Løsningsforslag til eksamen i MAT 1100, 8/12-04 Del 1

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "Løsningsforslag til eksamen i MAT 1100, 8/12-04 Del 1"

Transkript

1 Løsningsforslag til ksamn i MAT, 8/- Dl. (3 pong) Intgralt x x dx r lik: x x x + C x x + C x 3 3 x + C x / + C x x x3 3 x + C Riktig svar: a) x x x + C. Bgrunnls: Brukr dlvis intgrasjon md u = x, v = x. Da r u =, v = x, og vi får: x x dx = x x x dx = x x x + C. (3 pong) Hva gjør vi først når vi skal løs intgralt x +3x x+ (x )(x +x+) dx vd dlbrøkoppspalting? substiturr u = x + x + A Bx+C x +x+ sttr intgrandn lik x + smuglr dn drivrt av nvnrn inn i tllrn polynomdividrr x + 3x x + md x 3 + x sttr intgrandn lik A x + B x +x+ Riktig svar: d) polynomdividrr x + 3x x + md x 3 + x Bgrunnls: Gradn til tllrn r størr nn gradn til nvnrn. Obsrvr dssutn at (x )(x + x + ) = x 3 + x. 3. (3 pong) Hva får vi når vi substiturr u = arctan x i intgralt sin(arctan x) dx? /3 π/ sin u du sin u +u du / sin u du / sin u +u du π/ sin u cos u du Riktig svar: ) / sin u cos u du Bgrunnls: Når u = arctan x, r x = tan u. Drmd r dx = cos u du. D ny grnsn blir u() = arctan = og u() = arctan = π. Dtt gir: sin(arctan x) dx =. (3 pong) Hva r dn partilldrivrt f cos (xy) +x z x z y / sin u cos u du når f(x, y, z) = z cot(xy)?

2 zx tan(xy) sin (xy) Riktig svar: ) sin (xy) Bgrunnls: Drivrr mhp. y som om x og z r konstantr: ( ) y z cot(xy) = z sin (xy) x = sin (xy) 5. (3 pong) I hvilkn rtning voksr funksjonn f(x, y) = xy cos y raskst i punktt (, π): (, π) (π, ) (, ) (π, π) ( π, ) Riktig svar: ) ( π, ) Bgrunnls: Funksjonn voksr raskst i gradintns rtning. y cos y og f y = x cos y xy sin y, r Sidn f x = f(, π) = (π cos π, ( ) cos π ( )π sin π) = ( π, ). (3 pong) Hva r dn rtningdrivrt f (a; r) når f(x, y) = x xy, a = (, ) og r = (, )? 3 3 Riktig svar: c) Bgrunnls: Vi vt at f (a; r) = f(a) r. Sidn f(x, y) = ( xy +xy xy, x xy ), får vi f (a; r) = f(a) r = (3, ) (, ) = = 7. (3 pong) Områdt mllom x-aksn og grafn til f(x) = sin(x ), x π, dris n gang om y-aksn. Hva r volumt til omdriningslgmt? 3 9π 9 π 7 3 Riktig svar: d) π Bgrunnls: Ifølg formln for volumt til t omdriningslgm om y-aksn r V = π π x sin(x ) dx

3 Vi substiturr u = x. Da r du = xdx, og d ny grnsn r gitt vd u() = =, u( π) = ( π) = π. Drmd r V = π π x sin(x ) dx = π 8. (3 pong) Dt ugntlig intgralt konvrgrr og r lik 3 konvrgrr og r lik divrgrr konvrgrr og r lik 5 konvrgrr og r lik 5 Riktig svar: c) divrgrr Bgrunnls: Vi har u = ln x, r du = dx x Dmd r dx = lim x( + ln x) b x(+ln x) dx: b sin u du = π x(+ln x) dx = lim b x(+ln x) dx. Substiturr vi, og d ny grnsn blir u() = ln =, u(b) = ln b. b ln b dx = lim x( + ln x) b ( + u) dx = b = lim [ln( + u)]ln = lim [ln( + ln b) ln ] = b b n n i= sin( π n i)? 9. (3 pong) Hva r grnsvrdin lim n π 7π π 3 π 5 7 Riktig svar: d) Bgrunnls: Uttrykkt r n Rimann-sum for funksjonn f(x) = sin x ovr intrvallt [, π ]. Når n, nærmr uttrykkt sg drfor intgralt til f(x) ovr dtt intrvallt. Drmd har vi: lim n π n n i= sin( π n i) = sin x dx =. (3 pong) I n rgulrbar gasstank r trykkt P gitt som n funksjon P = F (V, T ) av volumt V og tmpraturn T. Drsom V og T r funksjonr av tidn t slik at V (t) = + t/ og T (t) = + sin( π t), hva r da dn drivrt av trykkt P md hnsyn på tidn t? F V (V (t), T (t)) + T (V (t), T (t)) V (V (t), T (t))( + t/ ) + F T (V (t), T (t))( + sin( π t)) P (t) = F V (V (t), T (t)) t/ + π F T (V (t), T (t)) cos( π t) V (V (t), T (t)) t/ + F T (V (t), T (t)) cos( π t) P (t) = V (t) t/ + π T (t) cos( π t) 3

4 Riktig svar: c) P (t) = F V (V (t), T (t)) t/ + π F T (V (t), T (t)) cos( π t). Bgrunnls: Kjrnrgln sir V (V (t), T (t))v (t) + F T (V (t), T (t))t (t) Sttr vi inn V (t) = t/ og T (t) = π cos( π t), får vi svart, DEL Oppgav : a) ( pong) Rgn ut d partilldrivrt av først ordn til funksjonn og finn dt stasjonær punktt. f(x, y) = (x + y ) x b) ( pong) Avgjør om dt stasjonær punktt r t sadlpunkt, t lokalt maksimum llr t lokalt minimum. Svar: a) Vi har og I d stasjonær punktn r f x = x + (x + y ) x = ( + x + y ) x f y = yx ( + x + y ) x = og y x = Dn sist ligningn r bar oppfylt når y =. Sttr vi dtt inn i dn først, sr vi at x =. Dt nst stasjonær punktt r altså (, ). b) Vi rgnr først ut d annnordns partilldrivrt: f x = x + ( + x + y ) x = ( + x + y ) x f y x = f x y = yx f y = x Dtt gir A = f x (, ) =, B = f x y (, ) =, C = f y (, ) =, D = AC B = =. Sidn D >, A >, fortllr annndrivrttstn oss at dtt r t lokalt minimum.

