UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. Obligatorisk innlevering 3 i emnet MAT111, høsten 2016

Transkript

1 UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Obligatorisk innlevering 3 i emnet MAT, høsten 206 Innleveringsfrist: Mandag 2. november 206, kl. 4, i Infosenterskranken i inngangsetasjen på Realfagbygget. Husk obligatorisk forside! Oppgavesettet er på 6 sider (med oppgavene -8) og består av 30 deloppgaver som alle teller likt ved sensurering. Les nøye gjennom oppgavesettet. Alle svar skal begrunnes, men begrunnelsene skal være korte. Det må være med nok mellomregning til at fremgangsmåten fremgår tydelig av besvarelsen. Direkte avskrift fra hverandre er ikke tillatt. Men det er fullt mulig og sterkt anbefalt å diskutere oppgavene. Oppgave (a) En speilprodusent planlegger å starte produksjonen av en ny serie. De nye speilene skal ha et areal på m 2 og være formet som et rektangel med en halvsirkel i høyre og venstre ende (se figur). Rundt hele speilet skal det være en ramme, og den krumme delen av rammen er dobbelt så dyr per centimeter som den rette delen. Hvor stor må radius i halvsirklene være for at rammen skal bli så billig som mulig å produsere? (b) Et fly beveger seg i rettlinjet bevegelse fra kontrolltårnet. Ved et visst tidspunkt er flyet 200 km fra tårnet og flyr med hastighet 800 km/h fra tårnet og med positiv akselerasjon 20 km/h 2. Flytypen er dessuten slik at den maksimale endringen i akselerasjon som kan oppnås til enhver tid er ±20 km/h 3. La f(t) være avstanden fra kontrolltårnet, målt i kilometer, ved tid t etter dette tidspunktet. Forklar hvorfor t + 0t 2 20t 3 f(t) t + 0t t 3. (Hint: Taylor)

2 2 Oppgave 2 (a) Bruk Taylorpolynomet til f(x) = x av grad 2 om punktet 00 til å finne en tilnærmet verdi for 0. Skriv svaret som en brøk. (b) Gi et overslag over nøyaktigheten av verdien du fant i (a). Skriv svaret igjen som en brøk. (c) Begrunn spesielt uten bruk av kalkulator om den tilnærmede verdien du fant i (a) er for stor eller for liten i forhold til den virkelige verdien til 0. (d) Finn en formel for den n te deriverte til funksjonen f(x) = x. Formelen skal bevises, f.eks. ved induksjon. (e) Hvor stor bør n være for at Taylorpolynomet av orden n om 00 skal gi en tilnærmet verdi for 0 med en feil som er mindre (i absoluttverdi) enn 0 0? (f) En gammel metode (fra tiden før man hadde kalkulatorer) for å finne en tilnærmet verdi for kvadratroten til et tall x, er som følger: Finn det største hele tallet y slik at y 2 x. Da er x y 2 + x 2y. Forklar denne tilnærmingen ved hjelp av Taylorpolynomer og vis at feilen F i denne tilnærmingen tilfredsstiller: (x y2 ) 2 8y 3 F 0. La f være definert ved f(x) = Oppgave 3 x 2 e sin t dt, x R. (a) Avgjør hvor f er voksende og hvor f er avtagende. (b) Finn grensen f(x) lim x ln x, eventuelt begrunn at den ikke eksisterer eller er eller.

3 Oppgave 4 Finn de ubestemte integralene i (a)-(c) nedendunder ved å bruke passende substitusjoner (f.eks. på formen u = /x, u = x, u = ln x i en eller annen rekkefølge). (a) (b) (c) dx x + x x( + (ln x) 2 ) dx. ( ) x cos dx. 2 x 3 Oppgave 5 (a) Bestem arealet avgrenset av kurvene x = y, x = 2 y 2 og x-aksen, som vist i figuren nedendunder. (b) Beregn det bestemte integralet ( x 5 6x 9 + sin x ) dx ( + x 4 ) 2 på (under) ti sekunder. (c) Et areal er begrenset av grafen til funksjonen f(x) = e x2, x-aksen og de to rette linjene x = a og x = 3a, hvor a > 0. Finn et uttrykk for arealet uttrykt ved a og bestem verdien av a som gjør arealet størst mulig. (Hint: ikke forsøk å finne en antiderivert til f) (d) Arbeidet A en konstant kraft K utfører over en avstand s er definert i fysikk til å være A = K s ( arbeid er lik kraft ganger vei ), når kraften peker i samme retning som bevegelsen. Dersom kraften varierer som funksjon av s, skriver vi kraften som

