3MX 2007/8 - Kapittel 5: 8. januar 5. februar 2008

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "3MX 2007/8 - Kapittel 5: 8. januar 5. februar 2008"

Transkript

1 3MX 00/8 - Kapittel : 8. jauar. februar 008 Pla for skoleåret 00/008: Kapittel 6: 6/ /. Kapittel : / /3. Prøver på eller skoletime etter hvert kapittel. É heildagsprøve i hver termi. Repetisjo, prøver, mutlig, økter, diverse arbeid: /3 jui. Vi kommer å til et ytt sasylighets- og statistikkapittel. Det repeteres i læreboka, me oe av dere har kaskje behov for litt ekstra treig, Her følger samleoppgavee fra MX, og de er bra repetisjo:.a: Etter offetlig statistikk er sasylighete 9,8 % for at e 44 år gammel kvie skal bli mist 4 år, 94, % for at e 4 år gammel kvie skal bli mist 64 år og 94 9 % for at e 64 år gammel kvie skal bli mist 69 år. a) Hva er sasylighete for at e 44 år gammel kvie skal bli mist 69 år? Ti gamle klasseveier som alle er 44 år, møtes på Heartbreak hotel for å feire at det er år side de gikk ut av videregåede skole. De blir eig om å møtes igje samme sted om år. Hva er sasylighete for at b) alle ti er i live om år c) i er i live om år d) åtte er i live om år e)mist åtte er i live om år.b: Ved a teste for et bestemt hormo i e uriprove ka e avgjøre om e kvie er gravid. E graviditetstest er ikke 00 % sikker. I e udersøkelse fat e: Hvis e kvie er gravid, er det 99, % sasylig at teste vil vise det. Hvis e kvie ikke er gravid, er det 0. % sasylig at teste likevel vil idikere at kvie er gravid. Vi atar at 0 % av de kviee som tar e graviditetstest, er gravide. E kvie tar e graviditetstest. a) Hva er sasylighete for at teste idikerer at kvie er gravid? b) Teste idikerer at kvie er gravid. Hva er sasylighete for at hu virkelig er det?.c: "Idiote" er e kabal. De starter med at du legger fire kort fra e kortstokk opp på bordet. a) Hvor mage måter ka du gjøre dette på år vi tar hesy til rekkefølge? b) På hvor mage måter ka du få: ) fire spar ) ett kort i hver farge (Husk at det er fire «farger»: kløver, ruter, hjerter og spar.) c) Fi sasylighete for de to hedelsee i oppgave b. Må du gjøre oe forutsetiger for å berege dem?.d: Fem veer går samme på kio. a) Hva er sasylighete for at ige av dem har fødselsdag i samme måed? (Du ka rege som om alle fødselsmåeder er like sasylige.) b) Hva er sasylighete for at mist to av dem har fødselsdag i samme måed? c) Du er e av de fem veee. Hva er sasylighete for at mist e av de adre er født i samme måed som deg?.e: Ved e skole er det grupper som skal ha udervisig e bestemt skoletime. Skole har 0 udervisigsrom. a) På hvor mage måter ka ispektøre velge de rommee der det skal være udervisig? b) Ispektore har valgt rommee der det skal være udervisig. Pa hvor mage måter ka hu fordele gruppee pa disse rommee?.f: Du tipper e lottorekke (jf. eksempel 4 i avsitt.). Hva er sasylighete for at du tipper riktig a) seks viertall b) fem viertall c) fire viertall (Fasit: A: a: 8,9% b:,% c: 3,9% d: 3,% e: 88,9% B: a: 0,3% b: 98,0% C: a: b: : 60 : c: : 0,6% : 0,% Kortee må være godt stokket. D: a: 38,% b: 6,8% c: 9,4% E: a: 40 b: 3,6 0 4 F: a: 3, 0 - b:,4 0-3 c: 0,09) Produktsetiga: Ei omformig av setiga for betiget sasylighet fører til: A B) B år A og B er avhegige hedelser, og A B) B) år A og B er uavhegige hedelser; de siste gjelder også for 3 eller eda flere hedelser. Total sasylighet: B) A B) + A B) B + B Bayes setig: A B) B B) Kombiatorikk: Kombiatorikke gir oss løsiger på hvor mage muligheter som fis, ofte gir det oss svar på mulige utfall, dvs. evere vi treger for å fie sasylighete! Atall rekker på e tippekupog er E lottokupog har 3966 ulike rekker med viertall. Hvorfor? Hvor mage ulike kortheder med 3 kort ka du få utdelt? Hvor mage ulike orske bilummer ka vi lage? Osv. Ordet utvalg med tilbakeleggig: Fra e megde med elemeter ka vi lage år utvelgiga skjer med tilbakeleggig. r... ordede utvalg på r elemeter

2 Ordet utvalg ute tilbakeleggig: Fra e megde med elemeter ka vi lage ) )... r + ) ordede utvalg på r elemeter år utvelgiga skjer ute tilbakeleggig. Ordig av elemeter: elemeter ka ordes i rekkefølge på ( ) )... 3! ulike måter, som leses fakultet. Kalkulator:! blir: <OPTN> <F6> <PROB> <x!> <EXE> ) )... r + ) skrives som P r av kalkulatore, slik at: P : 0 <OPTN> <F6> <PROB> <Pr> <EXE> 0 Uordet utvalg ute tilbakeleggig: Fra e megde med elemeter ka vi lage ) )... r + )! r r! r!( r)! uordede utvalg på r elemeter år utvelgiga skjer ute tilbakeleggig. Kalkulator: 34 skrives som C r av kalkulatore, slik at: 34C : 34 <OPTN> <F6> <PROB> <Cr> <EXE> Hypergeometriske sasyligheter: E megde med elemeter ka deles i i delmegder D og D. Det er m elemeter i D og -m i D. Vi trekker tilfeldig r elemeter fra megde ute tilbakeleggig. Da er k elemeter fra D) m m k r k r Dee sasylighetsfordeliga kaller vi e hypergeometrisk sasylighetsfordelig. Biomiske sasyligheter: Vi gjør uavhegige forsøk. I hvert forsøk er sasylighete p for at e hedelse S skal itreffe og -p for at de ikke skal itreffe. Da er S itreffer k gager) p k k p k ( ). Dee sasylighetsfordeliga kaller vi e biomisk sasylighetsfordelig. Tommy & Tiger (Calvi & Hobbes): T&T bid 3 side 6

3 Kladd Ihold Dato.,.,.3,.4,.,.6 0, 06.,.8,.9,.0 4, 6 Stokastiske variabler: Stokastisk vil si det samme som tilfeldig. Kaster vi to teriger og vil fie summe, er summe Z e stokastisk, dvs. tilfeldig, variabel som ka ata verdiee, 3, 4,, 6,, 8, 9, 0, eller. Teller vi opp hvorda vi ka få de ulike svara, vil vi kue lage ei sasylighetsfordelig der vi ser at er verdie som er lettest å få, med sasylighet lik /6. Kast med teriger er tilfeldige forsøk. De mulige resultatee kaller vi som valig utfall. Husk også på at summe av alle sasylighetee i ei sasylighetsfordelig skal være eller 00%. Biomisk fordelig: Ei biomisk fordelig er ei fordelig med bare to mulige utfall (bi-!). Vi gjør uavhegige forsøk. I hvert forsøk er sasylighete lik p for at e hedelse skal itreffe og - p for at de ikke skal itreffe. Vi lar X være atall gager hedelse itreffer, og for sasylighetsfordeliga med de formele: Sasylighete for at oe skjer k gager: P ( X ) k k k k) p ( p, der k 0,,,, Bruk lommeregere: Vi ka aturligvis skrive i de biomiske formele med isatte verdier direkte. Husk på <OPTN> og <CALC> for å fie hvis du treger å legge samme flere sasyligheter og <OPTN> og <PROB> for å fie Cr! Lommeregere har også biomialformele iebygd: STAT: <DIST> distributio, fordelig <BINM> biomial <Bpd> gjelder e ekeltsasylighet: Velg <VAR> x de variabelverdie du vil ha svar på, dvs. X. Numtrial atall forsøk, dvs.. p sasylighete, dvs. p. <Bcd> vil si summe av sasylighetee fra starte (0) og til og med de x-verdie du agir år du leser i x, Numtrial og p. Forvetigsverdi: Forvetigsverdie er ei form for gjeomsittsverdi. Hvor mage gutter reger du med at det er i e 4-barsfamilie? Vi forveter. Hvis X er e stokastisk variabel med m mulige verdier x x,...,, x m, vil forvetigsverdie til X være defiert som: µ E( X ) x m X x) + x X x ) xm X xm ) xm X xi ) i Forvetigsverdie kalles også de store talls lov, eller love om gjeomsittet: kaster du e terig mage gager, vil atallet gager terige får de forskjellige verdiee, bli gaske likt etter hvert. Likevel går det ikke a å rege med gevist i Lotto dersom ma velger blat tall som sjelde har vært trukket ut. Hvorfor ikke? På lommeregere må dere igje merke dere bruk av og Cr! 8/ 9/.,.,.3,.4,. 9, 0 Regeregler for forvetig: Det fis ekle regler år vi skal rege med forvetiger: E( a + bx ) a + b E( X ), der a og b er kostater og X e stokastisk variabel. E ( X + Y ) E( X ) + E( Y ), år X og Y er stokastiske variable. I e biomisk fordelig, der X er biomisk fordelt: E ( X ) p 0/ Iførig 46ae, 4, 49, 46 0/.6,.,.8,.9,.0,. 6, 8 Varias og stadardavvik: Spredig forhold til forvetigsverdie sier mye om ei fordelig, me det viser seg at vi får et lagt viktigere mål for spredig dersom vi kvadrerer avviket, kvadratavviket. Det gjeomsittlige kvadratavviket kalles varias: X er e stokastisk variabel med m mulige verdier x, x,..., x m og forvetigsverdie µ; da er variase defiert som: m µ ) X x ) + ( x µ ) X x ) ( xm µ ) X xm ) ( xi ) X xi ) i Var( X ) ( x µ Kvadratrota til variase kaller vi stadardavviket, og i motsetig til variase vil stadardavviket ha riktig beevig i forhold til det vi jobber med! Stadardavviket til e stokastisk variabel X er gitt ved: σ SD ( X ) Var( X ) / 3

