Billige arboresenser og matchinger

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "Billige arboresenser og matchinger"

Transkript

1 Billige aboesense og matchinge Magnus Lie Hetland 16. jan 009 Dette e foelesningsnotate til føste foelesning i faget Algoitmekonstuksjon, videegående kus, ved Institutt fo datateknikk og infomasjonsvitenskap, våen 009. Notatene e baset på kapittel 4.9 og 7.13 i Algoithm Design av Jon Kleinbeg og Éva Tados (Addison Wesley, 006), selv om dele av foklaingene e ganske foskjellige fa boka. 1 Aboesense med minimal kostnad Aboesense (en. aboescences) e, enkelt sagt, spenntæ fo ettede gafe. En aboesens e et ettet te med en definet otnode, og alle nodene i teet kan nås fa otnoden ved å følge kantene i iktig etning. Fo en gaf G = (V, E) vil en aboesens T ha V som nodesett, og et kantsett F E. Se figu 1 fo et pa eksemple. Faktum 1.1. En delgaf T = (V, F ) av G e en aboesens med hensyn på otnoden hvis og bae hvis T e uten sykle og enhve node v ha nøyaktig én innkant i mengden F. Bevis. Implikasjonen den ene veien e elativt ett fem: Det e klat at en aboesens e uten sykle, og at hve node botsett fa ota ha én innkant. I motsatt etning: Anta at T ikke ha sykle og at hve node v ha nøyaktig én innkant. Vi tenge da kun å vise at det finnes en ettet sti fa til hve annen node v. Det vises lett ved å følge innkantene baklengs, ut fa hve node. Siden vi ikke ha sykle må vi teminee, og den eneste som ikke ha noen innkant e, så vi teminee de. (a) (b) (c) Figu 1: To ulike aboesense (b og c) fo samme gaf (a), begge med som ot 1

2 (a) (b) Figu : En ettet, vektet gaf (a) og den tilhøende optimale aboesensen med ot i (b). Den billigste kanten blokkee den billigste kanten ut fa ; å inkludee den vil femtvinge en sto kostnadsøkning. Mek også at løsningen inkludee den dyeste kanten i en sykel Faktum 1.. Enhve ettet gaf ha en aboens med ot hvis og bae hvis det finnes en ettet sti fa til enhve annen node. Bevis. At dette e en nødvendig betingelse følge av definisjonen. At det e tilstekkelig kan lett vises konstuktivt: Det e bae å buke fo eksempel bedde-føst-søk til å konstuee en aboens. Poblemet vi vil løse e følgende: Gitt en gaf G = (V, E) med en spesifiset otnode V og en kostnadsfunksjon c : E +, finn aboesensen fa ove G 0 som ha lavest totalkostnad. Siden poblemet ligne såpass på det å finne minimale spenntæ kan det væe natulig å undesøke hvovidt den samme logikken kan bukes he. E det tygt å inkludee den billigste kanten i gafen? E det geit å eliminee den dyeste kanten i en sykel? Det e klat at den billigste kanten ikke tenge å inkludees fo eksempel hvis den gå inn i ota, som ikke skal ha noen innkante. Se figu fo et annet eksempel. Det e også mulig å konstuee gafe de man må inkludee den dyeste kanten i gafen. Selv om poblemet kan vike atskillig me kompliset enn å finne et minimalt spennte så kan det løses med en gådig (elle gådig-aktig) algoitme. Føste fosøk: Alle node skal ha nøyaktig én innkant. Hva om vi velge den billigste fo hve node? Nå bli det iktig og hvodan kan det gå galt? La F væe dette settet med kante. Faktum 1.3. Hvis (V, F ) e en aboesens så e den optimal. Bevis. Hvis kanten inn i en node byttes ut så må kostnaden øke, siden alle node ha fått sin minimale innkant tildelt. Poblemet e altså at vi kan isikee at (V, F ) ikke e en aboesens, det vil si at den inneholde en sykel.

3 Ande fosøk: Hvis aboesensen inneholde en sykel C må vi fjene (minst) én av kantene i C. Vi kan pøve å tansfomee alle vektene, så det ikke spille noen olle (vektmessig) hvilke kante i C vi inkludee. La c væe den oppinnelige kostnadsfunksjonen. La y v væe den minimale kostnaden ove innkantene til v. Vi definee da c (u, v) til å væe c(u, v) y v. Mek at c også e ikke-negativ. Faktum 1.4. T e en optimal aboesens ove G med hensyn på c hvis og bae hvis den e optimal med hensyn på c. Bevis. Kostnadsdiffeansen mellom de to kostnadsfunksjonene e c(e) c (e) = y v, e T e T v siden hve aboesens ha nøyaktig én kant inn i hve node i summen. Siden diffeansen e uavhengig av stuktuen til aboesensen må minimum væe det samme fo begge vektfunksjone. Unde c ha alle kantene i F (inkludet kantene i en eventuell sykel C ) en vekt på 0. Det vi håpe på e at vi nå kan nøye oss med å skifte ut nøyaktig én kant i den poblematiske sykelen. Faktum 1.5. La C væe en sykel i G som bestå av kante med vekt 0, slik at C. Da finnes det en optimal aboesens med ot i som ha nøyaktig én kant inn i C. Bevis. Anta at T e en optimal aboens ove G. Det må finnes minst én kant inn i C (fo at alle nodene i C skal nås fa ); hvis det e nøyaktig én kant e saken kla. Anta at T ha me enn én kant inn i C ; vi vil da vise hvodan vi kan edusee antall innkante til C til én uten å øke kostnaden. La e = (a, b) væe en kant inn i C som ligge på en kotest mulig kant fa (så ingen av kantene tidligee på stien gå innom C ). Slett alle kante inn i C botsett fa e og legg til alle kantene i C botsett fa den som gå inn i b. La T væe esultatet. Kostnaden kan ikke ha økt (siden antall kante e likt, og alle kantene vi ha byttet til ha kostnad 0), så spøsmålet e bae om T faktisk e en aboens. Vi ha fotsatt n 1 kante, så det eneste spøsmålet e om det finnes stie til alle nodene fa. Vi ha te mulighete: Noden v ligge i C. Konstuksjonen vå ha bevat stien b fa T og alle nodene i C kan nås fa b. Noden v ligge utenfo C og stien v gå utenom C. Stien e da intakt som den va i T. Noden v ligge utenfo C og stien v gå innom C. La w v væe den siste delen av stien, de w e den siste noden i stien som ligge i C. Vi vet da at vi kan nå w fa, og w v vil væe bevat fa T. Baset på de foegående fakta komme vi fem til følgende algoitme: 1. Juste vekten fa c til c. La F bestå av en innkant med kostnad 0 fo hve node botsett fa 3. Hvis (V, F ) e en aboesens, etune den og avslutt 3