5 Oppgav : a) ( pong) Rgn ut intgralt b) ( pong) Rgn ut intgralt (Hint: Vis først at = sin x.) u du dx c) ( pong) Finn bulngdn til grafn til funksjonn f(x) = ln() fra x = til x = π. (Husk at formln for bulngd r L = b a + f (x) dx.) Svar: a) Sidn u = (u )(u + ), brukr vi dlbrøkoppspalting: u = A u + B u + Gangr vi md fllsnvnrn u og ordnr lddn på høyr sid, får vi: = (A + B)u + (A B) Dtt btyr at A + B =, A B =, som mdførr A =, B =. Drmd r u du = u du u + du = = ln u ln u + + C = ln u u + + C b) Vi har = intgralt sin x cos x = dx, får vi dx =. Substiturr vi u = sin x, du = dx i sin x sin x dx = u du Lgg mrk til d ny intgrasjonsgrnsn som skylds at u() = sin =, u( π ) = sin π =. Brukr vi dl a), har vi nå: dx = [ u du = ln u u + ] = ln + + ln + = ln 3 = ln 3 b) Vi rgnr først ut f (x) = vd L = sin x ( sin x) =. Drmd r bulngdn gitt + ( sin x ) dx = = + sin x cos x dx = 5

6 cos = x + sin x cos dx = x dr vi har brukt punkt b) i dt sist skrittt. cos x dx = dx = ln 3 Oppgav 3: ( pong) På figurn sr du n sirkl md radius r. Et traps r tgnt inn i sirkln slik at grunnlinjn til trapst r n diamtr i sirkln. D to andr hjørnn til trapst liggr på sirklomkrtsn. Finn dt størst aralt t slikt traps kan ha. Svar: Rgnstykkt blir litt forskjllig ttr hva man vlgr som variabl. Et valg som gir gri rgningr, r å dfinr x som på figurn ndnfor. x Da blir høydn i trapst h = r x, og aralt r gitt vd A(x) = r + x h = (r + x) r x Vi ønskr altså finn dn maksimal vrdin til dn kontinurlig funksjonn A(x) på dt lukkd og bgrnsd intrvallt [, r]. Vi vt fra kstrmalvrdistningn at dt må finns n maksimalvrdi. For å finn maksimumspunktt, drivrr vi: A (x) = r x x + (r + x) r x = r x x (r + x) r x Vi sttr dtt uttrykkt lik og løsr for x: r x x (r + x) r x = = r x x = (r + x) r x = r x = rx + x = x + rx r = = x = r ± r ( r ) = r ± 3r Av gomtrisk grunnr kan vi bar bruk dn positiv rotn x = r som gir t aral på A( r ) = (r + r ) r r = 3 3r. D andr mulig maksimalpunktn til aralt r ndpunktn x = og x = r. Sidn bgg diss vrdin r mindr nn 3 3r (vi har A() = r og A(r) = ), må dt størst aralt vær 3 3r. Oppgav : ( pong) Funksjonn f : R R r kontinurlig, og a, b R r tall slik at a < b og f(a) < f(b). Vis at da finns dt n c [a, b) slik at f(c) = f(a), mn f(x) > f(a) for all x (c, b).

7 Hint: c = sup{x [a, b] : f(x) f(a)}. Svar: Mngdn A = {x [a, b] : f(x) f(a)} r ikk-tom (fordi a r md) og bgrnst (av b), og har drfor n minst øvr skrank c = sup{x [a, b] : f(x) f(a)} Obsrvr at sidn b r n øvr skrank for A, r c b. Pr dfinisjon av c r f(x) > f(a) for all x (c, b), og dt r drfor nok for oss å vis (*) f(c) = f(a) (i tillgg burd vi vis at c < b, mn dt vil følg automatisk av at f(c) = f(a) < f(b)). For å vis (*) obsrvrr vi først at for hvr n N må dt finns n x n slik at c n x n c og f(x n ) f(a) (llrs vill c n vært n øvr skrank for A og dt r umulig sidn c n r mindr nn dn minst øvr skrankn c). Sidn x n c, må f(x n ) f(c) (hr brukr vi at f r kontinurlig). Sidn f(x n ) f(a), må drmd f(c) f(a). Obsrvr at dtt mdførr at c < b. For tilstrkklig stor n N må da c + n < b og ifølg dfinisjonn av c btyr dtt at f(c + n ) > f(a). Sidn f(c) = lim n f(c + n ) (hr brukr vi igjn kontinuittn til f), mdførr dtt at f(c) f(a). Vi har drmd vist båd f(c) f(a) og f(c) f(a), og følglig må f(c) = f(a). Slutt 7

Løsningsforslag til eksamen

Løsningsforslag til eksamen 8. januar 6 Løsningsforslag til ksamn Emnkod: ITD Dato: 7. dsmbr Hjlpmidlr: Emn: Matmatikk først dlksamn Eksamnstid: 9.. Faglærr: To -ark md valgfritt innhold på bgg sidr. Formlhft. Kalkulator r ikk tillatt.

Detaljer

EKSAMEN Løsningsforslag

EKSAMEN Løsningsforslag . juni 7 EKSAMEN Løsningsorslag Emnkod: ITD Emnnavn: Matmatikk ørst dlksamn Dato: 6. juni 7 Hjlpmidlr: - To A-ark md valgritt innhold på bgg sidr. - Formlht. - Kalkulator som dls ut samtidig md oppgavn.