4 Kladd Ihold Dato Prøve, kapittel 4 6/.,.3,.4,.,.6 3, 38 Regeregler for varias: Igje er regereglee relativt ekle: Var ( a + bx ) b Var( X ), der a og b er kostater og X e stokastisk variabel. Var ( X + Y ) Var( X ) + Var( Y ), år X og Y er stokastiske variable. I e biomisk fordelig, der X er biomisk fordelt: Var( X ) p( p) /.,.8,.9,.30 40, 44.3,.3,.33,.34 48, 3 Kotiuerlige stokastiske variabler: Hittil har vi bare sett på edelige stokastiske variabler. Terigkast ka bare bli 4 eller, ikke oe imellom. Nå skal vi udersøke kotiuerlige variabler. Tidligere har vi lært om histogram, høyde av ei søyle var atall observasjoer over et itervall. Nå skal histogrammee teges slik at arealet av ei søyle er lik de relative frekvese, slik at arealet av alle søylee blir lik eller 00%. Og vi skal fie arealer over tetthetsfuksjoer, dvs. fuksjoer som beskriver sasylighetsfordeliga. Når X er e kotiuerlig stokastisk variabel med tetthetsfuksjo f(x) og a og b er kostater, har vi: P ( a X b) f ( x) dx b a Normalfordeliga: Normalfordeliga er de viktigste av alle sasylighetsfordeliger. (De kalles også Gauss-fordeliga, etter matematikere Carl Friedrich Gauss.) Gauss fat ormalfordeliga som e fordelig av målefeil fra bl.a. ladmålig. Me mage meeskelige egeskaper, for eksempel høyde, prestasjoer på idrettsbae eller på skole følger ei ormalfordelig. Dee fordeliga er altså gaske ormal. I ei ormalfordleig skal ca. /3, egtl. 68,3% være iafor et stadardavvik hver veg i forhold til forvetigsverdie. Over 9% er iafor stadardavvik hver veg. Tetthetsfuksjoe til ormalfordeliga av X ka skrives slik: f ( x µ ) σ ( ) x e σ π Det er ekelt å føre alle ormalfordeliger over på e stadard form, stadardormalfordeliga. Når X er µ ormalfordelt med forvetig µ og stadardavviket er σ, er Z X stadardormalfordelt. På side 4 og og i formelsamliga fis stadardormafordeliga som ka brukes på alle ormalfordeliger! Lommeregere: Akkurat som med biomialformele har kalkulatore ormalfordeliga iebygd! STAT: <DIST> distributio, fordelig <NORM> ormal <Npd> gjelder e ekeltsasylighet: Velg x de variabelverdie du vil ha svar på, dvs. X. σ stadardavvik. µ forvetigsverdie. <Ncd> vil si summe av sasylighetee fra <Lower> og til og med <Upper>. σ stadardavvik. µ forvetigsverdie. σ 3/ 4/ Kalkulator og sasylighetsregig: PLUS-modellee av Casio 980 og 990 har ege sasylighetsfordeliger : <STAT> <DIST>: Her fis <NORM> og <BINM> og oe flere. Bruke er beskrevet på kapittelarket. Eksempel : Normalfordelig av rekrutters høydefordelig der gjeomsittshøyde er 80 cm og stadardavviket er. Dee sasylighetsfordeliga følger da fuksjoe: f ( x 80) ( x) e 4 π Det ka være yttig å tege grafe: Gjør det slik at de blir Y på kalkulatore. a) Hvor stor del av rekruttee er mellom og 8 cm? Ete: (Y,,8 ) på kalkulatore 0,, dvs. %. For å få fram Y: <VARS> <GRPH> <Y>. Skriv til tallet for å få Y. Eller: Vi bryr oss ikke om f(x) me bruker heller stadardormalfordeliga som ligger i kalkulatore. De fugerer for atall

5 stadardavvik, og vi veit vi fra til 8 skal ed c, dvs. stadardavvik og opp det samme i forhold til gjeomsittet, forvetigsverdie på 80 cm. : ) - : ) på kalkulatore 0,, dvs. %. For å få fram P-fuksjoe: <RUN> <OPTN> <PROB> <>. b) Vi vil se arealet illustrert: Vi teger opp ormalfordeliga og skraverer fra 80 cm til 8 cm: Graph Y Q ( : ) <EXE> som gir 0,6: Dvs. at vårt areal er det dobbelte, 0, %. <RUN> <Sketch> (dvs. <SHIFT> <F4>) <GRPH> <Y> <OPTN> <PROB> <Q(> Fuksjoe P ( : ) ville gitt hele arealet fra vestre og til stadardavviket c) Hvorda fier vi høyde som 9% av rekruttee er lavere e? +. Legg i de to grafee X) og 0,9 på valig måte. Bruk vidu x [ 3,3] og [ 0,] y. y vil si 00% og tallee lags x- akse er atall stadardavvik. Fi skjærig: x,644806, dvs.,64 stdardavvik til høyre for 80 cm. Høyde blir altså 80 cm +,64 cm 9, cm, som er høyde 9% ikke overstiger. Eksempel : Det reiser persoer. 6 smugler og plukkes ut for kotroll. Variable X er hvor mage av dem som smugler som blir kotrollert. Vi vil lage tabeller over fordeliga og forvetig og stadardavvik. X x) 6 x 9 x Lista vår dreier seg bare om 0,,, 3, 4 eller persoer, de som kotrolleres, me poeget er å la kalkulatore gjøre mage regeoperasjoer for oss! a) Legg tallee i List. <STAT>: Fyll ut List mauelt, husk <EXE> b) Legg sasylighetsfordeliga i List : Flytt markøre til listehodet List og tast i: Seq (6 C X 9 C ( X) : C, X, 0,, ) <OPTN> <LIST> <SEQ> (Seq står for sekves, ei rekke der X går fra og med 0 til og med og med sprag på i dette tilfellet.) <EXE> c) Lage e kumulativ liste, altså med summeriger udervegs: Flytt markøre til listehodet List 3 og tast i: Cuml List <EXE> <OPTN> <LIST> <CUML> <OPTN> <LIST> <LIST> og skriv i ummeret på lista:. De kumulerte sasylighete for alle skal bli, dvs. 00% og sasylighete for at ikke flere e smuglere blir tatt blir 0,66, dvs. 66%. d) Fie forvetigsverdie utfra tabell: Flytt markøre til listehodet List 4 og tast i: List x List <EXE>. Disse tallee skal summeres, og det ka gjøres i e kumulativ liste, se c), eller slik: <MENU> <RUN> og skriv i: Sum List 4 <EXE>, som blir, dvs. forvetigsverdie. <OPTN> <LIST> <Sum> <OPTN> <LIST> <List> og skriv tallet. e) Fie variase utfra tabell som summeres til slutt: Flytt markøre til listehodet List og tast i: (List.) x List <EXE> Velg deretter: <MENU> <RUN> Sum List <EXE> og svaret blir 0,6. f) Fies stadardavviket: Reg ut kvadratrota av 0,6, som blir 0,8. g) Søylediagram: <SET UP>: Stat Wid Maual <EXIT> <GRPH>: StatGraph: Graph Type Hist, Xlist List, Frequecy List

