STK1100: Kombinatorikk og sannsynlighet

Transkript

1 ST1100: ombiatorikk og sasylighet Jauar 201 Ørulf Borga/Geir Storvik Matematisk istitutt Uiversitetet i Oslo 1 Uiform sasylighetsmodell: Et stokastisk forsøk har N utfall Det er de mulige utfallee for forsøket Vi atar at de N utfallee er like sasylige Da har hvert utfall sasylighet 1/N E begivehet A består av utfall Det er de gustige utfallee for begivehete A Sasylighete for begivehete A er PA ( ) N atall gustige utfall atall mulige utfall 2 For å bruke e uiform sasylighetsmodell må vi fie atall mulige og atall gustig utfall I ekle situasjoer som kast med to teriger ka vi skrive opp alle mulige utfall og alle utfall som er gustige for de begivehete vi er iteressert i I Lotto er det over millioer mulige vierrekker Vi må være veldig tålmodige for å skrive opp alle disse! (1,6) (2,6) (3,6) (,6) (,6) (6,6) (1,) (2,) (3,) (,) (,) (6,) (1,) (2,) (3,) (,) (,) (6,) (1,3) (2,3) (3,3) (,3) (,3) (6,3) (1,2) (2,2) (3,2) (,2) (,2) (6,2) (1,1) (2,1) (3,1) (,1) (,1) (6,1) "Sum sju øye" Vi må derfor kue berege atall mulige vierrekker ute å skrive dem opp ombiatorikk er avet på de dele av matematikke som gir oss løsige på dette og likede problemer 3 Multiplikasjossetige Eksempel 1: På e mey er det: - forretter - 10 hovedretter - desserter På hvor mage ka vi sette samme et måltid med é forrett, é hovedrett og é dessert? Måltidet ka settes samme på Ovefor har vi tre "forsøk": (i) valg av forrett (ii) valg av hovedrett (iii) valg av dessert Geerelt har vi multiplikasjossetige: Vi har k forsøk. I det første forsøket er det 1 mulige utfall, i det adre forsøket er det 2 mulige utfall,, i siste forsøket er det k mulige utfall. Da er det til samme 1 2 k mulige utfall 6 1

2 Eksempel 2: Et bilummer består av to bokstaver og siffer Hvor mage bilummere ka vi lage? CE valg 9 valg 10 valg = forskjellige bilummer 7 Ulike typer utvalg Vi skriver bokstavee i alfabetet på hver si lapp og legger de 29 lappee i e eske Vi trekker så fire lapper, é etter é. Vi sier at vi trekker et utvalg på fire bokstaver Hvis vi legger e lapp tilbake før vi trekker de este, trekker vi med Hvis vi ikke legger lappe tilbake, trekker vi ute Hvis rekkefølge bokstavee trekkes i har betydig, trekker vi et ordet utvalg Hvis rekkefølge ikke har betydig, trekker vi et uordet utvalg 8 Ordet utvalg med L E T E Uordet utvalg med Ordet utvalg ute L I T E Uordet utvalg ute Ordet utvalg med Se på bokstaveksempelet Hver gag vi trekker er det 29 bokstaver å velge mellom Vi ka velge de fire bokstavee på forskjellige år vi tar hesy til rekkefølge 9 10 Geerelt har vi e megde med elemeter Vi velger k elemeter fra megde med k gager k Eksempel 3: På e tippekupog er det gitt 12 kamper For hver kamp skal e tippe H, U eller B Hvor mage forskjellige tipperekker ka vi lage? = 3 12 = 311 forskjellige tipperekker ordede utvalg

3 rypterig i GSM Afteposte 10/1-1: Politisk press til å bruke bit i stedet for 6 eller 128 bit = 2 = bit = 2 = bit = 2 = Jo flere bit, jo vaskeligere å kekke kode! Ordet utvalg ute Se igje på bokstaveksempelet. Første gag er det 29 bokstaver å velge mellom Adre gag er det 29-1 bokstaver å velge mellom Tredje gag er det 29-2 bokstaver å velge mellom Fjerde gag er det 29-3 bokstaver å velge mellom Vi ka velge de fire bokstavee på 29 (29 1) (29 2) (29 3) 7002 forskjellige år vi har tilbakemeldig 13 1 Geerelt har vi e megde med elemeter Vi velger k elemeter fra megde ute Pk, ( 1) ( 2) ( k 1) k faktorer ordede utvalg (eller permutasjoer) 1 Eksempel : Ladslagstreere i lagre for me har sju løpere å velge mellom til OL-stafette for me over x10 km På hvor mage ka ha sette opp stafettlaget år vi tar hesy til hvem som skal gå de ulike etappee? Treere ka sette opp stafettlaget på Vi har fortsatt e megde med elemeter, og vi velger k elemeter fra megde ute Når k = velger vi alle elemetee. Eksempel : Vi ser på eksempelet med stafettlaget. Treere har bestemt seg for hvilke fire løpere som skal gå stafette Da svarer et ordet utvalg til e bestemt rekkefølge (eller permutasjo) av de elemetee Det er! 1 ( 1) Hvor mage lagoppstilliger ka ha da velge mellom? Treere ka velge mellom! 1 2 slike rekkefølger 17 lagoppstilliger 18 3

4 Eksempel 6: I e klasse er det elever Hva er sasylighete for at mist to har samme fødselsdag? Vi reger først ut sasylighete for at ige har samme fødselsdag Atall mulige ordede utvalg: 36 Atall gustige ordede utvalg: P(ige samme fødselsdag) Uordet utvalg ute Vi ser på stafetteksempelet På hvor mage ka treere velge ut de som skal gå stafette (blat de 7) år vi ikke bryr oss om hvem som skal gå de ulike etappee? La x være atall ha ka gjøre det på Merk at x er atall uordede utvalg av løpere blat 7 år utvelgige skjer ute Vi vil bestemme x ved å fie atall ordede utvalg på to P(mist to samme fødselsdag) Atall ordede utvalg av løpere blat 7 løpere er (jf. eksempel ) Fra ett uordet utvalg ka lage ordede utvalg (jf. eksempel ) Vi ka derfor lage Dermed er x! x! Dette gir x 3!! 1 2 ordede utvalg Treere ka velge ut de som skal gå stafette på 3 år vi ikke bryr oss om Geerelt har vi e megde med elemeter Vi velger k elemeter fra megde ute uordede utvalg hvem som skal gå de ulike etappee k ( 1) ( 2) ( k 1) k! NB! For uordet utvalg spiller det ige rolle om vi velger ett elemet om gage, eller om vi velger alle på e gag Merk at k ( 1) ( k 1) ( k) ( k 1) 21 k! ( k)!! k! ( k)! Formele gjelder også for k = 0 og k = side vi setter 0! = 1 Ekelte gager skriver vi (f.eks. lommeregere) Ck, i stedet for k kalles biomialkoeffisieter (side de igår i biomialformele) k Eksempel 8: E klasse har 2 elever Fire elever skal velges til e festkomité Hvor mage ka det gjøres på? De elevee ka velges på

5 Eksempel 9: Når du tipper é lottorekke, krysser du av sju tall fra 1 til 3 Hvor mage lottorekker fis det? Det fis 3 7 forskjellige lottorekker Eksempel 10: E pokerspiller får delt ut fem kort Hva er sasylighete for at spillere bare får hjerter? Atall mulige å dele ut fem kort på: Atall av disse som gir bare hjerter: P(bare hjerter)