Billige arboresenser og matchinger

Transkript

1 Billige aboesense og matchinge Magnus Lie Hetland 16. jan 009 Dette e foelesningsnotate til føste foelesning i faget Algoitmekonstuksjon, videegående kus, ved Institutt fo datateknikk og infomasjonsvitenskap, våen 009. Notatene e baset på kapittel 4.9 og 7.13 i Algoithm Design av Jon Kleinbeg og Éva Tados (Addison Wesley, 006), selv om dele av foklaingene e ganske foskjellige fa boka. 1 Aboesense med minimal kostnad Aboesense (en. aboescences) e, enkelt sagt, spenntæ fo ettede gafe. En aboesens e et ettet te med en definet otnode, og alle nodene i teet kan nås fa otnoden ved å følge kantene i iktig etning. Fo en gaf G = (V, E) vil en aboesens T ha V som nodesett, og et kantsett F E. Se figu 1 fo et pa eksemple. Faktum 1.1. En delgaf T = (V, F ) av G e en aboesens med hensyn på otnoden hvis og bae hvis T e uten sykle og enhve node v ha nøyaktig én innkant i mengden F. Bevis. Implikasjonen den ene veien e elativt ett fem: Det e klat at en aboesens e uten sykle, og at hve node botsett fa ota ha én innkant. I motsatt etning: Anta at T ikke ha sykle og at hve node v ha nøyaktig én innkant. Vi tenge da kun å vise at det finnes en ettet sti fa til hve annen node v. Det vises lett ved å følge innkantene baklengs, ut fa hve node. Siden vi ikke ha sykle må vi teminee, og den eneste som ikke ha noen innkant e, så vi teminee de. (a) (b) (c) Figu 1: To ulike aboesense (b og c) fo samme gaf (a), begge med som ot 1

2 (a) (b) Figu : En ettet, vektet gaf (a) og den tilhøende optimale aboesensen med ot i (b). Den billigste kanten blokkee den billigste kanten ut fa ; å inkludee den vil femtvinge en sto kostnadsøkning. Mek også at løsningen inkludee den dyeste kanten i en sykel Faktum 1.. Enhve ettet gaf ha en aboens med ot hvis og bae hvis det finnes en ettet sti fa til enhve annen node. Bevis. At dette e en nødvendig betingelse følge av definisjonen. At det e tilstekkelig kan lett vises konstuktivt: Det e bae å buke fo eksempel bedde-føst-søk til å konstuee en aboens. Poblemet vi vil løse e følgende: Gitt en gaf G = (V, E) med en spesifiset otnode V og en kostnadsfunksjon c : E +, finn aboesensen fa ove G 0 som ha lavest totalkostnad. Siden poblemet ligne såpass på det å finne minimale spenntæ kan det væe natulig å undesøke hvovidt den samme logikken kan bukes he. E det tygt å inkludee den billigste kanten i gafen? E det geit å eliminee den dyeste kanten i en sykel? Det e klat at den billigste kanten ikke tenge å inkludees fo eksempel hvis den gå inn i ota, som ikke skal ha noen innkante. Se figu fo et annet eksempel. Det e også mulig å konstuee gafe de man må inkludee den dyeste kanten i gafen. Selv om poblemet kan vike atskillig me kompliset enn å finne et minimalt spennte så kan det løses med en gådig (elle gådig-aktig) algoitme. Føste fosøk: Alle node skal ha nøyaktig én innkant. Hva om vi velge den billigste fo hve node? Nå bli det iktig og hvodan kan det gå galt? La F væe dette settet med kante. Faktum 1.3. Hvis (V, F ) e en aboesens så e den optimal. Bevis. Hvis kanten inn i en node byttes ut så må kostnaden øke, siden alle node ha fått sin minimale innkant tildelt. Poblemet e altså at vi kan isikee at (V, F ) ikke e en aboesens, det vil si at den inneholde en sykel.