6 Viduet V-Vidow må stilles i: x [ 0,6] og y [ 0,] Kladd Ihold Dato.3,.36,.3,.38 9, 6 Setralgresesetige: Normalfordeliga er god i seg sjøl, me de gir også ei god tilærmig til adre fordeliger. Når er tilstrekkelig stor og X er biomisk fordelt, er x tilærma ormalfordelt. Setralgresesetige sier at summe av mage stokastisk variabler er tilærma ormalfordelt med forvetigsverdi µ og stadardavvik σ år er tilstrekkelig stor.(abraham de Moivre, 66-4.) Tilærmig til biomisk fordelig: Hvis X er biomisk fordelt og tilstrekkelig stor, er X tilærma ormalfordelt med forvetigsverdi E ( X ) p og stadardavvik ) ( ). SD( X p p 9/.39,.40,.4,.4,.43 63, 68 Biomisk fordelig ved utvalgsudersøkelser: Avslutige av kapitlet dreier seg om statistiske metoder. Normalt sett veit vi ikke hvilke verdi p har, i stedet må vi aslå, estimere verdie av p år vi har observert X av e populasjo med atall N. Populasjosadel: p er adele i e stor populasjo som har et kjeeteg. X er atallet i et tilfeldig utvalg (e stikkprøve) på idivider med dette kjeeteget: Estimator: p X Stadardfeil: Tilærma 9% kofidesitervall: S p p( p) p.96 S, p+. 96 S p p 30/ Litt mer kalkulatorstoff: Dersom du skal rege ut stadardavvik med mer. utfra ei liste med data, ka det gjøres med <STAT>valget på kalkulatore i List. Deretter velger du <CALC> og <VAR>, du har bare é variabel. Lista du får opp, er iteressat: x - gjeomsittet, dvs. E (X ) x - dvs. summe av alle verdiee. x - dvs. summe av kvadratet av alle verdiee. xσ - dvs. stadardavviket SD (X ) xσ - dvs. empirisk stadardavvik (side 09 i læreboka) - atall data, dvs.. De yeste kalkulatoree: De har to viktige fordeliger uder STAT DIST: Normalfordeliga: NORM Npd ekeltresultat: Legg i forvetigsverdi og stadardavvik som µ og σ. På x-plass ka vi lese av sasylighete for akkurat dee x-verdie. Med Execute ka vi tege grafe. Ncd resultat over et itervall: Legg i edre og øvre grese, og sasylighete over området reges ut.. IvN fier x-verdie år du har oppgitt resultatet som sasylighet. Når arealet er 0, vil aturligvis x-verdie være lik forvetigsverdie, for da har vi arealet fra vestre og halvveis, det vil si til µ. Biomialfordeliga: BINM Bpd ekeltresultat: Legg i x-verdiee i List (for eksempel). La oss si at vi kaster ei terig 0 gager: Da ka vi få ett resultat (for eksempel 6) 0,,, 3, 0 gager. Disse resultatee legger vi i ei liste. Atall forsøk, 0 kast, legger vi i Numtrial og sasylighete, /6, i p og utfører: Og dermed får vi fordeliga edover, fra 0 seksere og til 0 seksere. Velger vi Variable i stedet fro List, ka vi spørre etter ett ekeltresultat og ikke hele lista. x gis avr på sasylighete for å få seksere på 0 kast. Bcd kumulerte resultater gir oss tilsvarede tabell, me summert opp. Tilsvarede summert opp til et ekeltresultat, for eksempel x. 6

7 Kladd Ihold Dato.44,.4,.46 0, 3 Målefeil og populasjosgjeomsitt: Lommekalkulator: Bruk <STAT> og legg i resultater i List. Velg <CALC> og <VAR> for å fie gjeomsitt, stadardavvik, atall observasjoer og e del adre beregiger! Populasjosgjeomsitt: Til hvert idivid i e stor populasjo er det kytta e tallstørrelse. Gjeomsittet av tallstørrelse i hele populasjoe er lik µ. X, X,,X er tallstørrelse for idivider i et tilfeldig utvalg. Estimator: µ X X i i Empirisk stadardavvik: Stadardfeil: S X S S Tilærma 9% kofidesitervall: i ( X i X ) X.96 S, X X S X / Bruk spørsmåla "Rett eller galt?" på side 9 i oppgavesamliga til å teste deg sjøl på slutte av kapitlet, og som repetisjo. Husk dessute på at oppgavee 0,,, 3, 4, 4, 6, 66 og er løst bak i oppgavesamliga. Iførig:, 6, 86 / Prøve / Tommy og Tiger (Calvi ad Hobbes): Oppdatert madag,. jauar 008. Has Isdahl Bid 3, side 8

Mer om utvalgsundersøkelser

Mer om utvalgsundersøkelser Mer om utvalgsudersøkelser I uderkapittel 3.6 i læreboka gir vi e kort iførig i takegage ved utvalgsudersøkelser. Vi gir her e grudigere framstillig av temaet. Populasjo og utvalg Ved e utvalgsudersøkelse

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FAG TMA4245 STATISTIKK 6.august 2004

LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FAG TMA4245 STATISTIKK 6.august 2004 Norges tekisk aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Side av 0 LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FAG TMA4245 STATISTIKK 6.august 2004 Oppgave Midtveiseksame a) X er e stokastisk variabel

Detaljer

8 (inkludert forsiden og formelsamling) Tegne- og skrivesaker, kalkulator, formelsamling (se vedlagt).

8 (inkludert forsiden og formelsamling) Tegne- og skrivesaker, kalkulator, formelsamling (se vedlagt). Eksamesoppgave våre 011 Ordiær eksame Bokmål Fag: Matematikk Eksamesdato: 10.06.011 Studium/klasse: GLU 5-10 Emekode: MGK00 Eksamesform: Skriftlig Atall sider: 8 (ikludert forside og formelsamlig) Eksamestid:

Detaljer

Econ 2130 uke 15 (HG) Poissonfordelingen og innføring i estimering

Econ 2130 uke 15 (HG) Poissonfordelingen og innføring i estimering Eco 130 uke 15 (HG) Poissofordelige og iførig i estimerig 1 Poissofordelige (i) Tilærmig til biomialfordelige. Regel. ( Poissotilærmelse ) Ata Y ~ bi(, p) E( Y ) = p og var( Y ) = p(1 p). Hvis er stor

Detaljer

Ukeoppgaver i BtG207 Statistikk, uke 4 : Binomisk fordeling. 1

Ukeoppgaver i BtG207 Statistikk, uke 4 : Binomisk fordeling. 1 Ukeoppgaver i BtG20 Statistikk, uke 4 : Biomisk fordelig. 1 Høgskole i Gjøvik Avdelig for tekologi, økoomi og ledelse. Statistikk Ukeoppgaver uke 4 Biomisk fordelig. Oppgave 1 La de stokastiske variable

Detaljer

Eksamen REA3028 S2, Våren 2011

Eksamen REA3028 S2, Våren 2011 Eksame REA08 S, Våre 0 Del Tid: timer Hjelpemidler: Valige skrivesaker, passer, lijal med cetimetermål og vikelmåler er tillatt. Oppgave (8 poeg) a) Deriver fuksjoee ) f 5 f 6 5 ) g g ) h l 9 9 6 4 h l

Detaljer

Påliteligheten til en stikkprøve

Påliteligheten til en stikkprøve Pålitelighete til e stikkprøve Om origiale... 1 Beskrivelse... 2 Oppgaver... 4 Løsigsforslag... 4 Didaktisk bakgru... 5 Om origiale "Zuverlässigkeit eier Stichprobe" på http://www.mathe-olie.at/galerie/wstat2/stichprobe/dee

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010. Noen viktige sannsynlighetsmodeller. Binomisk modell. Kp. 3 Diskrete tilfeldige variable

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010. Noen viktige sannsynlighetsmodeller. Binomisk modell. Kp. 3 Diskrete tilfeldige variable ÅMA Saslighetsregig med statistikk, våre K. 3 Diskrete tilfeldige variable Noe viktige saslighetsmodeller Noe viktige saslighetsmodeller ( Sas.modell : å betr det klasse/te sas.fordelig.) Biomisk modell

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010 Kp. 6, del 5

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010 Kp. 6, del 5 ÅMA110 Sasylighetsregig med statistikk, våre 2010 Kp. 6, del 5 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap Uiversitetet i Stavager 12. april Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 4 1/ 59

Detaljer

Høgskolen i Telemark Avdeling for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 12. desember 2008

Høgskolen i Telemark Avdeling for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 12. desember 2008 Høgskole i Telemark Avdelig for estetiske fag, folkekultur og lærerutdaig BOKMÅL. desember 8 EKSAMEN I MATEMATIKK, Utsatt røve Modul 5 studieoeg Tid: 5 timer Ogavesettet er å sider (ikludert formelsamlig).

