FAG: MA-209 Matematikk 3 LÆRER: Per Henrik Hogstad KANDIDATEN MÅ SELV KONTROLLERE AT OPPGAVESETTET ER FULLSTENDIG

Transkript

1 UNIVERITETET I GDER Gimstad E K M E N O P P G V E : G: M-9 Matematikk LÆRER: Pe Henik Hogstad Klasse: Dato: 8..8 Eksamenstid fa-til: 9.. Eksamensoppgaven bestå av følgende ntall side: 6 inkl. foside vedlegg ntall oppgave: 6 ntall vedlegg: Tillatte hjelpemidle e: Kalklato Hogstad: omle M-9 Hagans fomelsamling Case/Nbeg: Matematisk fomelsamling fo ingeniøstdente Don t Panic Rottmann: Matematisk fomelsamling Gldendal Ikke tillatt å skive i fomelsamlingene KNDIDTEN MÅ ELV KONTROLLERE T OPPGVEETTET ER ULLTENDIG

2 M-9 Utsatt Eksamen Høst 7 Oppg n Poeng a b a b a b a b c d e f m Poengene vise vektfodelingen fo de enkelte delspøsmålene. Ved kaaktesetting vektlegges selvfølgelig i tillegg en totalvdeing bl.a. en vdeing av i hvilken gad kandidaten ha knnskape innenfo de like omådene gitt i oppgavesettet. Besvaelsen skal inneholde mellomegninge. Kalklato skal ikke benttes i beegningene kn til eventell kontoll av egne sva. Beegningene skal så langt det e mlig inneholde eksakte vedie. Ta egne fotsetninge hvis d finne klahete i oppgavesettet. LYKKE TIL!

3 . Tempeaten T målt i gade som fnksjon av posisjonen hvo og e målt i mete e gitt ved: T - Videe tenke vi oss at en patikkel bevege seg på en paameteiset kve C gitt ved: t t t t t hvo paameteen t e tiden målt i seknde og hvo koodinatene til -vekto e gitt i mete. a I hvilken etning e tempeatendingen støst i pnktet og hvo sto e tempeatendingen i denne etningen? b Bestem den etningsdeivete til tempeatfnksjonen i etning langs kven C i pnktet.. Vi ha gitt følgende dobbelt-integal: e dd a Vis ved hjelp av en fig det omådet som det he integees ove. b Beegn det gitte dobbelt-integalet.. Vi ha i polakoodinate gitt følgende kadeoide: og følgende sikel: a Tegn gafene til de to kvene i -koodinatsstemet.

4 b Bestem aealet av det omådet som ligge på innsiden av kadeoiden og samtidig på tsiden av sikelen.. Vi ha gitt et -dimensjonalt objekt T begenset av følgende flate: Videe ha vi gitt følgende vektofelt: a Tegn en fig som vise legemet T. b Bestem en paameteiseing av den kven C som gå helt te på anden av toppflaten til T. Kven skal gjennomløpes i etning mot klokka sett ovenfa nedove langs -aksen. c Bestem en paameteiseing av sideflaten til T. d Bestem divegens og cl til det gitte vektofeltet. e Bestem kve-integalet d C langs den lkkede kven C. f Bentt paameteiseingen av sideflaten til T fa oppgave c til å bestemme flksen av det gitte vektofeltet t av sideflaten til T.

5 5. Ved løsning av vameledning i en stav løse vi følgende patielle diffeensialligning: k t L t L t f hvo: L e lengden av staven k e stavens diffsivitet næt knttet til stavens ledningsevne e tempeaten som fnksjon av posisjonen og tiden t f e den initielle t tempeatfodelingen i staven Vi sette tempeat-fnksjonen som et podkt t X T t hvo X e en fnksjon kn av posisjonen og Tt e en fnksjon av kn tiden t. Vis hvodan dette gi opphav til følgende to odinæe diffeentialligninge: X '' X T' kt hvo e en konstant det kan vises at e positiv men det e ikke nødvendig å vise det he. 6. La C væe en glatt lkket kve i planet. Kven C e oientet i etning slik som vist i fig 5.. Vis at kveintegalet C d d d kn e avhengig av aealet av det omådet som e avgenset av kven C og ikke avhengig av posisjonen elle fomen av kven C.

6 ig 5. Vedlegg: f f f n f f vd v dv e e e v v v v v v til e en nivåflate som en flate enhetsnomalvekto til til e en nivåflate som en flate nomalvekto til ' h ' h h ' h ' tan ' ' ln

7 . a Gadientvektoen til tempeatfnksjonen T e gitt ved: T T T T T 5 6 Tempeatendingen e støt i etningen gitt ved vektoen: 5 6 Tempeat-endingen i denne etningen e gitt ved i gade p mete: T b Den etningsdeivete gade p mete til tempeatfnksjonen T i pnktet : t t t t vt t t v v v 6 T

8 . a Integasjonsomådet R: b Beegning av dobbelt-integalet: e e 8 e d d e dd e dd e

9 . a Gafene til de to polae kvene tegnet i -koodinatsstemet: b Bestemmelse av aealet innenfo kadeoiden og tenfo sikelen: 5 d d d

10 . a ig som vise legemet T: b Paameteiseing av toppkven til T sikel i planet med sentm i pnktet og adis : t t t t c Paameteiseing av sideflaten til T: d Divegens: Cl: k j i e Kveintegalet langs den lkkede kven C: Vi bentte tokes teoem.

11 C C d d nd nd Tds d f n k j i Minstegnet I ttkket fo enhetsnomalvektoen skldes etningen som skal væe t av sideflaten d d d dd dd dd dd nd G

12 5. Omfoming av den patielle diffeensialligningen til to odinæe diffeentialligninge: t X T t XT ' t X ' T X ' ' T Innsatt i den patielle diffeensialligningen gi : XT ' kx' ' T X T k λ e en konstant siden ingen av sidene kan væe avhengig av elle t. X '' T ' Minstegne t foan e valgt siden det kan vises at λ må væe positiv. På denmåtenvi ses eksplisitt at begge ttkkene må væe negative. X X '' T k T ' X '' X T ' kt

13 6. Vi lage oss følgende vektofelt: Cl til -vekto e gitt ved: k j i En nomalvekto til planet e gitt ved bentte koeffisientene i ligningen fo planet: N Enhetsnomalvekto til planet e gitt ved: N N n La væe flaten avgenset av den lkkede kven C og la væe aealet av flaten. Heav få vi i følge tokes teoem:

14 C d d d C d C Tds nd d d d Heav se vi at kveintegalet kn e avhengig av aealet av omådet avgenset av kven C og ikke avhengig av posisjon elle fom av kven C.