3MX 2007/8 - Kapittel 5: 8. januar 5. februar 2008

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "3MX 2007/8 - Kapittel 5: 8. januar 5. februar 2008"

Transkript

1 3MX 00/8 - Kapittel : 8. jauar. februar 008 Pla for skoleåret 00/008: Kapittel 6: 6/ /. Kapittel : / /3. Prøver på eller skoletime etter hvert kapittel. É heildagsprøve i hver termi. Repetisjo, prøver, mutlig, økter, diverse arbeid: /3 jui. Vi kommer å til et ytt sasylighets- og statistikkapittel. Det repeteres i læreboka, me oe av dere har kaskje behov for litt ekstra treig, Her følger samleoppgavee fra MX, og de er bra repetisjo:.a: Etter offetlig statistikk er sasylighete 9,8 % for at e 44 år gammel kvie skal bli mist 4 år, 94, % for at e 4 år gammel kvie skal bli mist 64 år og 94 9 % for at e 64 år gammel kvie skal bli mist 69 år. a) Hva er sasylighete for at e 44 år gammel kvie skal bli mist 69 år? Ti gamle klasseveier som alle er 44 år, møtes på Heartbreak hotel for å feire at det er år side de gikk ut av videregåede skole. De blir eig om å møtes igje samme sted om år. Hva er sasylighete for at b) alle ti er i live om år c) i er i live om år d) åtte er i live om år e)mist åtte er i live om år.b: Ved a teste for et bestemt hormo i e uriprove ka e avgjøre om e kvie er gravid. E graviditetstest er ikke 00 % sikker. I e udersøkelse fat e: Hvis e kvie er gravid, er det 99, % sasylig at teste vil vise det. Hvis e kvie ikke er gravid, er det 0. % sasylig at teste likevel vil idikere at kvie er gravid. Vi atar at 0 % av de kviee som tar e graviditetstest, er gravide. E kvie tar e graviditetstest. a) Hva er sasylighete for at teste idikerer at kvie er gravid? b) Teste idikerer at kvie er gravid. Hva er sasylighete for at hu virkelig er det?.c: "Idiote" er e kabal. De starter med at du legger fire kort fra e kortstokk opp på bordet. a) Hvor mage måter ka du gjøre dette på år vi tar hesy til rekkefølge? b) På hvor mage måter ka du få: ) fire spar ) ett kort i hver farge (Husk at det er fire «farger»: kløver, ruter, hjerter og spar.) c) Fi sasylighete for de to hedelsee i oppgave b. Må du gjøre oe forutsetiger for å berege dem?.d: Fem veer går samme på kio. a) Hva er sasylighete for at ige av dem har fødselsdag i samme måed? (Du ka rege som om alle fødselsmåeder er like sasylige.) b) Hva er sasylighete for at mist to av dem har fødselsdag i samme måed? c) Du er e av de fem veee. Hva er sasylighete for at mist e av de adre er født i samme måed som deg?.e: Ved e skole er det grupper som skal ha udervisig e bestemt skoletime. Skole har 0 udervisigsrom. a) På hvor mage måter ka ispektøre velge de rommee der det skal være udervisig? b) Ispektore har valgt rommee der det skal være udervisig. Pa hvor mage måter ka hu fordele gruppee pa disse rommee?.f: Du tipper e lottorekke (jf. eksempel 4 i avsitt.). Hva er sasylighete for at du tipper riktig a) seks viertall b) fem viertall c) fire viertall (Fasit: A: a: 8,9% b:,% c: 3,9% d: 3,% e: 88,9% B: a: 0,3% b: 98,0% C: a: b: : 60 : c: : 0,6% : 0,% Kortee må være godt stokket. D: a: 38,% b: 6,8% c: 9,4% E: a: 40 b: 3,6 0 4 F: a: 3, 0 - b:,4 0-3 c: 0,09) Produktsetiga: Ei omformig av setiga for betiget sasylighet fører til: A B) B år A og B er avhegige hedelser, og A B) B) år A og B er uavhegige hedelser; de siste gjelder også for 3 eller eda flere hedelser. Total sasylighet: B) A B) + A B) B + B Bayes setig: A B) B B) Kombiatorikk: Kombiatorikke gir oss løsiger på hvor mage muligheter som fis, ofte gir det oss svar på mulige utfall, dvs. evere vi treger for å fie sasylighete! Atall rekker på e tippekupog er E lottokupog har 3966 ulike rekker med viertall. Hvorfor? Hvor mage ulike kortheder med 3 kort ka du få utdelt? Hvor mage ulike orske bilummer ka vi lage? Osv. Ordet utvalg med tilbakeleggig: Fra e megde med elemeter ka vi lage år utvelgiga skjer med tilbakeleggig. r... ordede utvalg på r elemeter

2 Ordet utvalg ute tilbakeleggig: Fra e megde med elemeter ka vi lage ) )... r + ) ordede utvalg på r elemeter år utvelgiga skjer ute tilbakeleggig. Ordig av elemeter: elemeter ka ordes i rekkefølge på ( ) )... 3! ulike måter, som leses fakultet. Kalkulator:! blir: <OPTN> <F6> <PROB> <x!> <EXE> ) )... r + ) skrives som P r av kalkulatore, slik at: P : 0 <OPTN> <F6> <PROB> <Pr> <EXE> 0 Uordet utvalg ute tilbakeleggig: Fra e megde med elemeter ka vi lage ) )... r + )! r r! r!( r)! uordede utvalg på r elemeter år utvelgiga skjer ute tilbakeleggig. Kalkulator: 34 skrives som C r av kalkulatore, slik at: 34C : 34 <OPTN> <F6> <PROB> <Cr> <EXE> Hypergeometriske sasyligheter: E megde med elemeter ka deles i i delmegder D og D. Det er m elemeter i D og -m i D. Vi trekker tilfeldig r elemeter fra megde ute tilbakeleggig. Da er k elemeter fra D) m m k r k r Dee sasylighetsfordeliga kaller vi e hypergeometrisk sasylighetsfordelig. Biomiske sasyligheter: Vi gjør uavhegige forsøk. I hvert forsøk er sasylighete p for at e hedelse S skal itreffe og -p for at de ikke skal itreffe. Da er S itreffer k gager) p k k p k ( ). Dee sasylighetsfordeliga kaller vi e biomisk sasylighetsfordelig. Tommy & Tiger (Calvi & Hobbes): T&T bid 3 side 6