Detaljer

STK1100: Kombinatorikk

STK1100: Kombinatorikk 1100: ombiatorikk auar 2009 Ørulf orga Matematisk istitutt Uiversitetet i Oslo 1 Uiform sasylighetsmodell: t stokastisk forsøk har N utfall Det er de mulige utfallee for forsøket i atar at de N utfallee

Detaljer

Høgskolen i Telemark Avdeling for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 20. mai 2008

Høgskolen i Telemark Avdeling for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 20. mai 2008 Høgskole i Telemark Avdelig for estetiske fag, folkekultur og lærerutdaig BOKMÅL. mai 8 EKSAMEN I MATEMATIKK Modul 5 studieoeg Tid: 5 timer Ogavesettet er å sider (ikludert formelsamlig). Hjelemidler:

Detaljer

n 2 +1) hvis n er et partall.

n 2 +1) hvis n er et partall. TMA445 Statistikk Vår 04 Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Øvig ummer, blokk II Oppgave Mediae til et datasett, X, er de midterste verdie. Hvis vi har stokastiske

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2011

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2011 ÅMA110 asylighetsregig med statistikk våre 011 Kp. 5 Estimerig 1 Estimerig. Målemodelle. Ihold: 1. (ukt)estimerig i biomisk modell (kp. 5.). Målemodelle... (kp. 5.3) 3. (ukt)estimerig i målemodelle (kp.

Detaljer

Metoder for politiske meningsmålinger

Metoder for politiske meningsmålinger Metoder for politiske meigsmåliger AV FORSKER IB THOMSE STATISTISK SETRALBYRÅ Beregigsmetodee som brukes i de forskjellige politiske meigsmåliger har vært gjestad for mye diskusjo i dagspresse det siste

Detaljer

Estimering og hypotesetesting. Estimering og hypotesetesting. Estimering og hypotesetesting. Kapittel 10. Ett- og toutvalgs hypotesetesting

Estimering og hypotesetesting. Estimering og hypotesetesting. Estimering og hypotesetesting. Kapittel 10. Ett- og toutvalgs hypotesetesting 3 Estimerig og hypotesetestig Kapittel 10 Ett- og toutvalgs hypotesetestig TMA445 V007: Eirik Mo Feome Bilkjørig Høyde til studeter Estimator ˆp = X, X atall ˆµ = X gjeomsittlig høyde. som syes de er flikere

Detaljer

Fagdag 2-3mx 24.09.07

Fagdag 2-3mx 24.09.07 Fagdag 2-3mx 24.09.07 Jeg beklager at jeg ikke har fuet oe ye morsomme spill vi ka studere, til gjegjeld skal dere slippe prøve/test dee gage. Istruks: Vi arbeider som valig med 3 persoer på hver gruppe.

Detaljer

Eksempeloppgave 2014. REA3028 Matematikk S2 Eksempel på eksamen våren 2015 etter ny ordning. Ny eksamensordning. Del 1: 3 timer (uten hjelpemidler)

Eksempeloppgave 2014. REA3028 Matematikk S2 Eksempel på eksamen våren 2015 etter ny ordning. Ny eksamensordning. Del 1: 3 timer (uten hjelpemidler) Eksempeloppgave 2014 REA3028 Matematikk S2 Eksempel på eksame våre 2015 etter y ordig Ny eksamesordig Del 1: 3 timer (ute hjelpemidler) Del 2: 2 timer (med hjelpemidler) Mistekrav til digitale verktøy

Detaljer

EKSAMEN Løsningsforslag

EKSAMEN Løsningsforslag ..4 EKSAMEN Løsigsforslag Emekode: ITF75 Dato: 6. desember Eme: Matematikk for IT Eksamestid: kl 9. til kl. Hjelpemidler: To A4-ark med valgfritt ihold på begge sider. Kalkulator er ikke tillatt. Faglærer:

Detaljer

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma R1. Casio fx-9860

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma R1. Casio fx-9860 Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Casio fx-9860 Innhold 1 Om Casio fx-9860 4 2 Regning 4 2.1 Tallet e......................................

Detaljer

FX-82ES. NY CASIO teknisk / vitenskapelig lommeregner med naturlig tallvindu.

FX-82ES. NY CASIO teknisk / vitenskapelig lommeregner med naturlig tallvindu. ytt NR. 005. årgag FX-8ES NY CASIO tekisk / viteskapelig lommereger med aturlig tallvidu. Det er å mer e 5 år side kalkulatore for alvor ble tatt i bruk i orsk matematikk-udervisig, og de viteskapelige

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007 Kp. 6, del 4. Hypotesetesting, del 4

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007 Kp. 6, del 4. Hypotesetesting, del 4 ÅMA11 Sasylighetsregig med statistikk, våre 27 Kp. 6, del 4 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap Uiversitetet i Stavager 19. mars Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 4 1/ 27 Bjør

Detaljer

Kommentarer til oppgaver;

Kommentarer til oppgaver; Kapittel - Algebra Versjo: 11.09.1 - Rettet feil i 0, 1 og 70 og lagt i litt om GeoGebra-bruk Kommetarer til oppgaver; 0, 05, 10, 13, 15, 5, 9, 37, 5,, 5, 59, 1, 70, 7, 78, 80,81 0 a) Trykkfeil i D-koloe

Detaljer

Hypotesetesting, del 5

Hypotesetesting, del 5 Oversikt, del 5 Kofidesitervall p-verdi Kofidesitervall E (tosidig test ka gjeomføres vha. av et kofidesitervall. For eksempel, dersom vi i målemodell 1 vil teste: H 0 : μ = μ 0 mot H 1 : μ μ 0, ka vi

Detaljer

TMA4245 Statistikk. Øving nummer b5. Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag

TMA4245 Statistikk. Øving nummer b5. Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4245 Statistikk Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Øvig ummer b5 Oppgave 1 Eksame mai 2001, oppgave 1 av 4 Vi ser på kosetrasjoe av et giftstoff i havbue like utefor

Detaljer

H T. Amundsen INNHOLD

H T. Amundsen INNHOLD Itere otater STATISTISK SENTRALBYRÅ. oktober 1980 KORRELASJONSKOEFFISIENTEN - ENDA ENGANG Av H T. Amudse INNHOLD 1. Iledig *****..... * 0 1. Produktmametkorrelasjoskoeffisiete og sammehege med lieær regresjo.

Detaljer

Høgskolen i Telemark Avdeling for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 16. mai 2008

Høgskolen i Telemark Avdeling for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 16. mai 2008 Høgskole i Telemark Avdelig for estetiske fag, folkekultur og lærerutdaig BOKMÅL 6. mai 008 EKSAMEN I MATEMATIKK Modul 5 studiepoeg Tid: 5 timer Oppgavesettet er på 8 sider (ikludert formelsamlig). Hjelpemidler:

Detaljer

2.1 Polynomdivisjon. Oppgave 2.10

2.1 Polynomdivisjon. Oppgave 2.10 . Polyomdivisjo Oppgave. ( 5 + ) : = + + ( + ):( ) 6 + 6 8 8 = + + c) ( + 5 ) : = + 6 6 d) + + + = + + = + + + 8+ ( ):( ) + + + Oppgave. ( + 5+ ):( ) 5 + + = + ( 5 ): 9 + + + = + + + 5 + 6 9 c) ( 8 66

Detaljer

11,7 12,4 12,8 12,9 13,3.

