3MX 2007/8 - Kapittel 5: 8. januar 5. februar 2008

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "3MX 2007/8 - Kapittel 5: 8. januar 5. februar 2008"

Transkript

1 3MX 00/8 - Kapittel : 8. jauar. februar 008 Pla for skoleåret 00/008: Kapittel 6: 6/ /. Kapittel : / /3. Prøver på eller skoletime etter hvert kapittel. É heildagsprøve i hver termi. Repetisjo, prøver, mutlig, økter, diverse arbeid: /3 jui. Vi kommer å til et ytt sasylighets- og statistikkapittel. Det repeteres i læreboka, me oe av dere har kaskje behov for litt ekstra treig, Her følger samleoppgavee fra MX, og de er bra repetisjo:.a: Etter offetlig statistikk er sasylighete 9,8 % for at e 44 år gammel kvie skal bli mist 4 år, 94, % for at e 4 år gammel kvie skal bli mist 64 år og 94 9 % for at e 64 år gammel kvie skal bli mist 69 år. a) Hva er sasylighete for at e 44 år gammel kvie skal bli mist 69 år? Ti gamle klasseveier som alle er 44 år, møtes på Heartbreak hotel for å feire at det er år side de gikk ut av videregåede skole. De blir eig om å møtes igje samme sted om år. Hva er sasylighete for at b) alle ti er i live om år c) i er i live om år d) åtte er i live om år e)mist åtte er i live om år.b: Ved a teste for et bestemt hormo i e uriprove ka e avgjøre om e kvie er gravid. E graviditetstest er ikke 00 % sikker. I e udersøkelse fat e: Hvis e kvie er gravid, er det 99, % sasylig at teste vil vise det. Hvis e kvie ikke er gravid, er det 0. % sasylig at teste likevel vil idikere at kvie er gravid. Vi atar at 0 % av de kviee som tar e graviditetstest, er gravide. E kvie tar e graviditetstest. a) Hva er sasylighete for at teste idikerer at kvie er gravid? b) Teste idikerer at kvie er gravid. Hva er sasylighete for at hu virkelig er det?.c: "Idiote" er e kabal. De starter med at du legger fire kort fra e kortstokk opp på bordet. a) Hvor mage måter ka du gjøre dette på år vi tar hesy til rekkefølge? b) På hvor mage måter ka du få: ) fire spar ) ett kort i hver farge (Husk at det er fire «farger»: kløver, ruter, hjerter og spar.) c) Fi sasylighete for de to hedelsee i oppgave b. Må du gjøre oe forutsetiger for å berege dem?.d: Fem veer går samme på kio. a) Hva er sasylighete for at ige av dem har fødselsdag i samme måed? (Du ka rege som om alle fødselsmåeder er like sasylige.) b) Hva er sasylighete for at mist to av dem har fødselsdag i samme måed? c) Du er e av de fem veee. Hva er sasylighete for at mist e av de adre er født i samme måed som deg?.e: Ved e skole er det grupper som skal ha udervisig e bestemt skoletime. Skole har 0 udervisigsrom. a) På hvor mage måter ka ispektøre velge de rommee der det skal være udervisig? b) Ispektore har valgt rommee der det skal være udervisig. Pa hvor mage måter ka hu fordele gruppee pa disse rommee?.f: Du tipper e lottorekke (jf. eksempel 4 i avsitt.). Hva er sasylighete for at du tipper riktig a) seks viertall b) fem viertall c) fire viertall (Fasit: A: a: 8,9% b:,% c: 3,9% d: 3,% e: 88,9% B: a: 0,3% b: 98,0% C: a: b: : 60 : c: : 0,6% : 0,% Kortee må være godt stokket. D: a: 38,% b: 6,8% c: 9,4% E: a: 40 b: 3,6 0 4 F: a: 3, 0 - b:,4 0-3 c: 0,09) Produktsetiga: Ei omformig av setiga for betiget sasylighet fører til: A B) B år A og B er avhegige hedelser, og A B) B) år A og B er uavhegige hedelser; de siste gjelder også for 3 eller eda flere hedelser. Total sasylighet: B) A B) + A B) B + B Bayes setig: A B) B B) Kombiatorikk: Kombiatorikke gir oss løsiger på hvor mage muligheter som fis, ofte gir det oss svar på mulige utfall, dvs. evere vi treger for å fie sasylighete! Atall rekker på e tippekupog er E lottokupog har 3966 ulike rekker med viertall. Hvorfor? Hvor mage ulike kortheder med 3 kort ka du få utdelt? Hvor mage ulike orske bilummer ka vi lage? Osv. Ordet utvalg med tilbakeleggig: Fra e megde med elemeter ka vi lage år utvelgiga skjer med tilbakeleggig. r... ordede utvalg på r elemeter

2 Ordet utvalg ute tilbakeleggig: Fra e megde med elemeter ka vi lage ) )... r + ) ordede utvalg på r elemeter år utvelgiga skjer ute tilbakeleggig. Ordig av elemeter: elemeter ka ordes i rekkefølge på ( ) )... 3! ulike måter, som leses fakultet. Kalkulator:! blir: <OPTN> <F6> <PROB> <x!> <EXE> ) )... r + ) skrives som P r av kalkulatore, slik at: P : 0 <OPTN> <F6> <PROB> <Pr> <EXE> 0 Uordet utvalg ute tilbakeleggig: Fra e megde med elemeter ka vi lage ) )... r + )! r r! r!( r)! uordede utvalg på r elemeter år utvelgiga skjer ute tilbakeleggig. Kalkulator: 34 skrives som C r av kalkulatore, slik at: 34C : 34 <OPTN> <F6> <PROB> <Cr> <EXE> Hypergeometriske sasyligheter: E megde med elemeter ka deles i i delmegder D og D. Det er m elemeter i D og -m i D. Vi trekker tilfeldig r elemeter fra megde ute tilbakeleggig. Da er k elemeter fra D) m m k r k r Dee sasylighetsfordeliga kaller vi e hypergeometrisk sasylighetsfordelig. Biomiske sasyligheter: Vi gjør uavhegige forsøk. I hvert forsøk er sasylighete p for at e hedelse S skal itreffe og -p for at de ikke skal itreffe. Da er S itreffer k gager) p k k p k ( ). Dee sasylighetsfordeliga kaller vi e biomisk sasylighetsfordelig. Tommy & Tiger (Calvi & Hobbes): T&T bid 3 side 6

