UNIVERSITETET I OSLO

Transkript

1 UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-natuvitenskapelige fakultet Eksamen i: Eksamensdag: Tid fo eksamen: Oppgavesettet e på 5 side. Vedlegg: Tillatte hjelpemidle: MEK3230 Fluidmekanikk 6. Juni, 2016 kl. 14:30 (4 time Ingen Rottmanns fomelsamling Godkjent kalkulato Kontolle at oppgavesettet e komplett fø du begynne å besvae spøsmålene. Vektoidentitete fo sylindiske koodinate: u = u e + 1 u θ θ e θ + u z z e z, u = 1 (u + 1 u θ θ + u z z, ( 1 u z u = θ u θ e + z ( u z u z Navie-Stokes ligninge i sylindiske koodinate: :: ( u t + u u p + µ + u θ u θ + u z [ ( 1 u e θ + 1 ( (u θ u e z. θ u z u2 θ = u 2 θ u z 2 u 2 2 u θ 2 θ, θ :: z :: ( uθ t + u u θ 1 + u θ u θ θ + u z [ ( 1 u θ p θ + µ ( uz t + u u z + u θ p z g + µ u θ z + u u θ = u θ 2 θ u θ z 2 u θ u 2 θ [ 1 u z θ + u u z z = z ( u z u z 2 θ u z z 2,. (Fotsettes på side 2.

2 Eksamen i MEK3230, 6. Juni, 2016 kl. 14:30 (4 time Side 2 Oppgave 1 Kote oppgave Disse oppgavene keve ikke lange utledninge ved egning og vi fovente kote sva som maksimalt fylle en halv side pe deloppgave. En bakteie (støelse, L=10 6 m svømme i blodet (tetthet = 10 3 kg/m 3, kinematisk viskositet ν = µ/ = 10 6 m 2 /s med en fat u = 10 6 m/s. Ved t = t s komme bakteien i kontakt med antibiotika og slutte å svømme. Hva beskive Reynolds tallet (Re og hvo stot e det nå bakteien svømme? Buk dimensjonsanalyse av den lineaisete Navie-Stokes ligningen (se bot fa tykkgadiente og ekstene kefte til å bestemme glidetiden τ og glidelengden l fo bakteien (t > t s ette møtet med antibiotikaen. To ballonge fylt med helium e festet til en vegg (se Fig. 1. Du blåse midt i mellom ballongene ved dees ekvato. Anta teghetsdominet (Re og inviskøs stømning. Lag en skisse de du vise etningen på fluidstømmen og ballongene. Tiltekkes elle fastøtes ballongene? Fokla kot svaet ditt. Figu 1: Vi blåse luft mellom to ballonge fylt med helium ved dees ekvato. Tiltekkes elle fastøtes ballongene? Anta et viskøst gensesjikt u = [u, 0, 0 utvikles ove en flat plate med en lengde L langs x-aksen. Det e ingen tykkgadiente og stømningen e antatt stasjonæ. Buk skaleing til å estimee tykkelsen δ på gensesjiktet ved enden av platen og hvodan δ skalee med Reynoldstallet. (Fotsettes på side 3.

3 Eksamen i MEK3230, 6. Juni, 2016 kl. 14:30 (4 time Side 3 Vi se på oveflatebølge (tyngdebølge på dypt vann ved hjelp av potensialteoi, de φ e hastighetspotensialet og stømningen i vannet gitt av 2 φ = 0. Fokla kot hva de lineaisete genseflatebetingelsene uttykke (du tenge ikke utlede disse de g e gavitasjonen og η oveflaten til bølgen; φ t + gη = 0, z = 0 η t = φ z, z = 0 φ 0, z. Hvilke betingelse må væe oppfylt fo å kunne buke disse ligningene? e Poeng: 10/140 En inkompessibel potensialstømning e beskevet av hastighetspotensialet, φ = αx 2 + βxy + γ, de α, β, γ e konstante. Finn hastighetskomponentene og beskiv betydningen av antagelsene som e gjot. f Poeng: 10/140 Hva mene vi med en dispesiv bølge? Finn guppehastigheten c g til en kapillæbølge med c = γk/ de γ e oveflatespenningen, k e bølgetallet og e tettheten. (Fotsettes på side 4.

4 Eksamen i MEK3230, 6. Juni, 2016 kl. 14:30 (4 time Side 4 Oppgave 2 Buges vivel idealiset tonado En idealiset tonado kan beskives av Buges vivlingsmodell de hastigheten i sylindiske koodinate e gitt som u = α 2 e +u θ (e θ +αze z. De α e en positiv konstant. Vis at u = 0. Bestem vivlingen ω = f(u, e z = ωe z. Vi se at p = p(, z og det e ingen tykkvaiasjone i θ-etning. Vis at bevegelsesligningenskomponenten i θ-etning edusees til: 1 dω 2αω = ν d. He e ν den kinematiske viskositeten. Bestem u θ ( ved å buke gensebetingelsene [ 0, u θ, u θ Γ 2π. Konstanten Γ gi vivelstyken. 0 og [ (Fotsettes på side 5.

5 Eksamen i MEK3230, 6. Juni, 2016 kl. 14:30 (4 time Side 5 Oppgave 3 Dynamikken av en sugekopp Vi ha festet en had sugekopp med masse m på en fast vegg (omgitt av en viskøs inkompessibel væske, de den viskøse sugekaften bemse sugekoppen fa å falle ned på gunn av tyngdekaften (mg. Fluidfilmen mellom de faste oveflatene ha en dynamisk høyde h(t som e mye minde enn sugekoppens adius R (h/r 1. Figu 2: Vi ha festet en sugekopp som e omgitt av en inkompessibel og viskøs væske til en vegg og den sepaees sakte fa veggen. Filmhøyden h(t øke med tiden, men h/r 1. Finn lubikasjonsligningene ved å buke skaleingsanalyse på de oppgitte Navie-Stokes ligningene i sylindekoodinate. Hvodan skalee tykket i - og z-etning? Vi ha full heft (no-slip ved oveflatene u (0 = u (h = 0. Buk disse gensebetingelsene til å finne hastigheten u = 1 p 2µ (z2 zh. Buk massebevaelse og den kinematiske ( gensebetingelsen ved sugekoppen fo å utlede filmligningen: h t = h3 12µ p. Elimine tykket via kaftbalanse fo å finne den odinæe diffeensial ligningen som beskive h(t. Buk skaleing fo å finne den kaakteistiske tiden ( deneingstiden og dens elasjon til filmhøyden. (Hint: Husk tykket e endelig i filmen og det e atmosfæisk tykk ved kanten p(r = p 0 SLUTT