Eksamen TFY 4240: Elektromagnetisk teori

Transkript

1 NORGES TEKNISK- NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR FYSIKK Faglig kontakt unde eksamen: Ola Hundei, tlf (mobil: ) Eksamen TFY 4240: Elektomagnetisk teoi 8 desembe 2007 kl Bokmål Tillatte hjelpemidle: C. Rottmann: Matematisk Fomelsamling (alle spåkutgave) Banett & Conin: Mathematical Fomulae Øgim: Støelse og enhete i fysikken Typegodkjent kalkulato, tomt minne i henhold til liste utabeidet av NTNU Se også oppgitte fomle side 5-8. Oppgavene e utabeidet av: Ola Hundei Jon Andeas Støvneng 1

2 Oppgave 1 En ledende stav kan gli fiksjonsfitt på to paallelle skinne slik som vist på figuen. Skinnene e i ene enden fobundet gjennom en motstand R, slik at systemet danne en lukket stømsløyfe som vist på figuen. Figu 1 Sløyfa ligge i x-z-planet (hoisontalplanet) med skinnene langs x-aksen. Avstanden mellom skinnene e L. Systemet befinne seg i et magnetfelt B. Magnetfeltet ligge i x-y-planet og danne 45 o med sløyfas plan. B x = B y > 0, B z = 0. Styken av magnetfeltet e B. a) Beegn fluksen gjennom sløyfa som funksjon av posisjonen x til staven. x egnes fa sløyfas venste kant. Staven beveges med en konstant hastighet v mot høye (se figu 1). Beegn stømmen i sløyfa. Angi etningen av stømmen. b) På gunn av stømmen i sløyfa og det yte feltet B vil det vike en kaft på staven. Angi støelse og etning av denne kaften. Angi også den mekaniske effekt vi må buke fo å bevege staven og sammenlign denne med den Ohmske vameutviklingen i motstanden R. c) Kaften unde b) vil også ha en vetikal komponent. Fo tilstekkelig sto vedi av B vil den vetikale kaften bli så sto at staven et lite øyeblikk vil lette fa skinnene. Beegn denne vedien nå stavens masse e m og tyngdens akseleasjon e g. d) Vi skal så se på hvodan et magnetfelt kan bukes til å holde gjenstande svevende, f.eks. et tog på "magnetiske skinne". Dette kalles magnetisk levitasjon. I det homogene magnetfeltet ove et stømføende plan plassees en lede paallelt med stømetningen i planet. Anta nå at planet sette opp et felt B = 2,0 T. Hvilken støm må sendes gjennom ledeen fo at kaften på den skal bli sto nok til å løfte 1 tonn p. mete av ledeen? I hvilken etning må stømmen gå? 2

3 Oppgitt: μ 0 = T A -1 m g = 9,81 m/s 2 Oppgave 2 a) Vi skal i denne oppgaven se på efleksjon fa en filmdekt flate; se figu 2. Figu 2 Vis at efleksjonskoeffisienten i dette tilfelle kan skives på fomen: = e2i e 2i 1 og tansmisjonskoeffisienten t = t 01 t 12 ei e 2i 1 He e 01 Fesnels efleksjonskoeffisient på genseflata mellom medium 0 og 1, mens t 01 e tansmisjonskoeffisienten gjennom den samme genseflata og analogt fo ande indekse. Uttykk fasekonstanten ved hjelp av elevante støelse. b) Vis at følgende sammenheng mellom efleksjonskoeffisiente gjelde 02 = Du kan anta nomalt innfall. Fokla med od hvofo dette også må væe tilfelle. 3

