Løsningsforslag for eksamen i FY101 Elektromagnetisme torsdag 12. desember 2002

Transkript

1 Løsningsfoslag fo eksamen i FY Elektomagnetisme tosdag. desembe Ved sensueing vil alle delspøsmål i utgangspunktet bli gitt samme vekt (uavhengig av oppgavenumme), men vi fobeholde oss etten til justeinge. I løsningsfoslaget e bit fo bit av oppgaveteksten gitt i kusiv, ettefulgt av en mulig løsning. Det tas fobehold om feil. Oppgave a) Fokla hvofo ikke konduktans e det invese av esistans ved vekselstøm. Admittans Y G + jb e pe definisjon det invese av impedans Z jx. Av dette følge at G ikke e det invese av. Man vil fo eksempel finne at G / ( + X ). b) Hva e den totale impedansen til en spole og en kondensato som e koblet i seie, hvis de ha samme eaktans-vedi? Den bli null, fodi: jωl + /jωc jωl j/ωc j (X L X C ) c) Lyspæe L ha dobbelt så sto esistans som lyspæe L (vi egne he esistansen som konstant, dvs. uavhengig av stømmen gjennom lyspæene). Vi koble så de to lyspæene til et battei. Hvilken pæe vil lyse stekest hvis pæene e koblet ette hveande i seie? Fokla. De e koblet i seie, altså e stømmen den samme gjennom pæene. Siden P UI I, så vil effekten væe poposjonal med esistansen, og pæa med høyest esistans vil lyse stekest. d) Hva hvis de e koblet i paallell hvilken lyse da stekest? Fokla. He vil spenningen ove pæene væe den samme (fo begge pæene). Siden P UI U /, så vil effekten væe omvendt poposjonal med esistansen, og pæa med lavest esistans vil lyse stekest. e) En ladd patikkel bevege seg i en ett linje gjennom ommet. Bety det at det ikke e noe magnetfelt i omådet? Fokla. Nei, vi huske at F qv B, som bety at F hvis patikkelen bevege seg paallelt elle anti-paallelt med B. f) Hva e foskjellen mellom dielektisitetskonstant (elativ pemittivitet) og dielektisk styke? Dielektisitetskonstanten sie noe om mateialets evne til å la seg polaisee og inngå således i uttykket fo kapasitans, mens dielektisk styke sie noe om hvo stot elektisk felt mateialet tåle fø det byte sammen elektisk (som egel bety det at en del av mateialet ionisees og at den elektiske ledningsevnen øke damatisk).

2 g) To seiekoblede kondensatoe med kapasitans C 5, µf og C, µf e koblet i paallell med en kondensato C 8, µf. Finn den samlede kapasitansen til denne sammenkoblingen. C C 5 C + C + 8 9,875 C + C 8 dvs. C 9,875 µf Oppgave En enkel C-kets e koblet til en likespenningskilde (battei) med ubetydelig inde motstand. Stømmen fa spenningskilden kan slås på elle av ved hjelp av en byte som vist på figu. esistansen kω og kapasitansen C 5 µf. Den elektomotoiske spenningen ε 5 V. Figu : C-kets med byte. a) Anta at byteen ha væt lukket lenge og at den åpnes ved tiden t. Sett opp og løs de nødvendige ligningene fo å finne tidsfoløpet av stømmen gjennom motstanden uttykt ved, C og ε. Finn den numeiske vedien fo tidskonstanten. C + i i t C d dt e hvo τ C 5 s C ε C b) Anta nå at den inde esistansen i batteiet i, Ω, at byteen e åpen og at ladningen på kondensatoen e null. Ved tiden t lukkes byteen. Tegn skjematisk hvodan ketsen nå se ut og beegn tidsfoløpet fo ladningen på kondensatoen uttykt ved i,, C og ε. Finn den numeiske vedien fo tidskonstanten. Hva bety det fo den tiden det ta å lade opp kondensatoen at i? Figu vil nå få en esistans i i seie med batteiet og byteen e lukket. Vi ha nå to sløyfe: Venste sløyfe: ε + i i, hvo i e stømmen gjennom i. C Høye sløyfe: + i, hvo i e stømmen gjennom. C Dessuten: stømmen gjennom C: i i i d / dt Kombinet gi det: ε + C i + i d dt

