Kombinatorikk. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk. Multiplikasjonssetningen

Transkript

1 MAT000V Sasylighetsegig og kombiatoikk Kombiatoikk Odede utvalg med og ute tilbakeleggig Uodede utvalg ute tilbakeleggig Pascals talltekat og biomialkoeffisietee Øulf Boga Matematisk istitutt Uivesitetet i Oslo Kombiatoikk Fo å buke e uifom sasylighetsmodell må vi fie atall mulige og atall gustig utfall I ekle situasjoe som kast med to teige ka vi skive opp alle mulige utfall og alle utfall som e gustige fo de hedelse vi e iteesset i (,6) (2,6) (3,6) (,6) (5,6) (6,6) (,5) (2,5) (3,5) (,5) (5,5) (6,5) (,) (2,) (3,) (,) (5,) (6,) (,3) (2,3) (3,3) (,3) (5,3) (6,3) (,2) (2,2) (3,2) (,2) (5,2) (6,2) (,) (2,) (3,) (,) (5,) (6,) "Sum sju øye" 2 I Lotto e det ove 5 millioe mulige mulige vieekke Vi må væe veldig tålmodige fo å skive opp alle disse! Vi må defo kue beege atall mulige vieekke ute å skive dem opp Kombiatoikk e avet på de dele av matematikke som gi oss løsige på dette og likede pobleme 3 Multiplikasjossetige Eksempel 6.: På e mey e det: - foette - 0 hovedette - 5 dessete På hvo mage måte ka vi sette samme et måltid med é foett, é hovedett og é desset? Måltidet ka settes samme på Hovedette: Dessete: Foette: Rekecocktail Kokt Jodbæ tosk med fløte Gavet Sjøøet Vailjeis laks Fiskesuppe Beiflabb Sjokolademousse Løksuppe Svedfisk Fuktsalat Biff Kaamellpuddig Sviesteik Lammesteik Kylligbyst Kalku Pekigad måte

2 Valget av de te ettee e e valgposess i te ti: (i) valg av foett (ii) valg av hovedett (iii) valg av desset Eksempel 6.2: Et bilumme bestå av to bokstave og 5 siffe DK72792 Geeelt ha vi multiplikasjossetige: E valgposess ha ti. I føste ti e det valgmulighete, i ade ti e det 2 valgmulighete, i siste ti e det valgmulighete. Da e det til samme valgmulighete 2 Hvo mage bilumme ka vi lage? Vi ka lage 20 valg 9 valg 0 valg foskjellige bilumme 5 6 Ulike type utvalg Eksempel 6.3: Vi skive bokstavee i alfabetet på hve si lapp og legge de 29 lappee i e eske Odet utvalg med tilbakeleggig K Odet utvalg ute tilbakeleggig K Vi tekke så fie lappe, é ette é Vi sie at vi tekke et utvalg på fie bokstave Hvis vi legge e lapp tilbake fø vi tekke de este, tekke vi med tilbakeleggig Hvis vi ikke legge lappe tilbake, tekke vi ute tilbakeleggig Hvis ekkefølge bokstavee tekkes i ha betydig, tekke vi et odet utvalg Hvis ekkefølge ikke ha betydig, tekke vi et uodet utvalg 7 L E T E Uodet utvalg med tilbakeleggig K L I K T E Uodet utvalg ute tilbakeleggig 8

3 Odet utvalg med tilbakeleggig Se på bokstaveksempelet Hve gag vi tekke e det 29 bokstave å velge mellom Vi ka velge de fie bokstavee på foskjellige måte å vi ta hesy til ekkefølge Geeelt ha vi e megde med elemete, og vi velge elemete fa megde med tilbakeleggig Da ka vi lage gage odede utvalg 9 Eksempel 6.: På e tippekupog e det gitt 2 kampe Fo hve kamp skal e tippe H, U elle B Hvo mage foskjellige tippeekke ka vi lage? Vi ka lage foskjellige tippeekke 0 Atall ekke: Odet utvalg ute tilbakeleggig Se igje på bokstaveksempelet Føste gag e det 29 bokstave å velge mellom Ade gag e det 29- bokstave å velge mellom Tedje gag e det 29-2 bokstave å velge mellom Fjede gag e det 29-3 bokstave å velge mellom Vi ka velge de fie bokstavee på 29 (29 ) (29 2) (29 3) foskjellige måte å vi ta hesy til ekkefølge 2

4 Geeelt ha vi e megde med elemete, og vi velge elemete fa megde ute tilbakeleggig Da ka vi lage P ( ) ( 2) ( + ) odede utvalg faktoe Eksempel 6.5: Ladslagsteee i lage fo me ha sju løpee å velge mellom til e Wold Cup stafett ove x0 km På hvo mage måte ka ha sette opp stafett-laget å vi ta hesy til hvem som skal gå de ulike etappee? Teee ka sette opp stafettlaget på 7 P måte Vi ha fotsatt e megde med elemete, og vi velge elemete fa megde ute tilbakeleggig Nå velge vi alle elemetee. Da svae et odet utvalg til e bestemt ekkefølge (elle pemutasjo) av de elemetee Det e! P 2 3 ( ) slike ekkefølge Eksempel 6.6: Vi se på eksempel 6.5. Teee ha bestemt seg fo hvilke fie løpee som skal gå stafette Hvo mage lagoppstillige ka ha da velge mellom? Teee ka velge mellom! lagoppstillige Mek at vi sette 0! 5 6