4 c) En mikobølge antenne som ståle ut 10 GHz bølge, e bygget inn i en boks laget av plast. Hva e den minste veggtykkelsen boksen må ha fo at veggen ikke skal væe synlig fo mikobølgene? Anta vinkelett innfall av mikobølgene mot plastveggene. Bytningsindeksen til plastmateialet e 2.5 Oppgave 3 Vi skal i denne oppgaven studee dipolstålingen fa en oscilleende ladnings- og stømfodeling med en tidsavhengighet gitt som e it. Vektopotensialet e i det geneelle tilfelle gitt som A (,t) = μ 0 J ( ) e i(tk ip ) d 4 ip De ulike støelsene e gitt i figu 3. I ligningen e dessuten e ip = = Figu 3 a) Fokla hvofo vi få ledd av typen e i(tk ip ) i integanden. Fokla videe hvilke betingelse/antakelse som ligge til gunn nå vi til laveste oden i fjensonen skive vektopotensialet på fomen A (,t) = μ 0 e i(tk) 4 J ( )d b) Anta nå at vi ha en dipol av endelig lengde, en dipolantenne (se figu4). Fokla hvilken av antagelsene du diskutete unde punkt a) som nå ikke e oppfylt. Vektopotensialet fo en slik antenne e i stålingssonen geneelt gitt av A (,t) = μ 0 e i(tk) 4 J ( )e ik ˆ d 4

5 Figu 4 Anta at dipolen e en tynn antenne(se figu 4) som ligge langs z-aksen og de stømmen e gitt av I(z) = I o sinkz fo 0 z 2 ; = 2 k I(z) = I o sinkz fo 2 z 0 Finn vektopotensialet fa antenna. Oppgitt: / 2 ikz cos sinkze dz = 1+ ei cos k sin / 2 sinkze ikz cos dz = 1+ ei cos k sin 2 c) Vi skal så se næmee på utstålingen fa en slik antenne. i) Ta utgangspunkt i at Poyntings vekto e gitt av S = 0 2 (ˆ A ) 2 ˆ μ 0 og beegn vinkelfodelingen fo stålingen fa antenna et poladiagam. Finn også den totale utstålte effekt P. dp. Plott vinkelfodelingen i d / 2 (1+ cos( cos)) 2 Oppgitt: d = 1.66 sin 0 5

6 ii) Vi definee en antennes diektivitet som D = 42 S max P He e avstanden fa antenna og S max e maksimalvedien av Poyntings vekto. Finn D fo antenna. iii) Vi definee videe stålingsmotstanden fo antenna ut fa fomelen P = 1 2 I 2 0 R Rad Vis at R Rad få dimensjonen ohm og beegn R Rad fo antenna. d) Vi skal til slutt se litt på magnetisk dipolståling. i) Vektopotensialet fo magnetisk dipolståling e gitt av A (,t) = μ 0 e i(tk) ikˆ 4 = μ 0 ik 4 e i(tk) (ˆ M 0 ) 1 2 ( 'J ( ))e ikˆ ' d Finn vektopotensialet fo antenna ovenfo. ii) Anta at vi ha en liten sikulæ stømsløyfe slik at vi kan se bot fa e ikˆ ' leddet. Beegn M 0 fo en sikulæ stømsløyfe med adius R og som føe stømmen I. Hint: Buk sylindekoodinate og uttykk stømmen ved hjelp av passende deltafunksjone. 6

7 7

8 Magnetostatikk Electic esistance: R = l A Capacitance fo paallel plate condense: C = A d Electic enegy stoed in condense: Paallel coupling: Seies coupling: U = 1 2 qv = 1 2 C = i C i 1 C = 1 i C i q 2 C The magnetic foce F on a chage with velocity v: F = q v B Magnetic foce on a conducto with cuent I: df =Idl Magnetic field fom a chage with velocity v B B = μ 0 qv ˆ 4 2 Biot-Savats law: Ampees law: Magnetic field in long coil: db = μ 0 Idl ˆ 4 2 B dl =μ0 I innenfo B = μ 0 ni Magnetic field fom long, cuentcaying conducto B = μ 0I 2 8

9 9

10 10

11 11

12 12