FAG: MA-209 Matematikk 3 LÆRER: Per Henrik Hogstad KANDIDATEN MÅ SELV KONTROLLERE AT OPPGAVESETTET ER FULLSTENDIG

Transkript

1 UNIVERSITETET I AGDER Gimstad E K S A M E N S O P P G A V E : AG: MA-9 Matmatikk ÆRER: P Hik Hogstad Klass: Dato:.. Eksamstid a-til: 9.. Eksamsoppgav bstå av ølgd Atall sid: 6 ikl. osid + vdlgg Atall oppgav: 5 Atall vdlgg: Tillatt hjlpmidl : Kalklato Hogstad: oml MA-9 Do t Paic Rottma: Matmatisk omlsamlig Ikk tillatt å skiv i omlsamlig KANDIDATEN MÅ SEV KONTROERE AT OPPGAVESETTET ER USTENDIG

2 MA-9 Odiæ Eksam Høst Oppg Pog a b a b a b a b c d g h Sm 5 Pog vis vkt-odlig o d klt dl-spøsmål. Vd kaaktsttig vktlggs slvølglig i tillgg total-vdig bl.a. vdig av i hvilk gad kadidat ha kskap io d lik omåd gitt i oppgav-sttt. Bsvals skal ihold mllomgig. Kalklato skal ikk btts i bgig k til vtll kotoll av g sva. YKKE TI!

3 . Vi ha gitt ølgd dobblt-itgal: dd a Vis vd hjlp av ig dt itgasjosomådt som dt h itgs ov. b Bg dobblt-itgalt vd å btt om itgasjos-kkølg.. Vi ha t lgm T bgst av d t koodiatpla -plat -plat og -plat samt d to pla + = og + = 6. a Tg skiss av lgmt T. b Bstm vha tipplitgal volmt av lgmt T.. Vi ha gitt ølgd to pola kv: = = - [ ] a Tg ga til diss to pola kv i t -koodiatsstm. b Bg aalt av dt avgsd lls-omådt som ligg io bgg diss to kv.

4 . a T væ dt lgmt i ommt som avgst av ølgd to lat: lat : lat : a Tg skiss av lgmt T. b Bstm ligig o pojksjo d i -plat av skjæigskv C mllom d to lat lat og lat. okla hva slags kv d pojksjo. c Bstm volmt av lgmt T. Vi ha gitt ølgd vktolt: - d Bstm divgs og cl av dt gitt vktoltt. Bstm tto lks av dt gitt vktoltt t av lgmt T. Bstm vd dikt bgig kv-itgalt d C av -vkto lags skjæigskv C i tig mot klokka stt ova dov lags -aks. g a C væ kv som pojksjo d i -plat av skjæigskv C. Bstm vd hjlp av Stoks tom kv-itgalt d C av -vkto lags kv C i tig mot klokka stt ova dov lags -aks h a S væ d lkkd ovlat av lgmt T. a S og S væ d to dl av hholdsvis lat og lat som til samm tgjø lat S dvs S S = S og S S = Ø. okla hvoo d to lat-itgal av cl til -vkto ov hholdsvis S og S motsatt lik sto dvs: S ds - S ds -vkto h htsomalvkto t av ovlat S av lgmt T.

5 5. Vi ha stav md lgd og disivitt k. Til stdi av vamldig i d stav btts ølgd patill disialligig: t k = t tmpat som ksjo av posisjo på stav og tid t. Vd å hold stavs dpkt på C a og md tid t = å vi ølgd tillggsbtigls: t t D gll løsig av d disialligig md diss to tillggsbtigls : t c k t si Vi ha tdj tillggsbtigls mlig at stattmpat som ks jo av posisjo vd tid t = gitt vd: okla kot md tgagspkt i d gll løsig o t gitt ovo samm md oi-kk-btaktig at koisit c gitt vd: c si d

6 Vdlgg: S S vd v dv v v v v v v til ivålat som lat htsomalvkto til til ivålat som lat omalvkto til ' h ' sih sih ' h ' si si ' si si si si si si si si si si l

7 . a Illstasjo av itgasjos-omådt: b Bgig av dobblt-itgalt: - d d d dd dd

8 . a Skiss av lgmt T: b Volm av lgmt T: T d d d d d dd dd ddd dv V Kotoll: Volmt gitt vd: 8 h G V