3 Kladd Ihold Dato.,.,.3,.4,.,.6 0, 06.,.8,.9,.0 4, 6 Stokastiske variabler: Stokastisk vil si det samme som tilfeldig. Kaster vi to teriger og vil fie summe, er summe Z e stokastisk, dvs. tilfeldig, variabel som ka ata verdiee, 3, 4,, 6,, 8, 9, 0, eller. Teller vi opp hvorda vi ka få de ulike svara, vil vi kue lage ei sasylighetsfordelig der vi ser at er verdie som er lettest å få, med sasylighet lik /6. Kast med teriger er tilfeldige forsøk. De mulige resultatee kaller vi som valig utfall. Husk også på at summe av alle sasylighetee i ei sasylighetsfordelig skal være eller 00%. Biomisk fordelig: Ei biomisk fordelig er ei fordelig med bare to mulige utfall (bi-!). Vi gjør uavhegige forsøk. I hvert forsøk er sasylighete lik p for at e hedelse skal itreffe og - p for at de ikke skal itreffe. Vi lar X være atall gager hedelse itreffer, og for sasylighetsfordeliga med de formele: Sasylighete for at oe skjer k gager: P ( X ) k k k k) p ( p, der k 0,,,, Bruk lommeregere: Vi ka aturligvis skrive i de biomiske formele med isatte verdier direkte. Husk på <OPTN> og <CALC> for å fie hvis du treger å legge samme flere sasyligheter og <OPTN> og <PROB> for å fie Cr! Lommeregere har også biomialformele iebygd: STAT: <DIST> distributio, fordelig <BINM> biomial <Bpd> gjelder e ekeltsasylighet: Velg <VAR> x de variabelverdie du vil ha svar på, dvs. X. Numtrial atall forsøk, dvs.. p sasylighete, dvs. p. <Bcd> vil si summe av sasylighetee fra starte (0) og til og med de x-verdie du agir år du leser i x, Numtrial og p. Forvetigsverdi: Forvetigsverdie er ei form for gjeomsittsverdi. Hvor mage gutter reger du med at det er i e 4-barsfamilie? Vi forveter. Hvis X er e stokastisk variabel med m mulige verdier x x,...,, x m, vil forvetigsverdie til X være defiert som: µ E( X ) x m X x) + x X x ) xm X xm ) xm X xi ) i Forvetigsverdie kalles også de store talls lov, eller love om gjeomsittet: kaster du e terig mage gager, vil atallet gager terige får de forskjellige verdiee, bli gaske likt etter hvert. Likevel går det ikke a å rege med gevist i Lotto dersom ma velger blat tall som sjelde har vært trukket ut. Hvorfor ikke? På lommeregere må dere igje merke dere bruk av og Cr! 8/ 9/.,.,.3,.4,. 9, 0 Regeregler for forvetig: Det fis ekle regler år vi skal rege med forvetiger: E( a + bx ) a + b E( X ), der a og b er kostater og X e stokastisk variabel. E ( X + Y ) E( X ) + E( Y ), år X og Y er stokastiske variable. I e biomisk fordelig, der X er biomisk fordelt: E ( X ) p 0/ Iførig 46ae, 4, 49, 46 0/.6,.,.8,.9,.0,. 6, 8 Varias og stadardavvik: Spredig forhold til forvetigsverdie sier mye om ei fordelig, me det viser seg at vi får et lagt viktigere mål for spredig dersom vi kvadrerer avviket, kvadratavviket. Det gjeomsittlige kvadratavviket kalles varias: X er e stokastisk variabel med m mulige verdier x, x,..., x m og forvetigsverdie µ; da er variase defiert som: m µ ) X x ) + ( x µ ) X x ) ( xm µ ) X xm ) ( xi ) X xi ) i Var( X ) ( x µ Kvadratrota til variase kaller vi stadardavviket, og i motsetig til variase vil stadardavviket ha riktig beevig i forhold til det vi jobber med! Stadardavviket til e stokastisk variabel X er gitt ved: σ SD ( X ) Var( X ) / 3

4 Kladd Ihold Dato Prøve, kapittel 4 6/.,.3,.4,.,.6 3, 38 Regeregler for varias: Igje er regereglee relativt ekle: Var ( a + bx ) b Var( X ), der a og b er kostater og X e stokastisk variabel. Var ( X + Y ) Var( X ) + Var( Y ), år X og Y er stokastiske variable. I e biomisk fordelig, der X er biomisk fordelt: Var( X ) p( p) /.,.8,.9,.30 40, 44.3,.3,.33,.34 48, 3 Kotiuerlige stokastiske variabler: Hittil har vi bare sett på edelige stokastiske variabler. Terigkast ka bare bli 4 eller, ikke oe imellom. Nå skal vi udersøke kotiuerlige variabler. Tidligere har vi lært om histogram, høyde av ei søyle var atall observasjoer over et itervall. Nå skal histogrammee teges slik at arealet av ei søyle er lik de relative frekvese, slik at arealet av alle søylee blir lik eller 00%. Og vi skal fie arealer over tetthetsfuksjoer, dvs. fuksjoer som beskriver sasylighetsfordeliga. Når X er e kotiuerlig stokastisk variabel med tetthetsfuksjo f(x) og a og b er kostater, har vi: P ( a X b) f ( x) dx b a Normalfordeliga: Normalfordeliga er de viktigste av alle sasylighetsfordeliger. (De kalles også Gauss-fordeliga, etter matematikere Carl Friedrich Gauss.) Gauss fat ormalfordeliga som e fordelig av målefeil fra bl.a. ladmålig. Me mage meeskelige egeskaper, for eksempel høyde, prestasjoer på idrettsbae eller på skole følger ei ormalfordelig. Dee fordeliga er altså gaske ormal. I ei ormalfordleig skal ca. /3, egtl. 68,3% være iafor et stadardavvik hver veg i forhold til forvetigsverdie. Over 9% er iafor stadardavvik hver veg. Tetthetsfuksjoe til ormalfordeliga av X ka skrives slik: f ( x µ ) σ ( ) x e σ π Det er ekelt å føre alle ormalfordeliger over på e stadard form, stadardormalfordeliga. Når X er µ ormalfordelt med forvetig µ og stadardavviket er σ, er Z X stadardormalfordelt. På side 4 og og i formelsamliga fis stadardormafordeliga som ka brukes på alle ormalfordeliger! Lommeregere: Akkurat som med biomialformele har kalkulatore ormalfordeliga iebygd! STAT: <DIST> distributio, fordelig <NORM> ormal <Npd> gjelder e ekeltsasylighet: Velg x de variabelverdie du vil ha svar på, dvs. X. σ stadardavvik. µ forvetigsverdie. <Ncd> vil si summe av sasylighetee fra <Lower> og til og med <Upper>. σ stadardavvik. µ forvetigsverdie. σ 3/ 4/ Kalkulator og sasylighetsregig: PLUS-modellee av Casio 980 og 990 har ege sasylighetsfordeliger : <STAT> <DIST>: Her fis <NORM> og <BINM> og oe flere. Bruke er beskrevet på kapittelarket. Eksempel : Normalfordelig av rekrutters høydefordelig der gjeomsittshøyde er 80 cm og stadardavviket er. Dee sasylighetsfordeliga følger da fuksjoe: f ( x 80) ( x) e 4 π Det ka være yttig å tege grafe: Gjør det slik at de blir Y på kalkulatore. a) Hvor stor del av rekruttee er mellom og 8 cm? Ete: (Y,,8 ) på kalkulatore 0,, dvs. %. For å få fram Y: <VARS> <GRPH> <Y>. Skriv til tallet for å få Y. Eller: Vi bryr oss ikke om f(x) me bruker heller stadardormalfordeliga som ligger i kalkulatore. De fugerer for atall

5 stadardavvik, og vi veit vi fra til 8 skal ed c, dvs. stadardavvik og opp det samme i forhold til gjeomsittet, forvetigsverdie på 80 cm. : ) - : ) på kalkulatore 0,, dvs. %. For å få fram P-fuksjoe: <RUN> <OPTN> <PROB> <>. b) Vi vil se arealet illustrert: Vi teger opp ormalfordeliga og skraverer fra 80 cm til 8 cm: Graph Y Q ( : ) <EXE> som gir 0,6: Dvs. at vårt areal er det dobbelte, 0, %. <RUN> <Sketch> (dvs. <SHIFT> <F4>) <GRPH> <Y> <OPTN> <PROB> <Q(> Fuksjoe P ( : ) ville gitt hele arealet fra vestre og til stadardavviket c) Hvorda fier vi høyde som 9% av rekruttee er lavere e? +. Legg i de to grafee X) og 0,9 på valig måte. Bruk vidu x [ 3,3] og [ 0,] y. y vil si 00% og tallee lags x- akse er atall stadardavvik. Fi skjærig: x,644806, dvs.,64 stdardavvik til høyre for 80 cm. Høyde blir altså 80 cm +,64 cm 9, cm, som er høyde 9% ikke overstiger. Eksempel : Det reiser persoer. 6 smugler og plukkes ut for kotroll. Variable X er hvor mage av dem som smugler som blir kotrollert. Vi vil lage tabeller over fordeliga og forvetig og stadardavvik. X x) 6 x 9 x Lista vår dreier seg bare om 0,,, 3, 4 eller persoer, de som kotrolleres, me poeget er å la kalkulatore gjøre mage regeoperasjoer for oss! a) Legg tallee i List. <STAT>: Fyll ut List mauelt, husk <EXE> b) Legg sasylighetsfordeliga i List : Flytt markøre til listehodet List og tast i: Seq (6 C X 9 C ( X) : C, X, 0,, ) <OPTN> <LIST> <SEQ> (Seq står for sekves, ei rekke der X går fra og med 0 til og med og med sprag på i dette tilfellet.) <EXE> c) Lage e kumulativ liste, altså med summeriger udervegs: Flytt markøre til listehodet List 3 og tast i: Cuml List <EXE> <OPTN> <LIST> <CUML> <OPTN> <LIST> <LIST> og skriv i ummeret på lista:. De kumulerte sasylighete for alle skal bli, dvs. 00% og sasylighete for at ikke flere e smuglere blir tatt blir 0,66, dvs. 66%. d) Fie forvetigsverdie utfra tabell: Flytt markøre til listehodet List 4 og tast i: List x List <EXE>. Disse tallee skal summeres, og det ka gjøres i e kumulativ liste, se c), eller slik: <MENU> <RUN> og skriv i: Sum List 4 <EXE>, som blir, dvs. forvetigsverdie. <OPTN> <LIST> <Sum> <OPTN> <LIST> <List> og skriv tallet. e) Fie variase utfra tabell som summeres til slutt: Flytt markøre til listehodet List og tast i: (List.) x List <EXE> Velg deretter: <MENU> <RUN> Sum List <EXE> og svaret blir 0,6. f) Fies stadardavviket: Reg ut kvadratrota av 0,6, som blir 0,8. g) Søylediagram: <SET UP>: Stat Wid Maual <EXIT> <GRPH>: StatGraph: Graph Type Hist, Xlist List, Frequecy List

