Løsningsforslag TEP 4110 FLUIDMEKANIKK 18.desember ρ = = = m / s m / s 0.1

Transkript

1 Løsningsfoslag TEP 40 FLUIDMEKNIKK 8.desembe 007 Oppgave a) Foskjellen i vekt e oppdiftskaften på kula nå den e neddykket i olje (oppdiften i luft neglisjees). Oppdift =ρ Volum g olje π =ρvann SGolje d g 6 π = = N N mg Vekt = mg Vekt = mg - oppdift Oppdift mg b) Konstant hastighet U bety ingen akseleasjon, dvs. F VETIKL = 0: F = 0 mg = Oppdift + Dag VETIKL Dag 4 ρ oljeu π D olje ρoljeu eal ed ρolje Ud / μ 4 π π dg ( ρkule ρolje ) = ρ kule = ρ olje + πμ = C Dag= ρ U eal= d = Uπμ d mg d g d g U d U 6 6 8μ ρ = = = 8μ 8 0. dg vann SGkule SGolje m / s 0.07m / s Kontollee eynoldstallet: ρ Ud ρ SG Ud μ μ 0. olje vann olje ed = = = = < 0. Ok! c) Legge et kontollvolum (som følge kula med hastighet U) med topp- og bunnflate ved de hoisontale tvesnittene og de vi kjenne hastighet og tykk. Ove snitt e hastigheten u og tykket e p mens ove snitt e hastigheten U og tykket e p. Kontollflaten må også legges inntil kula slik at vi få med kontaktkaften de. Kaftloven i vetkal etning (positiv opp): F = F + p d p d m g = ρ U d + ρ u d Vetikal K olje olje olje Kaften fa olja på kula bli motkaften til F K : eal u U F = F = p p d m g+ρ U ρ u d kule K olje olje olje

2 He kan man sette inn fo massen til olja: m =ρ Volum Volum g. olje olje CV kule Kaften fa olja på kula vil he bestå av motstandskaften (dag) og oppdiftskaften. Dagkaften alene bli da Dag = p p d m g +ρ U ρ u d Oppdift olje olje olje ltenativ: Betakte hastighetsfodelingen u oppgitt i et absolutt koodinatsystem. La kontollvolumet ligge stille. Svaet bli da: Dag = p p d m g ρ u d Oppdift olje olje ltenativ: Ta man vekk den statiske tykkvaiasjonen, dvs anta tykket i snitt og e statiske, få man et litt enklee uttykk fodi m olje g + oppdift utgjø nettopp tykkaften unde ove : Dag =ρoljeu ρolje u d (Som å betakte poblemet uten tyngdekaft.) d) I. Vektøkning nå kula henge stille i snoa neddykket i olje bli oppdiftskaften funnet i a). Fo vekta kjennes det ut som om det e blitt et volum = kulas volum med olje eksta. Vektøkning = N elle kg. II. Vektøkning nå kula synke med hastighet U bli oppdiftskaften og dagkaften som tilsammen e lik vekten av kula. Vektøkning π π 5 6 = mkuleg =ρ vannsgkule d g = =.54 0 N elle.57 0 kg. 6 6 III. Vektøkning nå kula ligge stille på bunnen bli den samme som i tilfelle II.

