Maks Flyt og NPkompletthet

Transkript

1 Maks Flyt og NPkompletthet

2 Flyt - Intro Mange av oppgavene om flyt handler om å se at Dette kan vi løse som et flytproblem. Resten er som regel kortsvarsoppgaver, og går på grunnleggende forståelse av flyt.

3 Flyt - Viktige begreper Kapasitet Flyt Maks flyt Minimalt snitt Residualkapasitet Flytforøkende sti Oppheving av flyt Ford-Fulkerson Edmonds-Karp

4 Kont Oppg. 3b) Anta at du har oppgitt en rettet, asyklisk graf (DAG) G = (V, E), samt noder s og t i V. a) Hvordan ville du telle antall mulige stier fra s til t i G? -> Dynamisk Programmering b) Hvordan vil du telle (det maksimale) antall stier som kan følges samtidig fra s til t, hvis disse stiene ikke kan dele kanter? -> Kjør maks-flyt fra s til t med kapasiteter på 1.

5 Høst Oppg. 3c) Du er teaterregissør, og skal lage en øvingsplan en oversikt over hvilke skuespillere som skal møte på hvilke dager under innøvingen av et teaterstykke. Du har oppgitt følgende: Et sett med skuespillere, der skuespiller i er betalt for å møte på D[i] øvingsdager (og altså ikke kan møte flere dager enn dette). Et sett med scener, der scene i skal jobbes med på S[i] av øvingsdagene. Summen av S[i] over alle scenene er lik antall dager tilgjengelig. Informasjon om hvilke skuespillere som har anledning til å møte hvilke av dagene. (Enkelte er altså opptatt på noen av dagene.) Informasjon om hvilke skuespillere som er med i hvilke scener (og dermed må møte hvis scenen skal jobbes med). Du ønsker å utarbeide en algoritme som lager en øvingsplan, det vil si, som avgjør hvilken scene det skal jobbes med på hver av øvingsdagene. Dersom det er umulig å få til en slik plan skal algoritmen oppgi dette. c) Beskriv kort en algoritme som løser problemet. (Bruk gjerne en figur i svaret.)

6 Høst Oppg. 3c) Nøkkelsetning:... avgjør hvilken scene det skal jobbes med på hver av øvingsdagene Ting fra to grupper som skal kobles sammen to og to -> Bipartitt matching! Dette kan løses som et flytproblem. Hvordan sette opp flytnettverket? Lag kilde, sluk og noder for dager/scener. En flytenhet er en dag med jobbing. Da må det gå S[i] flytenheter gjennom scene i. Det kan kun gå 1 flytenhet gjennom en gitt dag. En scene kan kun jobbes med på en gitt dag hvis alle relevante skuespillere er ledige. En ting til man må huske for å få full uttelling: Sjekk at skuespillerene blir betalt for minst det antall dager de må jobbe!

7 NP-kompletthet Også her har man mange kortsvarsoppgaver. Dere MÅ forstå begrepene på neste slide. De lengre oppgavene er ofte på formen Vis at sånn og sånn problem er NP-komplett. Eksempler på hvordan gjøre dette i kap Mulig dette ikke er pensum lenger...

8 NP-kompletthet - Viktige Begreper P NP Reduksjon Verifisering vs. løsing NP-komplett NP-hard Dere må også kjenne til en del NP-komplette problemer: Circuit-SAT, SAT, 3-CNF-SAT Clique Vertex cover Hamiltonian cycle Traveling salesman Subset-sum/0-1 knapsack Longest simple path

9 Høst Oppg. 3 Tenk deg at du står overfor tre beslutningsproblemer, Foo, Bar og Baz. Alle tre problemer ligger i klassen NP. Du vet at Foo ligger i NPC og at Baz ligger i P. Du ønsker å prøve å konstruere polynomiske reduksjoner mellom noen av disse for å komme frem til ulike konklusjoner. a) Hvilket problem vil du redusere til hvilket for å vise at Bar P? Forklar kort. b) Hvilket problem vil du redusere til hvilket for å vise at Bar NPC? Forklar kort. c) Hvilket problem vil du redusere til hvilket for å vise at P = NP? Forklar kort.

10 Høst Oppg. i) En venn av deg har et problem som består i å avgjøre om en graf G inneholder en sykel av lengde k (målt i antall kanter), for et gitt heltall k. Vennen din vil vise at problemet er NP-komplett, og vil gjøre det ved å la grafen H være en sykel av lengde k, og så løse sykelproblemet ved hjelp av subgrafisomorfismeproblemet. Enkelt svar: Reduksjon feil vei! De viser en reduksjon til et NP-komplett problem, og har dermed ikke vist annet enn at problemet er i NP Tok med denne oppgaven fordi slike feil er veldig fort gjort å gjøre selv. PS. Vi kan vise at problemet er NP-komplett ved å redusere fra Hamiltonsykel-problemet.

11 Kont Oppg. 4a) Følgende oppgave ble gitt ved fjorårets kontinuasjonseksamen: «Du skal invitere venner til fest. Du vurderer et sett med n kandidater, men du vet at hver av dem bare vil ha det hyggelig dersom han eller hun kjenner minst k andre på festen. (Du kan anta at dersom A kjenner B så kjenner B automatisk A.) Beskriv en algoritme som finner en størst mulig delmengde av de n vennene dine der alle kjenner minst k av de andre, dersom en slik delmengde eksisterer. Forklar kort hvorfor algoritmen er korrekt og optimal.» Du ønsker nå å arrangere en liten sammenkomst, og vil dermed løse samme problem, bortsett fra at du vil finne en minst mulig delmengde der alle kjenner minst k av de andre. a) Vis (dvs. forklar kort) at det er urealistisk å løse denne nye varianten av oppgaven. Urealistisk å løse = NP-hard Reduksjon fra klikkproblemet: Finn den minimale delmengden der alle kjenner minst k-1 av de andre. Dersom denne delmengden har akkurat k elementer, har grafen en klikk med størrelse k.