3 Kladd Ihold Dato.,.,.3,.4,.,.6 0, 06.,.8,.9,.0 4, 6 Stokastiske variabler: Stokastisk vil si det samme som tilfeldig. Kaster vi to teriger og vil fie summe, er summe Z e stokastisk, dvs. tilfeldig, variabel som ka ata verdiee, 3, 4,, 6,, 8, 9, 0, eller. Teller vi opp hvorda vi ka få de ulike svara, vil vi kue lage ei sasylighetsfordelig der vi ser at er verdie som er lettest å få, med sasylighet lik /6. Kast med teriger er tilfeldige forsøk. De mulige resultatee kaller vi som valig utfall. Husk også på at summe av alle sasylighetee i ei sasylighetsfordelig skal være eller 00%. Biomisk fordelig: Ei biomisk fordelig er ei fordelig med bare to mulige utfall (bi-!). Vi gjør uavhegige forsøk. I hvert forsøk er sasylighete lik p for at e hedelse skal itreffe og - p for at de ikke skal itreffe. Vi lar X være atall gager hedelse itreffer, og for sasylighetsfordeliga med de formele: Sasylighete for at oe skjer k gager: P ( X ) k k k k) p ( p, der k 0,,,, Bruk lommeregere: Vi ka aturligvis skrive i de biomiske formele med isatte verdier direkte. Husk på <OPTN> og <CALC> for å fie hvis du treger å legge samme flere sasyligheter og <OPTN> og <PROB> for å fie Cr! Lommeregere har også biomialformele iebygd: STAT: <DIST> distributio, fordelig <BINM> biomial <Bpd> gjelder e ekeltsasylighet: Velg <VAR> x de variabelverdie du vil ha svar på, dvs. X. Numtrial atall forsøk, dvs.. p sasylighete, dvs. p. <Bcd> vil si summe av sasylighetee fra starte (0) og til og med de x-verdie du agir år du leser i x, Numtrial og p. Forvetigsverdi: Forvetigsverdie er ei form for gjeomsittsverdi. Hvor mage gutter reger du med at det er i e 4-barsfamilie? Vi forveter. Hvis X er e stokastisk variabel med m mulige verdier x x,...,, x m, vil forvetigsverdie til X være defiert som: µ E( X ) x m X x) + x X x ) xm X xm ) xm X xi ) i Forvetigsverdie kalles også de store talls lov, eller love om gjeomsittet: kaster du e terig mage gager, vil atallet gager terige får de forskjellige verdiee, bli gaske likt etter hvert. Likevel går det ikke a å rege med gevist i Lotto dersom ma velger blat tall som sjelde har vært trukket ut. Hvorfor ikke? På lommeregere må dere igje merke dere bruk av og Cr! 8/ 9/.,.,.3,.4,. 9, 0 Regeregler for forvetig: Det fis ekle regler år vi skal rege med forvetiger: E( a + bx ) a + b E( X ), der a og b er kostater og X e stokastisk variabel. E ( X + Y ) E( X ) + E( Y ), år X og Y er stokastiske variable. I e biomisk fordelig, der X er biomisk fordelt: E ( X ) p 0/ Iførig 46ae, 4, 49, 46 0/.6,.,.8,.9,.0,. 6, 8 Varias og stadardavvik: Spredig forhold til forvetigsverdie sier mye om ei fordelig, me det viser seg at vi får et lagt viktigere mål for spredig dersom vi kvadrerer avviket, kvadratavviket. Det gjeomsittlige kvadratavviket kalles varias: X er e stokastisk variabel med m mulige verdier x, x,..., x m og forvetigsverdie µ; da er variase defiert som: m µ ) X x ) + ( x µ ) X x ) ( xm µ ) X xm ) ( xi ) X xi ) i Var( X ) ( x µ Kvadratrota til variase kaller vi stadardavviket, og i motsetig til variase vil stadardavviket ha riktig beevig i forhold til det vi jobber med! Stadardavviket til e stokastisk variabel X er gitt ved: σ SD ( X ) Var( X ) / 3

4 Kladd Ihold Dato Prøve, kapittel 4 6/.,.3,.4,.,.6 3, 38 Regeregler for varias: Igje er regereglee relativt ekle: Var ( a + bx ) b Var( X ), der a og b er kostater og X e stokastisk variabel. Var ( X + Y ) Var( X ) + Var( Y ), år X og Y er stokastiske variable. I e biomisk fordelig, der X er biomisk fordelt: Var( X ) p( p) /.,.8,.9,.30 40, 44.3,.3,.33,.34 48, 3 Kotiuerlige stokastiske variabler: Hittil har vi bare sett på edelige stokastiske variabler. Terigkast ka bare bli 4 eller, ikke oe imellom. Nå skal vi udersøke kotiuerlige variabler. Tidligere har vi lært om histogram, høyde av ei søyle var atall observasjoer over et itervall. Nå skal histogrammee teges slik at arealet av ei søyle er lik de relative frekvese, slik at arealet av alle søylee blir lik eller 00%. Og vi skal fie arealer over tetthetsfuksjoer, dvs. fuksjoer som beskriver sasylighetsfordeliga. Når X er e kotiuerlig stokastisk variabel med tetthetsfuksjo f(x) og a og b er kostater, har vi: P ( a X b) f ( x) dx b a Normalfordeliga: Normalfordeliga er de viktigste av alle sasylighetsfordeliger. (De kalles også Gauss-fordeliga, etter matematikere Carl Friedrich Gauss.) Gauss fat ormalfordeliga som e fordelig av målefeil fra bl.a. ladmålig. Me mage meeskelige egeskaper, for eksempel høyde, prestasjoer på idrettsbae eller på skole følger ei ormalfordelig. Dee fordeliga er altså gaske ormal. I ei ormalfordleig skal ca. /3, egtl. 68,3% være iafor et stadardavvik hver veg i forhold til forvetigsverdie. Over 9% er iafor stadardavvik hver veg. Tetthetsfuksjoe til ormalfordeliga av X ka skrives slik: f ( x µ ) σ ( ) x e σ π Det er ekelt å føre alle ormalfordeliger over på e stadard form, stadardormalfordeliga. Når X er µ ormalfordelt med forvetig µ og stadardavviket er σ, er Z X stadardormalfordelt. På side 4 og og i formelsamliga fis stadardormafordeliga som ka brukes på alle ormalfordeliger! Lommeregere: Akkurat som med biomialformele har kalkulatore ormalfordeliga iebygd! STAT: <DIST> distributio, fordelig <NORM> ormal <Npd> gjelder e ekeltsasylighet: Velg x de variabelverdie du vil ha svar på, dvs. X. σ stadardavvik. µ forvetigsverdie. <Ncd> vil si summe av sasylighetee fra <Lower> og til og med <Upper>. σ stadardavvik. µ forvetigsverdie. σ 3/ 4/ Kalkulator og sasylighetsregig: PLUS-modellee av Casio 980 og 990 har ege sasylighetsfordeliger : <STAT> <DIST>: Her fis <NORM> og <BINM> og oe flere. Bruke er beskrevet på kapittelarket. Eksempel : Normalfordelig av rekrutters høydefordelig der gjeomsittshøyde er 80 cm og stadardavviket er. Dee sasylighetsfordeliga følger da fuksjoe: f ( x 80) ( x) e 4 π Det ka være yttig å tege grafe: Gjør det slik at de blir Y på kalkulatore. a) Hvor stor del av rekruttee er mellom og 8 cm? Ete: (Y,,8 ) på kalkulatore 0,, dvs. %. For å få fram Y: <VARS> <GRPH> <Y>. Skriv til tallet for å få Y. Eller: Vi bryr oss ikke om f(x) me bruker heller stadardormalfordeliga som ligger i kalkulatore. De fugerer for atall

5 stadardavvik, og vi veit vi fra til 8 skal ed c, dvs. stadardavvik og opp det samme i forhold til gjeomsittet, forvetigsverdie på 80 cm. : ) - : ) på kalkulatore 0,, dvs. %. For å få fram P-fuksjoe: <RUN> <OPTN> <PROB> <>. b) Vi vil se arealet illustrert: Vi teger opp ormalfordeliga og skraverer fra 80 cm til 8 cm: Graph Y Q ( : ) <EXE> som gir 0,6: Dvs. at vårt areal er det dobbelte, 0, %. <RUN> <Sketch> (dvs. <SHIFT> <F4>) <GRPH> <Y> <OPTN> <PROB> <Q(> Fuksjoe P ( : ) ville gitt hele arealet fra vestre og til stadardavviket c) Hvorda fier vi høyde som 9% av rekruttee er lavere e? +. Legg i de to grafee X) og 0,9 på valig måte. Bruk vidu x [ 3,3] og [ 0,] y. y vil si 00% og tallee lags x- akse er atall stadardavvik. Fi skjærig: x,644806, dvs.,64 stdardavvik til høyre for 80 cm. Høyde blir altså 80 cm +,64 cm 9, cm, som er høyde 9% ikke overstiger. Eksempel : Det reiser persoer. 6 smugler og plukkes ut for kotroll. Variable X er hvor mage av dem som smugler som blir kotrollert. Vi vil lage tabeller over fordeliga og forvetig og stadardavvik. X x) 6 x 9 x Lista vår dreier seg bare om 0,,, 3, 4 eller persoer, de som kotrolleres, me poeget er å la kalkulatore gjøre mage regeoperasjoer for oss! a) Legg tallee i List. <STAT>: Fyll ut List mauelt, husk <EXE> b) Legg sasylighetsfordeliga i List : Flytt markøre til listehodet List og tast i: Seq (6 C X 9 C ( X) : C, X, 0,, ) <OPTN> <LIST> <SEQ> (Seq står for sekves, ei rekke der X går fra og med 0 til og med og med sprag på i dette tilfellet.) <EXE> c) Lage e kumulativ liste, altså med summeriger udervegs: Flytt markøre til listehodet List 3 og tast i: Cuml List <EXE> <OPTN> <LIST> <CUML> <OPTN> <LIST> <LIST> og skriv i ummeret på lista:. De kumulerte sasylighete for alle skal bli, dvs. 00% og sasylighete for at ikke flere e smuglere blir tatt blir 0,66, dvs. 66%. d) Fie forvetigsverdie utfra tabell: Flytt markøre til listehodet List 4 og tast i: List x List <EXE>. Disse tallee skal summeres, og det ka gjøres i e kumulativ liste, se c), eller slik: <MENU> <RUN> og skriv i: Sum List 4 <EXE>, som blir, dvs. forvetigsverdie. <OPTN> <LIST> <Sum> <OPTN> <LIST> <List> og skriv tallet. e) Fie variase utfra tabell som summeres til slutt: Flytt markøre til listehodet List og tast i: (List.) x List <EXE> Velg deretter: <MENU> <RUN> Sum List <EXE> og svaret blir 0,6. f) Fies stadardavviket: Reg ut kvadratrota av 0,6, som blir 0,8. g) Søylediagram: <SET UP>: Stat Wid Maual <EXIT> <GRPH>: StatGraph: Graph Type Hist, Xlist List, Frequecy List