4 4. Finn en ettet sykel C F 5. Kontahe C til en supenode 6. Finn den optimale aboesensen (V, F ) ekusivt i den nye gafen G = (V, E ) 7. Utvid (V, F ) til en aboesens (V, F ) i G ved å legge til alle kante i C botsett fa én Faktum 1.6. Algoitmen finne en optimal aboesens med ot i G. Bevis. Følge av de foegående esultate ved induksjon ove antall node i G. Bipatitte matchinge med minimal kostnad Nodene i en bipatitt (elle tofagba) gaf G = (V, E) kan patisjonee i to mengde X og Y, slik at det ikke finnes kante innad i X elle Y. En matching e en kantmengde M E, de ingen av kantene dele node. Med ande od kan man se på det som en kobling mellom node i X og Y. En pefekt matching e en matching som koble alle nodene i X til alle nodene i Y (det vil si, M = X = Y ). Pefekte matchinge kan finnes ved hjelp av Fod-Fulkeson-algoitmen, enten diekte på den bipatitte gafen (med X som kilde og Y som sluk), elle ved å koble en supekilde s til alle nodene i X og å koble alle nodene i Y til et supesluk t. Alle kante ha kapasitet 1, og hve matching M gi oss et esidualnettvek G M, de enhve sti fa s til t (en foøkende sti) epesentee en fobeding av M. En slik sti vil gå i sikksakk mellom X og Y, og vil (annenhve gang) legge til og oppheve kante, så vi ende opp med en ny matching M, de M = M + 1. Alle kante fa Y til X i esidualgafen G M e med i M, mens kantene fa X til Y e utenfo M. En viktig utvidelse av matchepoblemet e det å finne en minimal vektet matching, med ikke-negative kantvekte (kjent som min-cost matching elle the assignment poblem). Det kan væe snakk om å koble patnee ut fa pefeanse elle å koble ansatte til abeidsoppgave ut fa kompetanse, fo eksempel. Faktum.1. En pefekt matching kan bae fobedes ved hjelp av en negativ sykel. Hvis esidualnettveket G M ikke inneholde negative sykle vil M væe optimal. Bevis. Siden vi må beholde antallet kante i (og utenfo) M, så må enhve ending fa M til en annen matching M måtte bestå av én elle flee sykle. (En sti vil automatisk øke elle edusee antall kante.) Hvis kostnaden skal edusees fa M til M må minst én av disse syklene væe negativ. Dette gi oss en målsetning: Vi vil bygge en pefekt matching gadvis, og buke foøkende stie som fø, men vi vil unngå negative sykle hele veien. Vi kan da væe sike på at vi ende opp med et optimalt sva. 1 En måte å gjøe dette på e å omdefinee vektene på en slik måte at (1) alle sykle få samme sum, og () ingen av de omdefinete vektene e negative. Vi kan da væe sike på at ingen sykle kan væe negative. Fo å få alle bitene til å falle på plass må vi altså både definee en slik vekt-tansfom og vise hvodan vi kan finne en matching de tansfomen e gyldig. (Det vil jo fo eksempel ikke væe mulig å finne en gyldig slik tansfom fo en ikke-optimal matching, siden vi de faktisk vil ha negative sykle.) 1 Dette bety selvfølgelig ikke at delløsningene vil ha minimal vekt. 4

5 Føste tinn: Hvodan kan vi definee en vekt-tansfom som ha de ønskede egenskapene (ingen negative vekte i G M ette tansfomen, men alle sykle må beholde sin oppinnelige kostnad)? En måte å gjøe dette på e ved å lage en teleskop-sum. La oss si at sykelen C bestå av kantene e 1 = (v 1, v ), e = (v, v 3 ),..., e k = (v k, v 1 ). Vi ha da at c(c ) = c(e 1 ) + + c(e k ). Hvis vi vil legge til noe i et ledd så kan vi tekke det fa i det neste (elle omvendt), og tilleggs-leddene vil da summee til 0. Vi kan fo enkelhets skyld knytte disse tilleggene til nodene la oss kalle det en pising og definee den nye kostnaden til e = (v, w) E M som Kostnaden til en sykel vil da bli: c p (e) = p(v) + c(e) p(w). c p (C ) = p(v 1 ) + c(e 1 ) p(v ) + p(v ) + c(e ) p(v 3 ) + + p(v k ) + c(e k ) p(v 1 ) = c(e 1 ) + c(e ) + + c(e 3 ) = c(c ) En slik pising vil altså bevae vekten til alle sykle. Ved å velge pisingen iktig kan vi også søge fo at ingen av de justete (såkalt edusete) kostnadene e negative. I utgangspunktet keve vi at p(x) + c(e) p(y), fo alle kante e = (x, y) i E (det vil si, x X og y Y ). Det vil søge fo at alle kante fa X til Y ha en ikke-negativ justet kostnad. Hvis e = (x, y) M e ikke det nok, siden vi da ha (y, x) G M og c(y, x) = c(x, y) 0. Fo å unngå at denne bli negativ må den settes til 0. Med ande od, fo alle kante e = (x, y) M keve vi p(x) + c(e) = p(y). Selv om det ikke e kitisk ennå ønske vi også å beholde angeingen mellom de koteste veiene fa s til til hve av nodene i mengden Y. (Det e så vi skal kunne buke de edusete/justete kostnadene nå vi lete ette billige flytfoøkende stie). Hvis vi søge fo at p(x) = 0 fo node i X som ikke e med i M så e vi gaantet dette. En pising som tilfedsstille alle disse egenskapene kalle vi en kompatibel pising. Ande tinn: Hvodan bygge vi en maksimal matching som ha en kompatibel pising? Intuitivt kan det vike som om det e lut å velge en foøkende sti som øke kostnaden med så lite som mulig (en slags gådig stategi), med ande od: Buk den koteste stien fa s til t i esidualnettveket. Det vise seg at hvis vi state med en matching M som ha en kompatibel pising og buke den koteste foøkende stien, så vil den esulteende matchingen M også ha en kompatibel pising og hvis vi fotsette slik til vi ha en pefekt matching vil vi altså ha funnet den optimale. Faktum.. La M væe en matching, la p væe en kompatibel pising og la M væe en matching du få ved å velge den koteste foøkende stien. Da vil p (v) = p(v)+ d p,m (v) væe en kompatibel pising fo M. 5

6 Bevis. Hvis x ikke e med i M så ha vi p(x) = 0. Alle node som få pisen endet i M vil ligge på en foøkende sti, og demed væe med i M. Hvis x e matchet i M så vil den også væe matchet i M, så kavet om at p(x) = 0 fo umatchede node x vil uansett fotsatt væe oppfylt. I det følgende, la d = d p,m. Alle kante e = (x, y) i esidualnettveket skal tilfedsstille p(x) + c(e) p(y). På gunn av tekantulikheten fo koteste veie i en gaf vet vi at d(y) d(x)+c p (e), elle c p (e) d(y) d(x). Vi vet at c p (e) = p(x)+c(e) p(y), pe definisjon,, så hvis vi øke pisene til p som beskevet få vi følgende: p(x) + c(e) = p(y) + c p (e) p(y) + d(y) d(x) p(x) + d(x) + c(e) p(y) + d(y) p (x) + c(e) p (y) [c p (e) d(y) d(x)] [ p (v) = p(v) + d(v)] Det gjenstå da å vise at ulikheten bli en ligning fo kante som e med i M. La e = (x, y) væe en kant i M. Den eneste innkanten til x i esidualnettveket e (y, x), og demed ha vi at d(x) = d(y) c p (e), elle c p (e) = d(y) d(x), som la oss bytte ut ulikhetene med ligninge i utegningen ove. Betakt nå kante (x, y) i M \ M. Disse ligge langs den koteste stien fa s til t, og tilfedsstille demed også d(y) = d(x) + c p (e), og vi få samme esultat fo dem. Nomalt ville vi måtte buke Bellman-Fod fo å finne den flytfoøkende stien, siden vi fot vil få negative kante i esidualnettveket. Men siden vi buke de edusete kostnadene (som jo aldi bli negative), kan vi buke Dijkstas algoitme i stedet, noe som gjø atskillig me effektiv. Mek at dette e omvendt av det som stå i Kleinbeg & Tados. 6

Go with the. Niende forelesning. Mye matematikk i boka her ikke så komplisert, men mye å holde styr på.