Detaljer

EKSAMEN Ny og utsatt Løsningsforslag

EKSAMEN Ny og utsatt Løsningsforslag 9. juni 5 EKSAMEN N og utsatt Løsningsorslag Emnkod: ITD5 Dato: 4. juni 5 Hjlpmidlr: Emn: Matmatikk ørst dlksamn Eksamnstid: 9.. Faglærr: - To A4-ark md valgritt innhold på bgg sidr. - Formlht. Christian

Detaljer

MA1102 Grunnkurs i analyse II Vår 2014

MA1102 Grunnkurs i analyse II Vår 2014 Norgs tkiskaturvitskaplig uivrsitt Istitutt for matmatisk fag MA Grukurs i aalys II Vår 4 Løsigsforslag Øvig 8.8. a) Vi har fuksjo f(). Vi skal taylorrkk til f i puktt, kovrgsitrvallt til d rkk, og vis

Detaljer

16 x = 2 er globalt minimumspunkt og x = 4 er lokalt maksimumspunkt.

16 x = 2 er globalt minimumspunkt og x = 4 er lokalt maksimumspunkt. Fasit Eksamn MAT Høstn 7 Oppgav Gitt punktn i koordinatsstmt: A (,, ) B (, 3, ) og C (,, ) AB + AC a) Bstm og AB AC Bstm vinkln A i trkantn ABC BC AB AC [,,] + [,, ] [9,, ] 3,, BC ( ) ( ) + + AB AC [,,

Detaljer

Oppgave 1 (25 %) 100 e = 98.02. = 0.9802 R = ln 0.9802. R = 0.020, dvs. spotrenten for 1 år er 2,0 % 100 e = 95.89. e e

Oppgave 1 (25 %) 100 e = 98.02. = 0.9802 R = ln 0.9802. R = 0.020, dvs. spotrenten for 1 år er 2,0 % 100 e = 95.89. e e Oppgav 1 (5 %) Vi har følgnd: Obligasjon Pålydnd Tid til forfall Kupong Kurs A 1 1 % 98, B 1 % 95,89 C 1 3 5 % 17,99 D 1 4 6 % 113,93 a) Vi finnr nullkupongrntn slik: R 1 = 98. R 1 = 95.89 =.98 R = ln.98

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen 8. august 2007 TFY4250 Atom- og molekylfysikk

Løsningsforslag Eksamen 8. august 2007 TFY4250 Atom- og molekylfysikk Eksmn TFY45 8 ugust 7 - løsningsforslg Oppgv Løsningsforslg Eksmn 8 ugust 7 TFY45 Atom- og molkylfysikk I grnsn V r potnsilt V x t nklt bokspotnsil md vidd, V V for < x < og undlig llrs Dn normrt grunntilstndn

Detaljer

Grafer og trær. MAT1030 Diskret matematikk. Eksempel. Eksempel. Forelesning 28: Grafer og trær, eksempler

Grafer og trær. MAT1030 Diskret matematikk. Eksempel. Eksempel. Forelesning 28: Grafer og trær, eksempler MAT1030 Diskrt matmatikk Forlsning 28:, ksmplr Dag Normann Matmatisk Institutt, Univrsittt i Oslo 5. mai 2008 I dag skal vi s på n rkk ksmploppgavr, og gjnnomgå løsningn på tavla. All ksmpln r oppgavr

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Dt matmatisk-natuvitnskaplig fakultt Eksamn i MAT-INF 00 Modlling og bgning. Eksamnsdag: Fdag 6. dsmb 0. Tid fo ksamn: 9:00 :00. Oppgavsttt på 8 sid. Vdlgg: Tillatt hjlpmidl: Fomlak.

Detaljer

EKSAMEN Løsningsforslag

EKSAMEN Løsningsforslag EKSAMEN Løningforlag 8. juni Emnkod: ITD5 Dao: 6. mai Emn: Mamaikk Ekamnid:.. Hjlpmidlr: - To A-ark md valgfri innhold på bgg idr. - Formlhf. Faglærr: Chriian F Hid Kalkulaor r ikk illa. Ekamnoppgavn:

Detaljer

FYS2140 Kvantefysikk, Oblig 10. Sindre Rannem Bilden,Gruppe 4

FYS2140 Kvantefysikk, Oblig 10. Sindre Rannem Bilden,Gruppe 4 FYS2140 Kvantfysikk, Oblig 10 Sindr Rannm Bildn,Grupp 4 23. april 2015 Obligr i FYS2140 mrks md navn og gruppnummr! Dtt r nok n oblig som drir sg om hydrognatomt og r n dl av n tidligr ksamnsoppgav. Oppgav

Detaljer

Tillatt utvendig overtrykk/innvendig undertrykk

Tillatt utvendig overtrykk/innvendig undertrykk Tillatt utvndig ovrtrykk/innvndig undrtrykk For t uffrør vil ttningsringns vn til å tål undrtrykk oft vær dinsjonrnd. I t rør so blasts d t jvnt utvndig trykk llr innvndig undrtrykk vil dt oppstå spnningr,

Detaljer

Øvinger uke 42 løsninger

Øvinger uke 42 løsninger Øvingr u løsningr Oppgav Når n potnsr r gomtris finnr u summn og onvrgnsområt irt fra forml. Når ra i r gomtris lønnr t sg å ta utgangspunt i n nærliggn gomtris r og tn lvis rivasjon llr intgrasjon av

Detaljer

Flere utfordringer til kapittel 1

Flere utfordringer til kapittel 1 KAPITTEL 1 ALGERBA Oppgav 1 Rgn ut uttrykkn. a 6 (4 2) c 6 4 6 2 b 5 (10 7) d 5 10 5 7 Oppgav 2 Rgn ut uttrykkn. a 2 (3 4) c (2 3) 4 b 5 (6 7) d (5 6) 7 Oppgav 3 Rgn ut uttrykkn. a 25 (3 + 7) c 25 3 7