6 Viduet V-Vidow må stilles i: x [ 0,6] og y [ 0,] Kladd Ihold Dato.3,.36,.3,.38 9, 6 Setralgresesetige: Normalfordeliga er god i seg sjøl, me de gir også ei god tilærmig til adre fordeliger. Når er tilstrekkelig stor og X er biomisk fordelt, er x tilærma ormalfordelt. Setralgresesetige sier at summe av mage stokastisk variabler er tilærma ormalfordelt med forvetigsverdi µ og stadardavvik σ år er tilstrekkelig stor.(abraham de Moivre, 66-4.) Tilærmig til biomisk fordelig: Hvis X er biomisk fordelt og tilstrekkelig stor, er X tilærma ormalfordelt med forvetigsverdi E ( X ) p og stadardavvik ) ( ). SD( X p p 9/.39,.40,.4,.4,.43 63, 68 Biomisk fordelig ved utvalgsudersøkelser: Avslutige av kapitlet dreier seg om statistiske metoder. Normalt sett veit vi ikke hvilke verdi p har, i stedet må vi aslå, estimere verdie av p år vi har observert X av e populasjo med atall N. Populasjosadel: p er adele i e stor populasjo som har et kjeeteg. X er atallet i et tilfeldig utvalg (e stikkprøve) på idivider med dette kjeeteget: Estimator: p X Stadardfeil: Tilærma 9% kofidesitervall: S p p( p) p.96 S, p+. 96 S p p 30/ Litt mer kalkulatorstoff: Dersom du skal rege ut stadardavvik med mer. utfra ei liste med data, ka det gjøres med <STAT>valget på kalkulatore i List. Deretter velger du <CALC> og <VAR>, du har bare é variabel. Lista du får opp, er iteressat: x - gjeomsittet, dvs. E (X ) x - dvs. summe av alle verdiee. x - dvs. summe av kvadratet av alle verdiee. xσ - dvs. stadardavviket SD (X ) xσ - dvs. empirisk stadardavvik (side 09 i læreboka) - atall data, dvs.. De yeste kalkulatoree: De har to viktige fordeliger uder STAT DIST: Normalfordeliga: NORM Npd ekeltresultat: Legg i forvetigsverdi og stadardavvik som µ og σ. På x-plass ka vi lese av sasylighete for akkurat dee x-verdie. Med Execute ka vi tege grafe. Ncd resultat over et itervall: Legg i edre og øvre grese, og sasylighete over området reges ut.. IvN fier x-verdie år du har oppgitt resultatet som sasylighet. Når arealet er 0, vil aturligvis x-verdie være lik forvetigsverdie, for da har vi arealet fra vestre og halvveis, det vil si til µ. Biomialfordeliga: BINM Bpd ekeltresultat: Legg i x-verdiee i List (for eksempel). La oss si at vi kaster ei terig 0 gager: Da ka vi få ett resultat (for eksempel 6) 0,,, 3, 0 gager. Disse resultatee legger vi i ei liste. Atall forsøk, 0 kast, legger vi i Numtrial og sasylighete, /6, i p og utfører: Og dermed får vi fordeliga edover, fra 0 seksere og til 0 seksere. Velger vi Variable i stedet fro List, ka vi spørre etter ett ekeltresultat og ikke hele lista. x gis avr på sasylighete for å få seksere på 0 kast. Bcd kumulerte resultater gir oss tilsvarede tabell, me summert opp. Tilsvarede summert opp til et ekeltresultat, for eksempel x. 6

7 Kladd Ihold Dato.44,.4,.46 0, 3 Målefeil og populasjosgjeomsitt: Lommekalkulator: Bruk <STAT> og legg i resultater i List. Velg <CALC> og <VAR> for å fie gjeomsitt, stadardavvik, atall observasjoer og e del adre beregiger! Populasjosgjeomsitt: Til hvert idivid i e stor populasjo er det kytta e tallstørrelse. Gjeomsittet av tallstørrelse i hele populasjoe er lik µ. X, X,,X er tallstørrelse for idivider i et tilfeldig utvalg. Estimator: µ X X i i Empirisk stadardavvik: Stadardfeil: S X S S Tilærma 9% kofidesitervall: i ( X i X ) X.96 S, X X S X / Bruk spørsmåla "Rett eller galt?" på side 9 i oppgavesamliga til å teste deg sjøl på slutte av kapitlet, og som repetisjo. Husk dessute på at oppgavee 0,,, 3, 4, 4, 6, 66 og er løst bak i oppgavesamliga. Iførig:, 6, 86 / Prøve / Tommy og Tiger (Calvi ad Hobbes): Oppdatert madag,. jauar 008. Has Isdahl Bid 3, side 8

Mer om utvalgsundersøkelser

Mer om utvalgsundersøkelser Mer om utvalgsudersøkelser I uderkapittel 3.6 i læreboka gir vi e kort iførig i takegage ved utvalgsudersøkelser. Vi gir her e grudigere framstillig av temaet. Populasjo og utvalg Ved e utvalgsudersøkelse

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FAG TMA4245 STATISTIKK 6.august 2004

LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FAG TMA4245 STATISTIKK 6.august 2004 Norges tekisk aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Side av 0 LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FAG TMA4245 STATISTIKK 6.august 2004 Oppgave Midtveiseksame a) X er e stokastisk variabel

Detaljer

8 (inkludert forsiden og formelsamling) Tegne- og skrivesaker, kalkulator, formelsamling (se vedlagt).

8 (inkludert forsiden og formelsamling) Tegne- og skrivesaker, kalkulator, formelsamling (se vedlagt). Eksamesoppgave våre 011 Ordiær eksame Bokmål Fag: Matematikk Eksamesdato: 10.06.011 Studium/klasse: GLU 5-10 Emekode: MGK00 Eksamesform: Skriftlig Atall sider: 8 (ikludert forside og formelsamlig) Eksamestid:

Detaljer

Econ 2130 uke 15 (HG) Poissonfordelingen og innføring i estimering

Econ 2130 uke 15 (HG) Poissonfordelingen og innføring i estimering Eco 130 uke 15 (HG) Poissofordelige og iførig i estimerig 1 Poissofordelige (i) Tilærmig til biomialfordelige. Regel. ( Poissotilærmelse ) Ata Y ~ bi(, p) E( Y ) = p og var( Y ) = p(1 p). Hvis er stor

Detaljer

Ukeoppgaver i BtG207 Statistikk, uke 4 : Binomisk fordeling. 1

Ukeoppgaver i BtG207 Statistikk, uke 4 : Binomisk fordeling. 1 Ukeoppgaver i BtG20 Statistikk, uke 4 : Biomisk fordelig. 1 Høgskole i Gjøvik Avdelig for tekologi, økoomi og ledelse. Statistikk Ukeoppgaver uke 4 Biomisk fordelig. Oppgave 1 La de stokastiske variable

Detaljer

Eksamen REA3028 S2, Våren 2011

Eksamen REA3028 S2, Våren 2011 Eksame REA08 S, Våre 0 Del Tid: timer Hjelpemidler: Valige skrivesaker, passer, lijal med cetimetermål og vikelmåler er tillatt. Oppgave (8 poeg) a) Deriver fuksjoee ) f 5 f 6 5 ) g g ) h l 9 9 6 4 h l