3 Oppgave a) Dette e en stømning kun i hoisontalplanet (). Da e det nok å undesøke z-komponenten v d av hvivlingen: ( v) = ( v ) 0 z = = Ok! d Stømfunksjon ψ og hastighetspotensial φ: ψ ϕ v = = = 0 ψ =ψ() og ϕ=ϕ ψ ϕ v = = = ψ = ln og ϕ = Dette e stømfunksjonen og hastighetspotensialet fo en potensialvilvel. SI-enhetene fo ψ og φ e de samme som fo konstanten : [ ψ og ϕ ] = [ ] = [ v ] = m / s b) Hastighetsfeltet e hvivlingsfitt. Da kan Benoulli s likning benyttes uavhengig av stømlinje. Benoulli fa et vilkålig punkt (, z) til vannoveflaten langt unna de v e null: p(,z) v pa + + gz = p(,z) = pa ρ ρgz ρ ρ Fomen på vannoveflaten finnes ved å keve p(, z) = p a : 0= ρ ρgz z= g c) Kontollee at tykk- og hastighetsfelt tilfedsstille Navie-Stokes. Fodi stømningen e stasjonæ og bestå av kun en hastighetskomponent v fjenes alle ledd som inneholde tidsdeivet og som inneholde v elle v z. Videe e v kun en funksjon av slik at - og z- deivete av v fosvinne. Tyngden vike i negativ z-etning og tykket e uavhengig av. Kun leddene som e undesteket bli igjen: v v v v v p v v v v v + v + + vz v = + g +ν + + t z ρ z v v v v v v v v v p v + v + + vz + vv = + g +ν t z ρ z vz vz v vz vz p vz vz v z + v + + vz = + gz +ν + + t z ρ z z egne føst ut de deivete av tykket m.h.p. og z:

4 p d d ρ p d = ρ = ρ ( ) = og = ( ρ gz) = ρg d d z dz Sette så inn i de edusete Navie-Stokes likningene. -etn.: p ρ ρ ρ v = = Ok! d d d -etn.: 0= d d = = Ok! d p 0= + gz 0= ρg g ρz ρ z-etn.: Ok! Konstanten finnes fa gensebetingelsen: v( = ) =Ω =Ω =Ω d) Finne føst skjæspenningen som vike på oveflaten av den oteende sylindeen: v v v dv τ =μ v +, W = =μ + =μ = μ τ =τ = μ d Finne deette hvo mye av sylinde-lengden L som e unde vann. Fa uttykket fo vannoveflaten: z unde vann. = / g. Da e lengden ( L / g ) Momentet M som dillen må yte: M = τw Oveflate am = μ π L g Effekt: P= M Ω= μ π L 4 L Ω= μπω g g Innsatt fo : P= 4μπΩ L Ω g

5 Oppgave a) Ved snitt, dvs. i en avstand x = L fa innløpet: ρul.kg / m.0m / s.0m 5 6 ex = = = 4 0 < 0 Ok 5 μ.8 0 kg / ms Gensesjikttykkelse: Fotengningstykkelse: 5.0.0m.7 0 m.4cm 5 δ= = = 40 *.7.0m δ = = m = 0.8cm 5 40 U u(y) D δ * ⅓δ U d δ L Skisse av en eell hastighetsfodeling ved snitt Foenklet hast.fodeling b) Massebevaelse (ρ = konstant): Q= U = U U = U / de = D og = d π π 4 4 U = U D/d =.8m/s Benoulli fa til i midtsonen de stømningen e hvivlingsfi: p U p U 4 + = + p p =Δ p = ρ( U U) = ρu ( D / d) = 0.44Pa ρ ρ c) Legge et kontollvolum mellom snitt og snitt, og legge kontollflaten inne i øveggen slik at vi få med en kontaktkaft F K. Kaftloven i hoisontal etning: ρ ( ) F= F +Δp = ρ U+ρ U =ρq U+ U K Fiksjonskaft på veggen = F =Δp + Q U U K

6 d) Se føst på hastighetene elativt kontollflaten, dvs. leddet ( v n) fo snitt og : = 0 innenfo δ * - U inn U ut Dette e det samme som fo en elativ betaktning, hastighetene gjennom kontollflaten e uavhengig av valg av aksekos. Se deette på hastigheten u ved snitt og målt i et absolutt system: u = U innenfo δ * u = 0 stillestående luft u = U U Innenfo fotengningstykkelsen δ * ha lufta null hastighet elativt øet, dvs. U absolutt. t dette må væe iktig se man også fa massebevaelsen: 0= U + U U = U + U somfø n d gi demed kun bidag i midtsonen i snitt. Kaftloven i Fluksleddet ρu( v ) hoisontal etning: F= F +Δp = 0+ρ U U U u v n K F =Δp +ρq U U samme sva som i spøsmål c). K