Go with the. Niende forelesning. Mye matematikk i boka her ikke så komplisert, men mye å holde styr på. Go with the Niende forelesning Mye matematikk i boka her ikke så komplisert, men mye å holde styr på. Fokuserer på de viktigste ideene i dagens forelesning, så det forhåpentligvis blir lettere å skjønne

Detaljer

Newtons lover i én dimensjon

Newtons lover i én dimensjon Newtons love i én dimensjon 4.01.013 kaft akseleasjon hastighet posisjon YS-MEK 1110 4.01.013 1 Hva e kaft? Vi ha en intuitivt idé om hva kaft e. Vi kan kvantifisee en kaft med elongasjon av en fjæ. Hva

Detaljer

trygghet FASE 1: barnehage

trygghet FASE 1: barnehage tygghet banehage De voksnes olle Banemøte Leikeguppe Guppeaktivitet Hjemmebesøk Samlinge Måltid Påkledning Uteleik Konfliktløsning Vudeing Haug banehage 2011-2012 tygghet tygghet «Banehagen skal bistå

Detaljer

Avanserte flytalgoritmer

Avanserte flytalgoritmer Avanserte flytalgoritmer Magnus Lie Hetland, mars 2008 Stoff hentet fra: Network Flows av Ahua m.fl. (Prentice-Hall, 1993) Graphs, Networks and Algorithms, 2. utg., av Jungnickel (Springer, 2005) Repetisjon

Detaljer

Betinget bevegelse

Betinget bevegelse Betinget bevegelse 1.0.013 innleveing på fonte FYS-MEK 1110 1.0.013 1 Innleveinge aksenavn! enhete! kommente esultatene utegninge: skitt fo skitt, ikke bae esultatet vi tenge å fostå hva du ha gjot sett

Detaljer

Matematikk 3MX AA6524 / AA6526 Elever / privatister Oktober 2002

Matematikk 3MX AA6524 / AA6526 Elever / privatister Oktober 2002 E K S A M E N LÆRINGSSENTERET Matematikk 3MX AA6524 / AA6526 Eleve / pivatiste Bokmål Eksempeloppgave ette læeplan godkjent juli 2000 Videegående kus II Studieetning fo allmenne, økonomiske og administative

Detaljer

MAT1140: Kort sammendrag av grafteorien

MAT1140: Kort sammendrag av grafteorien MAT1140: Kort sammendrag av grafteorien Dette notatet gir en kort oversikt over den delen av grafteorien som er gjennomgått i MAT1140 høsten 2013. Vekten er på den logiske oppbygningen, og jeg har utelatt

Detaljer

EKSAMEN I FY1001 og TFY4145 MEKANISK FYSIKK: LØSNINGSFORSLAG

EKSAMEN I FY1001 og TFY4145 MEKANISK FYSIKK: LØSNINGSFORSLAG NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR FYSIKK EKSAMEN I FY1001 og TFY4145 MEKANISK FYSIKK: LØSNINGSFORSLAG Tisdag 18. desembe 01 kl. 0900-100 Oppgave 1. Ti flevalgsspøsmål. (Telle

Detaljer

Løsningsforslag for eksamen i FY101 Elektromagnetisme torsdag 12. desember 2002

Løsningsforslag for eksamen i FY101 Elektromagnetisme torsdag 12. desember 2002 Løsningsfoslag fo eksamen i FY Elektomagnetisme tosdag. desembe Ved sensueing vil alle delspøsmål i utgangspunktet bli gitt samme vekt (uavhengig av oppgavenumme), men vi fobeholde oss etten til justeinge.

Detaljer

Oppgave 1 a)1 b)3 c)2 d)3 e)3 f)2 g)3 h)2 i)1 j)2 k)1 l)2

Oppgave 1 a)1 b)3 c)2 d)3 e)3 f)2 g)3 h)2 i)1 j)2 k)1 l)2 1 Løsningsfoslag EMC-eksamen 24.5. Oppgave 1 a)1 b)3 c)2 d)3 e)3 f)2 g)3 h)2 i)1 j)2 k)1 l)2 Oppgave 2 a) En geneisk standad e en geneell standad som bukes nå det ikke foeligge en poduktstandad. EN581

Detaljer

Newtons lover i to og tre dimensjoner

Newtons lover i to og tre dimensjoner Newtons love i to og te dimensjone 9..17 Oblig e lagt ut. Innleveing: Mandag,.. FYS-MEK 111 9..17 1 Skått kast med luftmotstand F net F D G D v v mg ˆj hoisontal og vetikal bevegelse ikke lenge uavhengig:

Detaljer

Løsningsforslag - Korteste vei

Løsningsforslag - Korteste vei Sist endret: 17.08.2010 Hovedside FAQ Beskjeder Timeplan Ukeplan Øvinger Gruppeøving Eksamensoppgaver Pensum Løsningsforslag - Korteste vei [Oppgave] [Levering] [Løsningsforslag] Innleveringsfrist: 21.10.2011

Detaljer

FORELESNINGSNOTATER I SPILLTEORI Geir B. Asheim, våren 2001 (oppdatert ). 0. INNLEDNING. Klassifikasjon av spill.

FORELESNINGSNOTATER I SPILLTEORI Geir B. Asheim, våren 2001 (oppdatert ). 0. INNLEDNING. Klassifikasjon av spill. FOEESNINGSNOAE I SPIEOI Gei. Asheim, våen 00 (oppdatet 00.0.0). Spillteoi studee flepesons-beslutningspobleme. Spillteoi analysee aktøe som e asjonelle (ha veldefinete pefeanse) esonnee stategisk (ta hensyn

Detaljer

Formelsamling i medisinsk statistikk

Formelsamling i medisinsk statistikk Fomelsamling i medisinsk statistikk Vesjon av 5. juni 2009 Dette e en fomelsamling til O. O. Aalen (ed.): Statistiske metode i medisin og helsefag, Gyldendal, 2006. Mek at boken ha en nettside de det e

Detaljer

Newtons lover i én dimensjon (2)

Newtons lover i én dimensjon (2) Newtons love i én dimensjon () 9.1.13 husk: data lab fedag 1-16 FYS-MEK 111 9.1.13 1 Identifikasjon av keftene: 1. Del poblemet inn i system og omgivelse.. Tegn figu av objektet og alt som beøe det. 3.

Detaljer

Problemet. Datamaskinbaserte doseberegninger. Usikkerheter i dose konsekvenser 1 Usikkerheter i dose konsekvenser 2

Problemet. Datamaskinbaserte doseberegninger. Usikkerheter i dose konsekvenser 1 Usikkerheter i dose konsekvenser 2 Poblemet Datamaskinbasete dosebeegninge Beegne dosefodeling i en pasient helst med gunnlag i CT-bilde Eiik Malinen Sentale kilde: T. Knöös (http://www.clin.adfys.lu.se/downloads.htm) A. Ahnesjö (div. publikasjone)

Detaljer

Gammel tekst Ny tekst Begrunnelse. "Følgende dokumenter legges til grunn for virksomheten

Gammel tekst Ny tekst Begrunnelse. Følgende dokumenter legges til grunn for virksomheten Fo mangfold mot diskimineing Endings til Vedtekte Landsmøtet 2015 Foslagsstille Gammel tekst Ny tekst Begunnelse "Følgende dokumente legges til gunn fo viksomheten 1 Ny tekst Fø 1 - Vedtekte: Beskive eglene

Detaljer

Korteste vei problemet (seksjon 15.3)

Korteste vei problemet (seksjon 15.3) Korteste vei problemet (seksjon 15.3) Skal studere et grunnleggende kombinatorisk problem, men først: En (rettet) vandring i en rettet graf D = (V, E) er en følge P = (v 0, e 1, v 1, e 2,..., e k, v k

Detaljer

BIOS 2 Biologi... 2...