Detaljer

Påliteligheten til en stikkprøve

Påliteligheten til en stikkprøve Pålitelighete til e stikkprøve Om origiale... 1 Beskrivelse... 2 Oppgaver... 4 Løsigsforslag... 4 Didaktisk bakgru... 5 Om origiale "Zuverlässigkeit eier Stichprobe" på http://www.mathe-olie.at/galerie/wstat2/stichprobe/dee

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010 Kp. 6, del 5

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010 Kp. 6, del 5 ÅMA110 Sasylighetsregig med statistikk, våre 2010 Kp. 6, del 5 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap Uiversitetet i Stavager 12. april Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 4 1/ 59

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010. Noen viktige sannsynlighetsmodeller. Binomisk modell. Kp. 3 Diskrete tilfeldige variable

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010. Noen viktige sannsynlighetsmodeller. Binomisk modell. Kp. 3 Diskrete tilfeldige variable ÅMA Saslighetsregig med statistikk, våre K. 3 Diskrete tilfeldige variable Noe viktige saslighetsmodeller Noe viktige saslighetsmodeller ( Sas.modell : å betr det klasse/te sas.fordelig.) Biomisk modell

Detaljer

Høgskolen i Telemark Avdeling for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 12. desember 2008

Høgskolen i Telemark Avdeling for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 12. desember 2008 Høgskole i Telemark Avdelig for estetiske fag, folkekultur og lærerutdaig BOKMÅL. desember 8 EKSAMEN I MATEMATIKK, Utsatt røve Modul 5 studieoeg Tid: 5 timer Ogavesettet er å sider (ikludert formelsamlig).

Detaljer

TMA4245 Statistikk Eksamen 9. desember 2013

TMA4245 Statistikk Eksamen 9. desember 2013 Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag TMA4245 Statistikk Eksame 9. desember 2013 Oppgave 1 I kortspillet Blackjack får ma de høyeste geviste hvis de to første kortee ma

Detaljer

STK1100: Kombinatorikk

STK1100: Kombinatorikk 1100: ombiatorikk auar 2009 Ørulf orga Matematisk istitutt Uiversitetet i Oslo 1 Uiform sasylighetsmodell: t stokastisk forsøk har N utfall Det er de mulige utfallee for forsøket i atar at de N utfallee

Detaljer

LØSNING, EKSAMEN I STATISTIKK, TMA4240, DESEMBER Anta at sann porøsitet er r. Måling med utstyret gir da X n(x; r, 0,03).

LØSNING, EKSAMEN I STATISTIKK, TMA4240, DESEMBER Anta at sann porøsitet er r. Måling med utstyret gir da X n(x; r, 0,03). LØSNING, EKSAMEN I STATISTIKK, TMA440, DESEMBER 006 OPPGAVE 1 Ata at sa porøsitet er r. Målig med utstyret gir da X (x; r, 0,03). a) ( ) X r P(X > r) P 0,03 > 0 P(Z > 0) 0,5. ( X r P(X r > 0,05) P 0,03

Detaljer

Høgskolen i Telemark Avdeling for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 20. mai 2008

Høgskolen i Telemark Avdeling for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 20. mai 2008 Høgskole i Telemark Avdelig for estetiske fag, folkekultur og lærerutdaig BOKMÅL. mai 8 EKSAMEN I MATEMATIKK Modul 5 studieoeg Tid: 5 timer Ogavesettet er å sider (ikludert formelsamlig). Hjelemidler:

Detaljer

n 2 +1) hvis n er et partall.

n 2 +1) hvis n er et partall. TMA445 Statistikk Vår 04 Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Øvig ummer, blokk II Oppgave Mediae til et datasett, X, er de midterste verdie. Hvis vi har stokastiske

Detaljer

Kap. 9: Inferens om én populasjon

Kap. 9: Inferens om én populasjon 2 ST0202 Statistikk for samfusvitere Bo Lidqvist Istitutt for matematiske fag Ka. 9: Iferes om é oulasjo Hvis σ er ukjet bytter vi ut σ med s i Ny observator blir t = x μ s/ z = x μ σ/ der s = Σx 2 (Σx)

Detaljer

Metoder for politiske meningsmålinger

Metoder for politiske meningsmålinger Metoder for politiske meigsmåliger AV FORSKER IB THOMSE STATISTISK SETRALBYRÅ Beregigsmetodee som brukes i de forskjellige politiske meigsmåliger har vært gjestad for mye diskusjo i dagspresse det siste

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2011

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2011 ÅMA110 asylighetsregig med statistikk våre 011 Kp. 5 Estimerig 1 Estimerig. Målemodelle. Ihold: 1. (ukt)estimerig i biomisk modell (kp. 5.). Målemodelle... (kp. 5.3) 3. (ukt)estimerig i målemodelle (kp.

Detaljer

Løsningsforslag til eksamen i STK desember 2010

Løsningsforslag til eksamen i STK desember 2010 Løsigsforslag til eksame i STK0 0. desember 200 Løsigsforslaget har med flere detaljer e det vil bli krevd til eksame. Oppgave a Det er tilpasset e multippel lieær regresjosmodell av forme β 0 + β x i

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Kp. 5 Estimering. Målemodellen.

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Kp. 5 Estimering. Målemodellen. ÅMA0 Sasylighetsregig med statistikk, våre 0 Kp. 5 Estimerig. Målemodelle. Estimerig. Målemodelle. Ihold:. (Pukt)Estimerig i biomisk modell (kp. 5.). Målemodelle... (kp. 5.). (Pukt)Estimerig i målemodelle

Detaljer

Kap. 9: Inferens om én populasjon

Kap. 9: Inferens om én populasjon 2 ST0202 Statistikk for samfusvitere Bo Lidqvist Istitutt for matematiske fag Ka. 9: Iferes om é oulasjo Hvis σ er ukjet bytter vi ut σ med s i Ny observator blir t = x μ s/ z = x μ σ/ der s = Σx 2 (Σx)

Detaljer

Estimering og hypotesetesting. Estimering og hypotesetesting. Estimering og hypotesetesting. Kapittel 10. Ett- og toutvalgs hypotesetesting

Estimering og hypotesetesting. Estimering og hypotesetesting. Estimering og hypotesetesting. Kapittel 10. Ett- og toutvalgs hypotesetesting 3 Estimerig og hypotesetestig Kapittel 10 Ett- og toutvalgs hypotesetestig TMA445 V007: Eirik Mo Feome Bilkjørig Høyde til studeter Estimator ˆp = X, X atall ˆµ = X gjeomsittlig høyde. som syes de er flikere

Detaljer

Eksempeloppgave 2014. REA3028 Matematikk S2 Eksempel på eksamen våren 2015 etter ny ordning. Ny eksamensordning. Del 1: 3 timer (uten hjelpemidler)

Eksempeloppgave 2014. REA3028 Matematikk S2 Eksempel på eksamen våren 2015 etter ny ordning. Ny eksamensordning. Del 1: 3 timer (uten hjelpemidler) Eksempeloppgave 2014 REA3028 Matematikk S2 Eksempel på eksame våre 2015 etter y ordig Ny eksamesordig Del 1: 3 timer (ute hjelpemidler) Del 2: 2 timer (med hjelpemidler) Mistekrav til digitale verktøy

Detaljer

Fagdag 2-3mx 24.09.07

Fagdag 2-3mx 24.09.07 Fagdag 2-3mx 24.09.07 Jeg beklager at jeg ikke har fuet oe ye morsomme spill vi ka studere, til gjegjeld skal dere slippe prøve/test dee gage. Istruks: Vi arbeider som valig med 3 persoer på hver gruppe.