Detaljer

Oppgave 1 (25 %) 100 e = 97.53. = 0.9753 R = ln 0.9753. R = 0.025, dvs. spotrenten for 1 år er 2,5 % e e. 100 e = 94.74

Oppgave 1 (25 %) 100 e = 97.53. = 0.9753 R = ln 0.9753. R = 0.025, dvs. spotrenten for 1 år er 2,5 % e e. 100 e = 94.74 Oppgav 1 (5 %) Vi har følgnd: Obligasjon Pålydnd Tid til forfall Kupong Kurs A 1 1 % 97,53 B 1 % 94,74 C 1 3 3 % 1,19 D 1 4 4 % 13,3 a) Vi finnr nullkupongrntn slik: R 1 = 97.53 R 1 = 94.74 =.9753 R =

Detaljer

Oppgaver fra boka: Oppgave 12.1 (utg. 9) Y n 1 x 1n x 2n. og y =

Oppgaver fra boka: Oppgave 12.1 (utg. 9) Y n 1 x 1n x 2n. og y = MOT30 Statistisk mtodr, høstn 20 Løsningr til rgnøving nr. 8 (s. ) Oppgavr fra boka: Oppgav 2. (utg. 9) Modll: Y = µ Y x,x 2 + ε = β 0 + β x + β 2 x 2 + ε, dvs md n obsrvasjonr får vi n ligningr Y = β

Detaljer

Søknad om Grønt Flagg på Østbyen skole

Søknad om Grønt Flagg på Østbyen skole Søknad om på Østbyn skol Østbyn skol startt opp md i 2007, og har sidn da vært n Grønt Flagg-skol som r opptatt av miljø Skoln hatt n dl utfordringr dt sist årt, som har gjort dt vansklig å følg opp intnsjonn

Detaljer

med en mengde korrelasjoner mellom delmengdene. Det er her viktig a fa med

med en mengde korrelasjoner mellom delmengdene. Det er her viktig a fa med Lsningsantydning til kontinuasjonsksamn i 45060 Systmring Tirsdag 23. august 994 Kl. 0900 { 300 3. august 994 Oppgav, 5% S sidn 346 og 349: Dlsystmstruktur En oppdling av systmt i n mngd dlsystmr, sammn

Detaljer

FORELESNINGSNOTATER I INFORMASJONSØKONOMI Geir B. Asheim, våren 2001 (oppdatert 2001.03.27). 3. UGUNSTIG UTVALG

FORELESNINGSNOTATER I INFORMASJONSØKONOMI Geir B. Asheim, våren 2001 (oppdatert 2001.03.27). 3. UGUNSTIG UTVALG OREENINGNOAER I INORMAJONØKONOMI Gir B. Ashim, vårn 2001 (oppdatrt 2001.03.27. 3. UGUNIG UVAG Agntn har privat informasjon om rlvant forhold før kontrakt inngås. Undr symmtrisk informasjon vill kontraktn

Detaljer

Kommentarer til eksamen i MAT 1100, 8/12-04

Kommentarer til eksamen i MAT 1100, 8/12-04 Kommentarer til eksamen i MAT 00, 8/-04 Dette notatet gir en oppsummering av resultatene i MAT 00, høsten 004. Siden strykprosenten (30.7% av dem som leverte besvarelse) var atskillig høyere enn de foregående

Detaljer

Mundell-Fleming modellen ved perfekt kapitalmobilitet 1

Mundell-Fleming modellen ved perfekt kapitalmobilitet 1 Mundll-Flming modlln vd prfkt kapitalmobilitt 1 Stinar Holdn, 4. august 03 Kommntarr r vlkomn stinar.holdn@con.uio.no Mundll-Flming modlln vd prfkt kapitalmobilitt... 1 Kapitalmobilitt og rntparitt...

Detaljer

Optimal pengepolitikk hva er det?

Optimal pengepolitikk hva er det? Faglig-pdagogisk dag 2009, 5 januar 2009 Optimal pngpolitikk hva r dt? Av Pr Halvor Val* * Førstamanunsis vd Institutt for økonomi og rssursforvaltning (IØR), UMB, 1. Norsk pngpolitikk - t lit tilbakblikk

Detaljer

Mer øving til kapittel 1

Mer øving til kapittel 1 Mr øving til kpittl 1 KAPITTEL 1 ALGEBRA Oppgv 1 Rgn ut når =, = 5 og c = 10 + c c c + c + + c + c d + c + c Oppgv Rgn ut når t = 5, s = 10 og v = st c st + sv (t + v)s d v(s + t ) Oppgv Rgn ut når = 4,

Detaljer

110 e = 106.75. = 0.9705 R = ln 0.9705. R = 0.03, dvs. spotrenten for 1 år er 3 % = 0.9324 R = 0.035 dvs. spotrenten for 2 år er 3.

110 e = 106.75. = 0.9705 R = ln 0.9705. R = 0.03, dvs. spotrenten for 1 år er 3 % = 0.9324 R = 0.035 dvs. spotrenten for 2 år er 3. Oppgav 1 (5 %) Vi har følgnd: Pålydnd Gjnværnd løptid (år) Kupong Kurs 1 1 1 16,75 1 1 11,7 1 8 111,1 1 4 6 15,8 a) Vi finnr nullkupongrntn slik: R 11 = 16.75 R. 1 + 11 = 11.7 =.975 R = ln.975 R =. R =.,

Detaljer

Korreksjoner til fasit, 2. utgave

Korreksjoner til fasit, 2. utgave Korreksjoner til fasit,. utgave Kapittel. Oppgave.. a): / Oppgave.. e):.887, 0.58 Oppgave..9: sin00πt). + ) x Oppgave.7.5 c): ln for 0 < x. x Oppgave.8.0: Uttrykket for a + b) 7 skal være a + b) 7 = a

Detaljer

Løsning til seminar 5

Løsning til seminar 5 Løsning til sminar 5 Oppgav i) risnivå og BN -modlln inkludrr tilbudssida i n utvida IS LM/RR-modll, og inkludrr drmd prisffktr. Endringr i prisn kan påvirk BN gjnnom to hovdkanalr. For dt først kan t

Detaljer

ENKELT, TRYGT OG LØNNSOMT!