3 Nå t e d/dt, så da bli ε C i + en løsning (asymptotisk). Settes + q(t) geneelt opp, fås dq dt i + C i q som gi q q e t τ med τ ic i + ε C + e i + t τ fodi q - fo å gi (t) I esten av oppgaven bukes ikke numeiske vedie fo de støelsene som inngå c) Spenningskilden estattes med en vekselspenningskilde som levee en spenning ε ε sin(ωt) uavhengig av belastningen i ketsen. Dessuten fjenes byteen fa ketsen. Finn tidsfoløpet av stømmen i alle te geinene av ketsen. Med i, i og i bukt som benevnelse på stømmene i de samme geinene som fø, fås: d εc, i ε Cω cosωt dt ε sinωt ε i, i i i i ε sinωt + Cω cosωt Figu : C-kets med diode. Dioden lede kun støm i den angitte etning. d) Ketsen skal bukes til å lage en enkel likeette. Det bli defo satt inn en diode som vist på figu. Vi egne dioden som ideell, dvs. den lede støm uhindet i den etning som e angitt i figuen, men spee fo støm i motsatt etning. Tegn en figu som vise kvalitativt spenningen ove motstanden nå C. På samme figu skal også spenningen ove motstanden tegnes inn nå C e foskjellig fa null. Fokla kvalitativt hvodan denne kuven vil endes desom vedien av C økes. Fokla også hva slags elasjon det må væe mellom støelsene ω, og C fo at dette skal bli en god likeette.

4 Nå C økes vil utladningskuven løfte seg og spenningen ove motstanden vil vaiee minde med tiden. Tidskonstanten fo utladningsfasen e τ C mens tiden fo en syklus e ωt π. Fo at det skal væe en god likeette bø T < τ elle T << τ, dvs. C >> /ω. (NB! He kan det væe tvil om hva som menes med en god likeette. Det må ikke nødvendigvis tolkes som en likeette som glatte spenningen mest mulig, men kan tvet i mot også tolkes som en likeette som fo eksempel slippe de positive halvpeiodene uhindet gjennom. Begge svaene vil godkjennes som iktige.) e) Sett opp og løs de ligningene som vise tidspunktet i hve syklus nå dioden stenge fo støm. Væ nøye med å pesisee hvilken av flee mulige løsninge som må velges. Hvilken betingelse må væe oppfylt fo at stømmen skal begynne å gå gjennom dioden igjen? Dioden stenge fo støm ved tidspunktet t t hvo i (t ) og di /dt <. sinωt + Cω cosωt dvs. tanωt ωc Tangens-uttykket vil væe negativt og gå gjennom ωc hve gang ωt gå gjennom ande og fjede kvadant (altså mellom π/ og, π elle mellom π/ og π, osv.). Vi må velge løsningen i ande kvadant siden det e de di /dt <. Nå det ikke gå støm gjennom dioden e spenningen ove motstanden lik spenningen ove kondensatoen V C. Fo at det skal begynne å gå støm gjennom dioden må ε > V C. Oppgave To like stoe ladninge befinne seg i o på x-aksen og i avstand a på hve side av oigo. a) Hvo sto kaft vike på hve av ladningene nå ladningene ha støelse e,6-9 C og avstanden a,7 - m. Tomomspemittiviteten ε 8,85 - C /Nm. e 8 F x, N hvo F x e kaften i positiv x-etning på ladningen som ligge i 4 πε ( a) (a,). Kaften på ladningen i (-a,) e F x. b) Ladningene sitte på patikle med masse m,67-7 kg (potone). Hvo sto bli akseleasjonen i føste øyeblikk desom patiklene slippes fi? 4