11,7 12,4 12,8 12,9 13,3. TMA4240 Statistikk Vår 2008 Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Øvig ummer b6 Oppgave 1 Eksame mai 2001, oppgave 1 av 4 Vi ser på kosetrasjoe av et giftstoff i havbue

Detaljer

Del1. b) 1) Gittrekka 2 4 6 8 Finnleddnummer20 ogsummenavde20førsteleddene.

Del1. b) 1) Gittrekka 2 4 6 8 Finnleddnummer20 ogsummenavde20førsteleddene. Del1 Oppgave 1 a) Deriver fuksjoee: 1) fx ( ) x 2 1 x 2 1 2) g x x 2 2 e x b) 1) Gittrekka 2 4 6 8 Fileddummer20 ogsummeavde20førsteleddee. 1 1 2) Gitt de uedelige rekka 2 1 2 4 Avgjør om rekka kovergerer.

Detaljer

Eksempler fra slutten av forrige uke. Eksempler (styrke, dimensjonering,...) Eksempler fra slutten av forrige uke

Eksempler fra slutten av forrige uke. Eksempler (styrke, dimensjonering,...) Eksempler fra slutten av forrige uke Oversikt, del 5 Hypotesetestig, del 4 (oppsummerig fra Hypotesetestig, del 5 Kofidesitervall dimesjoerig Eksempler fra slutte av forrige uke Kofidesitervall p-verdi Eksempler Eksempler (styrke, dimesjoerig,...

Detaljer

ARBEIDSHEFTE I MATEMATIKK

ARBEIDSHEFTE I MATEMATIKK ARBEIDSHEFTE I MATEMATIKK Temahefte r Hvorda du reger med poteser Detaljerte forklariger Av Matthias Loretze mattegriseforlag.com Opplsig: E potes er e forkortet skrivemåte for like faktorer. E potes består

Detaljer

EKSAMENSOPPGAVE. Faglig veileder: Kirsten Aarset, Bente Hellum og Jan Stubergh Gruppe(r): 1-elektro, 1-maskin, 3-almen Dato: 17 desember 2001

EKSAMENSOPPGAVE. Faglig veileder: Kirsten Aarset, Bente Hellum og Jan Stubergh Gruppe(r): 1-elektro, 1-maskin, 3-almen Dato: 17 desember 2001 Avdelig for igeiørutdaig EKSAMENSOPPGAVE Fag: Kjemi og Miljø Fagr FO 05 K Faglig veileder: Kirste Aarset, Bete Hellum og Ja Stubergh Gruppe(r): 1-elektro, 1-maski, -alme Dato: 17 desember 001 Eksamestid,

Detaljer

Eksempeloppgave 2014. REA3026 Matematikk S1 Eksempel på eksamen våren 2015 etter ny ordning. Ny eksamensordning. Del 1: 3 timer (uten hjelpemidler)

Eksempeloppgave 2014. REA3026 Matematikk S1 Eksempel på eksamen våren 2015 etter ny ordning. Ny eksamensordning. Del 1: 3 timer (uten hjelpemidler) Eksempeloppgave 04 REA306 Matematikk S Eksempel på eksame våre 05 etter y ordig Ny eksamesordig Del : 3 timer (ute hjelpemidler) Del : timer (med hjelpemidler) Mistekrav til digitale verktøy på datamaski:

Detaljer

Institutt for økonomi og administrasjon

Institutt for økonomi og administrasjon Fakultet for samfusfag Istitutt for økoomi og admiistraso Ivesterig og fiasierig Bokmål Dato: Madag. desember 3 Tid: 4 timer / kl. 9-3 Atall sider (ikl. forside): 5 + sider vedlegg Atall oppgaver: 4 Tillatte

Detaljer

IO 77/45 29. november 1977 ESTIMERING AV ENGELDERIVERTE PA DATA MED MALEFEIL. Odd Skarstad 1) INNHOLD

IO 77/45 29. november 1977 ESTIMERING AV ENGELDERIVERTE PA DATA MED MALEFEIL. Odd Skarstad 1) INNHOLD IO 77/45 29. ovember 977 ESTIMERING V ENGELDERIVERTE P DT MED MLEFEIL av Odd Skarstad ) INNHOLD I. Data fra forbruksudersøkelse II. Estimerig ved målefeil. Iledig 2. Systematiske målefeil 2 3. Tilfeldige

Detaljer

Avdeling for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 29. mai 2007

Avdeling for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 29. mai 2007 Høgskole Telemark Avdelg for estetske fag, folkekultur og lærerutdag BOKMÅL 9. ma 7 EKSAMEN I MATEMATIKK, Modul 5 studepoeg Td: 5 tmer Hjelpemdler: Kalkulator og vedlagt formelsamlg (bakerst oppgavesettet).

Detaljer

Oversikt over konfidensintervall i Econ 2130

Oversikt over konfidensintervall i Econ 2130 1 HG Revidert april 013 Oversikt over kofidesitervall i Eco 130 Merk at dee oversikte ikke er met å leses istedefor framstillige i Løvås, me som et supplemet. De ieholder tabeller med formler for kofidesitervaller

Detaljer

Formler og regler i statistikk ifølge lærebok Gunnar Løvås: Statistikk for universiteter og høgskoler

Formler og regler i statistikk ifølge lærebok Gunnar Løvås: Statistikk for universiteter og høgskoler Formler og regler statstkk følge lærebok Guar Løvås: tatstkk for uversteter og høgskoler Kap. Hva er fakta om utvalget etralmål Meda: mdterste verd etter sorterg Modus: hyppgst forekommede verd Gjeomstt:

Detaljer

Positive rekker. Forelest: 3. Sept, 2004

Positive rekker. Forelest: 3. Sept, 2004 Postve rekker Forelest: 3. Sept, 004 V skal tde utover fokusere på å teste om e rekke kovergerer, og skyve formler for summerg bakgrue. Dette er gje ford det første målet vårt er å lære hvorda v ka fe

Detaljer

LØSNING: Eksamen 17. des. 2015

LØSNING: Eksamen 17. des. 2015 LØSNING: Eksame 17. des. 2015 MAT100 Matematikk, 2015 Oppgave 1: økoomi a I optimum av T Rx er dt Rx 0 1 som gir d Ix Kx 0 2 dix dix dkx dkx 0 3 4 dvs. greseitekt gresekostad, q.e.d. 5 b Gresekostad ekstrakostade

Detaljer

Løsningsforslag til øving 9 OPPGAVE 1 a)

Løsningsforslag til øving 9 OPPGAVE 1 a) Høgskole i Gjøvik vd for ek, øk og ledelse aemaikk 5 Løsigsforslag il øvig 9 OPPGVE ) Bereger egeverdiee: de I) ) ) ) Egeverdier: og ) ) Bereger egevekoree: vi ivi ii) vi ed λ : ) ) v Velger s som gir

Detaljer

Eksamen 20.05.2009. REA3024 Matematikk R2. Nynorsk/Bokmål

Eksamen 20.05.2009. REA3024 Matematikk R2. Nynorsk/Bokmål Eksame 20052009 REA3024 Matematikk R2 Nyorsk/Bokmål Nyorsk Eksamesiformasjo Eksamestid: Hjelpemiddel på Del 1: Hjelpemiddel på Del 2: Bruk av kjelder: Vedlegg: Framgagsmåte: Rettleiig om vurderiga: 5 timar:

Detaljer

Løsning eksamen R1 våren 2010

Løsning eksamen R1 våren 2010 Løsig eksame R våre 00 Oppgave a) ) f ( ) l f ( ) ' l l l l f ( ) (l ) ) g( ) 4e g( ) 4 e ( ) 4 e ( ) g( ) 4( ) e b) ( ) 4 4 6 P ) P() 4 4 6 8 6 8 6 0 Divisjo med ( ) går opp. 4 4 6 : ( ) 8 4 4 8 6 8 6

Detaljer

Løsningsforslag R2 Eksamen 04.06.2012. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik

Løsningsforslag R2 Eksamen 04.06.2012. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Løsigsforslag R2 Eksame 6 Vår 04.06.202 Nebuchadezzar Matematikk.et Øistei Søvik Sammedrag De fleste forlagee som gir ut lærebøker til de videregåede skole, gir ut løsigsforslag til tidligere gitte eksameer.