Detaljer

EKSAMEN Løsningsforslag

EKSAMEN Løsningsforslag ..4 EKSAMEN Løsigsforslag Emekode: ITF75 Dato: 6. desember Eme: Matematikk for IT Eksamestid: kl 9. til kl. Hjelpemidler: To A4-ark med valgfritt ihold på begge sider. Kalkulator er ikke tillatt. Faglærer:

Detaljer

TMA4240 Statistikk Høst 2015

TMA4240 Statistikk Høst 2015 Høst 205 Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Øvig ummer, blokk II Løsigsskisse Oppgave a) X bi(, p) fordi: Udersøker uavhegige delar av DNA-strukture. Fi for kvar del

Detaljer

TMA4240 Statistikk H2010

TMA4240 Statistikk H2010 TMA440 Statistikk H00 9.8: To uvalg (siste del) 9.9: Parvise observasjoer 9.0-9.: Adelser 9.: Varias Mette Lagaas Foreleses oag 0.oktober, 00 Norske hoppdommere og Jae Ahoe Jae Ahoe er e fisk skihopper,

Detaljer

Kommentarer til oppgaver;

Kommentarer til oppgaver; Kapittel - Algebra Versjo: 11.09.1 - Rettet feil i 0, 1 og 70 og lagt i litt om GeoGebra-bruk Kommetarer til oppgaver; 0, 05, 10, 13, 15, 5, 9, 37, 5,, 5, 59, 1, 70, 7, 78, 80,81 0 a) Trykkfeil i D-koloe

Detaljer

Deskriptiv statistikk for sentrum og spredning i fordelingen. Gjennomsnitt og standardavvik. eller

Deskriptiv statistikk for sentrum og spredning i fordelingen. Gjennomsnitt og standardavvik. eller Eksempel : tall dager i sykehus. Ikke-parametriske tester versus parametriske tester Stia Lyderse Presetert på Regioal forskigskoferase for psykiatri og rusfeltet Ålesud 4 jui 03 Behadlig : 6, 5, 37,,

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007 Kp. 6, del 4. Hypotesetesting, del 4

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007 Kp. 6, del 4. Hypotesetesting, del 4 ÅMA11 Sasylighetsregig med statistikk, våre 27 Kp. 6, del 4 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap Uiversitetet i Stavager 19. mars Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 4 1/ 27 Bjør

Detaljer

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma R1. Casio fx-9860

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma R1. Casio fx-9860 Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Casio fx-9860 Innhold 1 Om Casio fx-9860 4 2 Regning 4 2.1 Tallet e......................................

Detaljer

LØSNING: Eksamen 28. mai 2015

LØSNING: Eksamen 28. mai 2015 LØSNING: Eksame 28. mai 2015 MAT110 Statistikk 1, vår 2015 Oppgave 1: revisjo ) a) Situasjoe som beskrives i oppgave ka modelleres med e ure. I dee ure er fordelige kjet, M atall bilag med feil og N 100

Detaljer

Estimering 1 -Punktestimering

Estimering 1 -Punktestimering Estimerig 1 -Puktestimerig Dekkes av kap. 8, 9.1-9.3 og 9.15/9.14. Vi har til å settpå e rekke forskjellige sasylighetsfordeliger og sett hvorda disse ka brukes til å modellere mage forskjellige typer

Detaljer

Ulike typer utvalg. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk. Ordnet utvalg uten tilbakelegging 29 (29 1) (29 2) (29 3) =

Ulike typer utvalg. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk. Ordnet utvalg uten tilbakelegging 29 (29 1) (29 2) (29 3) = MAT000V Sasylighetsregig og kombiatorikk Urdede utvalg ute tilbakeleggig Pascals talltrekat og biomialkoeffisietee Ørulf Borga Matematisk istitutt Uiversitetet i Oslo Ulike typer utvalg Eksempel 6.: Vi

Detaljer

FX-82ES. NY CASIO teknisk / vitenskapelig lommeregner med naturlig tallvindu.

FX-82ES. NY CASIO teknisk / vitenskapelig lommeregner med naturlig tallvindu. ytt NR. 005. årgag FX-8ES NY CASIO tekisk / viteskapelig lommereger med aturlig tallvidu. Det er å mer e 5 år side kalkulatore for alvor ble tatt i bruk i orsk matematikk-udervisig, og de viteskapelige

Detaljer

«Uncertainty of the Uncertainty» Del 4 av 6

«Uncertainty of the Uncertainty» Del 4 av 6 «Ucertaity of the Ucertaity» Del 4 av 6 v/rue Øverlad, Traior Elsikkerhet AS Iledig Dette er del fire i artikkelserie om «Ucertaity of the Ucertaity». I dag skal jeg vise deg utledige av formele: σ m s,

Detaljer

Hypotesetesting, del 5

Hypotesetesting, del 5 Oversikt, del 5 Kofidesitervall p-verdi Kofidesitervall E (tosidig test ka gjeomføres vha. av et kofidesitervall. For eksempel, dersom vi i målemodell 1 vil teste: H 0 : μ = μ 0 mot H 1 : μ μ 0, ka vi

Detaljer

Signifikante sifre = alle sikre pluss ett siffer til

Signifikante sifre = alle sikre pluss ett siffer til Sigifikate siffer og stadardavvik behadles i kap. Disse to emee skal vi ta for oss i dag. Kofidesgreser behadles i kap 4. Dette skal vi ta for oss i osdag. Presetasjo av aalysedata ka gjøres på følgede

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007 Kp. 6, del 2

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007 Kp. 6, del 2 ÅMA11 Sasylighetsregig med statistikk, våre 27 Kp. 6, del 2 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap 5. mars 21 Bjør H. Auestad Kp. 6: del 1/2 1/ 42 Bjør H. Auestad Kp. 6: del 1/2 2/ 42

Detaljer

Populasjon, utvalg og estimering

Populasjon, utvalg og estimering Populasjo, utvalg og estimerig (Notat til forelesig i estimerig, Kap. 6.) Populasjo og utvalg Med basalkuskap i sasylighetsregig og sasylighetsfordeliger er vi å i stad til å gå videre med statistisk iferes

Detaljer

2. Bestem nullpunktene til g.

2. Bestem nullpunktene til g. Høgskole i Telemark Avdelig for estetiske fag, folkekultur og lærerutdaig BOKMÅL 0. desember 007 EKSAMEN I MATEMATIKK Modul 5 studiepoeg Tid: 5 timer Oppgavesettet er på 9 sider (ikludert formelsamlig).

Detaljer

H T. Amundsen INNHOLD

H T. Amundsen INNHOLD Itere otater STATISTISK SENTRALBYRÅ. oktober 1980 KORRELASJONSKOEFFISIENTEN - ENDA ENGANG Av H T. Amudse INNHOLD 1. Iledig *****..... * 0 1. Produktmametkorrelasjoskoeffisiete og sammehege med lieær regresjo.

Detaljer

2.1 Polynomdivisjon. Oppgave 2.10

2.1 Polynomdivisjon. Oppgave 2.10 . Polyomdivisjo Oppgave. ( 5 + ) : = + + ( + ):( ) 6 + 6 8 8 = + + c) ( + 5 ) : = + 6 6 d) + + + = + + = + + + 8+ ( ):( ) + + + Oppgave. ( + 5+ ):( ) 5 + + = + ( 5 ): 9 + + + = + + + 5 + 6 9 c) ( 8 66

Detaljer

TMA4245 Statistikk. Øving nummer b5. Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag

TMA4245 Statistikk. Øving nummer b5. Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4245 Statistikk Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Øvig ummer b5 Oppgave 1 Eksame mai 2001, oppgave 1 av 4 Vi ser på kosetrasjoe av et giftstoff i havbue like utefor

Detaljer

DEL 1. Uten hjelpemidler 500+ er x

DEL 1. Uten hjelpemidler 500+ er x DEL 1 Ute hjelpemidler Oppgave 1 (18 poeg) 500 = + 8 er a) Vis at de deriverte til fuksjoe ( ) O O ( ) = 500+ 16 b) Deriver fuksjoee 1) f( ) = l( ) ) g( ) = e c) Vi har gitt polyomfuksjoe f( ) = 1 + 15

Detaljer

Del1. b) 1) Gittrekka 2 4 6 8 Finnleddnummer20 ogsummenavde20førsteleddene.

Del1. b) 1) Gittrekka 2 4 6 8 Finnleddnummer20 ogsummenavde20førsteleddene. Del1 Oppgave 1 a) Deriver fuksjoee: 1) fx ( ) x 2 1 x 2 1 2) g x x 2 2 e x b) 1) Gittrekka 2 4 6 8 Fileddummer20 ogsummeavde20førsteleddee. 1 1 2) Gitt de uedelige rekka 2 1 2 4 Avgjør om rekka kovergerer.

Detaljer

11,7 12,4 12,8 12,9 13,3.