BIOS 2 Biologi... 2... Figue kapittel 6: ven Figu s. 174 Egenskape Blomstefage Dominant egenskap Lilla ecessiv egenskap Hvit Noen av de egenskapene Mendel testet, va blomstefage, føfage og føfom. På side 279 finne du en ovesikt

Detaljer

Newtons lover i to og tre dimensjoner

Newtons lover i to og tre dimensjoner Newtons love i to og te dimensjone 7..13 innleveing: buk iktige boks! FYS-MEK 111 7..13 1 Skått kast kontaktkaft: luftmotstand langtekkende kaft: gavitasjon initialbetingelse: () v() v v cos( α ) iˆ +

Detaljer

Om bevegelsesligningene

Om bevegelsesligningene Inst. fo Mekanikk, Temo- og Fluiddynamikk Om bevegelsesligningene (Repetisjon av utledninge fa IO 1008 Fluidmekanikk) P.-Å. Kogstad I det ettefølgende epetees kot utledningene av de fundamentale bevegelsesligninge,

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Dt matmatisk-natuvitnskaplig fakultt Eksamn i MAT-INF 00 Modlling og bgning. Eksamnsdag: Fdag 6. dsmb 0. Tid fo ksamn: 9:00 :00. Oppgavsttt på 8 sid. Vdlgg: Tillatt hjlpmidl: Fomlak.

Detaljer

Go with the. Niende forelesning. Mye matematikk i boka her ikke så komplisert, men mye å holde styr på.

Go with the. Niende forelesning. Mye matematikk i boka her ikke så komplisert, men mye å holde styr på. Go with the Niende forelesning Mye matematikk i boka her ikke så komplisert, men mye å holde styr på. Fokuserer på de viktigste ideene i dagens forelesning, så det forhåpentligvis blir lettere å skjønne

Detaljer

sosiale behov FASE 2: Haug barnehage 2011-2012

sosiale behov FASE 2: Haug barnehage 2011-2012 : Hva kjennetegne bana i denne fasen? De voksnes olle Banemøte Påkledning Samlinge Måltid Posjekte Uteleik Konfliktløsning Vudeing Haug banehage 2011-2012 «Omsog, oppdagelse og læing i banehagen skal femme

Detaljer

Korteste Vei II. Lars Vidar Magnusson 11.4.2014. Kapittel 24 Bellman-Ford algoritmen Dijkstra algoritmen

Korteste Vei II. Lars Vidar Magnusson 11.4.2014. Kapittel 24 Bellman-Ford algoritmen Dijkstra algoritmen Korteste Vei II Lars Vidar Magnusson 11.4.2014 Kapittel 24 Bellman-Ford algoritmen Dijkstra algoritmen Bellman-Ford Algoritmen Bellman-Ford er en single-source korteste vei algoritme. Den tillater negative

Detaljer

Eksamen TFY 4240: Elektromagnetisk teori

Eksamen TFY 4240: Elektromagnetisk teori NORGES TEKNISK- NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR FYSIKK Faglig kontakt unde eksamen: Ola Hundei, tlf. 93411 (mobil: 95143671) Eksamen TFY 4240: Elektomagnetisk teoi 8 desembe 2007 kl. 09.00-13.00

Detaljer

b) C Det elektriske feltet går radielt ut fra en positivt ladd partikkel.

b) C Det elektriske feltet går radielt ut fra en positivt ladd partikkel. Løsningsfoslag Fysikk 2 Høst 203 Løsningsfoslag Fysikk 2 Høst 203 Opp Sva Foklaing gave a) B Fomelen fo bevegelsesmengde p = mv gi enheten kg m. s Dette kan igjen skives som: kg m = kg m s s2 s = Ns b)

Detaljer

Innhold. 1. Innledning... 3

Innhold. 1. Innledning... 3 Risikobaset tilsyn Modul fo makeds- og kedittisiko i fosiking Evalueing av makeds- og kedittisikonivå DAO: 15.09.2010 Innhold 1. Innledning... 3 2. Makedsisiko... 4 2.1 Metodikken... 4 2.2 Renteisiko...

Detaljer

Løsningsforslag Prøveeksamen i MAT-INF 1100, Høsten 2003

Løsningsforslag Prøveeksamen i MAT-INF 1100, Høsten 2003 Løsningsforslag Prøveeksamen i MAT-INF 1100, Høsten 003 Denne prøveeksamenen har samme format som den virkelige eksamenen, og inneholder oppgaver av samme type og vanskelighetsgrad. Første del av eksamen

Detaljer

Veileder for mentorer

Veileder for mentorer Veilede fo mentoe Utabeidet av Likestillingssenteet 2011 Food Likestillingssenteet ha siden 2006 diftet mentonettveket Velkommen inn, et mentonettvek spesielt ettet mot innvandekvinne. Mentoene i Velkommen

Detaljer

At energi ikke kan gå tapt, må bety at den er bevart. Derav betegnelsen bevaringslov.

At energi ikke kan gå tapt, må bety at den er bevart. Derav betegnelsen bevaringslov. Side av 8 LØSNINGSFORSLAG KONINUASJONSEKSAMEN 006 SMN694 VARMELÆRE DAO: 04. Mai 007 ID: KL. 09.00 -.00 OPPGAVE (Vekt: 40%) a) emodynamikkens. hovedsats:. hovedsetning: Enegi kan hveken oppstå elle fosvinne,

Detaljer

Korteste Vei I. Lars Vidar Magnusson 9.4.2014. Kapittel 24 Hvordan finne korteste vei Egenskaper ved korteste vei

Korteste Vei I. Lars Vidar Magnusson 9.4.2014. Kapittel 24 Hvordan finne korteste vei Egenskaper ved korteste vei Korteste Vei I Lars Vidar Magnusson 9.4.2014 Kapittel 24 Hvordan finne korteste vei Egenskaper ved korteste vei Korteste Vei Problemet I denne forelesningen skal vi se på hvordan vi kan finne korteste

Detaljer

Eksamen i tdt4120 Algoritmer og datastrukturer

Eksamen i tdt4120 Algoritmer og datastrukturer Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for datateknikk og informasjonsvitenskap Side 1 av 5 Oppgavestillere: Magnus Lie Hetland Jon Marius Venstad Kvalitetskontroll: Magnar Nedland Faglig

Detaljer

Rettelser til. Øistein Bjørnestad Tom Rune Kongelf Terje Myklebust. Alfa. Oppgaveløsninger

Rettelser til. Øistein Bjørnestad Tom Rune Kongelf Terje Myklebust. Alfa. Oppgaveløsninger Rettelse til Øistein Bjønestad Tom Rune Kongelf Teje Myklebust Alfa Oppgaveløsninge 007 Kapittel S. 7: Fasit til oppgave.9e): Slik oppgaven stå, skal svaet væe 065 (noe ha falt ut i oppgaveteksten). S.