4 4 funksjon K(s), og arbeidet utført av kraften mellom punktene s = a og s = b er definert til å være A = b a K(s) ds. En kloss dras bortover gulvet ved hjelp av et tau som går gjennom en trinse m over bakken (se figur). Kraften K fra tauet på klossen er konstant lik 0N (kraft måles i enheten N, som står for Newton ), men det er bare den horisontale komponenten av kraften som utfører arbeid. Vis at den horisontale komponenten av kraften når klossen er som på figuren har størrelse 0x + x 2 og bruk dette til å beregne arbeidet som må til for å flytte klossen fra punktet x = 0 til punktet x = 2. Oppgave 6 (a) Finn det ubestemte integralet arctan x dx (b) Løs startverdiproblemet (c) Løs differensialligningen y = yx 3 cos(x 2 ), y(0) = xy = x 2 x 2 + y og angi for hvilke x løsningen gjelder. Finn deretter løsningen som oppfyller lim y(x) = π. x

5 5 (d) Finn alle funksjonene f som for x > 0 oppfyller [f(x)] 2 = x x f(t) dt. Oppgave 7 Newtons avkjølingslov, som vi allerede møtte på i obligatorisk innlevering 2, sier at en gjenstand avkjøles eller oppvarmes med en hastighet som er proporsjonal med differansen mellom omgivelsenes temperatur og gjenstandens temperatur. Ved tiden t = 0 er temperaturen i et rom 0 C. Rommet varmes opp med en jevn rate av 3 C i timen. La T (t) være temperaturen til en gjenstand i rommet etter t timer. (a) Forklar kort hvorfor T (t) + kt (t) = 3kt for en konstant k > 0. (b) Anta at T (0) = 0. Finn temperaturen til gjenstanden T (t), uttrykt ved k. (c) Etter én time er temperaturen til gjenstanden nøyaktig 2 C. Begrunn at dette entydig bestemmer konstanten k. (d) Bruk Netwons metode eller fikspunktiterasjon med en passende valgt funksjon og et passende valgt startpunkt til å bestemme k med to desimalers nøyaktighet. Det er ikke nødvendig å føre inn alle beregninger, men besvarelsen må inneholde: hvilken metode som er valgt, hvilken funksjon den brukes på, og den resulterende iterasjonsformelen, hvor det klart kommer frem hvilken startverdi x 0 som er brukt, og hvordan x er beregnet; en matematisk begrunnelse på at to desimalers nøyaktighet er oppnådd. Oppgave 8 (a) En kjegleformet vanntank (med spissen vendt oppover) med radius meter og høyde 3 meter tømmes for vann. Vis at når vannhøyden er h meter, der 0 h 3, er volumet av vann i tanken gitt ved ) V (h) = π (h h2 3 + h3. 27 (b) Når vannhøyden i tanken er 2 meter, tømmes tanken med en fart på 2 kubikkmeter i minuttet. Hvor fort avtar vanndybden ved dette tidspunktet?

6 6 (c) Tømmingen av beholderen skjer gjennom en åpning i bunnen. Torricellis lov impliserer at volumendringen av vann per tidsenhet til enhver tid er proporsjonal med kvadratroten av vanndybden i tanken. Bruk (a) og (b) til å vise at vanndybden h tilfredsstiller differensialligningen 2 ( 2π h 2 ) dh h h3/2 dt =. (d) Finn den generelle løsningen til differensialligningen i (c) uttrykt implisitt ved h og t. (e) Hvis tanken er full idet tømmingen starter, hvor lang tid tar det før tanken er tom? LYKKE TIL! Andreas Leopold Knutsen