ENKELT, TRYGT OG LØNNSOMT! Utli av fritidsindom: ENKELT, TRYGT OG LØNNSOMT! NYTT GRAM O R P S L E D FOR E R E: FOR UTLEI ort r på ssongk s ri p d o g Svært gsstdr n ri rv s å p t Rabat ulightr m s g in n j t n God in g rkdsavdlin

Detaljer

Dans Dans Dans. Danseprosjektet i. Midsund kommune. Våren 2007. Dans i skolene Dans i klubbene Dans i fritida Dans i hverdagen

Dans Dans Dans. Danseprosjektet i. Midsund kommune. Våren 2007. Dans i skolene Dans i klubbene Dans i fritida Dans i hverdagen Dans Dans Dans Dansprosjktt i Midsund kommun Vårn 2007 Dans i skoln Dans i klubbn Dans i fritida Dans i hvrdagn Dans for barn Dans for ungdom Dans for voksn Dans dg glad Dans dg i form Jan Risbakkn Jan

Detaljer

Konkurransen starter i august og avsluttes i månedsskiftet mai/juni hvert år.

Konkurransen starter i august og avsluttes i månedsskiftet mai/juni hvert år. Lærrvildning: Aksjon boligbrann Konkurrans for all skolklassr på llotrinnt: Saarbidsgruppa for brannvrn i skoln invitrr d dtt all skolklassr på llotrinnt til å bli d på konkurransn "Aksjon boligbrann".

Detaljer

Oppgave 1 (15%) KANDIDAT NR.:

Oppgave 1 (15%) KANDIDAT NR.: ES DETTE FØRST: D 4 førs oppgavn bsvars vd a du sr kryss i valg alrnaiv og lvrr diss arkn s. 5 inn som svar sammn md din løsning av oppgav 5, som r n radisjonll rgnoppgav. Husk å skriv kandidanr på arkn!

Detaljer

Muntlig eksamensøvelse. På en muntlig eksamen hjelper det ikke å kunne tenke svaret. Det må sies.

Muntlig eksamensøvelse. På en muntlig eksamen hjelper det ikke å kunne tenke svaret. Det må sies. FYS3 9 Uk 39 Oppgvr md løsningsforslg 39. Lplc spørsmål om polr LR og LRC... 39. Lplc rnsformson * sin... 39.3 LP-filr Konsrukson og nlys. s ksir md n dl puls... 5 39.6 Fourirrnsformson v rmp puls... 9

Detaljer

Mer øving til kapittel 1

Mer øving til kapittel 1 Mr øving til kpittl 1 KAPITTEL 1 ALGEBRA Oppgv 1 Rgn ut når =, = 5 og = 10 + + + + + d + + Oppgv Rgn ut når t = 5, s = 10 og v = st st + sv (t + v)s d v(s + t ) Oppgv Rgn ut når = 4, = 5, z = og w =. zw

Detaljer

Løsningsforslag eksamen i TMA4100 Matematikk desember Side 1 av 7

Løsningsforslag eksamen i TMA4100 Matematikk desember Side 1 av 7 Løsningsforslag eksamen i TMA4 Matematikk 2. desember 23. Side av 7 Oppgave Løs initialverdiproblemet y (2/x)y, y() 2. Løsning: y (2/x)y er en førsteordens lineær differensialligning. Vi finner en løsning

Detaljer

KONTINUASJONSEKSAMEN I EMNE TDT4195 BILDETEKNIKK MANDAG 6. AUGUST 2007 KL LØSNINGSFORSLAG - GRAFIKK

KONTINUASJONSEKSAMEN I EMNE TDT4195 BILDETEKNIKK MANDAG 6. AUGUST 2007 KL LØSNINGSFORSLAG - GRAFIKK Sid av 7 NTNU Norgs tknisk-naturvitnskapig univrsitt Fakutt for informasjonstknoogi, matmatikk og ktrotknikk Institutt for datatknikk og informasjonsvitnskap KONTINUASJONSEKSAEN I ENE TDT495 BILDETEKNIKK

Detaljer

PEDAL. Trykksaker. Nr. 4/2011. Organ for NORSK T-FORD KLUBB NORSK T-FORD KLUBB BOKS 91 LILLEAKER, N-0216 OSLO

PEDAL. Trykksaker. Nr. 4/2011. Organ for NORSK T-FORD KLUBB NORSK T-FORD KLUBB BOKS 91 LILLEAKER, N-0216 OSLO PEDAL Nr. 4/2011 Organ for NORSK T-FORD KLUBB Trykksakr A NORSK T-FORD KLUBB BOKS 91 LILLEAKER, N-0216 OSLO FORMANNENS ORD: Årts løpsssong r på hll. Vi har omtalt non vtranbilarrangmntr i Pdal Ford n,

Detaljer

Forelesning uke 36 Laplace v(t)=u(t)*vb. u(t) er en nyttig funksjon. kan brukes til å modulere et batteri med bryter. Signalbyggesett. t=0.

Forelesning uke 36 Laplace v(t)=u(t)*vb. u(t) er en nyttig funksjon. kan brukes til å modulere et batteri med bryter. Signalbyggesett. t=0. Forlning uk 6 aplac 9 ut r n nyttig funkon vt=ut*vb kan bruk til å modulr t battri md brytr. Signalbyggtt t= d t t ut -ut-d d ut -ut-d Ekmpl på andr mulghtr Figur. Mang ulik ignalr kan lag av trinnfunkonn.

