Matematikk for IT, høsten 2018

Transkript

1 Mtmtkk for IT, høst 8 Oblg Løsgsforslg 7. sptmbr 8.7. ) for >. 7 b) for >. 7 c) for >. 7 d) ) for >

2 .7. ) for >. 7 8 b) for >. 7 ) 7 ) 7) ) 7 ) 7) c) for >..7.8 ) ) ) ) ). Bss:. Rkursjosforml: ) Fr dffrs mllom og ) Flttr ovr på hør sd og får b). Bss:. Rkursjosforml: ) Fr dffrs mllom og : ) Flttr ovr på hør sd og får :

3 c). Bss:. Rkursjosforml: Hr r dt klst å brg /. D får v som gr år v ggr md på bgg sdr): Brukr v std mtod md å f dffrs mllom og, får v: V k så btt t Hr sr v t r flls fktor bgg ldd på hør sd, og v k skrv dtt som Flttr v tllgg ovr på hør sd, får v Dtt r forsåvdt t grt svr, m v k forkl dt ttrlgr vd å btt t. D k v omform dt sst lddt på hør sd tl, og v k skrv løsg som og ltså d). Bss:. Rkursjosforml: )

4 Fr dffrs mllom som gr og : ) Hr r dt også mulg å bruk uttrkkt for for å forkl dtt ttrlgr: Sd, vl. Dtt btr t ) Sttr v dtt svrt v ft tdlgr, får v 8 Obsrvr t drsom v stdfor å bruk bok gjør, vl svrt bl og brukr og slk fst.. Skrv følgd komplks tll på form b) b og mrk dm v dt komplks plt. Im R

5 g) Im.. 7 R.. ) b) x x x x x 7 7 x c) x x ) ) 8 x d) x x x ) ) b) 7 ) ) 7 c) ) ) )

6 d) ) ).. c) Im R d) Im R.. ) ) ) ) c)..8 Polrform r å skrv tllt som rcos s ) hvor r r tllts modulus lgd) og r tllts rgumt vkl). Polrform bruks sjld sd v k skrv d smm formsjo klr år v skrvr tllt på kspotlform, ltså som r.

7 b) Modulus: r ) Strgt ttt trgr v kk å t md fortg tl rldl og mgærdl år v rgr ut lgd, sd dss tll kvdrrs opphøs ). D forsvr jo ustt vtull gtv fortg. Argumt: cos cos 7 For å vgjør hvlk v dss vkl som r d korrkt, k v gjør vurdrg v hvlk kvdrt tllt lggr. V sr t rldl r gtv og mgærdl r postv. Dtt btr t tllt lggr. kvdrt, og rgumtt må følglg vær mllom og. Følglg r dt vkl som r tllts rgumt. Tllt k drfor skrvs cos s ) llr, skrvt på kspotlform: ) d) Hr sr v drkt hv modulus lgd) og rgumt vkl) r. Sd tllt br bstår v mgærdl, vl lgd tl tllt vær drkt gtt v mgærdl, ltså. V sr vdr t tllt lggr lgs gtv mgær ks, og rgumtt r drfor llr ). Drsom v kk sr dtt, k v slvsgt rg dt ut md vår vlg formlr: Modulus: r Argumt: cos cos Hr må gj klr å s for oss hvlk kvdrt tllt lggr for å vgjør hvlk v dss vkl som r d korrkt. Hvs v kk klrr dtt, r dt løsg å 7

8 brg rgumtt på tt vd hjlp sus). Hr pkr tllt lgs d gtv dl v d mgær ks, og korrkt vkl r drfor llr, m vlgvs bruks hovdrgumtt, ltså vkl mllom og ). Tllt k drfor skrvs cos ) s )) llr, skrvt på kspotlform: )... ) Rldl: cos Imgærdl: s Tllt k følglg skrvs b) Rldl: cos Imgærdl: s Tllt k følglg skrvs c) Rldl: cos Imgærdl: s 8

9 Tllt k følglg skrvs.. ) Tllt hr ku mgærdl. Modulus r følglg lk d, ltså. Tllt pkr lgs d postv mgær ks, og rgumtt r følglg V k drfor skrv tllt. b) Tllt hr ku rldl. Modulus r følglg lk tllvrd v d, ltså. Tllt pkr lgs d postv gtv rll ks, og rgumtt r følglg. V k drfor skrv tllt c) Modulus: r Argumt: cos cos Ford båd rldl og mgærdl r postv, lggr tllt. kvdrt, og dt r drfor som r tllts rgumt. Tllt k drfor skrvs d) Modulus: r Argumt:

10 cos cos Hr r rldl gtv og mgærdl postv. Tllt lggr drfor. kvdrt, og dt r drfor som r tllts rgumt. Tllt k drfor skrvs.. Bokstv, b og c skl stts smm tl «ord». ) Hvor mg ord v lgd fs dt år v krvr t tll b-r r t prtll? Når v skl stll opp dffrslgg for t slkt problm, r dt vktg å «tk rkursvt». Altså: hvor mg ord v lgd som v k kll ) k v lg bsrt på ord v lgd. Dt r to måtr å lg t ord v lgd bsrt på strg v lgd :. Stt llr c tl t gldg ord v lgd. V k kk stt tl b sd v d får t ugldg ord t odd tll b-r). Atll gldg ord v lgd, r - Atll ord v k lg bsrt på dss vd å stt tl r -, og tll vd å stt tl c r -. Totlt tll ord v k lg på d måt, r drfor -. Stt b tl t ugldg ord v lgd. Et ugldg ord vl h t odd tll b-r. Sttr v tl b, får v drfor t tll b-r som r prtll. Totlt tll ord v lgd, r -. Atll gldg ord v lgd, r -. Atll ugldg ord v lgd, må vær totlt tll ord mus tll gldg ord, dvs: - - Atll, gldg ord v k lg v dss vd å stt tl b, r - -) Dt totl tll gldg ord v lgd, r drfor summ v d to ovståd mulght, ltså = ) = som gr følgd dffrslgg: b) Strtbtgls: Et ord v lgd k vær t llr c. Br b går kk, sd tll b-r d blr t oddtll. Drfor r.

11 Oppgv Gtt d komplks tll og w. F ) w ) ) ) ) ) ) 8 ) 8 b) w ) ) ) ) ) ) ) ) Oppgv Gtt følgd komplks tll: og w. F ) ) w b) ) w