5 GeoGeba Vi ka buke GeoGeba til å bestemme P og! Illustasjo fo 7 P og! a) Atall mulige stafettlag: 5 P b) Atall mulige lagoppstillige: 3! Uodet utvalg ute tilbakeleggig Eksempel 6.7: Vi se igje på stafetteksempelet På hvo mage måte ka teee velge ut de som skal gå stafette (blat de 7) å vi ikke by oss om hvem som skal gå de ulike etappee? Fa eksempel 6.5 ha vi at atall odede utvalg av løpee blat 7 løpee e 7 P Fa ett uodet utvalg ka lage! odede utvalg (jf eksempel 6.6) Vi ka defo lage x! odede utvalg La x væe atall måte ha ka gjøe det på Mek at x e atall uodede utvalg av løpee blat 7 å utvelgige skje ute tilbakeleggig Vi vil bestemme x ved å fie atall odede utvalg på to måte 9 Demed e Dette gi x! x 7P! P Teee ka velge ut de som skal gå stafette på 35 måte å vi ikke by oss om hvem som skal gå de ulike etappee 20

6 Geeelt ha vi e megde med elemete, og vi velge elemete fa megde ute tilbakeleggig Eksempel 6.8: E klasse ha 25 eleve Da ka vi lage P ( ) ( 2) ( + ) C! 2 ( ) uodede utvalg NB! Fo uodet utvalg spille det ige olle om vi velge ett elemet om gage, elle om vi velge alle på e gag 2 Fie eleve skal velges til e festkomité Hvo mage måte ka det gjøes på? De elevee ka velges på måte 25C Atall måte de to medlemmee ka velges på e: C GeoGeba Vi ka buke GeoGeba til å bestemme Illustasjo fo 25C2 og 0C3 C Atall måte de te delegatee ka velges på e: C

7 Eksempel 6.9: Nå du tippe é lottoekke, kysse du av sju tall fa til 3 Hvo mage lottoekke fis det? Hva e sasylighete fo å vie føstepemie hvis du tippe é ekke? a) Atall ekke hvis du kysse av i tall: 9 C7 Atall mulige lottoekke: 3 C Sasylighete fo å vie føstepemie: P (føstepemie) b) Atall ekke hvis du kysse av ti tall: 0 Atall mulige måte å dele ut fem kot på: Atall av disse som gi bae hjete: C P(bae hjete) ( 0 5 Talltekate kalles Pascals tekat, me de va kjet lege fø Pascal skev om de Kiesisk vesjo fa 300-tallet Hva e sasylighete fo at spillee bae få hjete? Pascals talltekat E pokespille få delt ut fem kot C5 C7 25 Eksempel 6.0:

8 Vi ha at: (a+b) 2 a 2 + 2ab + b 2. a ab +. b 2 (a+b) 3 a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3. a a 2 b + 3. ab 2 +. b (a+b) a + a 3 b + 6a 2 b 2 + ab 3 + b. a +. a 3 b + 6. a 2 b 2 +. ab 3 +. b Geeelt fie vi koeffisietee i uttykket fo (a+b) i -te lije i Pascals tekat (å vi begye ummeeige med lije 0) 29 Uttykket a+b kalles et biom Fomele fo å ege ut (a+b) kalles biomialfomele Defo kalles tallee i Pascals tekat fo biomialkoeffisiete Vi skive tall umme i lije umme i Pascals tekat som ( ) (ummeeige state med lije og plass 0) 0 ( 0) ( 0) ( ) ( 0) ( ) ( 2) ( ) ( ) ( ) ( ) Biomialkoeffisietee e geeelt gitt ved ( )!! ( )! Hva e sammehege mellom biomialkoeffisietee de kombiatoiske tallee C? C P! P ( )!! ( )! Fomele gjelde også fo 0 og side vi ha 0! ( ) ( ) Vi ha ute videe at Ka vise at ( ) ( ) ( ) + 3 ( ) ( + ) ( ) ( ) 2! ( )!! ( )! ( )! Biomialkoeffisietee og de kombiatoiske tallee e de samme! Vil buke skivemåte fo biomialkoeffisietee 32

9 Flee eksemple Eksempel 6.: I e katog e det 2 sikige Fie av dem e defekte, este e i ode Vi tekke tilfeldig te sikige Hva e sasylighete fo at é e defekt? Atall mulige utvalg Atall gustige utvalg ( ) ( ) ( 2) P(é defekt sikig) Eksempel 6.2: I e klasse e det jete og gutte Fie eleve velges ved loddtekig til e festkomité Hva e sasylighete fo at det bli to gutte og to jete i komitee? Atall mulige utvalg: Atall gustige utvalg: P (to gutte og to jete) Atall mulige utvalg e ( 25) m 2650 ( ) a) He e atall gustige utvalg g 330 Defo e: g 330 P(bae jete) m 2650 b) Tilsvaede fie vi: ( ) ( ) 00 P(bae gutte) c) He e atall gustige utvalg ( )( ) g Det gi at 230 (é gutt og te jete) g P 0.83 m

10 Eksempel 6.3: E pokespille få delt ut fem tilfeldig valgte kot Hva e sasylighete fo at spillee få to pa? 52 Atall mulige utvalg: Atall gustige utvalg: valg av to valg vedie av to valg kot valg av i to av kot ett kot i i føste vedi ade e vedi tedje vedi P(to pa)