Detaljer

MAT1140: Kort sammendrag av grafteorien

MAT1140: Kort sammendrag av grafteorien MAT1140, H-15 MAT1140: Kort sammendrag av grafteorien Dette notatet gir en kort oppsummering av grafteorien i MAT1140. Vekten er på den logiske oppbygningen, og jeg har utelatt all motivasjon og (nesten)

Detaljer

b) 3 MATEMATISKE METODER I 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Repetisjonsoppgaver Bruk av regneregler: 1 Regn ut: e) 0 x ) 4 3 d) 4 x f) 5y

b) 3 MATEMATISKE METODER I 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Repetisjonsoppgaver Bruk av regneregler: 1 Regn ut: e) 0 x ) 4 3 d) 4 x f) 5y MATEMATISKE METODER I Buk av egneegle: Regn ut: a ( ( b 7 c ( 7 y 8 d 8 e f 5y y Regn ut og tekk sammen: a 5a b a b a + b b y + y + + y c t t + 6 ( 6t t + 8 d s+ s + s ( s + s Multiplise ut og odne a (

Detaljer

Løsningsforslag TEP 4110 FLUIDMEKANIKK 18.desember ρ = = = m / s m / s 0.1

Løsningsforslag TEP 4110 FLUIDMEKANIKK 18.desember ρ = = = m / s m / s 0.1 Løsningsfoslag TEP 40 FLUIDMEKNIKK 8.desembe 007 Oppgave a) Foskjellen i vekt e oppdiftskaften på kula nå den e neddykket i olje (oppdiften i luft neglisjees). Oppdift =ρ Volum g olje π =ρvann SGolje d

Detaljer

Avsluttende eksamen i TDT4125 Algoritmekonstruksjon, videregående kurs

Avsluttende eksamen i TDT4125 Algoritmekonstruksjon, videregående kurs TDT4125 2010-06-03 Kand-nr: 1/5 Avsluttende eksamen i TDT4125 Algoritmekonstruksjon, videregående kurs Eksamensdato 3. juni 2010 Eksamenstid 0900 1300 Sensurdato 24. juni Språk/målform Bokmål Kontakt under

Detaljer

Vann i rør Ford Fulkerson method

Vann i rør Ford Fulkerson method Vann i rør Ford Fulkerson method Problemet Forestill deg at du har et nettverk av rør som kan transportere vann, og hvor rørene møtes i sammensveisede knytepunkter. Vannet pumpes inn i nettverket ved hjelp

Detaljer

Avsluttende eksamen i TDT4120 Algoritmer og datastrukturer

Avsluttende eksamen i TDT4120 Algoritmer og datastrukturer Avsluttende eksamen i TDT4120 Algoritmer og datastrukturer Eksamensdato 13. august 2012 Eksamenstid 0900 1300 Sensurdato 3. september Språk/målform Bokmål Kontakt under eksamen Magnus Lie Hetland (tlf.

Detaljer

EKSAMENSOPPGAVE - Skoleeksamen. Institutt for Samfunnsøkonomi. Utlevering: 17.12.2014 Kl. 09.00 Innlevering: 17.12.2014 Kl. 14.00

EKSAMENSOPPGAVE - Skoleeksamen. Institutt for Samfunnsøkonomi. Utlevering: 17.12.2014 Kl. 09.00 Innlevering: 17.12.2014 Kl. 14.00 EKSAMENSOPPGAVE - Skoleeksamen MET 11803 Matematikk Institutt fo Samfunnsøkonomi Utleveing: 17122014 Kl 0900 Innleveing: 17122014 Kl 1400 Vekt: 70% av MET 1180 Antall side i oppgaven: Antall vedleggsfile:

Detaljer

Omfang Kontrakten vil i utgangspunktet omfatte 2 leasingbiler med serviceavtale som spesifisert nedenfor. Kontraktsperioden er

Omfang Kontrakten vil i utgangspunktet omfatte 2 leasingbiler med serviceavtale som spesifisert nedenfor. Kontraktsperioden er Eidskog Gue Sø-Odal Eidskog Åsnes Våle Leasingbile fo opeasjonell leasing til kommunale Eiendomsenhet, Gøntavdelingen. Geneelt kommune ønske tilbud på leasingbile fo opeasjonell leasing. Det økonomisk

Detaljer

LEIRFJORD KOMMUNE SAKSFRAMLEGG. Saksbehandler: Britt Jonassen Arkiv: 144 F17 Arkivsaksnr.: 13/167-7 Klageadgang: Nei

LEIRFJORD KOMMUNE SAKSFRAMLEGG. Saksbehandler: Britt Jonassen Arkiv: 144 F17 Arkivsaksnr.: 13/167-7 Klageadgang: Nei LEIRFJORD KOMMUNE SAKSFRAMLEGG Saksbehandle: Bitt Jonassen Akiv: 144 F17 Akivsaksn.: 13/167-7 Klageadgang: Nei REGIONAL BOLIGPOLITISK HANDLINGSPLAN Administasjonssjefens innstilling: ::: &&& Sett inn innstillingen

Detaljer

Maks Flyt og NPkompletthet

Maks Flyt og NPkompletthet Maks Flyt og NPkompletthet Flyt - Intro Mange av oppgavene om flyt handler om å se at Dette kan vi løse som et flytproblem. Resten er som regel kortsvarsoppgaver, og går på grunnleggende forståelse av

Detaljer

Løsningsforslag Fysikk 2 Høst 2014

Løsningsforslag Fysikk 2 Høst 2014 Løsningsfoslag Fysikk Høst 014 Løsningsfoslag Fysikk Høst 014 Opp Sva Foklaing gave a) D Det elektiske feltet gå adielt ut fa en positivt ladet patikkel. Til høye fo elektonet lage elektonet en feltstyke

Detaljer

Løsningsforslag kapittel 3

Løsningsforslag kapittel 3 Løsningsoslg kpittel 3 3.1 ) Uttykket o (den konigusjonelle) entopien S e gitt ved S k ln W, de W uttykke ntll skillbe mikotilstnde. Siden kystllen inneholde n vknse odelt ove N N! N! tomplsse e W og S

Detaljer

FYSIKK-OLYMPIADEN Andre runde: 4/2 2010

FYSIKK-OLYMPIADEN Andre runde: 4/2 2010 Nosk Fysikklæefoening Nosk Fysisk Selskaps fagguppe fo undevisning FYSIKK-OLYMPIADEN 009 010 Ande unde: / 010 Skiv øvest: Navn, fødselsdato, e-postadesse og skolens navn Vaighet:3 klokketime Hjelpemidle:abell

Detaljer

Realavkastning. Investeringsanalyse og inflasjon. Realavkastning av finansinvesteringer

Realavkastning. Investeringsanalyse og inflasjon. Realavkastning av finansinvesteringer Ivesteigsaalyse og iflasjo Nomiell avkastig og ealavkastig Reell låeete (ealete) Realivesteige og iflasjo Kotatstøm i omielle og faste pise Iflasjo og skatt Omløpsmidle og iflasjo Joh-Eik Adeasse 1 Høgskole

Detaljer

Forelesning 25. MAT1030 Diskret Matematikk. Litt repetisjon. Litt repetisjon. Forelesning 25: Trær. Dag Normann

Forelesning 25. MAT1030 Diskret Matematikk. Litt repetisjon. Litt repetisjon. Forelesning 25: Trær. Dag Normann MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 25: Trær Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo Forelesning 25 27. april 2010 (Sist oppdatert: 2010-04-27 14:16) MAT1030 Diskret Matematikk 27. april

Detaljer

Løsning øving 12 N L. Fra Faradays induksjonslov får vi da en indusert elektromotorisk spenning:

Løsning øving 12 N L. Fra Faradays induksjonslov får vi da en indusert elektromotorisk spenning: nstitutt fo fysikk, NTNU Fg SF 4 Elektognetise og MNFFY 3 Elektisitet og gnetise Høst øsning øving Oppgve Mgnetfeltet inne i solenoiden e : ( H( (N/) ( (dvs fo < R). Utenfo solenoiden: ( > R) Fo å eegne

Detaljer

Populærvitenskapelig kilde: Robin Wilson, Four Colours Suffice/How the Map Problem was Solved, Penguin Books 2003, ISBN 0-141-00908-X.