9 . a Skiss av d to pola kv: D to pola kv hholdsvis sikl md stm i oigo og adis og kadoid smmtisk om -aks. b Aalt av llsomådt som io bgg kv: llsomådt bstå av to smmtisk omåd io kadoid og halvsikl. 8 5 si 8si d d d d d dd dd da A G R

10 . a Skiss av lgmt T ig skal gjøs litt bd s: b igig o pojksjo d i -plat av skjæigskv C. mllom d to lat: D pojksjoskv sikl i -plat md stm i oigo og adis. Hød-vaiasjo -vdi til skjæigskv C gitt vd: Skjæigsskv C høst ov -aks = 8 og lavst = ov -aks. c Volmt av lgmt T. d d dd dd da da da da da d dv V R R R R R R T

11 d Divgs og cl av vktoltt: - Divgs: - div Cl: - - k j i cl Ntto lks av vktoltt t av lgmt T: a S væ d lkkd ovlat av lgmt T. Vi btt Gass lov og volmsltatt a oppgav c. 96 ds T T T S dv dv dv

12 Kvitgalt av -vkto lags kv C: si t si t t d t t si t si t t t si t si t t d C d si t t 8si t tdt si t t si t si tt6 6si t si tt6 6si t si t t 8si t t si t 8 t 8si t t 8si t t dt t t t t t t t t si t 8 t 8si t t 8si t t dt t t 8 8si t t 8si t t dt t t 8si t t 8si t t dt 6 t 8si t t 8si t t dt 8 8 6t si t si t si t t t 6 dt g Kvitgalt av -vkto lags kv C vha Stoks tom: Vi la S væ d lat i -plat som ha C som ad vi må vlg lat som ha C som ad. D positiv htsomalvkto på lat S gitt vd [} C d S ds ds ds ds S S S Mk at d to kv-itgal i og g ogå lags to lik kv C og C. Vi ka do ikk t vid ovt samm sva i d to oppgav. No vil kaskj hvd sid lat S pla ligg i -plat at dtt bk av Gs tom og ikk Stoks tom. Dt kokt å si at vi btt Gs tom m dt også kokt å si at vi btt Stoks tom sid Gs tom t spsialtilll av Stoks tom.

13 h Bgg lat S og S ha kv C som ad. I ølg Stoks tom ha vi da o hv av lat S og S ølgd: C C d d S S ds ds - S ds Kommta til d øst ligig: Md d tig som kv C skal gjomløps så vil d positiv sid av lat S d d lat væ på isid av paaboloid dvs vi må i Stoks tom h bk -vkto som htsomalvkto -vkto som vt i oppgav skal ha tig t a lat S do også t a lat S og S. Hav ølg at: S S ds ds S S ds ds Ell vd bk av Gass tom sid lat S lkkt og S S = S og S S = Ø. : S ds S ds S ds D sist likht ølg av at s bvis do: T dv Hav ha vi: S ds - S ds Bvis o

14 k j i h ots.: I d spsill oppgav ka ma også m dt gi t mid glt bvis bg ligig md at cl til -vkto kostat vkto avhgig av og og at d to lat S og S lik botstt a at d sdd opp d og vidd 9 gad i ohold til d ad dtt må bgs. Dmd vil ma o hvt lat-lmt på d lat i t tilhød latlmt på d ad lat md motsatt ttt omalvkto dvs d to itgad skalapodktt av cl til -vkto og htsomalvkto -vkto ha motsatt otg og gi dmd motsatt lik vdi til d to latitgal. Nå dtt t mid glt bvis så sklds dt at ligig gitt i oppgav gjld også slv om cl til -vkto ikk kostat vkto og/ll slv om d to lat ikk lik. 5. Vamligig: D gll løsig av d disialligig md diss to tillggsbtigls : si t k c t a d tdj tillggsbtigls: å vi: si si c c t Vi ota odd smmti om oigo piodisig o å ivata d to øst tillggsbtigls. Vi oi-sis-tvikl do md piod og å:

15 si : ølg oi toi i hvo si d b b Hav å vi: si si b c D ligig skal stmm o all og t. Hav å vi: si d b c