6 Viduet V-Vidow må stilles i: x [ 0,6] og y [ 0,] Kladd Ihold Dato.3,.36,.3,.38 9, 6 Setralgresesetige: Normalfordeliga er god i seg sjøl, me de gir også ei god tilærmig til adre fordeliger. Når er tilstrekkelig stor og X er biomisk fordelt, er x tilærma ormalfordelt. Setralgresesetige sier at summe av mage stokastisk variabler er tilærma ormalfordelt med forvetigsverdi µ og stadardavvik σ år er tilstrekkelig stor.(abraham de Moivre, 66-4.) Tilærmig til biomisk fordelig: Hvis X er biomisk fordelt og tilstrekkelig stor, er X tilærma ormalfordelt med forvetigsverdi E ( X ) p og stadardavvik ) ( ). SD( X p p 9/.39,.40,.4,.4,.43 63, 68 Biomisk fordelig ved utvalgsudersøkelser: Avslutige av kapitlet dreier seg om statistiske metoder. Normalt sett veit vi ikke hvilke verdi p har, i stedet må vi aslå, estimere verdie av p år vi har observert X av e populasjo med atall N. Populasjosadel: p er adele i e stor populasjo som har et kjeeteg. X er atallet i et tilfeldig utvalg (e stikkprøve) på idivider med dette kjeeteget: Estimator: p X Stadardfeil: Tilærma 9% kofidesitervall: S p p( p) p.96 S, p+. 96 S p p 30/ Litt mer kalkulatorstoff: Dersom du skal rege ut stadardavvik med mer. utfra ei liste med data, ka det gjøres med <STAT>valget på kalkulatore i List. Deretter velger du <CALC> og <VAR>, du har bare é variabel. Lista du får opp, er iteressat: x - gjeomsittet, dvs. E (X ) x - dvs. summe av alle verdiee. x - dvs. summe av kvadratet av alle verdiee. xσ - dvs. stadardavviket SD (X ) xσ - dvs. empirisk stadardavvik (side 09 i læreboka) - atall data, dvs.. De yeste kalkulatoree: De har to viktige fordeliger uder STAT DIST: Normalfordeliga: NORM Npd ekeltresultat: Legg i forvetigsverdi og stadardavvik som µ og σ. På x-plass ka vi lese av sasylighete for akkurat dee x-verdie. Med Execute ka vi tege grafe. Ncd resultat over et itervall: Legg i edre og øvre grese, og sasylighete over området reges ut.. IvN fier x-verdie år du har oppgitt resultatet som sasylighet. Når arealet er 0, vil aturligvis x-verdie være lik forvetigsverdie, for da har vi arealet fra vestre og halvveis, det vil si til µ. Biomialfordeliga: BINM Bpd ekeltresultat: Legg i x-verdiee i List (for eksempel). La oss si at vi kaster ei terig 0 gager: Da ka vi få ett resultat (for eksempel 6) 0,,, 3, 0 gager. Disse resultatee legger vi i ei liste. Atall forsøk, 0 kast, legger vi i Numtrial og sasylighete, /6, i p og utfører: Og dermed får vi fordeliga edover, fra 0 seksere og til 0 seksere. Velger vi Variable i stedet fro List, ka vi spørre etter ett ekeltresultat og ikke hele lista. x gis avr på sasylighete for å få seksere på 0 kast. Bcd kumulerte resultater gir oss tilsvarede tabell, me summert opp. Tilsvarede summert opp til et ekeltresultat, for eksempel x. 6

7 Kladd Ihold Dato.44,.4,.46 0, 3 Målefeil og populasjosgjeomsitt: Lommekalkulator: Bruk <STAT> og legg i resultater i List. Velg <CALC> og <VAR> for å fie gjeomsitt, stadardavvik, atall observasjoer og e del adre beregiger! Populasjosgjeomsitt: Til hvert idivid i e stor populasjo er det kytta e tallstørrelse. Gjeomsittet av tallstørrelse i hele populasjoe er lik µ. X, X,,X er tallstørrelse for idivider i et tilfeldig utvalg. Estimator: µ X X i i Empirisk stadardavvik: Stadardfeil: S X S S Tilærma 9% kofidesitervall: i ( X i X ) X.96 S, X X S X / Bruk spørsmåla "Rett eller galt?" på side 9 i oppgavesamliga til å teste deg sjøl på slutte av kapitlet, og som repetisjo. Husk dessute på at oppgavee 0,,, 3, 4, 4, 6, 66 og er løst bak i oppgavesamliga. Iførig:, 6, 86 / Prøve / Tommy og Tiger (Calvi ad Hobbes): Oppdatert madag,. jauar 008. Has Isdahl Bid 3, side 8

Mer om utvalgsundersøkelser

Mer om utvalgsundersøkelser Mer om utvalgsudersøkelser I uderkapittel 3.6 i læreboka gir vi e kort iførig i takegage ved utvalgsudersøkelser. Vi gir her e grudigere framstillig av temaet. Populasjo og utvalg Ved e utvalgsudersøkelse

Detaljer

8 (inkludert forsiden og formelsamling) Tegne- og skrivesaker, kalkulator, formelsamling (se vedlagt).

8 (inkludert forsiden og formelsamling) Tegne- og skrivesaker, kalkulator, formelsamling (se vedlagt). Eksamesoppgave våre 011 Ordiær eksame Bokmål Fag: Matematikk Eksamesdato: 10.06.011 Studium/klasse: GLU 5-10 Emekode: MGK00 Eksamesform: Skriftlig Atall sider: 8 (ikludert forside og formelsamlig) Eksamestid:

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FAG TMA4245 STATISTIKK 6.august 2004

LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FAG TMA4245 STATISTIKK 6.august 2004 Norges tekisk aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Side av 0 LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FAG TMA4245 STATISTIKK 6.august 2004 Oppgave Midtveiseksame a) X er e stokastisk variabel

Detaljer

Forventningsverdi. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk

Forventningsverdi. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk MAT0100V Sasylighetsregig og kombiatorikk Forvetigsverdi Sasylighetsfordelige til e tilfeldig variabel X gir sasylighete for de ulike verdiee X ka ata Forvetig, varias og stadardavvik Tilærmig av biomiske

Detaljer

Econ 2130 uke 15 (HG) Poissonfordelingen og innføring i estimering

Econ 2130 uke 15 (HG) Poissonfordelingen og innføring i estimering Eco 130 uke 15 (HG) Poissofordelige og iførig i estimerig 1 Poissofordelige (i) Tilærmig til biomialfordelige. Regel. ( Poissotilærmelse ) Ata Y ~ bi(, p) E( Y ) = p og var( Y ) = p(1 p). Hvis er stor

Detaljer

Econ 2130 Forelesning uke 11 (HG)