5 F x m a x a x Fx m 9,9 m / s c) Vi tenke oss igjen at ladningene ligge i o slik som i føste del av oppgaven. To like, men negative ladninge med samme absolutte støelse som de positive ladningene befinne seg i o i punktene (,y) og (,-y) på y-aksen. Hvo sto kaft vike på hve av patiklene uttykt ved støelsene e, a og y? På gunn av symmetien bli det bae en kaft langs y-aksen på de negative ladningene. Hvis avstanden mellom en positiv og en negativ ladning e a + y, bli kaften på ladningen e y e i (,-y): F og 4 y 4 ( ) Fx πε πε y d) Fokla med od hvodan kaften på de negative ladningene vaiee nå ladningene føes utove fa en avstand y << a til y >> a. Fokla at det må væe en vedi fo y hvo kaften på de negative ladningene e null, og egn ut hvo dette punktet e uttykt ved støelsen a. Nå y<<a dominees keftene av fastøting mellom de negative ladningene og F y <. Nå y>>a se de negative ladningene i hovedsak de to positive ladningene og F y >. Siden kaften vaiee kontinuelig må det væe et punkt hvo F y. Fa c) følge at F y nå: y 8y y 4y a + y y ( y) a Oppgave 4 Loentzkaften e gitt ved F qe + qv B a) edegjø kotfattet fo støelsene i fomelen og fokla hvofo det ikke gjøes abeid på en ladd patikkel i et ent magnetisk felt. F e kaftvektoen som vike på ladningen q med hastigheten v i et elektisk felt E og et magnetisk felt B. Abeid: W ds F I et ent B-felt e F qv B vinkelett på ds og ds F defo alltid lik. b) Anta en platekondensato med uendelig stoe plate, det vil si med homogene elektiske felt. Vis ved hjelp av Maxwells føste ligning: E da at det elektiske feltet mellom platene e gitt ved ε 5

6 E σ ε hvo σ e ladning pe aealenhet. Fokla hva du gjø med en skisse. Uendelig sto flate E e konstant E da ε EA ε σ E ε A ε (husk sylindisk Gauss - flate med to endeflate) To plate (dvs. kondensato) : E k E σ ε c) Anta oppsettet i figuen. Figu : To spole med vakuumø mellom. Til venste se vi spolene og øet i xy-planet (z gå ut av aket). Til høye se vi et snitt i yz-planet hvo den ytteste sikelen e spolene og den inneste sikelen e vakuumøet som e tegnet støe enn det egentlig e fo å få fam detaljene. Vi egne at vakuumøet med dets innhold ikke påvike magnetfeltet fa spolene. Vi skal nå buke Biot-Savats lov µ Idl db 4 π til å bestemme det magnetiske feltet i punktet P som ligge på aksen midt mellom spolene. Hve av spolene ha N viklinge og e plasset i en avstand fa hveande som også e adiusen til de to spolene. Vi egne ikke med at spolene ha noen utstekning i x-etningen. Hvis det gå en støm I som vist i figuen, vis at I B,74µ N e x 6

7 hvo e x e enhetsvektoen langs x-aksen. Hvis e en vekto fa dl til punktet P og θ e vinkelen mellom og yz-planet: µ N Idl Bp ( ) 4π Fo en spole kansellee y - bidaget og dl, og vi få : µ N Idl µ N I Bp ( ) cosθ e x 4π Begge spolene : B p µ N I + I ( ) ex ex,74µ N ex µ NI + 4 d) Elektonkanonen i figuen e i pinsippet en ideell platekondensato. Anta at elektonene bevege seg gjennom potensialfoskjellen mellom platene og slippe ut via en liten spalt i den ene platen. Vis at absoluttvedien til hastigheten til et elekton som komme ut av spalten, e gitt ved v ev m e hvo V e spenningen ove kondensatoen, elektonmassen m e,5 MeV/c og e e absoluttvedien til elektonets ladning. Hva bli hastigheten hvis spenningen e 5 V? E dette en elativistisk hastighet? Hvo stot elektisk felt tilsvae denne spenningen hvis kondensatoen e mm bed? I hvilken etning må feltet gå? Elektonene gå gjennom en potensialfoskjell V: E v z kin m v E e z pot ev ev m Med V 5 V : e v z,9 c Hastigheten e altså ca.,4% av lyshastigheten c og kan demed egnes som ikkeelativistisk. E 5/, 5 V/m i negativ z-etning. e) Anta at du faktisk ha akseleet et elekton og at magnetfeltet e konstant de elektonet bevege seg. I hvilken avstand d fa spalten vil elektonet da teffe skjemen i figuen? µ 4π -7 A /N,,5 m, I 7,5 A, c 8 m/s og elektonmassen som alleede angitt. 7

8 mv evb d mv slik at : d,74µ NIe som med oppgitte vedie gi : d,57m N 8