HØGSKOLEN I BERGEN Avdeling for Ingeniørutdanning

Transkript

1 HØGSKOLEN I BERGEN Avdeling for Ingeniørutdanning EKSAMEN I Matematisk analyse og vektoralgebra, FOA150 KLASSE : Alle DATO : 11. august 006 TID: : Kl (4 timer) ANTALL OPPGAVER : 5 VARIGHET ANTALL SIDER VEDLEGG HJELPEMIDLER : 4 timer : 5 inkludert forside : Formelsamling : Enkel kalkulator FAGLÆRERE : Hans Birger Drange (87 699) : Hans H. Flornes (87 701) Amir M. Hashemi (87 715) Svein Hove (87 706) Terje Kristensen (85 75) Aasmund Kvamme (87 709) Leif Erik Otterå (87 714) Dhayalan Velauthapillai (87 711) Odd magne Øgreid (85 6) MERKNADER : 4 oppgaver er fra felles pensum og én oppgave, oppgave 5, er fra spesialpensum. Fremgangsmåte må fremgå av besvarelsen for å få full uttelling. Høgskolen i Bergen, postboks 700, 500 BERGEN Tlf Faks

2 Felles pensum Eksamen i FOA150, kl Oppgave 1 dy a) Finn y = når i) x y = e cosx og ii) ln( x ) y = + b) Bestem de partielle deriverte f x og f y når f( x, y) = x + y x y+ 5. c) En funksjon f er definert på (-, ) slik at f(x) = 0 når x 0 og f( x) = ( x a)( x ) når x > 0. Her er a et gitt reelt tall. (i) Regn ut f '( x ) for x > 0 og bestem a slik at f har maksimumsverdi i. Har f da minimumsverdi? I tilfelle ja, hvilken? (ii) Bestem så a slik at f blir kontinuerlig i 0. Oppgave Regn ut: a) cos x b) + sinx x 5 ln x c) 1 1 x x Oppgave a) Gitt differensiallikningen: y y = 6e x. i) Bestem A slik at y x = Ae er løsning. ii) Bestem så differensiallikningen sin generelle løsning. (forts. neste side)

3 (forts. oppgave ) I resten av denne oppgaven studerer vi en partikkel som beveger seg langs en gitt bane. La x være en funksjon hvor x(t) er partikkelens posisjon i banen (regnet i meter), ved tiden t (regnet i sekund). Partikkelens bevegelse styres av differensialligningen: = ax + hvor a er et gitt reelt tall ulik 0. dt b) (i) Løs differensialligningen. (Vi oppgir at løsningen blir integrasjonskonstanten). (ii) Bestem så C slik at startbetingelsen x(0) = 0 er oppfylt. c) I dette spørsmålet er x(0) = 0, (slik som i b) (ii)). at Ce, hvor C er a (i) La a = 1. Hvor lang tid bruker da partikkelen på de første metrene (regnet fra t = 0)? (ii) La så a = 1. Da får bevegelsen andre egenskaper. Regn ut lim x( t). Hva blir nå t svaret på spørsmålet i (i)? Oppgave 4 Vi har et punkt A(, 0, ) og en trekant ABC hvor AB = i+ j k og AC = i+ j+ k. a) Regn ut AB AC og bestem vinkelen A i trekanten ABC. Regn også ut vektoren BC. b) Regn ut kryssproduktet AB AC og benytt dette til å finne arealet av trekanten ABC. c) Finn ligningen til planet som går gjennom punktene A, B og C. d) Finn en vektor parallell med linjen som går gjennom A og B. Undersøk så om k kan velges slik at punktet D(, k, 6 ) ligger på samme linje som A og B.