Econ 2130 Forelesning uke 11 (HG) Eco 130 Forelesig uke 11 (HG) Mer om ormalfordelige og setralgreseteoremet Uke 1 1 Fra forrige gag ~ betyr er fordelt som. ~ N( µσ, ) E( ) = µ, og var( ) = σ Normalfordelige er symmetrisk om μ og kotiuerlig

Detaljer

Ukeoppgaver i BtG207 Statistikk, uke 4 : Binomisk fordeling. 1

Ukeoppgaver i BtG207 Statistikk, uke 4 : Binomisk fordeling. 1 Ukeoppgaver i BtG20 Statistikk, uke 4 : Biomisk fordelig. 1 Høgskole i Gjøvik Avdelig for tekologi, økoomi og ledelse. Statistikk Ukeoppgaver uke 4 Biomisk fordelig. Oppgave 1 La de stokastiske variable

Detaljer

Løsningsforslag for andre obligatoriske oppgave i STK1100 Våren 2007 Av Ingunn Fride Tvete og Ørnulf Borgan

Løsningsforslag for andre obligatoriske oppgave i STK1100 Våren 2007 Av Ingunn Fride Tvete og Ørnulf Borgan Løsigsforslag for adre obligatoriske oppgave i STK11 Våre 27 Av Igu Fride Tvete (ift@math..uio.o) og Ørulf Borga (borga@math.uio.o). NB! Feil ka forekomme. NB! Sed gjere e mail hvis du fier e feil! Oppgave

Detaljer

Eksamen REA3028 S2, Våren 2011

Eksamen REA3028 S2, Våren 2011 Eksame REA08 S, Våre 0 Del Tid: timer Hjelpemidler: Valige skrivesaker, passer, lijal med cetimetermål og vikelmåler er tillatt. Oppgave (8 poeg) a) Deriver fuksjoee ) f 5 f 6 5 ) g g ) h l 9 9 6 4 h l

Detaljer

KLMED8004 Medisinsk statistikk. Del I, høst Estimering. Tidligere sett på. Eksempel hypertensjon

KLMED8004 Medisinsk statistikk. Del I, høst Estimering. Tidligere sett på. Eksempel hypertensjon Tidligere sett på KLMED8004 Medisisk statistikk Del I, høst 008 Estimerig Hvorda kjete sasylighetsfordeliger (biomialfordelig, ormalfordelig) med kjete populasjosparametrer (forvetig, varias osv.) ka gi

Detaljer

Påliteligheten til en stikkprøve

Påliteligheten til en stikkprøve Pålitelighete til e stikkprøve Om origiale... 1 Beskrivelse... 2 Oppgaver... 4 Løsigsforslag... 4 Didaktisk bakgru... 5 Om origiale "Zuverlässigkeit eier Stichprobe" på http://www.mathe-olie.at/galerie/wstat2/stichprobe/dee

Detaljer

Kapittel 7: Noen viktige sannsynlighetsfordelinger

Kapittel 7: Noen viktige sannsynlighetsfordelinger Kapittel 7: Noe viktige sasylighetsfordeliger I mage situasjoer ka feomeet vi ser på beskrives med e bestemt type sasylighetsfordelig (e sasylighetsfordelig gitt ved e bestemt formel. Vi skal se på oe

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010 Kp. 6, del 5

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010 Kp. 6, del 5 ÅMA110 Sasylighetsregig med statistikk, våre 2010 Kp. 6, del 5 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap Uiversitetet i Stavager 12. april Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 4 1/ 59

Detaljer

Konfidensintervall. Notat til STK1110. Ørnulf Borgan, Ingrid K. Glad og Anders Rygh Swensen Matematisk institutt, Universitetet i Oslo.

Konfidensintervall. Notat til STK1110. Ørnulf Borgan, Ingrid K. Glad og Anders Rygh Swensen Matematisk institutt, Universitetet i Oslo. Kofidesitervall Notat til STK1110 Ørulf Borga, Igrid K. Glad og Aders Rygh Swese Matematisk istitutt, Uiversitetet i Oslo August 2007 Formål E valig metode for å agi usikkerhete til et estimat er å berege

Detaljer

Høgskolen i Telemark Avdeling for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 12. desember 2008

Høgskolen i Telemark Avdeling for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 12. desember 2008 Høgskole i Telemark Avdelig for estetiske fag, folkekultur og lærerutdaig BOKMÅL. desember 8 EKSAMEN I MATEMATIKK, Utsatt røve Modul 5 studieoeg Tid: 5 timer Ogavesettet er å sider (ikludert formelsamlig).

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010. Noen viktige sannsynlighetsmodeller. Binomisk modell. Kp. 3 Diskrete tilfeldige variable

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010. Noen viktige sannsynlighetsmodeller. Binomisk modell. Kp. 3 Diskrete tilfeldige variable ÅMA Saslighetsregig med statistikk, våre K. 3 Diskrete tilfeldige variable Noe viktige saslighetsmodeller Noe viktige saslighetsmodeller ( Sas.modell : å betr det klasse/te sas.fordelig.) Biomisk modell

Detaljer

TMA4245 Statistikk Eksamen 9. desember 2013

TMA4245 Statistikk Eksamen 9. desember 2013 Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag TMA4245 Statistikk Eksame 9. desember 2013 Oppgave 1 I kortspillet Blackjack får ma de høyeste geviste hvis de to første kortee ma

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Kontinuerlige tilfeldige variable, intro. Kontinuerlige tilfeldige variable, intro.

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Kontinuerlige tilfeldige variable, intro. Kontinuerlige tilfeldige variable, intro. ÅMA0 Sasylighetsregig med statistikk, våre 008 Kp. 4 Kotiuerlige tilfeldige variable; Normalfordelig Kotiuerlige tilfeldige variable, itro. (eller: Kotiuerlige sasylighetsfordeliger) Vi har til å sett

Detaljer

Ulike typer utvalg. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk. Ordnet utvalg uten tilbakelegging. Ordnet utvalg med tilbakelegging.

Ulike typer utvalg. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk. Ordnet utvalg uten tilbakelegging. Ordnet utvalg med tilbakelegging. MAT0100V Sasylighetsregig og kombiatorikk Ordet utvalg med og ute tilbakeleggig (repetisjo) Uordet utvalg ute tilbakeleggig (repetisjo) Tilfeldige variabler og sasylighetsfordeliger Hypergeometrisk fordelig

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FAG TMA4240 STATISTIKK 5.august 2004

LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FAG TMA4240 STATISTIKK 5.august 2004 Norges tekisk aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Side av 0 LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FAG TMA4240 STATISTIKK 5.august 2004 Oppgave Foruresig X er e stokastisk variabel som agir

Detaljer

STK1100: Kombinatorikk

STK1100: Kombinatorikk 1100: ombiatorikk auar 2009 Ørulf orga Matematisk istitutt Uiversitetet i Oslo 1 Uiform sasylighetsmodell: t stokastisk forsøk har N utfall Det er de mulige utfallee for forsøket i atar at de N utfallee

Detaljer

LØSNING, EKSAMEN I STATISTIKK, TMA4240, DESEMBER Anta at sann porøsitet er r. Måling med utstyret gir da X n(x; r, 0,03).

LØSNING, EKSAMEN I STATISTIKK, TMA4240, DESEMBER Anta at sann porøsitet er r. Måling med utstyret gir da X n(x; r, 0,03). LØSNING, EKSAMEN I STATISTIKK, TMA440, DESEMBER 006 OPPGAVE 1 Ata at sa porøsitet er r. Målig med utstyret gir da X (x; r, 0,03). a) ( ) X r P(X > r) P 0,03 > 0 P(Z > 0) 0,5. ( X r P(X r > 0,05) P 0,03

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG TILEKSAMEN I FAG TMA4240/TMA4245 STATISTIKK 10. august 2005

LØSNINGSFORSLAG TILEKSAMEN I FAG TMA4240/TMA4245 STATISTIKK 10. august 2005 Norges tekisk aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Side av 8 LØSNINGSFORSLAG TILEKSAMEN I FAG TMA440/TMA445 STATISTIKK 0. august 005 Oppgave Smeltepuktsbestemmelse a) Vi jobber i dette

Detaljer

Høgskolen i Telemark Avdeling for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 20. mai 2008

Høgskolen i Telemark Avdeling for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 20. mai 2008 Høgskole i Telemark Avdelig for estetiske fag, folkekultur og lærerutdaig BOKMÅL. mai 8 EKSAMEN I MATEMATIKK Modul 5 studieoeg Tid: 5 timer Ogavesettet er å sider (ikludert formelsamlig). Hjelemidler:

Detaljer

MOT310 Statistiske metoder 1, høsten 2011

MOT310 Statistiske metoder 1, høsten 2011 MOT310 Statistiske metoder 1, høste 2011 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap Uiversitetet i Stavager 24. august, 2011 Bjør H. Auestad Itroduksjo og repetisjo 1 / 32 Repetisjo; 9.1,

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Kontinuerlige tilfeldige variable, intro. Kontinuerlige tilfeldige variable, intro.