Detaljer

KRAVFIL TIL KREDITORFORENINGEN [Spesialrapport]

KRAVFIL TIL KREDITORFORENINGEN [Spesialrapport] KRAVFIL TIL KREDITORFORENINGEN [Spsialrapport] - Sid 1 / 5 IS Doc. Sit Bildr Rapportr Ordlist R124 KRAVFIL TIL KREDITORFORENINGEN [Spsialrapport] Bskrivls sist rvidrt: År: 2008. Månd: 10. Dag: 01. KRAVFIL

Detaljer

KRAVFIL TIL KREDINOR [Spesialrapport]

KRAVFIL TIL KREDINOR [Spesialrapport] KRAVFIL TIL KREDINOR [Spsialrapport] - Sid 1 / 5 IS Doc. Sit Bildr Rapportr Ordlist R104 KRAVFIL TIL KREDINOR [Spsialrapport] Bskrivls sist rvidrt: År: 2009. Månd: 10. Dag: 05. KRAVFIL TIL KREDINOR [Spsialrapport]

Detaljer

Generell info vedr. avfallshåndtering ved skipsanløp til Alta Havn

Generell info vedr. avfallshåndtering ved skipsanløp til Alta Havn Gnrll info vdr. avfallshåndtring vd skipsanløp til Alta Havn Vdlgg 0 Forskrift om lvring og mottak av avfall og lastrstr fra skip trådt i kraft 12.10.03. Formålt r å vrn dt ytr miljø vd å sikr tablring

Detaljer

ISE matavfallskverner

ISE matavfallskverner ISE matavfallskvrnr ... dn nklst vin til t praktisk og hyginisk kjøkkn l t h y h i l n k l h t h y g i n m i l j ø h y g i n m n k l h t i l j ø n k l h y g i n h t h y g m i l j i n ø k m n k i n l j

Detaljer

MAT Vår Oblig 2. Innleveringsfrist: Fredag 23.april kl. 1430

MAT Vår Oblig 2. Innleveringsfrist: Fredag 23.april kl. 1430 MAT 00 Vår 00 Oblig Innleveringsfrist: Fredag 3.april kl. 430 Oppgaven leveres stiftet med forsideark på ekspedisjonskontoret til Matematisk institutt i 7. etg. i Niels Henrik Abels hus innen fristen.

Detaljer

LØSNING AV EKSAMEN I EMNE TKT 4123 MEKANIKK 2

LØSNING AV EKSAMEN I EMNE TKT 4123 MEKANIKK 2 LØSNNG A EKSAMEN EMNE TKT MEKANKK Tirsdag 6. ai 9 Oga F F F Dforasjon a innkragt bjk (tab 5 F F x og x, hor x r utsing E E t ti d tynn søyn og x r utsingt ti dn idtrst søyn. E Ech Dt gir: F x x og E Ec

Detaljer

Vi feirer med 20-års jubileumspakker på flere av våre mest populære modeller

Vi feirer med 20-års jubileumspakker på flere av våre mest populære modeller r d i v r Vi klatr Vi firr md 20-års jubilumspakkr på flr av vår mst populær modllr Hyundai i40 stolt vinnr av EuroCarBody 2011 Fra 113g/km 0,43 l/mil Utdrag av utstyrsnivå i40 Prmium: Hyundai i40 I dn

Detaljer

JT 369 www.whirlpool.com

JT 369 www.whirlpool.com JT 369.hirlpool.com 1 INSTALLASJON FØR TILKOPLING KONTROLLER AT SPENNINGEN på typplatn stmmr md spnningn i strømnttt ditt hjmm. DU MÅ IKKE FJERNE BESKYTTELSESDEKSLENE for mikrobølgovnns luftinntak som

Detaljer

hele egg, verken med reduserte fysiske, sensoriske eller mentale evner, eller mangel

hele egg, verken med reduserte fysiske, sensoriske eller mentale evner, eller mangel VIKTIGE SIKKERHETSANVISNINGER LESES NØYE OG OPPBEVARES FOR FREMTIDIG REFERANSE IKKE VARM OPP ELLER BRUK BRANNFAR- EGG LIGE MATERIALER i llr nær ovnn. IKKE BRUK MIKROBØLGE- Dampn kan forårsak brann llr

Detaljer

Dans i Midsund. Danseprosjektet i. Midsund kommune. Våren 2007. Dans i skolene Dans i klubbene Dans i fritida Dans i hverdagen

Dans i Midsund. Danseprosjektet i. Midsund kommune. Våren 2007. Dans i skolene Dans i klubbene Dans i fritida Dans i hverdagen Dans i Midsund Dansprosjktt i Midsund kommun Vårn 2007 Dans i skoln Dans i klubbn Dans i fritida Dans i hvrdagn Dans for barn Dans for ungdom Dans dg glad Dans dg i form Jan Risbakkn Jan Risbakkn Parkvin

Detaljer

HJEMMEEKSAMEN FYS2160 HØSTEN Kortfattet løsning. Oppgave 1

HJEMMEEKSAMEN FYS2160 HØSTEN Kortfattet løsning. Oppgave 1 HJEMMEEKSAMEN FYS16 HØSTEN Kortfttt løsning Oppgv 1 ) b = P b =P T b = P /Nk = T T c =T (isotrm) Adibtligningn P CP = P, = = C c c b b c = 1 P c c = Nc = N Pc = P 1 b) Forndring i indr nrgi: U = Nk( T

Detaljer

Løsningsforslag til eksamen i MAT 1100 H07

Løsningsforslag til eksamen i MAT 1100 H07 Løsningsforslag til eksamen i MAT H7 DEL. (3 poeng Hva er den partiellderiverte f y når f(x, y, z = xeyz? xze yz e yz xe yz e yz + xze yz e yz + xze yz + xye yz Riktig svar: a xze yz Begrunnelse: Deriver

Detaljer

TMA4100 Matematikk 1, høst 2013

TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 Forelesning 9 www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, høst 2013, Forelesning 9 Derivasjon I dagens forelesning skal vi se på følgende: 1 Tilnærminger til små endringer. 2 Vekstfart.

