Løsningsforslag sist oppdatert

Transkript

1 Løsningsfoslag sist oppdatet.. BOKMÅL Oppgave En funksjon f e definet i intevallet ved f ( ) ( ) e a) Finn f ( ). Avgjø hvo funksjonen e stigende og hvo funksjonen e avtagende. Bestem funksjonens eventuelle lokale og globale maksímums- og minimumspunkt. b) Bestem lim ( ) e og lim ( ) e. f ( ) (( ) e ) ( ) ( e ) ( ) e f ( ) ( ) X f ( ) ( ) e f( ) Funksjonen synke Funksjonen stige Avtagende: Stigende: f( ) f() e f() e Lokalt maksimumspunkt Globalt minimumspunkt Globalt maksimumspunkt lim f ( ) lim ( ) e (ingen gensevedi) ( ) lim f ( ) lim ( ) lim (eksponentialuttykk i nevneen gå askee mot uendelig enn potensuttykk i telleen) f ( ) Oppgave Bestem gensevediene: 6 ln(6) 6 a) lim lim 6 cos 4 4sin b) lim lim c) Finn Taylo-polynomet ( f ( ) cos4, om. f () F ( ) f () f ()( ) ( )! b) f ( ) cos4 f () c) f ( ) e 4sin 4 f () f ( ) 4e 6cos4 f () F ( ) ( ) ( )

2 d) Funksjonen: g t cost sin t kan skives på fomen g t C cost t Bestem C og t.. acost bsint C cos ( t t) de C a b og tan( t) b a C ( ) ( ) tan( t) t (tan ( ) ) ( ),88 Oppgave Gitt punktene i koodinatsystemet: A (,, a) B (,, ) og C (,, ). a) Gitt vektoen BP BC. Bestem koodinatene til punktet P. Bestem BA BC uttykt ved a. Bestem a slik at vinkelen B e 9 o. BP OP OB BC OP OB BC [,, ] [,,] [,, 5] BABC [,, a ][,,] a a AB AC a b) i) Bestem BA BC uttykt ved a. ii) Bestem a slik at en nomalvekto på BA og BC e paallell med [,,]. iii) Sett opp ligningen til et plan gjennom A, B og C slik at nomalvektoen bli den som e funnet i del ii). i j k i) BA BC a [ a,, ] ii) [ a,, ] [,,], demed a og a og demed a iii) ( ) ( y ) ( z ) y z 6

3 Oppgave 4 Gitt f (, y) y y. a) Bestem patielle deivete av. og. oden. b) Bestem eventuelle stasjonæe punkt og kaakteise disse c) Bestem eventuelle ekstemalpunkt nå og y. d) Regn ut gadientvektoen til f i punktet P (, ) og sett opp tangentplanet til f i Punktet P. a) (I) f y ( y ) (II) f fy y f f Lokaliseing: (I) f ( y ) y (II) fy yy stasjonæt punkt :,(, ) og (, ) y Kaakteiseing: (,) : f f ( f ) ( ) 4 (,) e ingen ekstemalpunkt (,) : yy y f f f (,) e ingen ekstemalpunkt yy ( y ) ( ) ( ) 4 c) ) Ingen ekstemalpunkt i og y. (se del b) ) Vi studee muligheten fo å ha global maksimumspunkt elle minimumspunkt på andene: Del : y f (,) de y f (,) og demed f (, ) Det e kandidate til som e endepunktene til, f (,) og f (,) Kandidat : f (, ) Kandidat : f (,) Kandidat : f (,) Del : f (, y) y y y de y f (, ) og f (, ) 5. Kandidat 4: f (, ) 5 Del : y Kandidatene e demed f (,) f (,) og demed f (, ) Det e kandidate til som e endepunktene til, og demed f (, ) og f (, ) 5 Kandidat 5: f (, ) Kandidat 6: f (, ) Del 4: f (, y) y y de y Kandidatene e demed f (,) og f (, ) som vi hadde fått i del og.