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Kontinuerlige tilfeldige variable, intro. Kontinuerlige tilfeldige variable, intro. ÅMA Sasylighetsregig med statistikk, våre 6 Kp. 4 Kotiuerlige tilfeldige variable og ormaldelige Kotiuerlige tilfeldige variable, itro. (eller: Kotiuerlige sasylighetsdeliger) Vi har til å sett på diskrete

Detaljer

Oppgave 1. (i) Hva er sannsynligheten for at det øverste kortet i bunken er et JA-kort?

Oppgave 1. (i) Hva er sannsynligheten for at det øverste kortet i bunken er et JA-kort? ECON EKSAMEN 8 VÅR TALLSVAR Oppgave Vi har e kortstokk beståede av 6 kort. På av disse står det skrevet JA på forside mes det står NEI på forside av de adre kortee. Hvis ma får se kortet med bakside vedt

Detaljer

Forelesning 4 og 5 Transformasjon, Weibull-, lognormal, beta-, kji-kvadrat -, t-, F- fordeling

Forelesning 4 og 5 Transformasjon, Weibull-, lognormal, beta-, kji-kvadrat -, t-, F- fordeling STAT (V6) Statistikk Metoder Yushu.Li@uib.o Forelesig 4 og 5 Trasformasjo, Weibull-, logormal, beta-, kji-kvadrat -, t-, F- fordelig. Oppsummerig til Forelesig og..) Momet (momet about 0) og setral momet

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007 Kp. 6, del 5. Hypotesetesting, del 5

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007 Kp. 6, del 5. Hypotesetesting, del 5 ÅMA11 Sasylighetsregig med statistikk, våre 7 Kp. 6, del 5 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap Uiversitetet i Stavager 26. mars Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 5 1/ 59 Bjør

Detaljer

n 2 +1) hvis n er et partall.

n 2 +1) hvis n er et partall. TMA445 Statistikk Vår 04 Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Øvig ummer, blokk II Oppgave Mediae til et datasett, X, er de midterste verdie. Hvis vi har stokastiske

Detaljer

Kap. 9: Inferens om én populasjon

Kap. 9: Inferens om én populasjon 2 ST0202 Statistikk for samfusvitere Bo Lidqvist Istitutt for matematiske fag Ka. 9: Iferes om é oulasjo Hvis σ er ukjet bytter vi ut σ med s i Ny observator blir t = x μ s/ z = x μ σ/ der s = Σx 2 (Σx)

Detaljer

H 1 : µ 1 µ 2 > 0. t = ( x 1 x 2 ) (µ 1 µ 2 ) s p. s 2 p = s2 1 (n 1 1) + s 2 2 (n 2 1) n 1 + n 2 2

H 1 : µ 1 µ 2 > 0. t = ( x 1 x 2 ) (µ 1 µ 2 ) s p. s 2 p = s2 1 (n 1 1) + s 2 2 (n 2 1) n 1 + n 2 2 TMA4245 Statistikk Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Øvig ummer b4 Løsigsskisse Oppgave 1 Vi øsker å fie ut om et ytt serum ka stase leukemi. 5 mus får serumet, 4

Detaljer

Løsningsforslag til eksamen i STK desember 2010

Løsningsforslag til eksamen i STK desember 2010 Løsigsforslag til eksame i STK0 0. desember 200 Løsigsforslaget har med flere detaljer e det vil bli krevd til eksame. Oppgave a Det er tilpasset e multippel lieær regresjosmodell av forme β 0 + β x i

Detaljer

Løsningsforsalg til første sett med obligatoriske oppgaver i STK1110 høsten 2015

Løsningsforsalg til første sett med obligatoriske oppgaver i STK1110 høsten 2015 Løsigsforsalg til første sett med obligatoriske oppgaver i STK1110 høste 2015 Oppgave 1 (a Et 100(1 α% kofidesitervall for forvetigsverdie µ er gitt ved formel (8.15 på side 403 i læreboka. For situasjoe

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2011

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2011 ÅMA110 asylighetsregig med statistikk våre 011 Kp. 5 Estimerig 1 Estimerig. Målemodelle. Ihold: 1. (ukt)estimerig i biomisk modell (kp. 5.). Målemodelle... (kp. 5.3) 3. (ukt)estimerig i målemodelle (kp.

Detaljer

Metoder for politiske meningsmålinger

Metoder for politiske meningsmålinger Metoder for politiske meigsmåliger AV FORSKER IB THOMSE STATISTISK SETRALBYRÅ Beregigsmetodee som brukes i de forskjellige politiske meigsmåliger har vært gjestad for mye diskusjo i dagspresse det siste

Detaljer

Eksamen REA3028 S2, Våren 2012

Eksamen REA3028 S2, Våren 2012 Eksame REA08 S, Våre 0 Del Tid: timer Hjelpemidler: Valige skrivesaker, passer, lijal med cetimetermål og vikelmåler er tillatt. Oppgave (4 poeg) a) Deriver fuksjoee ) f f ) g e 4 4 4 g e e 4 g e e g e

Detaljer

STK1100: Kombinatorikk og sannsynlighet

STK1100: Kombinatorikk og sannsynlighet ST1100: ombiatorikk og sasylighet Jauar 201 Ørulf Borga/Geir Storvik Matematisk istitutt Uiversitetet i Oslo 1 Uiform sasylighetsmodell: Et stokastisk forsøk har N utfall Det er de mulige utfallee for

Detaljer

Løsningsforslag ST2301 øving 3

Løsningsforslag ST2301 øving 3 Løsigsforslag ST2301 øvig 3 Kapittel 1 Exercise 11 Et utvalg på 100 idivider trekkes fra e populasjo med tilfeldig parrig. Det ble observert AA 63 idivider av geotype AA, Aa 27, og aa 10. Lag et 95 % kofidesitervall

Detaljer

Kap. 9: Inferens om én populasjon

Kap. 9: Inferens om én populasjon 2 ST0202 Statistikk for samfusvitere Bo Lidqvist Istitutt for matematiske fag Ka. 9: Iferes om é oulasjo Hvis σ er ukjet bytter vi ut σ med s i Ny observator blir t = x μ s/ z = x μ σ/ der s = Σx 2 (Σx)

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Kp. 5 Estimering. Målemodellen.