Detaljer

B Bakgrunnsinformasjon om ROS-analysen.

B Bakgrunnsinformasjon om ROS-analysen. RI SI KO- O G SÅRBARH ET SANALYSE (RO S) A Hva som skal utredes Beredskapog ulykkesrisiko(ros) vurderesut fra sjekklistefra Direktoratetfor samfussikkerhetog beredskap.aalyse blir utført ved vurderigav

Detaljer

HØGSKOLEN I MOLDE Sensurveiledning Log300 Innføring i logistikk - Vår 2006

HØGSKOLEN I MOLDE Sensurveiledning Log300 Innføring i logistikk - Vår 2006 HØGSKOLEN I MOLDE Sesurveiledig Log300 Iførig i logistikk - Vår 2006 Dato: Tid: 13.06.06 09:00 13:00 Asvarlig faglærer: Jøra Gårde Hjelpemidler: Oppgave består av totalt 6 sider (5 sider + ormalfordeligstabell).

Detaljer

Institutt for økonomi og administrasjon

Institutt for økonomi og administrasjon Fakultet for safusfag Istitutt for økooi og adiistraso Ivesterig og fiasierig Bokål Dato: Tirsdag. deseber 4 Tid: 4 tier / kl. 9-3 Atall sider (ikl. forside): 5 + 9 sider vedlegg Atall oppgaver: 4 Tillatte

Detaljer

Rapport Brukertilfredshet blant pårørende til beboere ved sykehjem i Oslo kommune 2009

Rapport Brukertilfredshet blant pårørende til beboere ved sykehjem i Oslo kommune 2009 Rapport Brukertilfredshet blat pårørede til beboere ved sykehjem i Oslo kommue Resultater fra e spørreudersøkelse blat pårørede til sykehjemsbeboere februar 2010 Forord Brukerudersøkelser er ett av tre

Detaljer

Luktrisikovurdering fra legemiddelproduksjon på Fikkjebakke Screening

Luktrisikovurdering fra legemiddelproduksjon på Fikkjebakke Screening Luktrisikovurderig fra legemiddelproduksjo på Fikkjebakke Screeig Aquateam COWI AS Rapport r: 14-046 Prosjekt r: O-14062 Prosjektleder: Liv B. Heige Medarbeidere: Lie Diaa Blytt Karia Ødegård (Molab AS)

Detaljer

Eksamen 21.05.2013. REA3024 Matematikk R2. Nynorsk/Bokmål

Eksamen 21.05.2013. REA3024 Matematikk R2. Nynorsk/Bokmål Eksame 21.05.2013 REA3024 Matematikk R2 Nyorsk/Bokmål Nyorsk Eksamesiformasjo Eksamestid: Hjelpemiddel på Del 1: Hjelpemiddel på Del 2: 5 timar: Del 1 skal leverast i etter 2 timar. Del 2 skal leverast

Detaljer

Avdeling for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 14.12.2007

Avdeling for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 14.12.2007 Høgskole Telemark Avdelg for estetske fag, folkekultur og lærerutdag BOKMÅL 4..7 UTATT PRØVE I MATEMATIKK, Modul 5 studepoeg Td: 5 tmer Hjelpemdler: Kalkulator og vedlagt formelsamlg (bakerst oppgavesettet).

Detaljer

Der oppgaveteksten ikke sier noe annet, kan du fritt velge framgangsmåte.

Der oppgaveteksten ikke sier noe annet, kan du fritt velge framgangsmåte. Eksame 20.05.2009 REA3028 Matematikk S2 Nyorsk/Bokmål Bokmål Eksamesiformasjo Eksamestid: Hjelpemidler på Del 1: Hjelpemidler på Del 2: Bruk av kilder: Vedlegg: Framgagsmåte: Veiledig om vurderige: 5 timer:

Detaljer

Leseforståelse og matematikk

Leseforståelse og matematikk Leseforståelse og matematikk av guri a. ortvedt To studier av sammehege mellom leseforståelse og løsig av tekstoppgaver viser at ekelte elever ka mislykkes i oppgaveløsige fordi de tolker språket i oppgavee

Detaljer

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1P. Casio fx 9860

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1P. Casio fx 9860 Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Casio fx 9860 Innhold 1 Innstillinger 4 2 Regning 5 2.1 Regnerekkefølge................................ 5 2.2 Kvadratrot....................................

Detaljer

Utvidet løsningsforslag Eksamen i TMA4100 Matematikk 1, 16/12 2008

Utvidet løsningsforslag Eksamen i TMA4100 Matematikk 1, 16/12 2008 Utvidet løsigsforslag Eksame i TMA4 Matematikk, 6/ 8 Oppgave i) Vi gjør substitusjoe u = si θ og får π/ [ u si θ cos θ dθ = u du = E ae løsigsmetode er π/ si θ cos θ dθ = π/ ] si θ dθ = 4 = 4 ( ( ) ( ))

Detaljer

Dersom vi skriver denne reaksjonslikningen ved bruk av kjemiske tegn: side av likningen har vi ett hydrogen mens vi har to på høyre side.

Dersom vi skriver denne reaksjonslikningen ved bruk av kjemiske tegn: side av likningen har vi ett hydrogen mens vi har to på høyre side. Støkiometri (megdeforhold) Det er særs viktig i kjemie å vite om megdeforhold om stoffer. -E hodepie tablett er bra mot hodesmerter, ti passer dårlig. -E sukkerbit i kaffe fugerer, 100 er slitsomt. -100

Detaljer

Oblig 2 - MAT1120. Fredrik Meyer 26. oktober 2009 = A = P1 1 A 1 P 1 A 1 A 2 = P 1. A k+1. A k P k

Oblig 2 - MAT1120. Fredrik Meyer 26. oktober 2009 = A = P1 1 A 1 P 1 A 1 A 2 = P 1. A k+1. A k P k Oblig 2 - MAT20 Fredri Meyer 26 otober 2009 Matrisee A i er defiert sli der P er e rotasjosmatrise som defierer i oppgave 2: A A 2 A + = A = P A P = P A P Oppgave Matrisee A i+ og A i er similære det fies

Detaljer

Universitetet i Oslo Institutt for geofag. Flomrisikoanalyse for Hamar og Lillestrøm. Helge Bakkehøi. Candidatus Scientiarum

Universitetet i Oslo Institutt for geofag. Flomrisikoanalyse for Hamar og Lillestrøm. Helge Bakkehøi. Candidatus Scientiarum Uiversitetet i Oslo Istitutt for geofag Flomrisikoaalse for Hamar og Lillestrøm Helge Bakkehøi Cadidatus Scietiarum 1. september 2003 ABSTRACT 2 Abstract This work focuses o the two tows most exposed

Detaljer

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 2P. Casio fx-9860

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 2P. Casio fx-9860 Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Casio fx-9860 Innhold 1 Om lommeregneren 4 2 Regning 4 2.1 Tallregning...................................

Detaljer

To-utvalgstest (def 8.1) vs ettutvalgstest: Hypotesetesting, to utvalg (Kapitel 8) Longitudinell studie (oppfølgingsstudie) - eqn 8.1. Eksempel 8.

To-utvalgstest (def 8.1) vs ettutvalgstest: Hypotesetesting, to utvalg (Kapitel 8) Longitudinell studie (oppfølgingsstudie) - eqn 8.1. Eksempel 8. Hypotesetestig, to utvalg (Kapitel 8) Medisisk statistikk 009 http://folk.tu.o/slyderse/medstat/medstati_h09.html To-utvalgstest (def 8.) vs ettutvalgstest: To-utvalgstest: Sammelike de uderliggede parameter

Detaljer

E K S A M E N : FAG: Matematikk 1 MA-154 LÆRER: MORTEN BREKKE. Klasse(r): Alle Dato: 1. des 11 Eksamenstid, fra-til: 0900-1400

E K S A M E N : FAG: Matematikk 1 MA-154 LÆRER: MORTEN BREKKE. Klasse(r): Alle Dato: 1. des 11 Eksamenstid, fra-til: 0900-1400 UNIVERSITETET I AGDER Grimstad E K S A M E N : FAG: Matematikk MA-54 LÆRER: MORTEN BREKKE Klasse(r): Alle Dato:. des Eksamestid, fra-til: 0900-400 Eksamesoppgave består av følgede iklusive forside Atall

Detaljer

Om Grafiske Bruker-Grensesnitt (GUI) Hvordan gjør vi det, to typer av vinduer? GUI (Graphical User Interface)-programmering

Om Grafiske Bruker-Grensesnitt (GUI) Hvordan gjør vi det, to typer av vinduer? GUI (Graphical User Interface)-programmering Uke9. mars 2005 rafisk brukergresesitt med Swig og awt Litt Modell Utsy - Kotroll Del I Stei jessig Ist for Iformatikk Uiv. i Oslo UI (raphical User Iterface)-programmerig I dag Hvorda få laget et vidu

Detaljer

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1T. Casio fx 9860

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1T. Casio fx 9860 Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Casio fx 9860 Innhold 1 Innstillinger 4 2 Regning 5 2.1 Regnerekkefølge................................ 5 2.2 Tallet π.....................................