3 Ande fosøk: Hvis aboesensen inneholde en sykel C må vi fjene (minst) én av kantene i C. Vi kan pøve å tansfomee alle vektene, så det ikke spille noen olle (vektmessig) hvilke kante i C vi inkludee. La c væe den oppinnelige kostnadsfunksjonen. La y v væe den minimale kostnaden ove innkantene til v. Vi definee da c (u, v) til å væe c(u, v) y v. Mek at c også e ikke-negativ. Faktum 1.4. T e en optimal aboesens ove G med hensyn på c hvis og bae hvis den e optimal med hensyn på c. Bevis. Kostnadsdiffeansen mellom de to kostnadsfunksjonene e c(e) c (e) = y v, e T e T v siden hve aboesens ha nøyaktig én kant inn i hve node i summen. Siden diffeansen e uavhengig av stuktuen til aboesensen må minimum væe det samme fo begge vektfunksjone. Unde c ha alle kantene i F (inkludet kantene i en eventuell sykel C ) en vekt på 0. Det vi håpe på e at vi nå kan nøye oss med å skifte ut nøyaktig én kant i den poblematiske sykelen. Faktum 1.5. La C væe en sykel i G som bestå av kante med vekt 0, slik at C. Da finnes det en optimal aboesens med ot i som ha nøyaktig én kant inn i C. Bevis. Anta at T e en optimal aboens ove G. Det må finnes minst én kant inn i C (fo at alle nodene i C skal nås fa ); hvis det e nøyaktig én kant e saken kla. Anta at T ha me enn én kant inn i C ; vi vil da vise hvodan vi kan edusee antall innkante til C til én uten å øke kostnaden. La e = (a, b) væe en kant inn i C som ligge på en kotest mulig kant fa (så ingen av kantene tidligee på stien gå innom C ). Slett alle kante inn i C botsett fa e og legg til alle kantene i C botsett fa den som gå inn i b. La T væe esultatet. Kostnaden kan ikke ha økt (siden antall kante e likt, og alle kantene vi ha byttet til ha kostnad 0), så spøsmålet e bae om T faktisk e en aboens. Vi ha fotsatt n 1 kante, så det eneste spøsmålet e om det finnes stie til alle nodene fa. Vi ha te mulighete: Noden v ligge i C. Konstuksjonen vå ha bevat stien b fa T og alle nodene i C kan nås fa b. Noden v ligge utenfo C og stien v gå utenom C. Stien e da intakt som den va i T. Noden v ligge utenfo C og stien v gå innom C. La w v væe den siste delen av stien, de w e den siste noden i stien som ligge i C. Vi vet da at vi kan nå w fa, og w v vil væe bevat fa T. Baset på de foegående fakta komme vi fem til følgende algoitme: 1. Juste vekten fa c til c. La F bestå av en innkant med kostnad 0 fo hve node botsett fa 3. Hvis (V, F ) e en aboesens, etune den og avslutt 3

4 4. Finn en ettet sykel C F 5. Kontahe C til en supenode 6. Finn den optimale aboesensen (V, F ) ekusivt i den nye gafen G = (V, E ) 7. Utvid (V, F ) til en aboesens (V, F ) i G ved å legge til alle kante i C botsett fa én Faktum 1.6. Algoitmen finne en optimal aboesens med ot i G. Bevis. Følge av de foegående esultate ved induksjon ove antall node i G. Bipatitte matchinge med minimal kostnad Nodene i en bipatitt (elle tofagba) gaf G = (V, E) kan patisjonee i to mengde X og Y, slik at det ikke finnes kante innad i X elle Y. En matching e en kantmengde M E, de ingen av kantene dele node. Med ande od kan man se på det som en kobling mellom node i X og Y. En pefekt matching e en matching som koble alle nodene i X til alle nodene i Y (det vil si, M = X = Y ). Pefekte matchinge kan finnes ved hjelp av Fod-Fulkeson-algoitmen, enten diekte på den bipatitte gafen (med X som kilde og Y som sluk), elle ved å koble en supekilde s til alle nodene i X og å koble alle nodene i Y til et supesluk t. Alle kante ha kapasitet 1, og hve matching M gi oss et esidualnettvek G M, de enhve sti fa s til t (en foøkende sti) epesentee en fobeding av M. En slik sti vil gå i sikksakk mellom X og Y, og vil (annenhve gang) legge til og oppheve kante, så vi ende opp med en ny matching M, de M = M + 1. Alle kante fa Y til X i esidualgafen G M e med i M, mens kantene fa X til Y e utenfo M. En viktig utvidelse av matchepoblemet e det å finne en minimal vektet matching, med ikke-negative kantvekte (kjent som min-cost matching elle the assignment poblem). Det kan væe snakk om å koble patnee ut fa pefeanse elle å koble ansatte til abeidsoppgave ut fa kompetanse, fo eksempel. Faktum.1. En pefekt matching kan bae fobedes ved hjelp av en negativ sykel. Hvis esidualnettveket G M ikke inneholde negative sykle vil M væe optimal. Bevis. Siden vi må beholde antallet kante i (og utenfo) M, så må enhve ending fa M til en annen matching M måtte bestå av én elle flee sykle. (En sti vil automatisk øke elle edusee antall kante.) Hvis kostnaden skal edusees fa M til M må minst én av disse syklene væe negativ. Dette gi oss en målsetning: Vi vil bygge en pefekt matching gadvis, og buke foøkende stie som fø, men vi vil unngå negative sykle hele veien. Vi kan da væe sike på at vi ende opp med et optimalt sva. 1 En måte å gjøe dette på e å omdefinee vektene på en slik måte at (1) alle sykle få samme sum, og () ingen av de omdefinete vektene e negative. Vi kan da væe sike på at ingen sykle kan væe negative. Fo å få alle bitene til å falle på plass må vi altså både definee en slik vekt-tansfom og vise hvodan vi kan finne en matching de tansfomen e gyldig. (Det vil jo fo eksempel ikke væe mulig å finne en gyldig slik tansfom fo en ikke-optimal matching, siden vi de faktisk vil ha negative sykle.) 1 Dette bety selvfølgelig ikke at delløsningene vil ha minimal vekt. 4