11,7 12,4 12,8 12,9 13,3. TMA4240 Statistikk Vår 2008 Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Øvig ummer b6 Oppgave 1 Eksame mai 2001, oppgave 1 av 4 Vi ser på kosetrasjoe av et giftstoff i havbue

Detaljer

Høgskolen i Telemark Avdeling for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 16. mai 2008

Høgskolen i Telemark Avdeling for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 16. mai 2008 Høgskole i Telemark Avdelig for estetiske fag, folkekultur og lærerutdaig BOKMÅL 6. mai 008 EKSAMEN I MATEMATIKK Modul 5 studiepoeg Tid: 5 timer Oppgavesettet er på 8 sider (ikludert formelsamlig). Hjelpemidler:

Detaljer

ARBEIDSHEFTE I MATEMATIKK

ARBEIDSHEFTE I MATEMATIKK ARBEIDSHEFTE I MATEMATIKK Temahefte r Hvorda du reger med poteser Detaljerte forklariger Av Matthias Loretze mattegriseforlag.com Opplsig: E potes er e forkortet skrivemåte for like faktorer. E potes består

Detaljer

EKSAMENSOPPGAVE. Faglig veileder: Kirsten Aarset, Bente Hellum og Jan Stubergh Gruppe(r): 1-elektro, 1-maskin, 3-almen Dato: 17 desember 2001

EKSAMENSOPPGAVE. Faglig veileder: Kirsten Aarset, Bente Hellum og Jan Stubergh Gruppe(r): 1-elektro, 1-maskin, 3-almen Dato: 17 desember 2001 Avdelig for igeiørutdaig EKSAMENSOPPGAVE Fag: Kjemi og Miljø Fagr FO 05 K Faglig veileder: Kirste Aarset, Bete Hellum og Ja Stubergh Gruppe(r): 1-elektro, 1-maski, -alme Dato: 17 desember 001 Eksamestid,

Detaljer

Eksempler fra slutten av forrige uke. Eksempler (styrke, dimensjonering,...) Eksempler fra slutten av forrige uke

Eksempler fra slutten av forrige uke. Eksempler (styrke, dimensjonering,...) Eksempler fra slutten av forrige uke Oversikt, del 5 Hypotesetestig, del 4 (oppsummerig fra Hypotesetestig, del 5 Kofidesitervall dimesjoerig Eksempler fra slutte av forrige uke Kofidesitervall p-verdi Eksempler Eksempler (styrke, dimesjoerig,...

Detaljer

Eksempeloppgave 2014. REA3026 Matematikk S1 Eksempel på eksamen våren 2015 etter ny ordning. Ny eksamensordning. Del 1: 3 timer (uten hjelpemidler)

Eksempeloppgave 2014. REA3026 Matematikk S1 Eksempel på eksamen våren 2015 etter ny ordning. Ny eksamensordning. Del 1: 3 timer (uten hjelpemidler) Eksempeloppgave 04 REA306 Matematikk S Eksempel på eksame våre 05 etter y ordig Ny eksamesordig Del : 3 timer (ute hjelpemidler) Del : timer (med hjelpemidler) Mistekrav til digitale verktøy på datamaski:

Detaljer

Institutt for økonomi og administrasjon

Institutt for økonomi og administrasjon Fakultet for samfusfag Istitutt for økoomi og admiistraso Ivesterig og fiasierig Bokmål Dato: Madag. desember 3 Tid: 4 timer / kl. 9-3 Atall sider (ikl. forside): 5 + sider vedlegg Atall oppgaver: 4 Tillatte

Detaljer

IO 77/45 29. november 1977 ESTIMERING AV ENGELDERIVERTE PA DATA MED MALEFEIL. Odd Skarstad 1) INNHOLD

IO 77/45 29. november 1977 ESTIMERING AV ENGELDERIVERTE PA DATA MED MALEFEIL. Odd Skarstad 1) INNHOLD IO 77/45 29. ovember 977 ESTIMERING V ENGELDERIVERTE P DT MED MLEFEIL av Odd Skarstad ) INNHOLD I. Data fra forbruksudersøkelse II. Estimerig ved målefeil. Iledig 2. Systematiske målefeil 2 3. Tilfeldige

Detaljer

TMA4245 Statistikk Eksamen 9. desember 2013

TMA4245 Statistikk Eksamen 9. desember 2013 Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag TMA4245 Statistikk Eksame 9. desember 2013 Oppgave 1 I kortspillet Blackjack får ei de høgaste geviste derssom dei to første korta

Detaljer

Avdeling for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 29. mai 2007

Avdeling for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 29. mai 2007 Høgskole Telemark Avdelg for estetske fag, folkekultur og lærerutdag BOKMÅL 9. ma 7 EKSAMEN I MATEMATIKK, Modul 5 studepoeg Td: 5 tmer Hjelpemdler: Kalkulator og vedlagt formelsamlg (bakerst oppgavesettet).

Detaljer

«Best Fit»-linje med usikkerhetsintervall (CI)

«Best Fit»-linje med usikkerhetsintervall (CI) «Best Fit»-lije med usikkerhetsitervall (CI) v/rue Øverlad, Traior Elsikkerhet AS 1. Iledig Dee artikkele utleder formel for usikkerhetsitervallet CI (Cofidece Iterval) som omslutter e «Best Fit»-lije.

Detaljer

Oversikt over konfidensintervall i Econ 2130

Oversikt over konfidensintervall i Econ 2130 1 HG Revidert april 013 Oversikt over kofidesitervall i Eco 130 Merk at dee oversikte ikke er met å leses istedefor framstillige i Løvås, me som et supplemet. De ieholder tabeller med formler for kofidesitervaller

Detaljer

Formler og regler i statistikk ifølge lærebok Gunnar Løvås: Statistikk for universiteter og høgskoler

Formler og regler i statistikk ifølge lærebok Gunnar Løvås: Statistikk for universiteter og høgskoler Formler og regler statstkk følge lærebok Guar Løvås: tatstkk for uversteter og høgskoler Kap. Hva er fakta om utvalget etralmål Meda: mdterste verd etter sorterg Modus: hyppgst forekommede verd Gjeomstt:

Detaljer

Eksamen 20.05.2009. REA3024 Matematikk R2. Nynorsk/Bokmål

Eksamen 20.05.2009. REA3024 Matematikk R2. Nynorsk/Bokmål Eksame 20052009 REA3024 Matematikk R2 Nyorsk/Bokmål Nyorsk Eksamesiformasjo Eksamestid: Hjelpemiddel på Del 1: Hjelpemiddel på Del 2: Bruk av kjelder: Vedlegg: Framgagsmåte: Rettleiig om vurderiga: 5 timar:

Detaljer

LØSNING: Eksamen 17. des. 2015

LØSNING: Eksamen 17. des. 2015 LØSNING: Eksame 17. des. 2015 MAT100 Matematikk, 2015 Oppgave 1: økoomi a I optimum av T Rx er dt Rx 0 1 som gir d Ix Kx 0 2 dix dix dkx dkx 0 3 4 dvs. greseitekt gresekostad, q.e.d. 5 b Gresekostad ekstrakostade

Detaljer

Løsningsforslag til øving 9 OPPGAVE 1 a)

Løsningsforslag til øving 9 OPPGAVE 1 a) Høgskole i Gjøvik vd for ek, øk og ledelse aemaikk 5 Løsigsforslag il øvig 9 OPPGVE ) Bereger egeverdiee: de I) ) ) ) Egeverdier: og ) ) Bereger egevekoree: vi ivi ii) vi ed λ : ) ) v Velger s som gir

Detaljer

Ukeoppgaver, uke 42, i Matematikk 10, Bestemt integrasjon. 1

Ukeoppgaver, uke 42, i Matematikk 10, Bestemt integrasjon. 1 Ukeoppgaver, uke 2, i Matematikk, Bestemt itegrasjo. Høgskole i Gjøvik Avdelig for igeiørfag Matematikk Ukeoppgaver uke 2 I løpet av uke blir løsigsforslag lagt ut på emeside http://www.hig.o/toel/allmefag/emesider/rea2

Detaljer

Positive rekker. Forelest: 3. Sept, 2004

Positive rekker. Forelest: 3. Sept, 2004 Postve rekker Forelest: 3. Sept, 004 V skal tde utover fokusere på å teste om e rekke kovergerer, og skyve formler for summerg bakgrue. Dette er gje ford det første målet vårt er å lære hvorda v ka fe

Detaljer

Løsning eksamen R1 våren 2010

Løsning eksamen R1 våren 2010 Løsig eksame R våre 00 Oppgave a) ) f ( ) l f ( ) ' l l l l f ( ) (l ) ) g( ) 4e g( ) 4 e ( ) 4 e ( ) g( ) 4( ) e b) ( ) 4 4 6 P ) P() 4 4 6 8 6 8 6 0 Divisjo med ( ) går opp. 4 4 6 : ( ) 8 4 4 8 6 8 6

Detaljer

Løsningsforslag R2 Eksamen 04.06.2012. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik

Løsningsforslag R2 Eksamen 04.06.2012. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Løsigsforslag R2 Eksame 6 Vår 04.06.202 Nebuchadezzar Matematikk.et Øistei Søvik Sammedrag De fleste forlagee som gir ut lærebøker til de videregåede skole, gir ut løsigsforslag til tidligere gitte eksameer.