Detaljer

I forelesningen så vi litt på hvordan vi tegner grafer manuelt. Enkel bruk av GeoGebra er vist gjennom noen korte videoer i bolk 5c.

I forelesningen så vi litt på hvordan vi tegner grafer manuelt. Enkel bruk av GeoGebra er vist gjennom noen korte videoer i bolk 5c. NOTAT TIL FORELESNING OM FUNKSJONER, DEL Forelesige om uksjoer består av to deler, ørste del bygger på dette otatet Notatet bygger på læreboke og er oe mer utyllede e orelesige I bolk 5a så vi hvorda vi

Detaljer

NR. 2-2005 11. årgang

NR. 2-2005 11. årgang nytt NR. - 005 11. årgang FX-9860G SD Casio lanserer i nær framtid et nytt tilskudd på stammen av grafiske lommeregnere spesielt beregnet for videregående skole. Den svart hvite skjermen, er blitt større

Detaljer

Rapport GPS prosjekt - Ryggeheimen sykehjem, Rygge

Rapport GPS prosjekt - Ryggeheimen sykehjem, Rygge Rapport GPS prosjekt - Ryggeheime sykehjem, Rygge Bruk av GPS på sykehjem Elisabeth Refses/ Siv Skaldstad Tidspla:1/3 10 1/10 10. Orgaiserig: Styrigsgruppe: Åse Nilsse, Ove Keeth Kvige, Elisabeth Breistei,

Detaljer

CONSTANT FINESS SUNFLEX SMARTBOX

CONSTANT FINESS SUNFLEX SMARTBOX Luex terrassemarkiser. Moterig- og bruksavisig CONSTNT FINESS SUNFLEX SMRTBOX 4 5 6 7 8 Markises hovedkompoeter og mål Kombikosoll og plasserig rmklokker og justerig Parallelljusterig Motordrift og programmerig

Detaljer

4: Sannsynlighetsregning

4: Sannsynlighetsregning Plan for hele året: - Kapittel 5: Januar - Kapittel 6: Februar - Kapittel 7: Februar/mars 4: Sannsynlighetsregning - Kapittel 8: Mars/april - Repetisjon: April/mai - Økter, prøver, prosjekter: Mai - juni

Detaljer

Leica Lino Presis selvhorisonterende punkt- og linjelaser

Leica Lino Presis selvhorisonterende punkt- og linjelaser Impex Produkter AS Verkseier Furuluds vei 15 0668 OSLO Tel. 22 32 77 20 Fax 22 32 77 25 ifo@impex.o www.impex.o Leica Lio Presis selvhorisoterede pukt- og lijelaser Still opp, slå på, klar! Med Leica Lio

Detaljer

S2 kapittel 1 Rekker Utvalgte løsninger oppgavesamlingen

S2 kapittel 1 Rekker Utvalgte løsninger oppgavesamlingen Utvlgte løsiger oppgvesmlige S kpittel Rekker Utvlgte løsiger oppgvesmlige 0 Vi k prøve med differsemetode Differsee mellom leddee utover er 4,6,8, så det er rimelig t differse mellom femte og fjerde ledd

Detaljer

Formelsamling i matematikk og statistikk

Formelsamling i matematikk og statistikk Høgskole i Berge Formelsamlig i matematikk og statistikk for Igeiørutdaige FOA, FOA, FOA3, FOA7, FVA4 5.utgave Fuksjoer. Elemetære fuksjoer: a) l y = y = e a = b = log a b = lb l a b) l(ab) = l A + l B,

Detaljer

Rente og pengepolitikk 1. Innhold. Forelesningsnotat 9, februar 2015

Rente og pengepolitikk 1. Innhold. Forelesningsnotat 9, februar 2015 Forelesigsotat 9, februar 2015 Rete og pegepolitikk 1 Ihold Rete og pegepolitikk...1 Hvorda virker Norges Baks styrigsrete?...3 Pegemarkedet...3 Etterspørselskaale...4 Valutakurskaale...4 Forvetigskaale...5

Detaljer

Kraftforsyningsberedskap. Roger Steen Seniorrådgiver Beredskapsseksjonen NVE, rost@nve.no

Kraftforsyningsberedskap. Roger Steen Seniorrådgiver Beredskapsseksjonen NVE, rost@nve.no Kraftforsyigsberedskap Roger Stee Seiorrådgiver Beredskapsseksjoe NVE, rost@ve.o Beredskapsasvar Olje- og eergidepartemetet har det overordede asvaret for ladets kraftforsyig. Det operative asvaret for

Detaljer

Vi lærte sist å lage vinduer. Om å lage et vindu. GUI (Graphical User Interface)-programmering. Inf 1010-2007 GUI - del 2

Vi lærte sist å lage vinduer. Om å lage et vindu. GUI (Graphical User Interface)-programmering. Inf 1010-2007 GUI - del 2 GUI (Graphical User Iterface)-programmerig If 1010-2007 GUI - del 2 Stei Gjessig Ist for Iformatikk Uiv. i Oslo Tidligere Hvorda få laget et vidu på skjerme Grafikk (tegig i viduet) Hvorda legge ulike

Detaljer

OPPGAVE 4 LØSNINGSFORSLAG OPPGAVE 5 LØSNINGSFORSLAG UTVIKLING AV REKURSIV FORMEL FOR FIGURTALL SOM GIR ANDREGRADSFUNKSJONER

OPPGAVE 4 LØSNINGSFORSLAG OPPGAVE 5 LØSNINGSFORSLAG UTVIKLING AV REKURSIV FORMEL FOR FIGURTALL SOM GIR ANDREGRADSFUNKSJONER OPPGAVE 4 LØSNINGSFORSLAG Tallfølge i f) rektageltallee. Her er de eksplisitte formele R = ( +1) eller R = +. Dette er e adregradsfuksjo. I figurtallsammeheg forutsetter vi at de legste side er (øyaktig)

Detaljer

Er neste datapar ved kalibrering en ekstremverdi som skal forkastes?

Er neste datapar ved kalibrering en ekstremverdi som skal forkastes? Er este datapar ved kalibrerig e ekstremverdi som skal forkastes? v/rue Øverlad, Traior Elsikkerhet AS 1. Iledig Dee artikkele utleder formel for usikkerhetsitervallet PI (Predictio Iterval) som omslutter

Detaljer

Fotball krysser grenser (konfirmanter Ålgård og Gjesdal)

Fotball krysser grenser (konfirmanter Ålgård og Gjesdal) 1 Fotball krysser greser (kofirmater Ålgård og Gjesdal) Øsker du e ide til et praktisk rettet prosjekt/aksjo der kofirmater ka bidra til de fattige dele av verde? Her har du et ferdig opplegg for hvorda

Detaljer

Dette foredraget om Barn, fysisk aktivitet & helse er utarbeidet av professor Roald Bahr på oppdrag av NFFs faggruppe for idrettsfysioterapi, FFI.

Dette foredraget om Barn, fysisk aktivitet & helse er utarbeidet av professor Roald Bahr på oppdrag av NFFs faggruppe for idrettsfysioterapi, FFI. Dette foredraget om Bar, fysisk aktivitet & helse er utarbeidet av professor Roald Bahr på oppdrag av NFFs faggruppe for idrettsfysioterapi, FFI. Foredraget er utarbeidet som et ledd i FFIs strategi for

Detaljer

Rente og pengepolitikk. 8. forelesning ECON 1310 21. september 2015

Rente og pengepolitikk. 8. forelesning ECON 1310 21. september 2015 Rete og pegepolitikk 8. forelesig ECON 1310 21. september 2015 1 Norge: lav og stabil iflasjo det operative målet for pegepolitikke, ær 2,5 proset i årlig rate. Iflasjosmålet er fleksibelt, dvs. at setralbake

Detaljer

Statistikk 2. Tabellen nedenfor viser oljeproduksjonen i et OPEC-land i perioden 1990 til 2005. Produksjonen er i 1000 tonn.