4 Spesialpensum Eksamen i FOA150, kl Her velger du riktig oppgave 5, hvert institutt har sin oppgave. Eksterne eksamenskandidater velger oppgave 5 etter eget ønske. Oppgave 5 for maskin/marin/energi En partikkel beveger seg i en spiralformet bane som ligger på en sylinderflate med z-aksen som symmetriakse.. Posisjonsvektoren ved tiden t er gitt ved r(t) = cost i + sint j + at k hvor a er et gitt reelt tall. og starttidspunktet er gitt ved at t = 0. a) Angi (eller finn) koordinatene til startpunktet A (dvs punktet som partikkelen befinner seg i ved starttidspunktet). Når t = π, har partikkelen gått én gang rundt sylinderen og befinner seg i et punkt B som ligger vertikalt rett over punktet A. Finn avstanden mellom A og B. Regn ut hastighetsvektoren til partikkelen ved tiden t. Hva er betydningen av tallet a? b) La nå a = 11. Vis at da er størrelsen av hastigheten konstant lik 7. Finn deretter cos(φ) hvor φ er vinkelen mellom hastighetsvektoren og z-aksen for en vilkårlig tid t. Hva forteller vinkelen φ oss? c) En kraft F virker i et punkt A og vi ønsker å regne ut momentet til denne kraften om en akse α som går gjennom et annet punkt B. For å få det til vil vi bruke kryssprodukt og legger et koordinatsystem med origo i B slik at x-aksen går i α sin retning. Regn ut momentet om aksen α når punktet A sine koordinater er (-1,, ) og komponentene til kraften F er gitt ved (, -1, 4). Oppgave 5 for data. a) Forklar hva vi mener med en geometrisk rekke. b) Gitt rekken ( z) n hvor z er et reelt tall. n= 1 Skriv ut de 4 første leddene i rekken. Gi begrunnelse for at rekken er en geometrisk rekke. Hva blir rekkens kvotient? c) Finn nødvendig og tilstrekkelig betingelse på tallet z for at rekken skal konvergere. Gitt at rekken konvergerer, hva blir da summen av rekken?

5 Oppgave 5 for bygg. a) Finn ved integralregning y-koordinaten til tyngdepunktet (arealsenteret) i en likebeinet trekant ABC med høyde når origo er lagt i toppunktet A, B ligger i 1.kvadrant slik at AB faller langs linja med ligning y = x og y-aksen halvverer vinkelen A. (Arealet av en trekant regnes som en kjent sak). b) En 5 meter lang fritt opplagret bjelke holder oppe en last som er gitt ved følgende krafttetthet: π π x qx ( ) = sin, 0 x Her er da x lengde regnet i meter fra venstre endepunkt. Kall skjærkraften ved tverrsnitt x for V(x). 1 Vi oppgir at understøttelseskraften i venstre endepunkt, V(0), blir lik 10π (kn). Finn skjærkraften ved tverrsnitt x. Regn også ut kraften på bjelken fra den totale lasten og ved hvilket tverrsnitt skjærkraften er størst. Oppgave 5 for kjemi. Gitt differentialligningen y' = y(1 y ) med startverdi y(0) = 0.5. a) Bruk steglengde 0.1 og regn ut tilnærmet y(0.) ved hjelp av Eulers metode. b) Regn så ut y(0.) tilnærmet ved hjelp av Runge Kuttas metode av orden idet du benytter samme steglengde som i a). Svaret i b) ble litt større enn svaret i a). Forklar hvorfor vi kunne forvente dette ut fra det at den eksakte løsningsformelen gir y(0.) = Oppgave 5 for elektro. a) Laplacetransformer funksjonene: t i) t e 4t + +, ii) te 1 1 b) Invers laplacetransform til, er ( t t e e ). Vis at dette er riktig. ( s+ 1)( s 1) s Gitt at F() s = L{ f()} t, hvordan blir da den inverse laplacetransformen til Fse ()? t c) Gitt startverdiproblemet: y'( t) y( t) = e t 0 med startkravet y (0) = 1. Løs dette problemet ved hjelp av laplaplacetransformasjon. (Hint, her kan du bruke opplysning i spørsmål b).