Detaljer

B Bakgrunnsinformasjon om ROS-analysen.

B Bakgrunnsinformasjon om ROS-analysen. RI SI KO- O G SÅRBARH ET SANALYSE (RO S) A Hva som skal utredes Beredskapog ulykkesrisiko(ros) vurderesut fra sjekklistefra Direktoratetfor samfussikkerhetog beredskap.aalyse blir utført ved vurderigav

Detaljer

STATISTIKK :D INNHOLD

STATISTIKK :D INNHOLD STATISTIKK :D INNHOLD Et par tig som ka bli yttige.... Sasylighetsregig... 3. Stokastiske variable og sasylighetsfordeliger.... 4. Forvetig og varias... 3 5. Diskrete fordeliger... 4 Diskret uiform fordelig...

Detaljer

HØGSKOLEN I MOLDE Sensurveiledning Log300 Innføring i logistikk - Vår 2006

HØGSKOLEN I MOLDE Sensurveiledning Log300 Innføring i logistikk - Vår 2006 HØGSKOLEN I MOLDE Sesurveiledig Log300 Iførig i logistikk - Vår 2006 Dato: Tid: 13.06.06 09:00 13:00 Asvarlig faglærer: Jøra Gårde Hjelpemidler: Oppgave består av totalt 6 sider (5 sider + ormalfordeligstabell).

Detaljer

Institutt for økonomi og administrasjon

Institutt for økonomi og administrasjon Fakultet for safusfag Istitutt for økooi og adiistraso Ivesterig og fiasierig Bokål Dato: Tirsdag. deseber 4 Tid: 4 tier / kl. 9-3 Atall sider (ikl. forside): 5 + 9 sider vedlegg Atall oppgaver: 4 Tillatte

Detaljer

Rapport Brukertilfredshet blant pårørende til beboere ved sykehjem i Oslo kommune 2009

Rapport Brukertilfredshet blant pårørende til beboere ved sykehjem i Oslo kommune 2009 Rapport Brukertilfredshet blat pårørede til beboere ved sykehjem i Oslo kommue Resultater fra e spørreudersøkelse blat pårørede til sykehjemsbeboere februar 2010 Forord Brukerudersøkelser er ett av tre

Detaljer

Eksamen 21.05.2013. REA3024 Matematikk R2. Nynorsk/Bokmål

Eksamen 21.05.2013. REA3024 Matematikk R2. Nynorsk/Bokmål Eksame 21.05.2013 REA3024 Matematikk R2 Nyorsk/Bokmål Nyorsk Eksamesiformasjo Eksamestid: Hjelpemiddel på Del 1: Hjelpemiddel på Del 2: 5 timar: Del 1 skal leverast i etter 2 timar. Del 2 skal leverast

Detaljer

Leseforståelse og matematikk

Leseforståelse og matematikk Leseforståelse og matematikk av guri a. ortvedt To studier av sammehege mellom leseforståelse og løsig av tekstoppgaver viser at ekelte elever ka mislykkes i oppgaveløsige fordi de tolker språket i oppgavee

Detaljer

Statistikk. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne. planlegge, gjennomføre og vurdere statistiske undersøkelser

Statistikk. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne. planlegge, gjennomføre og vurdere statistiske undersøkelser 48 3 Statistikk Mål for opplæringen er at eleven skal kunne planlegge, gjennomføre og vurdere statistiske undersøkelser beregne kumulativ hyppighet, finne og drøfte sentralmål og spredningsmål representere

Detaljer

Luktrisikovurdering fra legemiddelproduksjon på Fikkjebakke Screening

Luktrisikovurdering fra legemiddelproduksjon på Fikkjebakke Screening Luktrisikovurderig fra legemiddelproduksjo på Fikkjebakke Screeig Aquateam COWI AS Rapport r: 14-046 Prosjekt r: O-14062 Prosjektleder: Liv B. Heige Medarbeidere: Lie Diaa Blytt Karia Ødegård (Molab AS)

Detaljer

Dersom vi skriver denne reaksjonslikningen ved bruk av kjemiske tegn: side av likningen har vi ett hydrogen mens vi har to på høyre side.

Dersom vi skriver denne reaksjonslikningen ved bruk av kjemiske tegn: side av likningen har vi ett hydrogen mens vi har to på høyre side. Støkiometri (megdeforhold) Det er særs viktig i kjemie å vite om megdeforhold om stoffer. -E hodepie tablett er bra mot hodesmerter, ti passer dårlig. -E sukkerbit i kaffe fugerer, 100 er slitsomt. -100

Detaljer

Der oppgaveteksten ikke sier noe annet, kan du fritt velge framgangsmåte.

Der oppgaveteksten ikke sier noe annet, kan du fritt velge framgangsmåte. Eksame 20.05.2009 REA3028 Matematikk S2 Nyorsk/Bokmål Bokmål Eksamesiformasjo Eksamestid: Hjelpemidler på Del 1: Hjelpemidler på Del 2: Bruk av kilder: Vedlegg: Framgagsmåte: Veiledig om vurderige: 5 timer:

Detaljer

Avdeling for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 14.12.2007

Avdeling for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 14.12.2007 Høgskole Telemark Avdelg for estetske fag, folkekultur og lærerutdag BOKMÅL 4..7 UTATT PRØVE I MATEMATIKK, Modul 5 studepoeg Td: 5 tmer Hjelpemdler: Kalkulator og vedlagt formelsamlg (bakerst oppgavesettet).

Detaljer

Universitetet i Oslo Institutt for geofag. Flomrisikoanalyse for Hamar og Lillestrøm. Helge Bakkehøi. Candidatus Scientiarum

Universitetet i Oslo Institutt for geofag. Flomrisikoanalyse for Hamar og Lillestrøm. Helge Bakkehøi. Candidatus Scientiarum Uiversitetet i Oslo Istitutt for geofag Flomrisikoaalse for Hamar og Lillestrøm Helge Bakkehøi Cadidatus Scietiarum 1. september 2003 ABSTRACT 2 Abstract This work focuses o the two tows most exposed

Detaljer

E K S A M E N : FAG: Matematikk 1 MA-154 LÆRER: MORTEN BREKKE. Klasse(r): Alle Dato: 1. des 11 Eksamenstid, fra-til: 0900-1400

E K S A M E N : FAG: Matematikk 1 MA-154 LÆRER: MORTEN BREKKE. Klasse(r): Alle Dato: 1. des 11 Eksamenstid, fra-til: 0900-1400 UNIVERSITETET I AGDER Grimstad E K S A M E N : FAG: Matematikk MA-54 LÆRER: MORTEN BREKKE Klasse(r): Alle Dato:. des Eksamestid, fra-til: 0900-400 Eksamesoppgave består av følgede iklusive forside Atall

Detaljer

Utvidet løsningsforslag Eksamen i TMA4100 Matematikk 1, 16/12 2008

Utvidet løsningsforslag Eksamen i TMA4100 Matematikk 1, 16/12 2008 Utvidet løsigsforslag Eksame i TMA4 Matematikk, 6/ 8 Oppgave i) Vi gjør substitusjoe u = si θ og får π/ [ u si θ cos θ dθ = u du = E ae løsigsmetode er π/ si θ cos θ dθ = π/ ] si θ dθ = 4 = 4 ( ( ) ( ))

Detaljer

Om Grafiske Bruker-Grensesnitt (GUI) Hvordan gjør vi det, to typer av vinduer? GUI (Graphical User Interface)-programmering

Om Grafiske Bruker-Grensesnitt (GUI) Hvordan gjør vi det, to typer av vinduer? GUI (Graphical User Interface)-programmering Uke9. mars 2005 rafisk brukergresesitt med Swig og awt Litt Modell Utsy - Kotroll Del I Stei jessig Ist for Iformatikk Uiv. i Oslo UI (raphical User Iterface)-programmerig I dag Hvorda få laget et vidu

Detaljer

Løsning eksamen R2 våren 2010

Løsning eksamen R2 våren 2010 Løsig eksame R våre 010 Oppgave 1 a) f( x) x cos3x f ( x) x cos 3x x cos 3x x cos 3x x si 3x 3x xcos 3x 3x si 3x b) 1) v v u v u 1 u x x 1 x 5 x 5 x 5xe dx 5x e 5 e dx xe e dx 5 5 1 5 5 x x x x xe e C

Detaljer

To-utvalgstest (def 8.1) vs ettutvalgstest: Hypotesetesting, to utvalg (Kapitel 8) Longitudinell studie (oppfølgingsstudie) - eqn 8.1. Eksempel 8.

