utvalgsstørrelse Forvetet atall som er for i utvalget M. E(Y) N 3.3 ( 6.6% av utvalget å ) 43 Hergeometrisk modell Tilærmig til biomisk fordelig - eklere å berege biomiske sasligheter Dersom er lite i forhold til N, er det tilærmet uavhegighet mellom resultatee i ulike trekiger/ delforsøk. 44 Hergeometrisk modell Tilærmig til biomisk fordelig - eklere å berege biomiske sasligheter Dersom er lite i forhold til N, er det tilærmet uavhegighet mellom resultatee i ulike trekiger/ delforsøk. Da ka vi se å resultatee av uttrekige som tilærmet e biomisk forsøksrekke, og Xatall defekte blat de i utvalget er tilærmet biomisk fordelt (, ), med M/N. 45 5

16 Hergeometrisk modell Tilærmig til biomisk fordelig Xatall defekte blat de i utvalget er tilærmet biomisk fordelt (, ), med M/N. Eks.: X~herg.(N5,M3,) P(X)..6.3 P(Y) Y~B(,.6 ) M N Hergeometrisk modell Tilærmig til biomisk fordelig Xatall defekte blat de i utvalget er tilærmet biomisk fordelt (, ), med M/N. Eks.: X~herg.(N5,M3,) P(X)..6.3 P(Y) Y~B(,.6 ) P(V) V~herg.(N5,M3,) 3 M N Hergeometrisk modell Altså: istedefor å berege sasligheter fra: herg.(n5,m3,), ka vi bruke tilærmigee fra: Y~B(,.6 ) P(Y) P(V)

17 Hergeometrisk modell Altså: istedefor å berege sasligheter fra: herg.(n5,m3,), ka vi bruke tilærmigee fra: Y~B(,.6 ) Tilærmigee er gode dersom <. N. P(Y) P(V) Noe viktige saslighetsmodeller Biomisk modell (k. 3.6) Hergeometrisk modell (k. 3.7) Geometrisk modell (otater) Poisso-modell (k. 3.8) (Seiere skal vi se å viktige kotiuerlige saslighetsmodeller.) 5 Geometrisk modell Situasjo: Utgagsuktet er e biomisk forsøksrekke; uedelig. Delforsøkee må tilfredstille:. uavhegige resultat i ulike delforsøk. resultatet er ete suksess eller fiasko 3. P( suksess ) er kostat i alle delforsøkee Hvor mage delforsøk til første suksess? 5 7

18 Geometrisk modell Eks.: Yatall kast med terig til sekser første gag Y ka ata:,, 3,... Terigkastee er delforsøkee (seksersuksess); tilfredsstiller krav til biomisk forsøksrekke. Da: Y atall delforsøk til første suksess 5 Geometrisk modell Def.: Dersom Y er atall delforsøk til første suksess i e biomisk forsøksrekke, så sier vi at Y er geometrisk fordelt med suksessaslighet, der P(suksess). Vi skriver: Y ~ geom.() (Ma sier ofte at dette er e vetetidsfordelig.) 53 Geometrisk modell Def.: Dersom Y er atall delforsøk til første suksess i e biomisk forsøksrekke, så sier vi at Y er geometrisk fordelt med suksessas-lighet, der P(suksess). Vi skriver: Y ~ geom.() Saslighetsfordelig: P(Y ) P(S ) P(Y ) P(F S ) P(Y 3) P(F F S ) uavhegige delforsøk 3 P(F )P(S ) (- ) uavhegige delforsøk P(F )P(F )P(S ) (- )

19 Geometrisk modell Def.: Dersom Y er atall delforsøk til første suksess i e biomisk forsøksrekke, så sier vi at Y er geometrisk fordelt med suksessas-lighet, der P(suksess). Vi skriver: Y ~ geom.() Saslighetsfordelig, geerelt: P(Y ) (- ) -,,, 3,... E(Y) og Var(Y) 55 Geometrisk modell Obs.: P(Y ) (- ) -,,, 3,... E(Y) P(Y ) (- ) - L 56 Geometrisk modell Eks.: Vi tier e rekke i LOTTO hver uke framover. La Xatall uker til vi får 7 riktige første gag. Da: X~geom.(), der / Forvetet atall uker til vi får 7 riktige første gag E(X) 57 9

20 Geometrisk modell Eks.: Vi tier e rekke i LOTTO hver uke framover. La Xatall uker til vi får 7 riktige første gag. Da: X~geom.(), der / Forvetet atall uker til vi får 7 riktige første gag E(X) / uker (!) 58 Geometrisk modell Eks.: La Yatall terigkast til vi får sekser første gag. Da: Y~geom.(), /6. Hva er saslighete for å få første sekser ie kast? 59 Geometrisk modell Eks.: Vi er iteressert i P(Y ). Ser geerelt å P(Y ): P(Y ) P(mist e sekser ie kast) - P(ige sekser i løet av kast) - (- ),,,3,... 6