Populærvitenskapelig kilde: Robin Wilson, Four Colours Suffice/How the Map Problem was Solved, Penguin Books 2003, ISBN 0-141-00908-X. Om Fargelegging av Kart og Grafer i Planet Populærvitenskapelig kilde: Robin Wilson, Four Colours Suffice/How the Map Problem was Solved, Penguin Books 2003, ISBN 0-141-00908-X. 1. Firefargeteoremet Et

Detaljer

Løsningsforslag Fysikk 2 Høst 2015

Løsningsforslag Fysikk 2 Høst 2015 Løsningsfoslag Fysikk Høst 015 Oppgave Sva Foklaing a) A Vi pøve oss fa ed noen kjente fole: ε vbl B ε Φ vl t vl Nå vi nå egne ed enhete på denne foelen få vi Wb B s s Wb Magnetfeltet kan altså åles i

Detaljer

MAT1030 Diskret Matematikk

MAT1030 Diskret Matematikk MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 25: Trær Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 27. april 2010 (Sist oppdatert: 2010-04-27 14:15) Forelesning 25 MAT1030 Diskret Matematikk 27. april

Detaljer

Qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqw ertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwert yuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui opasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopa

Qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqw ertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwert yuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui opasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopa Qwetyuiopasdfghjklzxcvbnmqw etyuiopasdfghjklzxcvbnmqwet yuiopasdfghjklzxcvbnmqwetyui opasdfghjklzxcvbnmqwetyuiopa ÅRSMELDING 2013 sdfghjklzxcvbnmqwetyuiopasdf AURLAND IL ghjklzxcvbnmqwetyuiopasdfghj REKNESKAP

Detaljer

Kombinatorikk. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk. Multiplikasjonssetningen

Kombinatorikk. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk. Multiplikasjonssetningen MAT000V Sasylighetsegig og kombiatoikk Kombiatoikk Odede utvalg med og ute tilbakeleggig Uodede utvalg ute tilbakeleggig Pascals talltekat og biomialkoeffisietee Øulf Boga Matematisk istitutt Uivesitetet

Detaljer

Modul 1 15 studiepoeng, internt kurs Notodden/Porsgrunn

Modul 1 15 studiepoeng, internt kurs Notodden/Porsgrunn Høgskole i Telemk Avdelig fo estetiske fg, folkekultu og læeutdig BOKMÅL 4. mi 007 EKSAMEN I MATEMATIKK 3 Tid: 6 time Modul 5 studiepoeg, itet kus Notodde/Posgu Oppgvesettet e på 7 side (ikludet fomelsmlig).

Detaljer

Relasjonsdatabasedesign

Relasjonsdatabasedesign UNIVERSITETET I OSLO Relasjonsdatabasedesign Normalformer Institutt for Informatikk INF3100-25.1.2016 Ellen Munthe-Kaas 1 Normalformer Normalformer er et uttrykk for hvor godt vi har lykkes i en dekomposisjon

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FAG TEP4170 VARME- OG FORBRENNINGSTEKNIKK 18. mai 2007 Tid:

LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FAG TEP4170 VARME- OG FORBRENNINGSTEKNIKK 18. mai 2007 Tid: av 4 Noges teknisk-natuvitenskapelige univesitet Initutt fo enegi- og poseseknikk Kontakt unde eksamen: Toleif Weydahl, tlf. 7359634 / 945 ØSNINGSFORSAG TI EKSAMEN I FAG TEP47 VARME- OG FORBRENNINGSTEKNIKK

Detaljer

Diagnosekart for oblig 2, INF3/4130 h07

Diagnosekart for oblig 2, INF3/4130 h07 Diagnosekart for oblig 2, INF3/4130 h07 Dag Sverre Seljebotn 1. november 2007 Dette er et dokument jeg har skrivd for å gjøre det enklere å gi tilbakemelding på obligene, siden så mange ting går igjen

Detaljer

Fra A til B. Syvende forelesning

Fra A til B. Syvende forelesning Fra A til B Syvende forelesning 1 Amøbeproblemet nok en gang. Hva er 1+2+4+ +n/2? 2 Skal la være å trekke frem binærtrefiguren igjen ;-) La oss se på det på en litt annen måte, som passer dagens tema (fra

Detaljer

MAT1030 Forelesning 24

MAT1030 Forelesning 24 MAT1030 Forelesning 24 Grafteori og trær Roger Antonsen - 28. april 2009 (Sist oppdatert: 2009-04-28 22:32) Forelesning 24 Oppsummering En graf består av noder og kanter Kanter ligger inntil noder, og

Detaljer

Stereo - ider. 82 57 61 71 50 138/ 138 dage r Eksterne 0 290 20 7 8 2 5? 10 10 Ca 352

Stereo - ider. 82 57 61 71 50 138/ 138 dage r Eksterne 0 290 20 7 8 2 5? 10 10 Ca 352 Statusappot undevisningsviksomhet og øvige kompetansetiltak ARA 2. halvå 2013 Jeg laget i juli 2013 en tilsvaende statusappot fo undevisningsviksomheten i ARA fo 1. halvå 2013 som undevisningslede e ansvalig

Detaljer

MAT1030 Forelesning 25

MAT1030 Forelesning 25 MAT1030 Forelesning 25 Trær Dag Normann - 27. april 2010 (Sist oppdatert: 2010-04-27 14:16) Forelesning 25 Litt repetisjon Vi har snakket om grafer og trær. Av begreper vi så på var følgende: Eulerstier

Detaljer

Hammerfest HAMMERFEST. MELKEØYA sett fra S

Hammerfest HAMMERFEST. MELKEØYA sett fra S HAMMERFET b) a) Fobudssone (sjøkat 9, 09) Fobud mot alle fatøy nå et tankskip /fatøy til teminalen befinne seg de og e undeveis. IKRINFELT (sjøkat 9, 09) Fobud fo alle fatøy uten tillatelse fa teminalen.

Detaljer

ALGORITMER OG DATASTRUKTURER

ALGORITMER OG DATASTRUKTURER Stud. nr: Side 1 av 6 NTNU Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet BOKMÅL Fakultet for informasjonsteknologi, matematikk og elektroteknikk Institutt for datateknikk og informasjonsvitenskap AVSLUTTENDE

Detaljer

MAT1030 Diskret matematikk

MAT1030 Diskret matematikk MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 33: Repetisjon Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 26. mai 2008 Innledning Onsdag 21/5 gjorde vi oss ferdige med det meste av den systematiske

Detaljer

Innledning. MAT1030 Diskret matematikk. Kapittel 11. Kapittel 11. Forelesning 33: Repetisjon

Innledning. MAT1030 Diskret matematikk. Kapittel 11. Kapittel 11. Forelesning 33: Repetisjon Innledning MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 33: Repetisjon Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 26. mai 2008 Onsdag 21/5 gjorde vi oss ferdige med det meste av den systematiske

Detaljer

Go with the. Niende forelesning. Mye matematikk i boka her ikke så komplisert, men mye å holde styr på.