Detaljer

Generelt format på fil ved innsending av eksamensresultater og emner til Eksamensdatabasen

Generelt format på fil ved innsending av eksamensresultater og emner til Eksamensdatabasen Gnrlt format på fil vd innsnding av ksamnsrsultatr og mnr til Eksamnsdatabasn Til: Lærstdr som skal rapportr ksamnsrsultatr på fil 1 Bakgrunn Gjnnom Stortingsvdtak r samtlig norsk lærstdr pålagt å rapportr

Detaljer

JT 366 www.whirlpool.com

JT 366 www.whirlpool.com JT 366.hirlpool.com NO 1 INSTALLASJON FØR TILKOPLING KONTROLLER AT SPENNINGEN på typplatn stmmr md spnningn i strømnttt ditt hjmm. DU MÅ IKKE FJERNE BESKYTTELSESDEKSLENE for mikrobølgovnns luftinntak som

Detaljer

IR Matematikk 1. Utsatt Eksamen 8. juni 2012 Eksamenstid 4 timer

IR Matematikk 1. Utsatt Eksamen 8. juni 2012 Eksamenstid 4 timer Utsatt Eksamen 8. juni 212 Eksamenstid 4 timer IR1185 Matematikk 1 Bokmål Hvis du blir ferdig med oppgavene under del 1 før kl. 11., så kan og bør du starte på del 2 uten bruk av hjelpemidler. Du kan bare

Detaljer

Eksamensoppgave i MA1101/MA6101 Grunnkurs i analyse I. LØSNINGSFORSLAG

Eksamensoppgave i MA1101/MA6101 Grunnkurs i analyse I. LØSNINGSFORSLAG Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i MA/MA6 Grunnkurs i analyse I. LØSNINGSFORSLAG Faglig kontakt under eksamen: John Erik Fornæss /Kari Hag Tlf: 464944/483988 Eksamensdato: 8. desember 5 Eksamenstid

Detaljer

ARSPLAN. Stavsberg barnehage

ARSPLAN. Stavsberg barnehage ARSPLAN Stavsbrg barnhag 2015 2016 ! a urr H Vi blir 20 år i dtt barnhagårt! Stavsbrg barnhag Vi r n hldagsbarnhag, som bl byggt høstn/vintrn 1995! Barnhagn åpnt 28.12.95. Fra august 2015 r dt 51 barn(andlr)

Detaljer

Tjen penger til klubbkassen.

Tjen penger til klubbkassen. DEL UT TIL LAGLEDEREN Tjn pngr til klubbkassn Slg kakr, llr, kjkssjokolad og knkkbrød! Total fortjnst: 35000 kr Vårn 2015 God og lttsolgt! Vi tjnt 32000,- Ls mr! En nkl måt å tjn 1000-vis av kronr Hvrt

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN, MAT 1001, HØSTEN (x + 1) 2 dx = u 2 du = u 1 = (x + 1) 1 = 1 x + 1. ln x

LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN, MAT 1001, HØSTEN (x + 1) 2 dx = u 2 du = u 1 = (x + 1) 1 = 1 x + 1. ln x LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN, MAT 00, HØSTEN 06 DEL.. Hvilken av funksjonene gir en anti-derivert for f(x) = (x + )? Løsning. Vi setter u = x +, som gir du = dx, (x + ) dx = u du = u = (x + ) = x + a) x+ b)

Detaljer

Løsningsforslag for eksamen i brukerkurs i matematikk A (MA0001)

Løsningsforslag for eksamen i brukerkurs i matematikk A (MA0001) Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 8 Løsningsforslag for eksamen i brukerkurs i matematikk A (MA1) Bokmål Tirsdag 1. desember 11 Tid: 9: 1: (4 timer)

Detaljer

TDT4195 Bildeteknikk

TDT4195 Bildeteknikk D495 Bildtknikk Grafikk Vår 9 Forlsning 6 Jo Skjrmo Jo.skjrmo@idi.ntn.no Dpartmnt of Comptr And Information Scinc Jo Skjrmo D495 Bildtknikk D495 Forrig gang Gomtrisk transformasjonr dl Basistransformasjonr

Detaljer

Løsningsforslag til utvalgte oppgaver i kapittel 10

Løsningsforslag til utvalgte oppgaver i kapittel 10 Løsningsforslag til utvalgte oppgaver i kapittel 0 I kapittel 0 får du trening i å løse ulike typer differensialligninger, og her får du bruk for integrasjonsteknikkene du lærte i forrige kapittel. Men

Detaljer

TMA4240 Statistikk Høst 2013

TMA4240 Statistikk Høst 2013 TMA44 Statistikk Høst Norgs tkisk-aturvitskaplig uivrsitt Istitutt for matmatisk fag Øvig ummr, blokk II Løsigsskiss Oppgav a) Th probability is R.9.5 6x( x) dx = R.9.5 (6x 6x ) dx =[x x ].9.5 =.47. b)

Detaljer

Faktor. Eksamen våren 2005 SØK 1003: Innføring i makroøkonomisk analyse Besvarelse nr 1: -en eksamensavis utgitt av Pareto

Faktor. Eksamen våren 2005 SØK 1003: Innføring i makroøkonomisk analyse Besvarelse nr 1: -en eksamensavis utgitt av Pareto Fakor -n ksamnsavis ugi av Paro ksamn vårn 2005 SØK 1003: Innføring i makroøkonomisk analys Bsvarls nr 1: OBS!! D r n ksamnsbvarls, og ikk n fasi. Bsvarlsn r un ndringr d sudnn har lvr inn. Bsvarlsn har

