16 x = 2 er globalt minimumspunkt og x = 4 er lokalt maksimumspunkt.

Transkript

1 Fasit Eksamn MAT Høstn 7 Oppgav Gitt punktn i koordinatsstmt: A (,, ) B (, 3, ) og C (,, ) AB + AC a) Bstm og AB AC Bstm vinkln A i trkantn ABC BC AB AC [,,] + [,, ] [9,, ] 3,, BC ( ) ( ) + + AB AC [,, ] [,, ] Drmd A 9 En vktor r gitt vd: n [,,] Vis at n står normalt på bgg vktorn AB og AC (dt vil si n AB ogn AC) Stt opp ligningn til t plan som går gjnnom punktn A, B og C n AB [,,] [,,] n AC [,,] [,, ] Plant gjnnom A, B og C: ( ) ( ) + ( z ) z ( + ) c) i) Rgn ut aralt til trkantn ABC vd hjlp av aral stning: A AB AC sin A ii) Bstm avstandn fra hjørnt A til sidn BC (hødn i trkantn ABC) Hint cii) Du kan bntt formln for aralt til trkantn ABC: A h BC dr h skal bstmms 9 A AB AC sin A 3 3, A h BC h 8 h, 8 Oppgav En funksjon f r dfinrt vd: f ( ) ; < a) Finn f ( ) Avgjør hvor funksjonn voksr og hvor funksjonn avtar f ( ) ( ) f ( ) 3 Funksjonn strngt stignd når > og strngt avtagnd når < < Bstm funksjonns vntull lokal og global maksimums- og minimumspunkt f (),85 f () 3, r globalt minimumspunkt og r lokalt maksimumspunkt

2 Oppgav 3 Bstm grnsvrdin: 3 ' 3 L Hopital 3 3 a) lim lim sin( ) cos( ) lim lim c) Finn Talor-polnomt F ( ) av andr grad til funksjonn f ( ) ln( + ) om f () F ( ) f () + f ()( ) + ( )! f ( ) ln( + ) f () f ( ) f () + f ( ) f () F( ) + ( ) d) Skriv funksjonn: g ( t) cos 9t 3sin 9t på formn f ( t) C cos9( t t ) Bstm C og t a cosωt + bsinωt C cos ω( t t) dr C a + b og tan( ω t) ( ) f t cos9t 3sin 9t C cos9( t t ) 3 3 C ( ) + ( 3) 5 9 Oppgav Bstm dn gnrll løsningn til følgnd diffrnsial likningr: dn d N N a) dt d N() () dn a) N N N( N ) a, A, B dt N( t),gitt N() k, N( t) t + k + k + tan(9 t) t (tan ( ) + π ), 5, d cos( ) d d cos( ) sin( ) sin( ) C d + C + llr Gitt () C og drmd sin( ) sin ( ) b a cos( ) t

3 c) En litrs tank r flt md % saltlak, dt vil si, lakn innholdr kg salt pr litr Vd tidn t bnnr man å tilfør,3 % salt lak md n hastight på litr/min Innholdt i tankn blands godt hl tidn, slik at vi kan anta at saltlakn r lik strk ovralt i tankn til nhvr tid Samtidig rnnr dt litr/min av dn blandnd lakn ut av tankn Man kan still opp følgnd diffrnsial likning for saltmngdn, S( t ), i tankn ds S dt Gitt S () Løs diffrnsiallikningn og bstm hvor lng tar dt før dt r 5 kg salt i tankn d at b Tp II: a + b ( t) C dt a ds S as b a, b, dt + t, t S( t) C C +, Gitt S() S() C +, C 39, S( t) 39, t +, t, S( t?) 5 S( t) 39, +, 5 t ln, 8, 39, Dt tar ca,8 min Oppgav 5 Løs intgralr: a) cos ( + sin ) 5 a) cos ( + sin ) d ( + sin ) + C 5 ' v ln d ln ln ln ln (ln ) d d du + C + C u 5 ' v u 5 c) En bdrift hadd n omstning på, milliardr i bgnnlsn av år 8 (t ) Dt r forvntt n årlig vkst på 5% i omstningn pr år i d nst 5 årn Bstm vha intgrasjon bdriftns forvntt samld omstning i sluttn av årt i) f ( t ),(,5) t dr t 5 (,5), ii) t, (,5) t dt, (,5 ), ln(,5) ln(,5) milliardr

4 a) f f Oppgav Gitt funksjonn: f (, ) a) Bstm partill drivrt av og ordn ( f, f, f, f og f ) Funksjonn har tt stasjonært punkt Bstm dtt punktt og avgjør om dt r lokalt minimum, lokalt maksimum llr ingn av dln c) Finn likningn for tangntplant i punktt dr (,, z ) (,, f (,)) f f + f f Lokalisring: f f + Karaktrisring: f f ( f ) 8 > og f > (, ) r t lokalt minimumspunkt c) Ligningn til Tangntplan: z z f ( ) + f ( ) P P ( ) ( ) ( ) z f, 9 z z Oppgav 7 I t laboratorium for mikrobiologi r dt to apparatr som tllr baktrir i ulik prøvr Dt n apparatt, A, kan btjns av studntr og krvr kort opplæringstid Dt andr apparatt, B, må btjns av n tknikr Laboratorit skal gransk ulik prøvr og har maksimalt 5 timr på dtt arbidt: Vd hjlp av opplsningn i tablln ndnfor kan man finn hvor lng hvrt apparat må disponrs for at lønnskostnadn skal bli lavst mulig Apparat Antall prøvr som tlls pr tim Timlønn for opratør Antall tll timr A B 8 Vd hjlp av opplsningn kan stills opp følgnd ulikhts sstm: +, + 5, a) Tgn områdt i plant avgrnst av ulikhtn Bstm all hjørnr i dtt områdt Lønnskostnad brgningn r å minimr P + 8 Hvor stor r lønnskostnadn i dtt tilfllt? a) Grafn til områdt (nst sid) Hjørnr: (, ) (5, ) (, ) og skjæringspunktt mllom linjn r : (75, 75)

5 f (, ) + 8 f (,) + 8 f (5, ) f (,) + 8 f (75, 75) Lavst kostnad r når d tar 75 timr hvr og lønnskostnadn r da kr (bmrk at slv om 5 r lavst kostand, mn (5, ) gir ikk mulight for å gransk prøvr