To-utvalgstest (def 8.1) vs ettutvalgstest: Hypotesetesting, to utvalg (Kapitel 8) Longitudinell studie (oppfølgingsstudie) - eqn 8.1. Eksempel 8. Hypotesetestig, to utvalg (Kapitel 8) Medisisk statistikk 009 http://folk.tu.o/slyderse/medstat/medstati_h09.html To-utvalgstest (def 8.) vs ettutvalgstest: To-utvalgstest: Sammelike de uderliggede parameter

Detaljer

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1P. Casio fx 9860

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1P. Casio fx 9860 Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Casio fx 9860 Innhold 1 Innstillinger 4 2 Regning 5 2.1 Regnerekkefølge................................ 5 2.2 Kvadratrot....................................

Detaljer

Oblig 2 - MAT1120. Fredrik Meyer 26. oktober 2009 = A = P1 1 A 1 P 1 A 1 A 2 = P 1. A k+1. A k P k

Oblig 2 - MAT1120. Fredrik Meyer 26. oktober 2009 = A = P1 1 A 1 P 1 A 1 A 2 = P 1. A k+1. A k P k Oblig 2 - MAT20 Fredri Meyer 26 otober 2009 Matrisee A i er defiert sli der P er e rotasjosmatrise som defierer i oppgave 2: A A 2 A + = A = P A P = P A P Oppgave Matrisee A i+ og A i er similære det fies

Detaljer

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 2P. Casio fx-9860

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 2P. Casio fx-9860 Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Casio fx-9860 Innhold 1 Om lommeregneren 4 2 Regning 4 2.1 Tallregning...................................

Detaljer

I forelesningen så vi litt på hvordan vi tegner grafer manuelt. Enkel bruk av GeoGebra er vist gjennom noen korte videoer i bolk 5c.

I forelesningen så vi litt på hvordan vi tegner grafer manuelt. Enkel bruk av GeoGebra er vist gjennom noen korte videoer i bolk 5c. NOTAT TIL FORELESNING OM FUNKSJONER, DEL Forelesige om uksjoer består av to deler, ørste del bygger på dette otatet Notatet bygger på læreboke og er oe mer utyllede e orelesige I bolk 5a så vi hvorda vi

Detaljer

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1T. Casio fx 9860

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1T. Casio fx 9860 Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Casio fx 9860 Innhold 1 Innstillinger 4 2 Regning 5 2.1 Regnerekkefølge................................ 5 2.2 Tallet π.....................................

Detaljer

S2 kapittel 1 Rekker Utvalgte løsninger oppgavesamlingen

S2 kapittel 1 Rekker Utvalgte løsninger oppgavesamlingen Utvlgte løsiger oppgvesmlige S kpittel Rekker Utvlgte løsiger oppgvesmlige 0 Vi k prøve med differsemetode Differsee mellom leddee utover er 4,6,8, så det er rimelig t differse mellom femte og fjerde ledd

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen MAT112 vår 2011

Løsningsforslag Eksamen MAT112 vår 2011 Løsigsforslag Eksame MAT vår OPPGAVE Gitt følge {a } defiert rekursivt ved a = 5, a + = a + 6, =,,, 3,.... (a) Vis (for eksempel ved iduksjo) at {a } er stregt avtagede og edtil begreset. (b) Avgjør om

Detaljer

Rapport GPS prosjekt - Ryggeheimen sykehjem, Rygge

Rapport GPS prosjekt - Ryggeheimen sykehjem, Rygge Rapport GPS prosjekt - Ryggeheime sykehjem, Rygge Bruk av GPS på sykehjem Elisabeth Refses/ Siv Skaldstad Tidspla:1/3 10 1/10 10. Orgaiserig: Styrigsgruppe: Åse Nilsse, Ove Keeth Kvige, Elisabeth Breistei,

Detaljer

Rente og pengepolitikk 1. Innhold. Forelesningsnotat 9, februar 2015

Rente og pengepolitikk 1. Innhold. Forelesningsnotat 9, februar 2015 Forelesigsotat 9, februar 2015 Rete og pegepolitikk 1 Ihold Rete og pegepolitikk...1 Hvorda virker Norges Baks styrigsrete?...3 Pegemarkedet...3 Etterspørselskaale...4 Valutakurskaale...4 Forvetigskaale...5

Detaljer

Formelsamling i matematikk og statistikk

Formelsamling i matematikk og statistikk Høgskole i Berge Formelsamlig i matematikk og statistikk for Igeiørutdaige FOA, FOA, FOA3, FOA7, FVA4 5.utgave Fuksjoer. Elemetære fuksjoer: a) l y = y = e a = b = log a b = lb l a b) l(ab) = l A + l B,

Detaljer

Graftegning på lommeregneren

Graftegning på lommeregneren Graftegning på lommeregneren Vi starter med å tegne grafen til fx ( )= 05, x 3 2x 2 +2på lommeregneren for x-verdier mellom 2 og 5. Kontroller grunninnstillingene Før du starter, er det lurt å kontrollere

Detaljer

NR. 2-2005 11. årgang

NR. 2-2005 11. årgang nytt NR. - 005 11. årgang FX-9860G SD Casio lanserer i nær framtid et nytt tilskudd på stammen av grafiske lommeregnere spesielt beregnet for videregående skole. Den svart hvite skjermen, er blitt større

Detaljer

Leica Lino Presis selvhorisonterende punkt- og linjelaser

Leica Lino Presis selvhorisonterende punkt- og linjelaser Impex Produkter AS Verkseier Furuluds vei 15 0668 OSLO Tel. 22 32 77 20 Fax 22 32 77 25 ifo@impex.o www.impex.o Leica Lio Presis selvhorisoterede pukt- og lijelaser Still opp, slå på, klar! Med Leica Lio

Detaljer

Kraftforsyningsberedskap. Roger Steen Seniorrådgiver Beredskapsseksjonen NVE, rost@nve.no

Kraftforsyningsberedskap. Roger Steen Seniorrådgiver Beredskapsseksjonen NVE, rost@nve.no Kraftforsyigsberedskap Roger Stee Seiorrådgiver Beredskapsseksjoe NVE, rost@ve.o Beredskapsasvar Olje- og eergidepartemetet har det overordede asvaret for ladets kraftforsyig. Det operative asvaret for

Detaljer

Vi lærte sist å lage vinduer. Om å lage et vindu. GUI (Graphical User Interface)-programmering. Inf 1010-2007 GUI - del 2

Vi lærte sist å lage vinduer. Om å lage et vindu. GUI (Graphical User Interface)-programmering. Inf 1010-2007 GUI - del 2 GUI (Graphical User Iterface)-programmerig If 1010-2007 GUI - del 2 Stei Gjessig Ist for Iformatikk Uiv. i Oslo Tidligere Hvorda få laget et vidu på skjerme Grafikk (tegig i viduet) Hvorda legge ulike

Detaljer

Funksjoner og andregradsuttrykk

Funksjoner og andregradsuttrykk 4 110 Funksjoner og andregradsuttrykk Studentene skal kunne benytte begrepet funksjoner og angi definisjonsmengde og verdimengde til funksjoner regne med lineære funksjoner og andregradsfunksjoner og bestemme

Detaljer