Go with the. Niende forelesning. Mye matematikk i boka her ikke så komplisert, men mye å holde styr på. Go with the Niende forelesning Mye matematikk i boka her ikke så komplisert, men mye å holde styr på. Fokuserer på de viktigste ideene i dagens forelesning, så det forhåpentligvis blir lettere å skjønne

Detaljer

KAPITTEL 6. STØRRELSER OG TALL I GRESK MATEMATIKK

KAPITTEL 6. STØRRELSER OG TALL I GRESK MATEMATIKK KAPITTEL 6. STØRRELSER OG TALL I GRESK MATEMATIKK Gekee kjete de atulige tallee og de kjete til fohold - dvs det vi i dag vil ofatte som bøke. E guleggede ofatig va at to lijestykke måtte ha et felles

Detaljer

Slik bruker du pakken

Slik bruker du pakken Slik buke du pakken Kompetanseutviklingspakken Lesestategie og leseengasjement Dette e infomasjon til deg/dee som skal lede femdiften i kollegiet. He finne du en ovesikt ove pakkens innhold til hjelp i

Detaljer

Øving 8. Dersom ikke annet er oppgitt, antas det at systemet er i elektrostatisk likevekt.

Øving 8. Dersom ikke annet er oppgitt, antas det at systemet er i elektrostatisk likevekt. Institutt fo fysikk, NTNU TFY455/FY003: lektisitet og magnetisme Vå 2008 Øving 8 Veiledning: 04.03 i R2 25-400, 05.03 i R2 25-400 Innleveingsfist: Fedag 7. mas kl. 200 (Svatabell på siste side.) Opplysninge:

Detaljer

ρ = = = m / s m / s Ok! 0.1

ρ = = = m / s m / s Ok! 0.1 Løsningsfoslag TEP 00 FLUIDMEKNIKK.juni 007 Oppgave a) Foskjellen i vekt e oppdiftskaften på kula nå den e neddykket i olje (oppdiften i luft neglisjees). Oppdift =ρ Volum g olje π =ρvann SGolje d g 6

Detaljer

informasjon GENERELL barnehage

informasjon GENERELL barnehage 2011 maianne@fuedesign.no «Det e at å ha 5 finge på hve hånd og 5 tæ på hve fot. Jeg kunne like gjene hatt 13 elle 30 sammenlagt. Og så ble det tilfeldigvis 20». Inge Hageup banehage Åpningstid Tilvenning

Detaljer

Vektreduksjon - Livsstilskurs kr. 1200,- pr. mnd

Vektreduksjon - Livsstilskurs kr. 1200,- pr. mnd Livea - livsstil - vekteduksjon n 1-2015 Vekteduksjon - Livsstilskus k. 1200,- p. mnd kusplan 2015 Kus state nå! Les me s. 3 Gikk ned 26 kg på 16 uke "Nå føle jeg at jeg vikelig nyte mat - fo føste gang"

Detaljer

Oslo kommune Bydel Østensjø Bydelsadministrasjonen. Protokoll 7/14

Oslo kommune Bydel Østensjø Bydelsadministrasjonen. Protokoll 7/14 Oslo kommune Bydel Østensjø Bydelsadministasjonen Potokoll 7/14 Møte: Bydelsutvalget Møtested: Oppsal samfunnshus, Vetlandsveien 99/101 Møtetid: Mandag 17. novembe 2014 kl. 18.30 Seketaiat: Theese Kloumann

Detaljer

EKSAMEN I TIØ4120 OPERASJONSANALYSE, GK Tirsdag 4. desember 2012 Tid: kl. 1500 1900 (Bokmål)

EKSAMEN I TIØ4120 OPERASJONSANALYSE, GK Tirsdag 4. desember 2012 Tid: kl. 1500 1900 (Bokmål) Fag TIØ 4120 Operasjonsanalyse, grunnkurs 4. desember 2012 Side 1 av 5 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR INDUSTRIELL ØKONOMI OG TEKNOLOGILEDELSE Faglig kontakt under eksamen:

Detaljer

Veileder for adepter. Bruk mentor - unngå omveier

Veileder for adepter. Bruk mentor - unngå omveier Veilede fo adepte Buk mento - unngå omveie At eg e til, Det veit eg. Eg kjenne pusten min Og eit og anna hjeteslag. Men eg vil noko mei, enn bee å vea, eg vil vea nokon, som bety noko, i det stoe fellesskapet.

Detaljer

MAT1030 Diskret matematikk

MAT1030 Diskret matematikk MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 23: Grafteori Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 16. april 2008 Oppsummering En graf består av noder og kanter Kanter ligger inntil noder, og

Detaljer

Oppsummering. MAT1030 Diskret matematikk. Oppsummering. Oppsummering. Forelesning 23: Grafteori

Oppsummering. MAT1030 Diskret matematikk. Oppsummering. Oppsummering. Forelesning 23: Grafteori Oppsummering MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 23: Grafteori Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 16. april 2008 En graf består av noder og kanter Kanter ligger inntil noder, og

Detaljer

Forelesning 28. Grafer og trær, eksempler. Dag Normann - 5. mai Grafer og trær. Grafer og trær. Grafer og trær

Forelesning 28. Grafer og trær, eksempler. Dag Normann - 5. mai Grafer og trær. Grafer og trær. Grafer og trær Forelesning 28, eksempler Dag Normann - 5. mai 2008 I dag skal vi se på en rekke eksempeloppgaver, og gjennomgå løsningene på tavla. Alle eksemplene er oppgaver som ville kunne bli gitt til eksamen, enten

Detaljer

Eksamensoppgave i TDT4120 Algoritmer og datastrukturer

Eksamensoppgave i TDT4120 Algoritmer og datastrukturer Eksamensoppgave i TDT4120 Algoritmer og datastrukturer Faglig kontakt under eksamen Magnus Lie Hetland Tlf.!! 91851949 Eksamensdato! 15. august 2013 Eksamenstid (fra til)! 0900 1300 Hjelpemiddelkode D.

Detaljer

INF3100 V2016 Obligatorisk oppgave nr. 1

INF3100 V2016 Obligatorisk oppgave nr. 1 INF3100 V2016 Obligatorisk oppgave nr. 1 Oppgavesettet skal løses og leveres individuelt. Gjennomføring og innlevering av oppgaven skal skje i henhold til gjeldende retningslinjer ved Institutt for informatikk,

Detaljer

Sammendrag, uke 14 (5. og 6. april)

Sammendrag, uke 14 (5. og 6. april) Institutt fo fysikk, NTNU TFY4155/FY1003: Elektisitet og magnetisme Vå 2005 Sammendag, uke 14 (5. og 6. apil) Magnetisk vekselvikning [FGT 28, 29; YF 27, 28; TM 26, 27; AF 22, 24B; H 23; DJG 5] Magnetisme

Detaljer

informasjon GENERELL barnehage

informasjon GENERELL barnehage maianne@futuia.no «Det e at å ha 5 finge på hve hånd og 5 tæ på hve fot. Jeg kunne like gjene hatt 13 elle 30 sammenlagt. Og så ble det tilfeldigvis 20». Inge Hageup banehage Åpningstid Tilvenning av nye

