4 ( ( ( / ) 2 ( ( ( / ) 2 ( ( / 45 % + 25 ( = 4 25 % + 35 / + 35 ( = 2 25 % + 5 / 5 ( =

Transkript

1 MA Brukerkurs i matematikk B Eksamen 8. mai 6 Løsningsforslag Oppgave a) Viser at! # $ ved å vise at #!!# ' (. Nedenfor er matrisemultiplikasjonen #! vist (du må vise at!# gir det samme). ( / ( + + / + ( ) + + / ( + + / + + / ( + + ( ( / ) ( ( ( / ) ( ( / ' (. b) Likningssystemet på matriseform er gitt ved: Løser systemet ved å bruke resultatet fra (a): # 5 # $ # 5 # $ 5 # $

2 Oppgave a) La 9 : betegne brusens temperatur ved tiden t (minutter), og la k betegne proporsjonalitetsfaktoren. Vi setter da opp følgende differensiallikning med initialbetingelser: ;< ; > 9 der 9 7, og 9 5. Løser differensiallikningen: G9 G: G9 G9 > 9 >G: 9 9 >G: ;< >G: ln 9 >: + J (der C er en reell konstant) <$/( ln 9 >: + J fordi 9 > (på grunn av at brustemperaturen nærmer seg asymptotisk til romtemperaturen) OP <$/( N N $QRS 9 J N $Q GNT J N S 9(:) J N $Q +. Bestemmer konstantene J og > ut fra initialbetingelsene: () 9 7, J + 7, J 5,6 9 : 5,6N $Q ,6N $VQ + N $VQ ln N$VQ ln >,. Dette gir følgende løsning av differensiallikningen: 9(:) 5,6N $Y.Y// +.

3 b) ;<, 9. ; ;< ; 5, 9 5,,58. Det vil si at endringsraten (temperaturøkningen per minutt) i tidspunktet 5 minutter etter at brusen ble tatt ut av kjøleskapet er lik,58 grader Celsius per minutt (som vi kan skrive,58 C/min). (Det går også an å finne løsningen ved å derivere 9(:) og sette inn for : 5). c) 9 : 5,6N $Y,Y// + : 8,6. Det vil si det vil ta 8,6 minutter (8 min 6 sek) før temperaturen i brusen er lik C. Oppgave 6 a) Z / ( b) [ 6 / ( 7 5

4 [ 6 \ ] \^ (desimaltall avrundes til nærmeste heltall). Alternativt: 6 \ ] \^ 6 \ ] \^ c) Finner egenverdiene til L: det Z d' d ( + d +. Verifiserer at d er rot i det karakteristiske polynomet ( d ( + d + ) ved å evaluere for d : ( à OK. Dette betyr at det karakteristiske polynomet er delelig med d. Vi foretar polynomdivisjon for å kunne skrive d ( + d + som et produkt av en lineær og en kvadratisk faktor: d ( + d + : d d / d d ( + d / d / + d + d / + d d + d + Det vil si at d ( + d + d (d / + d + ). Vi finner røttene til andregradspolynomet d / + d + ved å se at det er lik (d + ) / à Dette gir d / d (. (Kan også finne røttene ved å bruke ABCformelen). Vi har altså at d / d ( < d. Dette betyr at d er en strengt dominerende egenverdi til Lesliematrisen, som medfører at egenverdien d er vekstparameteren til populasjonen. Finner egenvektoren tilhørende egenverdien d : 6 \ ] \^ g d g Z d ' ( g

5 6 g Løser dette likningssystemet ved å foreta elementære radoperasjoner på matrisen Z d ' ( : 6 / ( h h h R à / R / ( h h h R à h / R / ( h h5 h R5 à R5 ( h h6 h R à h ( R6 h h6 R à h + h6 h7. Den siste matrisen er på redusert trappeform, og løsningen på systemet er dermed gitt ved: g som betyr at g 6 Vi setter : og får at 5

6 g 6 :. Vi velger : og får egenvektoren j 6 (tilhørende egenverdien d ). d) Denne populasjonen har en vekstparameter lik (som er gitt ved den dominante egenverdien). Dette betyr at for store t verdier vil antall individer i hvert årskull dobles for hvert år. Antall individer vil derfor vokse mot uendelig i det lange løp. Egenvektoren tilhørende den dominerende egenverdien medfører at populasjonen i det lange løp vil få en stabil aldersfordeling på :6:. Dette svarer til en (cirka) fordeling på 78 -åringer, 9 -åringer og -åringer. Oppgave k 5, l 5 l / + er definert på det lukkede og begrensede området m 5, l : 5 og 5. a) Finn globale maksimums- og minimumspunkter til f på D. Finner eventuelle kritiske punkt: ok 5, l pq pr pq ps 5 l 5, l (,) som er et punkt i D. Vi kan karakterisere det kritiske punktet ved hjelp av andreordens partiellderivert-testen (selv om dette ikke er nødvendig ut fra oppgaven): Hesse-matrisen H for f i (,) er lik t u / k u (,) u / k ulu,) u / k ulu,) u / k ul / (,) det t > og p] q pr ], < det kritiske punktet er et lokalt maksimumspunkt. Ekstremalverdi-teoremet i R / (kap..6) sier at en kontinuerlig funksjon på et lukket og begrenset området D har både et globalt minimums- og et globalt maksimumspunkt på D. Området D i xy-planet er vist i figuren nedenfor. Vi leter etter kandidater til ekstremalpunkter på randen til D: 6

7 Vi benytter metoden med å finne et uttrykk for den ene variable ved hjelp av den andre, og sette inn i k(5, l) som da blir en funksjon av en variabel. Dette må vi gjøre for de fire sidekantene på D, og deretter vurdere hjørnene på det kvadratiske området. Linjestykket AB: Her er l, som gir k 5, 5 + x(5). x 5 5. Løser x 5 5. Dvs. kandidat til globalt ekstremalpunkt er (, ). Linjestykket DC: Her er l, som gir k 5, 5 x(5) x 5 5. Løser x 5 5. Dvs. kandidat til globalt ekstremalpunkt er (,). Linjestykket BC: Her er 5, som gir k, l l / + x(l) x l l. Løser x l l. Dvs. kandidat til globalt ekstremalpunkt er (,). Linjestykket AD: Her er 5, som gir k, l l / x(l) x l l. Løser x l l. Dvs. kandidat til globalt ekstremalpunkt er (,). Hjørnene: k, k, k, k, (5, l) (, ) (, ) (,) (,) (,) (, ) (,) (,) (,) k(5, l) Globalt min.pkt Globalt maks.pkt 7

8 De globale ekstremalpunktene er vist på datagrafikken nedenfor. b) Hvilke egenskaper er det som sikrer at k 5, l er deriverbar i,? k 5, l er deriverbar i (,) fordi: à Funksjonen f er definert på en åpen disk med sentrum i (,). à De partiellderiverte er gitt ved pq pr pq 5 og l. Disse funksjonene er ps polynomer og derfor kontinuerlige for alle 5, l m (og da spesielt for en åpen disk med sentrum i (,) som er kravet). c) Den lineære approksimasjonen til f i punktet (,) er gitt ved: Z 5, l k, + uk u5, Z 5, l 5 l uk ul, l + 5 l 8

9 Z.,.95, k.,.95,7 (dvs. den lineære approksimasjonen i (,) er en god tilnærming til f i omegn om dette punktet). 9