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Kp. 5 Estimering. Målemodellen. ÅMA0 Sasylighetsregig med statistikk, våre 0 Kp. 5 Estimerig. Målemodelle. Estimerig. Målemodelle. Ihold:. (Pukt)Estimerig i biomisk modell (kp. 5.). Målemodelle... (kp. 5.). (Pukt)Estimerig i målemodelle

Detaljer

) = P(Z > 0.555) = > ) = P(Z > 2.22) = 0.013

) = P(Z > 0.555) = > ) = P(Z > 2.22) = 0.013 TMA4240 Statistikk Vår 2008 Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Øvig ummer b5 Løsigsskisse Oppgave 1 a) X 1,...,X 16 er u.i.f. N(80,18 2 ). Setter Y = X. i) P(X 1 >

Detaljer

Eksamen REA3028 S2, Våren 2010

Eksamen REA3028 S2, Våren 2010 Eksame REA308 S, Våre 010 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Valige skrivesaker, passer, lijal med cetimetermål og vikelmåler er tillatt. Oppgave 1 (6 poeg) a) Deriver fuksjoee: 1) f x x lx f x x lx x x f

Detaljer

Oppgaver fra boka: X 2 X n 1

Oppgaver fra boka: X 2 X n 1 MOT30 Statistiske metoder, høste 00 Løsiger til regeøvig r 3 (s ) Oppgaver fra boka: 94 (99:7) X,, X uif N(µ, σ ) og X,, X uif N(µ, σ ) og alle variable er uavhegige Atar videre at σ = σ = σ og ukjet Kodesitervall

Detaljer

Eksempeloppgave 2014. REA3028 Matematikk S2 Eksempel på eksamen våren 2015 etter ny ordning. Ny eksamensordning. Del 1: 3 timer (uten hjelpemidler)

Eksempeloppgave 2014. REA3028 Matematikk S2 Eksempel på eksamen våren 2015 etter ny ordning. Ny eksamensordning. Del 1: 3 timer (uten hjelpemidler) Eksempeloppgave 2014 REA3028 Matematikk S2 Eksempel på eksame våre 2015 etter y ordig Ny eksamesordig Del 1: 3 timer (ute hjelpemidler) Del 2: 2 timer (med hjelpemidler) Mistekrav til digitale verktøy

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2008 Kp. 6, del 5

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2008 Kp. 6, del 5 ÅMA110 Sasylighetsregig med statistikk, våre 2008 Kp. 6, del 5 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap Uiversitetet i Stavager 26. mars Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 5 1/ 53

Detaljer

Estimering og hypotesetesting. Estimering og hypotesetesting. Estimering og hypotesetesting. Kapittel 10. Ett- og toutvalgs hypotesetesting

Estimering og hypotesetesting. Estimering og hypotesetesting. Estimering og hypotesetesting. Kapittel 10. Ett- og toutvalgs hypotesetesting 3 Estimerig og hypotesetestig Kapittel 10 Ett- og toutvalgs hypotesetestig TMA445 V007: Eirik Mo Feome Bilkjørig Høyde til studeter Estimator ˆp = X, X atall ˆµ = X gjeomsittlig høyde. som syes de er flikere

Detaljer

Fagdag 2-3mx 24.09.07

Fagdag 2-3mx 24.09.07 Fagdag 2-3mx 24.09.07 Jeg beklager at jeg ikke har fuet oe ye morsomme spill vi ka studere, til gjegjeld skal dere slippe prøve/test dee gage. Istruks: Vi arbeider som valig med 3 persoer på hver gruppe.

Detaljer

MOT310 Statistiske metoder 1, høsten 2012

MOT310 Statistiske metoder 1, høsten 2012 MOT310 Statistiske metoder 1, høste 2012 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap Uiversitetet i Stavager 20. august, 2012 Bjør H. Auestad Itroduksjo og repetisjo 1 / 57 Iformasjo Litt om

Detaljer

EKSAMEN Løsningsforslag

EKSAMEN Løsningsforslag ..4 EKSAMEN Løsigsforslag Emekode: ITF75 Dato: 6. desember Eme: Matematikk for IT Eksamestid: kl 9. til kl. Hjelpemidler: To A4-ark med valgfritt ihold på begge sider. Kalkulator er ikke tillatt. Faglærer:

Detaljer

Forelesning Moment og Momentgenererende funksjoner

Forelesning Moment og Momentgenererende funksjoner ushu.li@uib.o Forelesig + 3 Momet og Mometgeererede fuksjoer 1. Oppsummerig til Forelesig 1 1.1) Fuksjoe av S.V: hvis variabele er e fuksjo (trasformasjo) av S.V. : g( ), da er også e S.V.: til ethvert

Detaljer

TMA4240 Statistikk Høst 2016

TMA4240 Statistikk Høst 2016 Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Abefalt øvig 8 Løsigsskisse Oppgave 1 a) Simuler 1000 datasett i MATLAB. Hvert datasett skal bestå av 100 utfall fra e ormalfordelig

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007 ÅMA Sasylighetsregig med statistikk, våre 27 Kp. 6 (kp. 6) Tre deler av faget/kurset:. Beskrivede statistikk 2. Sasylighetsteori, sasylighetsregig 3. Statistisk iferes estimerig kofidesitervall hypotesetestig

Detaljer

Kapittel 5: Tilfeldige variable, forventning og varians.

Kapittel 5: Tilfeldige variable, forventning og varians. Kapittel 5: Tilfeldige variable, forvetig og varias. Tilfeldige variable Tilfeldige variable kalles også stokastiske variable. Defiisjo: E tilfeldig variabel er e variabel som får si umeriske verdi bestemt

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 ÅMA110 Sasylighetsregig med statistikk, våre 2006 Kp. 6, del 2 Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesig del 2 1/ 38 Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesig del 2 2/ 38 Oversikt 1. Hva er hypotesetestig? 2. Hypotesetestig

Detaljer

Oversikt over konfidensintervall i Econ 2130

Oversikt over konfidensintervall i Econ 2130 1 HG Revidert april 011 Oversikt over kofidesitervall i Eco 130 Merk at dee oversikte ikke er met å leses istedefor framstillige i Løvås, me som et supplemet. Løvås ieholder mage verdifulle kommetarer

Detaljer

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma R1. Casio fx-9860

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma R1. Casio fx-9860 Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Casio fx-9860 Innhold 1 Om Casio fx-9860 4 2 Regning 4 2.1 Tallet e......................................

Detaljer

TMA4240 Statistikk Høst 2015

TMA4240 Statistikk Høst 2015 Høst 205 Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Øvig ummer, blokk II Løsigsskisse Oppgave a) X bi(, p) fordi: Udersøker uavhegige delar av DNA-strukture. Fi for kvar del

Detaljer

Kommentarer til oppgaver;

Kommentarer til oppgaver; Kapittel - Algebra Versjo: 11.09.1 - Rettet feil i 0, 1 og 70 og lagt i litt om GeoGebra-bruk Kommetarer til oppgaver; 0, 05, 10, 13, 15, 5, 9, 37, 5,, 5, 59, 1, 70, 7, 78, 80,81 0 a) Trykkfeil i D-koloe

Detaljer

TMA4240 Statistikk H2010

TMA4240 Statistikk H2010 TMA440 Statistikk H00 9.8: To uvalg (siste del) 9.9: Parvise observasjoer 9.0-9.: Adelser 9.: Varias Mette Lagaas Foreleses oag 0.oktober, 00 Norske hoppdommere og Jae Ahoe Jae Ahoe er e fisk skihopper,

Detaljer

Deskriptiv statistikk for sentrum og spredning i fordelingen. Gjennomsnitt og standardavvik. eller

Deskriptiv statistikk for sentrum og spredning i fordelingen. Gjennomsnitt og standardavvik. eller Eksempel : tall dager i sykehus. Ikke-parametriske tester versus parametriske tester Stia Lyderse Presetert på Regioal forskigskoferase for psykiatri og rusfeltet Ålesud 4 jui 03 Behadlig : 6, 5, 37,,

Detaljer

LØSNING: Eksamen 28. mai 2015

LØSNING: Eksamen 28. mai 2015 LØSNING: Eksame 28. mai 2015 MAT110 Statistikk 1, vår 2015 Oppgave 1: revisjo ) a) Situasjoe som beskrives i oppgave ka modelleres med e ure. I dee ure er fordelige kjet, M atall bilag med feil og N 100

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007 Kp. 6, del 4. Hypotesetesting, del 4

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007 Kp. 6, del 4. Hypotesetesting, del 4 ÅMA11 Sasylighetsregig med statistikk, våre 27 Kp. 6, del 4 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap Uiversitetet i Stavager 19. mars Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 4 1/ 27 Bjør

Detaljer

Estimering 1 -Punktestimering

Estimering 1 -Punktestimering Estimerig 1 -Puktestimerig Dekkes av kap. 8, 9.1-9.3 og 9.15/9.14. Vi har til å settpå e rekke forskjellige sasylighetsfordeliger og sett hvorda disse ka brukes til å modellere mage forskjellige typer

Detaljer

Estimering 1 -Punktestimering

Estimering 1 -Punktestimering Estimerig 1 -Puktestimerig Dekkes av kap. 8, 9.1-9.3 og 9.15/9.14. Vi har til å settpå e rekke forskjellige sasylighetsfordeliger og sett hvorda disse ka brukes til å modellere mage forskjellige typer

Detaljer

Ulike typer utvalg. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk. Ordnet utvalg uten tilbakelegging 29 (29 1) (29 2) (29 3) =

Ulike typer utvalg. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk. Ordnet utvalg uten tilbakelegging 29 (29 1) (29 2) (29 3) = MAT000V Sasylighetsregig og kombiatorikk Urdede utvalg ute tilbakeleggig Pascals talltrekat og biomialkoeffisietee Ørulf Borga Matematisk istitutt Uiversitetet i Oslo Ulike typer utvalg Eksempel 6.: Vi

Detaljer

2. Hypotesetesting i ulike sitausjoner: i. for forventingen, μ, i målemodellen med normalantakelse og kjent varians, σ 2.