Detaljer

NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR FYSIKALSK ELEKTRONIKK

NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR FYSIKALSK ELEKTRONIKK Side 1 av 8 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR FYSIKALSK ELEKTRONIKK Faglig/fagleg kontakt unde eksamen: Navn: Helge E. Engan Tlf.: 944 EKSAMEN I EMNE SIE415 BØLGEFORPLANTNING

Detaljer

Algdat - Øvingsforelesning. Maks flyt

Algdat - Øvingsforelesning. Maks flyt Algdat - Øvingsforelesning Maks flyt Dagens plan 1. LF teoriøving 7 2. Maks flyt 3. Ford-Fulkerson 4. Maksimal bipartitt matching 5. Presentasjon av øving 9 2 Øving 7 4b) I hvilken rekkefølge velges noder

Detaljer

Høgskolen i Agder. Institutt for matematiske fag EKSAMEN

Høgskolen i Agder. Institutt for matematiske fag EKSAMEN Høgskolen i Agder Institutt for matematiske fag EKSAMEN i MA1040 Matematikk for IT-studenter Mandag 5. mai 2003, kl. 09 00 13 00 Alle trykte og skrevne hjelpemidler er tillatt. Oppgavesettet er på 7 sider.

Detaljer

Matchinger i ikke-bipartite grafer

Matchinger i ikke-bipartite grafer Matchinger i ikke-bipartite grafer Stein Krogdahl, Notat til INF 3/4130 Sist revidert september 2006 Vi skal i dette notatet se på det å finne matchinger i generelle grafer, uten noe krav om at grafen

Detaljer

8 Eksamens trening. E2 (Kapittel 1) På figuren er det tegnet grafene til funksjonene f og g gitt ved

8 Eksamens trening. E2 (Kapittel 1) På figuren er det tegnet grafene til funksjonene f og g gitt ved 84 8 Eksamenstening 8 Eksamens tening Uten hjelpemidle E1 (Kapittel 1) Polynomfunksjonen P e gitt ved P ( ) = 7 + 14 8, DP = R. a Det kan vises at alle heltallige løsninge av P() = 0 gå opp i konstantleddet

Detaljer

Forelesning 33. Repetisjon. Dag Normann mai Innledning. Kapittel 11

Forelesning 33. Repetisjon. Dag Normann mai Innledning. Kapittel 11 Forelesning 33 Repetisjon Dag Normann - 26. mai 2008 Innledning Onsdag 21/5 gjorde vi oss ferdige med det meste av den systematiske repetisjonen av MAT1030. Det som gjensto var kapitlene 11 om trær og

Detaljer

KulTur. Proffene. Landsturnering

KulTur. Proffene. Landsturnering N. 9 2012 17. ågang KulTu Poffene Landstuneing In o nh ld esn l t y ø h Kino med Kino med høytlesning Kjæe lese! ing He e Infoposten fo oktobe. I dette nummeet kan du lese om flotte dage på Ganes, om landstuneing

Detaljer

Studentnummer: Side 1 av 1. Løsningsforslag, Eksamen i TDT4120 Algoritmer og datastrukturer August 2005

Studentnummer: Side 1 av 1. Løsningsforslag, Eksamen i TDT4120 Algoritmer og datastrukturer August 2005 Studentnummer: Side 1 av 1 Løsningsforslag, Eksamen i TDT4120 Algoritmer og datastrukturer August 2005 Faglige kontakter under eksamen: Magnus Lie Hetland, Arne Halaas Tillatte hjelpemidler: Bestemt enkel

Detaljer

Kontinuasjonseksamen i tdt4125 Algoritmekonstruksjon, videregående kurs

Kontinuasjonseksamen i tdt4125 Algoritmekonstruksjon, videregående kurs Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for datateknikk og informasjonsvitenskap Side 1 av 7 Eksamenforfattere: Ole Edsberg Kvalitetskontroll: Magnus Lie Hetland Kontakter under eksamen:

Detaljer

90,- 1,- 3990,- Gaver til hele familien. fra. fra. Samsung NX11 Den perfekte gaven for alle med en fotograf i magen. Bilde i Ramme Ditt bilde som gave

90,- 1,- 3990,- Gaver til hele familien. fra. fra. Samsung NX11 Den perfekte gaven for alle med en fotograf i magen. Bilde i Ramme Ditt bilde som gave Gave til hele Bilde i Ramme Ditt bilde som gave Samsung NX11 Den pefekte gaven fo alle med en fotogaf i magen fa 9,- SE Xpeia Active Telefonen fo den aktive m/ Tele2 abonnement fa 399,- Gave til hele Peus

Detaljer

Forelesning 23. Grafteori. Dag Normann april Oppsummering. Oppsummering. Oppsummering. Digresjon: Firefarveproblemet

Forelesning 23. Grafteori. Dag Normann april Oppsummering. Oppsummering. Oppsummering. Digresjon: Firefarveproblemet Forelesning 23 Grafteori Dag Normann - 16. april 2008 Oppsummering En graf består av noder og kanter Kanter ligger inntil noder, og noder kan være naboer. Vi bør kjenne til begrepene om sammenhengende

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG, EKSAMEN I ALGORITMER OG DATASTRUKTURER (IT1105)

LØSNINGSFORSLAG, EKSAMEN I ALGORITMER OG DATASTRUKTURER (IT1105) Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for datateknikk og informasjonsvitenskap Side 1 av 8 Faglig kontakt under eksamen: Magnus Lie Hetland LØSNINGSFORSLAG, EKSAMEN I ALGORITMER OG DATASTRUKTURER

Detaljer

TFE4120 Elektromagnetisme

TFE4120 Elektromagnetisme NTNU IET, IME-fkultetet, Noge teknisk-ntuvitenskpelige univesitet TFE4120 Elektomgnetisme Løsningsfoslg øving 5 Oppgve 1 ) Pg. symmeti h vi E = E()ˆ gjennom hele oppgven. i) Vi l Gussflten S væe oveflten

Detaljer

c) etingelsen fo at det elektiske feltet E e otasjonsinvaiant om x-aksen e, med E og ee som denet ovenfo, at e E = E. Dette skal gjelde fo en vilkalig

c) etingelsen fo at det elektiske feltet E e otasjonsinvaiant om x-aksen e, med E og ee som denet ovenfo, at e E = E. Dette skal gjelde fo en vilkalig Eksamen i klassisk feltteoi, fag 74 5, 4. august 995 Lsninge a) Koodinatene x; y; z tansfomees slik x 7 bx = x; y 7 by = y cos, z sin ; z 7 by = y sin + z cos Den invese tansfomasjonen e en otasjon en

Detaljer

a) C Det elektriske feltet går radielt ut fra en positivt ladet partikkel og radielt innover mot en negativt ladd partikkel.

a) C Det elektriske feltet går radielt ut fra en positivt ladet partikkel og radielt innover mot en negativt ladd partikkel. Løsningsfoslag Fysikk 2 Vå 2015 Løsningsfoslag Fysikk 2 Vå 2015 Oppgav e Sva Foklaing a) C Det elektiske feltet gå adielt ut fa en positivt ladet patikkel og adielt innove mot en negativt ladd patikkel.

Detaljer

S2 - Kapittel 6. Løsningsskisser

S2 - Kapittel 6. Løsningsskisser S2 - Kapittel 6 Løsningsskisser I a) Hva kan man si om overskuddet når grenseinntekten er lik grensekostnaden? b) Hva kan man si om produksjonsmengden når enhetskostnaden er lik grensekostnaden? c) Hva

Detaljer