5 Føste tinn: Hvodan kan vi definee en vekt-tansfom som ha de ønskede egenskapene (ingen negative vekte i G M ette tansfomen, men alle sykle må beholde sin oppinnelige kostnad)? En måte å gjøe dette på e ved å lage en teleskop-sum. La oss si at sykelen C bestå av kantene e 1 = (v 1, v ), e = (v, v 3 ),..., e k = (v k, v 1 ). Vi ha da at c(c ) = c(e 1 ) + + c(e k ). Hvis vi vil legge til noe i et ledd så kan vi tekke det fa i det neste (elle omvendt), og tilleggs-leddene vil da summee til 0. Vi kan fo enkelhets skyld knytte disse tilleggene til nodene la oss kalle det en pising og definee den nye kostnaden til e = (v, w) E M som Kostnaden til en sykel vil da bli: c p (e) = p(v) + c(e) p(w). c p (C ) = p(v 1 ) + c(e 1 ) p(v ) + p(v ) + c(e ) p(v 3 ) + + p(v k ) + c(e k ) p(v 1 ) = c(e 1 ) + c(e ) + + c(e 3 ) = c(c ) En slik pising vil altså bevae vekten til alle sykle. Ved å velge pisingen iktig kan vi også søge fo at ingen av de justete (såkalt edusete) kostnadene e negative. I utgangspunktet keve vi at p(x) + c(e) p(y), fo alle kante e = (x, y) i E (det vil si, x X og y Y ). Det vil søge fo at alle kante fa X til Y ha en ikke-negativ justet kostnad. Hvis e = (x, y) M e ikke det nok, siden vi da ha (y, x) G M og c(y, x) = c(x, y) 0. Fo å unngå at denne bli negativ må den settes til 0. Med ande od, fo alle kante e = (x, y) M keve vi p(x) + c(e) = p(y). Selv om det ikke e kitisk ennå ønske vi også å beholde angeingen mellom de koteste veiene fa s til til hve av nodene i mengden Y. (Det e så vi skal kunne buke de edusete/justete kostnadene nå vi lete ette billige flytfoøkende stie). Hvis vi søge fo at p(x) = 0 fo node i X som ikke e med i M så e vi gaantet dette. En pising som tilfedsstille alle disse egenskapene kalle vi en kompatibel pising. Ande tinn: Hvodan bygge vi en maksimal matching som ha en kompatibel pising? Intuitivt kan det vike som om det e lut å velge en foøkende sti som øke kostnaden med så lite som mulig (en slags gådig stategi), med ande od: Buk den koteste stien fa s til t i esidualnettveket. Det vise seg at hvis vi state med en matching M som ha en kompatibel pising og buke den koteste foøkende stien, så vil den esulteende matchingen M også ha en kompatibel pising og hvis vi fotsette slik til vi ha en pefekt matching vil vi altså ha funnet den optimale. Faktum.. La M væe en matching, la p væe en kompatibel pising og la M væe en matching du få ved å velge den koteste foøkende stien. Da vil p (v) = p(v)+ d p,m (v) væe en kompatibel pising fo M. 5

6 Bevis. Hvis x ikke e med i M så ha vi p(x) = 0. Alle node som få pisen endet i M vil ligge på en foøkende sti, og demed væe med i M. Hvis x e matchet i M så vil den også væe matchet i M, så kavet om at p(x) = 0 fo umatchede node x vil uansett fotsatt væe oppfylt. I det følgende, la d = d p,m. Alle kante e = (x, y) i esidualnettveket skal tilfedsstille p(x) + c(e) p(y). På gunn av tekantulikheten fo koteste veie i en gaf vet vi at d(y) d(x)+c p (e), elle c p (e) d(y) d(x). Vi vet at c p (e) = p(x)+c(e) p(y), pe definisjon,, så hvis vi øke pisene til p som beskevet få vi følgende: p(x) + c(e) = p(y) + c p (e) p(y) + d(y) d(x) p(x) + d(x) + c(e) p(y) + d(y) p (x) + c(e) p (y) [c p (e) d(y) d(x)] [ p (v) = p(v) + d(v)] Det gjenstå da å vise at ulikheten bli en ligning fo kante som e med i M. La e = (x, y) væe en kant i M. Den eneste innkanten til x i esidualnettveket e (y, x), og demed ha vi at d(x) = d(y) c p (e), elle c p (e) = d(y) d(x), som la oss bytte ut ulikhetene med ligninge i utegningen ove. Betakt nå kante (x, y) i M \ M. Disse ligge langs den koteste stien fa s til t, og tilfedsstille demed også d(y) = d(x) + c p (e), og vi få samme esultat fo dem. Nomalt ville vi måtte buke Bellman-Fod fo å finne den flytfoøkende stien, siden vi fot vil få negative kante i esidualnettveket. Men siden vi buke de edusete kostnadene (som jo aldi bli negative), kan vi buke Dijkstas algoitme i stedet, noe som gjø atskillig me effektiv. Mek at dette e omvendt av det som stå i Kleinbeg & Tados. 6