Statistikk 2. Tabellen nedenfor viser oljeproduksjonen i et OPEC-land i perioden 1990 til 2005. Produksjonen er i 1000 tonn. Statistikk Innledning Begrepet statistikk skriver seg fra tiden da en stat samlet inn opplysninger som myndighetene hadde bruk for. Opplysningene eller dataene som ble samlet inn, dreide seg for det meste

Detaljer

Prøveeksamen 2. Elektronikk 24. mars 2010

Prøveeksamen 2. Elektronikk 24. mars 2010 Prøveeksame 2 Elektroikk 24. mars 21 OPPGAVE 1 E 8 bit D/A-omformer har et utspeigsområde fra til 8 V V 1LSB, der V 1LSB er de aaloge speige som svarer til det mist sigifikate bit (LSB). a) Hvor stor er

Detaljer

MAT4010 PROSJEKTOPPGAVE: Statistikk i S2. Olai Sveine Johannessen, Vegar Klem Hafnor & Torstein Mellem

MAT4010 PROSJEKTOPPGAVE: Statistikk i S2. Olai Sveine Johannessen, Vegar Klem Hafnor & Torstein Mellem MAT400 PROSJEKTOPPGAVE: Statistikk i S2 Olai Sveine Johannessen, Vegar Klem Hafnor & Torstein Mellem 20. mai 205 Innhold. Stokastisk Variabel.. Stokastiske variable som funksjoner 3 2. Forventningsverdi

Detaljer

Duo HOME Duo OFFICE. Programmerings manual NO 65.044.30-1

Duo HOME Duo OFFICE. Programmerings manual NO 65.044.30-1 Duo HOME Duo OFFICE Programmerigs maual NO 65.044.30-1 INNHOLD Tekisk data Side 2 Systemiformasjo, brukere Side 3-4 Legge til og slette brukere Side 5-7 Edrig av sikkerhetsivå Side 8 Programmere: Nødkode

Detaljer

Forelesning Elkraftteknikk 1, 17.08.2004 Oppdatert 23.08.2004 Skrevet av Ole-Morten Midtgård. HØGSKOLEN I AGDER Fakultet for teknologi

Forelesning Elkraftteknikk 1, 17.08.2004 Oppdatert 23.08.2004 Skrevet av Ole-Morten Midtgård. HØGSKOLEN I AGDER Fakultet for teknologi Forelesig Elkrafttekikk, 7.08.004 Oppdatert 3.08.004 Skreet a Ole-Morte Midtgård HØGSKOEN I AGDER Fakultet for tekologi Komplekse tall og isere Komplekse tall er sært yttige i aalyse a elkraftsystemer.

Detaljer

1. Premonitions - Foresight (ex-rmgdn Pause)

1. Premonitions - Foresight (ex-rmgdn Pause) SVÆRT RUBATO - MYE VISUELLE TEGN: Dee låta har svært lite tydelig tempo Derfor må vi fokusere på å gjøre mye visuelle teg til hveradre I tillegg til visuelle teg (mest av alt felles asatser på lage toer

Detaljer

ENMANNSBEDRIFTEN i byggeog anleggsbransjen. Et tryggere og bedre arbeidsmiljø

ENMANNSBEDRIFTEN i byggeog anleggsbransjen. Et tryggere og bedre arbeidsmiljø ENMANNSBEDRIFTEN i byggeog aleggsbrasje Et tryggere og bedre arbeidsmiljø INNHOLD Formålet med hådboke... side 4 Lover og regler som hjelper deg til et tryggere og bedre arbeidsmiljø... side 6 HMS-arbeide

Detaljer

konjugert Reaksjonslikning for syre-basereaksjonen mellom vann og ammoniakk: base konjugert syre Et proton er et hydrogenatom som

konjugert Reaksjonslikning for syre-basereaksjonen mellom vann og ammoniakk: base konjugert syre Et proton er et hydrogenatom som Syrer og r Det fies flere defiisjoer på hva r og r er. Vi skal bruke defiisjoe til Brøsted: E Brøsted er e proto door. E Brøsted er e proto akseptor. 1s 1 Et proto er et hydrogeatom som har mistet sitt

Detaljer

Texas. Så trykker vi på zoom og velger 0:ZoomFit. Vi får fram det valget enten ved å trykke på tasten 0 eller ved å trykke på tasten noen ganger.

Texas. Så trykker vi på zoom og velger 0:ZoomFit. Vi får fram det valget enten ved å trykke på tasten 0 eller ved å trykke på tasten noen ganger. ON Lommeregnerstoff Texas 4.1 Rette linjer Her viser vi hvordan vi går fram for å få tegnet linja med likningen y = 2x 3 Vi trykker på Y= og legger inn likningen som vist nedenfor. Nå må vi velge vindu.

Detaljer

Årsplan i norsk - 2. klasse 2015-2016

Årsplan i norsk - 2. klasse 2015-2016 Årspla i orsk - 2. klasse 2015-2016 Atall timer pr uke: 8 timer Lærere: Elise Gjerpe Solberg og Gro Åkerlud Læreverk: Tuba Luba C og D hefter Arbeidsbok: «Jeg ka» og «ABC2 Elle» av Ae Lise Gjerdrum Nettsted:

Detaljer

Bruksanvisning - modul 5423

Bruksanvisning - modul 5423 Bruksavisig - modul 5423 Gratulerer med ytt ur! NORSK Dette uret ieholder ikke e ykode som korrespoderer med UT -3,5 timer. Dette etyr at de radiostyrte atomtidsvisigsfuksjoe ikke vil vise korrekt tid

Detaljer

Innsamling og modellering av data for analyse av militære operasjoner

Innsamling og modellering av data for analyse av militære operasjoner FFI-rapport 008/059 Isamlig og modellerig av data for aalyse av militære operasjoer Håko Ljøgodt Forsvarets forskigsistitutt (FFI) 9. august 008 FFI-rapport 008/059 068 P: ISBN 978-8-464-447-8 E: ISBN

Detaljer

Rapport mai 2013 MØBEL- OG INTERIØRBRANSJENE 2012

Rapport mai 2013 MØBEL- OG INTERIØRBRANSJENE 2012 apport mai 013 ØBE- G ITEIØBSJEE 01 1 3 IHD 01 Iledig 01 Iledig 0 øbelhadele 03 Boligtekstilbrasje 0 Servise- og kjøkkeutstyrbrasje 05 Belysigsutstyr 06 Butikkhadele med iredigsartikler 07 Spesialbutikker

Detaljer

Registrarseminar 1. april 2003. Ingrid Ofstad Norid

Registrarseminar 1. april 2003. Ingrid Ofstad Norid Registrarsemiar 1. april 2003 Igrid Ofstad Norid Statistikk 570 har fått godkjet søkad om å bli registrar ca. 450 registrarer er aktive i dag 2 5 ye avtaler hver uke på semiaret deltar både registrarer

Detaljer

Globalisering og ny regionalisme

Globalisering og ny regionalisme Parterforum 1. November 2013 Globaliserig og y regioalisme Kosekveser for Norge og orsk offetlig sektor Kjell A. Eliasse Ceter for Europea ad Asia Studies Norwegia Busiess School - BI Kjell A Eliasse,

Detaljer

ILLUSTRATOR enklere enn noensinne. Merete Jåsund, IGM. making. d e s i

ILLUSTRATOR enklere enn noensinne. Merete Jåsund, IGM. making. d e s i ILLUSTRATOR eklere e oesie Merete Jåsud, IGM maki maki Illustrator eklere e oesie I de siste versjoe av Illustrator er eda flere ti blitt redierbare til siste slutt - e trekk som mer e oe aet som har preet

Detaljer

Brukerhåndbok. dynadock V10. computers.toshiba-europe.com

Brukerhåndbok. dynadock V10. computers.toshiba-europe.com dyadock V10 computers.toshiba-europe.com Ihold Iledig...11 Fuksjoer...11 Ihold i pakke...11 Datamaskikrav...12 Hurtigiførig...13 Moterig og tilkoplig...16 motere dyadock...16 Kople til strøm...16 Istallere

Detaljer