2. Hypotesetesting i ulike sitausjoner: i. for forventingen, μ, i målemodellen med normalantakelse og kjent varians, σ 2. Oversikt 1. Hva er hypotesetestig? 2. i ulike sitausjoer: i. for forvetige, μ, med ormalatakelse og kjet varias, σ 2. ii. for forvetige, μ, med stor og ormaltilærmig (variase, σ 2, ukjet). iii. for suksessasylighete,

Detaljer

TMA4245 Statistikk Vår 2015

TMA4245 Statistikk Vår 2015 TMA4245 Statistikk Vår 2015 Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Øvig ummer 12, blokk II Oppgave 1 Kari har ylig kjøpt seg e y bil. Nå øsker hu å udersøke biles besiforbruk

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007 Kp. 6, del 2

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007 Kp. 6, del 2 ÅMA11 Sasylighetsregig med statistikk, våre 27 Kp. 6, del 2 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap 5. mars 21 Bjør H. Auestad Kp. 6: del 1/2 1/ 42 Bjør H. Auestad Kp. 6: del 1/2 2/ 42

Detaljer

Oversikt over konfidensintervall i Econ 2130

Oversikt over konfidensintervall i Econ 2130 HG April 00 Oversikt over kofidesitervall i Eco 30 Merk at dee oversikte ikke er met å leses istedefor framstillige i Løvås, me som et supplemet. Løvås ieholder mage verdifulle kommetarer og eksempler.

Detaljer

FX-82ES. NY CASIO teknisk / vitenskapelig lommeregner med naturlig tallvindu.

FX-82ES. NY CASIO teknisk / vitenskapelig lommeregner med naturlig tallvindu. ytt NR. 005. årgag FX-8ES NY CASIO tekisk / viteskapelig lommereger med aturlig tallvidu. Det er å mer e 5 år side kalkulatore for alvor ble tatt i bruk i orsk matematikk-udervisig, og de viteskapelige

Detaljer

Hypotesetesting, del 5

Hypotesetesting, del 5 Oversikt, del 5 Kofidesitervall p-verdi Kofidesitervall E (tosidig test ka gjeomføres vha. av et kofidesitervall. For eksempel, dersom vi i målemodell 1 vil teste: H 0 : μ = μ 0 mot H 1 : μ μ 0, ka vi

Detaljer

Vi skal hovedsakelig ikke bestemme summen men om rekken konvergerer. det vil si om summen til rekken er et bestemt tall

Vi skal hovedsakelig ikke bestemme summen men om rekken konvergerer. det vil si om summen til rekken er et bestemt tall Kapittel 8 Oppsummerig-Rekker Rekker er summe til edelig eller uedelig mage ledd i e tallfølge. Potesrekker ka beyttes til å uttrykke vaskelige fuksjoer om et pukt. Ma ka skreddesy potesfuksjoer ved hjelp

Detaljer

«Uncertainty of the Uncertainty» Del 4 av 6

«Uncertainty of the Uncertainty» Del 4 av 6 «Ucertaity of the Ucertaity» Del 4 av 6 v/rue Øverlad, Traior Elsikkerhet AS Iledig Dette er del fire i artikkelserie om «Ucertaity of the Ucertaity». I dag skal jeg vise deg utledige av formele: σ m s,

Detaljer

2T kapittel 3 Modellering og bevis Utvalgte løsninger oppgavesamlingen

2T kapittel 3 Modellering og bevis Utvalgte løsninger oppgavesamlingen T kapittel 3 Modellerig og bevis Utvalgte løsiger oppgavesamlige 301 a Sitthøyde i 1910 blir 170,0 171, 4 170,7. I 1970 blir de 177,1 179, 4 178,3. b Med som atall år etter 1900 og y som sitthøyde i cetimeter

Detaljer

Oversikt over konfidensintervall i Econ 2130

Oversikt over konfidensintervall i Econ 2130 1 HG Revidert april 014 Oversikt over kofidesitervall i Eco 130 Merk at dee oversikte ikke er met å leses istedefor framstillige i Løvås, me som et supplemet. De ieholder tabeller med formler for kofidesitervaller

Detaljer

Hypotesetesting, del 4

Hypotesetesting, del 4 Oversikt, del 4 t-fordelig t-test t-itervall Del 5 Kofidesitervall vs. test p-verdi t-fordelig Rett på defiisjo: Utgagspuktet er målemodelle med ormalatakelse: X 1,...,X,u.i.f.tilf.var.derX i Nμ, σ 2 ).La

Detaljer

Signifikante sifre = alle sikre pluss ett siffer til

Signifikante sifre = alle sikre pluss ett siffer til Sigifikate siffer og stadardavvik behadles i kap. Disse to emee skal vi ta for oss i dag. Kofidesgreser behadles i kap 4. Dette skal vi ta for oss i osdag. Presetasjo av aalysedata ka gjøres på følgede

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010 Kp. 6, del 4

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010 Kp. 6, del 4 ÅMA11 Sasylighetsregig med statistikk, våre 21 Kp. 6, del 4 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap Uiversitetet i Stavager 22. mars Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 4 1/ 29 Bjør

Detaljer

«Uncertainty of the Uncertainty» Del 5 av 6

«Uncertainty of the Uncertainty» Del 5 av 6 «Ucertaity of the Ucertaity» Del 5 av 6 v/rue Øverlad, Traior Elsikkerhet AS Dette er femte del i artikkelserie om «Ucertaity of the Ucertaity». Jeg skal vise deg utledig av «Ucertaity of the Ucertaity»-formele:

Detaljer

Populasjon, utvalg og estimering

Populasjon, utvalg og estimering Populasjo, utvalg og estimerig (Notat til forelesig i estimerig, Kap. 6.) Populasjo og utvalg Med basalkuskap i sasylighetsregig og sasylighetsfordeliger er vi å i stad til å gå videre med statistisk iferes

Detaljer

Bokmål OPPGAVE 1. a) Deriver funksjonene: b) Finn integralene ved regning: c) Løs likningen ved regning, og oppgi svaret som eksakte verdier: + =

Bokmål OPPGAVE 1. a) Deriver funksjonene: b) Finn integralene ved regning: c) Løs likningen ved regning, og oppgi svaret som eksakte verdier: + = OPPGAVE a) Deriver fuksjoee: ) f ( x) = 3six+ cosx ) gx ( ) = six cosx b) Fi itegralee ved regig: ) ) e 3e x d x l xd x Tips: l xdx= l xdx c) Løs likige ved regig, og oppgi svaret som eksakte verdier:

Detaljer

2. Bestem nullpunktene til g.

2. Bestem nullpunktene til g. Høgskole i Telemark Avdelig for estetiske fag, folkekultur og lærerutdaig BOKMÅL 0. desember 007 EKSAMEN I MATEMATIKK Modul 5 studiepoeg Tid: 5 timer Oppgavesettet er på 9 sider (ikludert formelsamlig).