4 Kandidatene e da: Kandidat n. : f (,) Kandidat n. : f (,) Kandidat n. : f (, ) Minimalvedien e i (, ) (global minimumspunkt) Kandidat n. 4: f (, ) 5 Maksimalvedien e 5 i (, ) (global minimumspunkt) Kandidat n. 5: f (,) Kandidat n. 6: f (, ) c) f y ( y ) fy f (, ) ( ) og f y (, ) Gadientvekto f [ f, ] (,) f y (,) [, ] P Tangentplanet: z f ( a, b) f ( a, b) ( a) f ( a, b) ( y b) y f (, ) z ( ) ( y ) z Oppgave 5 Løs integalene: a) b) ( ) sin( ) d ( ) cos( ) cos( ) d ( )cos( ) sin( ) ( )( ),5 ) ln( t ) ln 5,96 t dt t c) Vann enne inn i en vanntank med konstant hastighet v t bunnen enne det ut en vannstøm v t lite min. lite min og enne ut gjennom et hull i Anta at det va lite vann i tanken ved t, det vil si V (). Sett opp en funksjon fo VT ( ) som kan beskive hvo mye vann som e i tanken ved tiden T. Regn ut ved integasjon hvo mye vann e i tanken ette min. T T T t t V ( T) V () v v dt V () dt dt t t t ( ) () ln( ) 4 ln 5 t V T V dt t t lite

5 Oppgave 6 a) Vann enne inn i en vanntank med en bestemt konstant hastighet (målt i lite p. minutt) og vann enne ut gjennom et hull i bunnen med en hastighet som e poposjonalt med vannmengden i tanken. La yt () væe vannmengden i tanken ved tiden t (målt i minutte). En matematisk modell kan beskive vannmengden i tanken ved diffeensialligningen:,5, y gitt () 5 dt y Fokla kot hva de ulike leddene i diffeensialligningen beskive. Hva e statbetingelsen fo denne diffeensialligningen? Løs diffeensialligningen. Bestem hvo mye vann e i tanken ette minutte. Vannmengden i tanken vil i det lange løp stabilisee seg på en viss vedi. Finn denne vedien a) Foklaing fo de ulike leddene i diffeensialligningen: : vekst aten til vannmengden i tanken dt Vann som enne inn med konstant hastighet,5 lite/min Vann som enne ut med en hastighet som e poposjonalt med vannmengden i tanken (poposjonalitetskonstanten e,) Statbetingelsen angi: Vannmengden e lik 5 lite ved tiden t : y() 5,5, y dt at b Type II: a y b y() t C dt a,t,5,t y( t) C C,5, y() y() C,5 5, demed C,5,t y( t),5,5, Vannmengden i tanken ette ette minutte. y(),5,5,84,t lim y( t) lim,5,5,5 t t Elle:,5, y y,5 dt b) Løs diffeensialligningen:,5,y gitt () y dt y. y(,5, y), ( y )( y,5) dt B A a( y A)( y B) y( t) A a( BA) t dt Ce,5,5 a( y A)( y B) y( t),(,5) t,5t dt CCe,5,5,5 y() 5 C,5,6 yt () C 5.5,5t

6 Oppgave Det skal lages en 5m sylindefomet tank fo laging av vamt vann. a) Vis at oveflateaealet til sylindeen e gitt ved: S ( ) de e sylindeens adius. Finn hvo sto sylindeens adius må væe fo at oveflateaealet e minst mulig. b) Sylindeen skal stå vetikalt. Det antas at vametapet p. m fa sideflatene og toppflaten e dobbelt så sto som vametapet p. m fa bunnen. Vis at vametapet fo tanken kan skives som W k( ) de e sylindeens adius og k e en konstant (lik vametapet pe m fa bunnen). Bestem hvo sto sylindeens adius må væe fo at vametapet e minst mulig. Hint: Volumet og oveflateaealet til en ett sylinde med adien og høyden h e henholdsvis V h og S h. a) V S 5 h h ( ) ( ). h 5 og demed 5 S( ) ( ) og demed,9 b) 5 W k k k h k( 4 h) k( 4 ) k( ). W( ) k(6 ) k( ), og demed Lykke til! Kistin Flones Gunna Fløystad Ami M. Hashemi