21 Geometrisk modell Eks.: Vi er iteressert i P(Y Ser geerelt å P(Y ). ): P(Y ) P(mist e sekser ie kast) - P(ige sekser i løet av kast) - (- ),,,3,... P(Y ) - (- ) Geometrisk modell Eks.: Diagram over P(Y ) år Yat. kast til første sekser. (Vi kaller P(Y ) for de kumulative fordeligsfuksjoe til Y.) Sas. for første sekser ie... P(Y<),667,356 3,43 4,577 5,598 6,665 7,79 8,7674 9,86,8385,8654,8878 P(Y ) - (- ) 6,,8,6,4,, Atall kast til første sekser 6 Noe viktige saslighetsmodeller Biomisk modell (k. 3.6) Hergeometrisk modell (k. 3.7) Geometrisk modell (otater) Poisso-modell (k. 3.8) 63

22 Poissomodell (k. 3.8) Situasjoer der Poissofordelig ka være e god beskrivelse: Xatall forekomster av e bestemt begivehet i et tidsrom (f.eks. atall ulkker r. måed) eller Xatall forekomster av et bestemt objekt i et bestemt volum eller areal (f.eks. atall bakterier i e varøve) 64 Poissomodell Eks.: La Y atall telefosamtaler i til setralbordet i løet av ett miutt. Y ka ata:,,, Poissomodell Eks.: La Y atall telefosamtaler i til setralbordet i løet av ett miutt. Y ka ata:,,,... Med hvilke sasligheter??... P(Y)?? 66

23 Poissomodell Eks.: La Y atall telefosamtaler i til setralbordet i løet av ett miutt. Y ka ata:,,,... I slike situasjoer er det ofte rimelig å ata. at atall forekomster i disjukte itervall er statistisk uavhegig av hveradre,. at forvetet atall forekomster r. ehet er kostat, og 3. at saslighete for to eller flere forekomster i samme itervall, går mot ull år itervallegde går mot ull 67 Poissomodell Dersom forutsetigee er tilfredsstilt, så ka vi utlede matematisk at saslighetee for Y er gitt ved: For,,, 3,... P(Y ) ( λt)! e λt Her er λt forvetet atall i (t i eksemelet) t miutt 68 Poissomodell Eks.: Dersom vi ka forvete 8 ikommede samtaler r. miutt, har vi: For,,, 3,...,3,7,7 3,86 4,573 5,96 6, 7,396 8,396 9,4,993,7,48 3,96 4,69 5,9 6,45 7, 8,9 9,4,,, P(Y ) () 8 8 e!,5,,5 Poissofordelig, m/forv. 8,

24 Poissomodell Obs.: De beskreve atakelsee + diff.ligiger ++ gir saslighetee. (tids)itervall vs. areal vs. volum gir realistiske saslighetsmodeller i situasjoer der atakelsee helt eller tilærmelsesvis er tilfredsstilt 7 Poissomodell Eks.: Ata at Yatall samtaler til e setral, er Poissofordelt med forvetig.5 samtaler r. miutt. P( ige samtaler i ett miutt )? P( to eller flere i ett miutt )? P( akkurat tre i løet av to miutt )? 7 Poissomodell Eks.: Ata at Yatall samtaler til e setral, er Poissofordelt med forvetig.5 samtaler r. miutt. P(ige i ett miutt) P(Y ).5 e!.5 e.5. ( λt) λt P(Y ) e! 7 4

25 Poissomodell Eks.: Ata at Yatall samtaler til e setral, er Poissofordelt med forvetig.5 samtaler r. miutt. P(ige i ett miutt) P(Y ).5 e!.5 e.5. P(to eller flere i ett miutt) P(Y ) - P(Y ) - { P(Y ) + P(Y ) }.5.5 ( λt) λt -{. + e }.45 P(Y ) e!! 73 Poissomodell Eks.: Ata at Yatall samtaler til e setral, er Poissofordelt med forvetig.5 samtaler r. miutt. Poissofordelig med forvetig.5: Poissofordelig, m/forv..5,4,35,3,5,,5,,5, Poissomodell Eks.: Ata at Yatall samtaler til e setral, er Poissofordelt med forvetig.5 samtaler r. miutt. Dersom Xatall samtaler i to miutt, så vil vi ha at: X er Poissofordelt med forvetig.5 3 P(akkurat tre i to miutt) P(X 3) 3 3 e 3! 3.4 λ.5 og t : λt.5 3 ( λt) λt P(Y ) e! 75 5

26 Poissomodell Resultat: Dersom Y er Poissofordelt med arameter λt, har vi at: E(Y) λt og For,,, 3,... P(Y ) ( λt) λt e! Var(Y) λt Skrivemåte : Y ~ Poiss. ( λt ) 76 Poissomodell Obs.: Når E(Y) Y ~ Poiss. ( λt ), P(Y ) ( λt )! så e -λt L λt For,,, 3,... P(Y ) ( λt) λt e! 77 Poissomodell Berege sasligheter ) med formel ) bruk av tabell (tilgjegelig å ettstedet) 78 6

27 Poissomodell, tabell 79 Poissomodell, tabell 8 Poissomodell Eksemler:. Atall utrkiger er uke ved brastasjo. Atall stormer er år 8 7