Detaljer

Modeller og parametre. STK Punktestimering - Kap 7. Eksempel støtfangere. Statistisk inferens. Binomisk fordeling. p X (x) = p x (1 p) n x

Modeller og parametre. STK Punktestimering - Kap 7. Eksempel støtfangere. Statistisk inferens. Binomisk fordeling. p X (x) = p x (1 p) n x STK1100 - Puktestimerig - Kap 7 Geir Storvik Modeller og parametre Biomisk fordelig ( ) p X (x) = p x (1 p) x x Parameter: p Normalfordelig f X (x) = 1 2πσ e 1 2σ 2 (x µ) 2 11. april 2016 Parametre: µ,

Detaljer

Estimering 2. -Konfidensintervall

Estimering 2. -Konfidensintervall Estimerig 2 -Kofidesitervall Dekkes av kap. 9.4-9.5, 9.10, 9.12 og forelesigsotatee. Dersom forsøket gjetas mage gager vil (1 α)100% av itervallee [ ˆΘ L, ˆΘ U ] ieholde de ukjete parametere θ (som er

Detaljer

H T. Amundsen INNHOLD

H T. Amundsen INNHOLD Itere otater STATISTISK SENTRALBYRÅ. oktober 1980 KORRELASJONSKOEFFISIENTEN - ENDA ENGANG Av H T. Amudse INNHOLD 1. Iledig *****..... * 0 1. Produktmametkorrelasjoskoeffisiete og sammehege med lieær regresjo.

Detaljer

Rep.: generelle begrep og definisjoner Kp. 10.1, 10.2 og 10.3

Rep.: generelle begrep og definisjoner Kp. 10.1, 10.2 og 10.3 Kp. 1, oversikt ; oversikt, t- ; oversikt ; stor ; Hypoteseig; ett- og to-utvalg Rep.: geerelle begrep og defiisjoer Kp. 1.1, 1.2 og 1.3 Rep.: ett-utvalgser for μ (...), p Kp. 1 og 1.8 Nytt: ett-utvalgs

Detaljer

S2 kapittel 1 Rekker Løsninger til innlæringsoppgavene

S2 kapittel 1 Rekker Løsninger til innlæringsoppgavene Løsiger til ilærigsoppgavee kapittel Rekker Løsiger til ilærigsoppgavee a Vi ser at differase mellom hvert ledd er 4, så vi får det este leddet ved å legge til 4 Det este leddet blir altså 6 + 4 = 0 b

Detaljer

2.1 Polynomdivisjon. Oppgave 2.10

2.1 Polynomdivisjon. Oppgave 2.10 . Polyomdivisjo Oppgave. ( 5 + ) : = + + ( + ):( ) 6 + 6 8 8 = + + c) ( + 5 ) : = + 6 6 d) + + + = + + = + + + 8+ ( ):( ) + + + Oppgave. ( + 5+ ):( ) 5 + + = + ( 5 ): 9 + + + = + + + 5 + 6 9 c) ( 8 66

Detaljer

AVDELING FOR INGENIØRUTDANNING EKSAMENSOPPGAVE

AVDELING FOR INGENIØRUTDANNING EKSAMENSOPPGAVE AVDELING FOR INGENIØRUTDANNING EKSAMENSOPPGAVE Eme: Statistikk Gruppe(r): Alle ( 2. årskull) Eksamesoppgav Atall sider (ikl. e består av: forside): 5 Tillatte hjelpemidler: Emekode: LO070A Dato: 11.06.2004

Detaljer

Eksamen INF3350/INF4350 H2006 Løsningsforslag

Eksamen INF3350/INF4350 H2006 Løsningsforslag Eksame INF3350/INF4350 H2006 Løsigsforslag Oppgave. Score (eller bit score) S' er e statistisk idikator på hvor sigifikat e match er. Høyere bit score svarer til høyere sigifikas. Idikatore er uavhegig

Detaljer

8 + 2 n n 4. 3n 4 7 = 8 3.

8 + 2 n n 4. 3n 4 7 = 8 3. Seksjo 4. Oppgave (). Fi greseverdiee: 8 a) 4 + 4 7 b) 4 +7 5 c) + 7 4 ( ) d) 5 4 44 + 5 4 e) 5 + si() e +6 5 Løsig. Vi vil bruke samme metode som i Eksempel 4..5 fra boke i disse oppgavee. Når vi skal

Detaljer

DEL 1. Uten hjelpemidler 500+ er x

DEL 1. Uten hjelpemidler 500+ er x DEL 1 Ute hjelpemidler Oppgave 1 (18 poeg) 500 = + 8 er a) Vis at de deriverte til fuksjoe ( ) O O ( ) = 500+ 16 b) Deriver fuksjoee 1) f( ) = l( ) ) g( ) = e c) Vi har gitt polyomfuksjoe f( ) = 1 + 15

Detaljer

Avsnitt 8.1 i læreboka Differensligninger

Avsnitt 8.1 i læreboka Differensligninger Diskret Matematikk Fredag 6. ovember 015 Avsitt 8.1 i læreboka Differesligiger I kapittel lærte vi om følger og rekker. Vi studerte både aritmetiske og geometriske følger og rekker. Noe følger og rekker

Detaljer

Del1. b) 1) Gittrekka 2 4 6 8 Finnleddnummer20 ogsummenavde20førsteleddene.

Del1. b) 1) Gittrekka 2 4 6 8 Finnleddnummer20 ogsummenavde20førsteleddene. Del1 Oppgave 1 a) Deriver fuksjoee: 1) fx ( ) x 2 1 x 2 1 2) g x x 2 2 e x b) 1) Gittrekka 2 4 6 8 Fileddummer20 ogsummeavde20førsteleddee. 1 1 2) Gitt de uedelige rekka 2 1 2 4 Avgjør om rekka kovergerer.

Detaljer

TMA4245 Statistikk. Øving nummer b5. Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag

TMA4245 Statistikk. Øving nummer b5. Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4245 Statistikk Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Øvig ummer b5 Oppgave 1 Eksame mai 2001, oppgave 1 av 4 Vi ser på kosetrasjoe av et giftstoff i havbue like utefor

Detaljer

Høgskolen i Telemark Avdeling for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 16. mai 2008

Høgskolen i Telemark Avdeling for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 16. mai 2008 Høgskole i Telemark Avdelig for estetiske fag, folkekultur og lærerutdaig BOKMÅL 6. mai 008 EKSAMEN I MATEMATIKK Modul 5 studiepoeg Tid: 5 timer Oppgavesettet er på 8 sider (ikludert formelsamlig). Hjelpemidler:

Detaljer

Skrivne og trykte hjelpemiddel samt kalkulator er tillate. Ta med all mellomrekning som trengst for å grunngje svaret.

Skrivne og trykte hjelpemiddel samt kalkulator er tillate. Ta med all mellomrekning som trengst for å grunngje svaret. Eksame 11. mai 2015 Eksamestid 4 timar IR201812 Statistikk og Simulerig Skrive og trykte hjelpemiddel samt kalkulator er tillate. Ta med all mellomrekig som tregst for å grugje svaret. Oppgåve 1......................................................................................

Detaljer

Eksempler fra slutten av forrige uke. Eksempler (styrke, dimensjonering,...) Eksempler fra slutten av forrige uke

Eksempler fra slutten av forrige uke. Eksempler (styrke, dimensjonering,...) Eksempler fra slutten av forrige uke Oversikt, del 5 Hypotesetestig, del 4 (oppsummerig fra Hypotesetestig, del 5 Kofidesitervall dimesjoerig Eksempler fra slutte av forrige uke Kofidesitervall p-verdi Eksempler Eksempler (styrke, dimesjoerig,...

Detaljer

EKSAMENSOPPGAVE. Faglig veileder: Kirsten Aarset, Bente Hellum og Jan Stubergh Gruppe(r): 1-elektro, 1-maskin, 3-almen Dato: 17 desember 2001

EKSAMENSOPPGAVE. Faglig veileder: Kirsten Aarset, Bente Hellum og Jan Stubergh Gruppe(r): 1-elektro, 1-maskin, 3-almen Dato: 17 desember 2001 Avdelig for igeiørutdaig EKSAMENSOPPGAVE Fag: Kjemi og Miljø Fagr FO 05 K Faglig veileder: Kirste Aarset, Bete Hellum og Ja Stubergh Gruppe(r): 1-elektro, 1-maski, -alme Dato: 17 desember 001 Eksamestid,

Detaljer