Detaljer

Christiania Spigerverk AS, Postboks 4397 Nydalen, 0402 Oslo BYGNINGSBESLAG

Christiania Spigerverk AS, Postboks 4397 Nydalen, 0402 Oslo BYGNINGSBESLAG Christiania Spigrvrk AS, Postboks 4397 Nydaln, 0402 Oslo BYGNINGSBESLAG www.spigrvrkt.no www.gunnbofastning.com Bygningsbslag fra Christiania Spigrvrk AS Dimnsjonringsundrlag Bygningsbslag r produsrt av

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen M100 Høsten 1998

Løsningsforslag Eksamen M100 Høsten 1998 Løsningsforslag Eksamen M00 Høsten 998 Oppgave { x y = f(x) = + x + a hvis x ln( + x ) x hvis < x lim f(x) = f( ) = + a = a x lim f(x) = ln( + x ( ) ) ( ) = ln + For at f(x) skal være kont. i x = må lim

Detaljer

VT 265 VT 295. www.whirlpool.com

VT 265 VT 295. www.whirlpool.com VT 265 VT 295.hirlpool.com 1 INSTALLASJON FØR TILKOPLING SJEKK AT SPENNINGEN på typplatn korrspondrr md spnningn dr du bor. DU MÅ IKKE FJERNE BESKYTTELSESDEKSLENE FOR MIK- ROBØLGEOVNENS luftinntak som

Detaljer

Problem 1. Problem 2. Problem 3. Problem 4

Problem 1. Problem 2. Problem 3. Problem 4 Oppsummeringsproblemer som utgangspunkt til ekstraforelesninger i uke 48 i emnet MAT111, høsten 2008 Problem 1 Bruk den formelle definisjonen av grenseverdi til å vise at x 4 1 x 1 x + 1 = 4. Problem 2

Detaljer

ÅRSRAPPORT FOR HOME-START FAMILIEKONTAKTEN TRONDHEIM 2010

ÅRSRAPPORT FOR HOME-START FAMILIEKONTAKTEN TRONDHEIM 2010 ÅRSRAPPORT FOR HOME-START FAMILIEKONTAKTEN TRONDHEIM 2010 Dn først Hom- Start avdlingn i Norg bl startt opp i Trondhim i 1995, og vi har firt 15 års jubilum dtt årt. Avdlingn bl startt som t bydlstiltak,

Detaljer

Løsningsforslag til prøveeksamen i MAT1100, H-14 DEL 1

Løsningsforslag til prøveeksamen i MAT1100, H-14 DEL 1 Løsningsforslag til prøveeksamen i MT, H- DEL. ( poeng Hva er den partiellderiverte f y sin(xy cos(xy y sin(xy x sin(xy cos(xy xy sin(xy cos(xy y sin(xy + xy sin(xy når f(x, y = y cos(xy? Riktig svar:

Detaljer

OPPGAVE 1 LØSNINGSFORSLAG

OPPGAVE 1 LØSNINGSFORSLAG LØSNINGSFORSLAG UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT - Grunnkurs i matematikk I torsdag 5.desember 20 kl. 09:00-4:00 OPPGAVE a Modulus: w = 2 + 3 2 = 2. Argument

Detaljer

Løsningsforslag til Eksamen i MAT111

Løsningsforslag til Eksamen i MAT111 Universitetet i Bergen Matematisk institutt Bergen, 9. desember 25. Bokmål Løsningsforslag til Eksamen i MAT Mandag 9. desember 25, kl. 9-. Dette er kun et løsningsforslag. Oppgave a) Betrakt de to komplekse

Detaljer

AMW 526 www.whirlpool.com

AMW 526 www.whirlpool.com AMW 526.hirlpool.com 1 INSTALLASJON MONTERE APPARATET FØLG DEN VEDLAGTE gn montringsanvisningn når du skal installr apparatt. FØR TILKOPLING KONTROLLER AT SPENNINGEN på typplatn stmmr md spnningn i strømnttt

Detaljer

Grunntall 10 Kapittel 2 Algebra Fordypning

Grunntall 10 Kapittel 2 Algebra Fordypning Grunntll 0 Kpittl Algr Forypning Kvrtstningn Fsit: I t kvrt r ll sin lik lng. Vi innr rlt v kvrtt v å multiplisr n si m sg slv. Dtt r t smm som å opphøy t tll i nr potns. Å opphøy t tll i nr potns klls

Detaljer

IR Matematikk 1. Eksamen 8. desember 2016 Eksamenstid 4 timer

IR Matematikk 1. Eksamen 8. desember 2016 Eksamenstid 4 timer Eksamen 8. desember 16 Eksamenstid 4 timer IR151 Matematikk 1 Bokmål Hvis du blir ferdig med oppgavene under del 1 før kl. 11., så kan og bør du starte på del uten bruk av hjelpemidler. Du kan bare bruke

Detaljer

TMA4100 Matematikk 1, 4. august 2014 Side 1 av 12. x 2 3x +2. x 2

TMA4100 Matematikk 1, 4. august 2014 Side 1 av 12. x 2 3x +2. x 2 TMA4 Matematikk, 4. august 24 Side av 2 Oppgave Den rasjonale funksjonen p er definert som p(x) x2 3x +2 3x 2 5x +2. Finn de tre grenseverdiene lim xæ p(x), lim xæ p(x) og lim xæœ p(x). Løsning: x 2 3x

Detaljer

EKSAMEN Løsningsforslag

EKSAMEN Løsningsforslag EKSAMEN Løsnngsorslag Emnkod: ITD Dato:. dsmbr Emn: Matmatkk Eksamnstd:.. Hjlpmdlr: To A-ark md valgrtt nnhold på bgg sdr. Formlht. Kalkulator r kk tllatt. Faglærr: Chrstan F Hd Eksamnsoppgavn: Oppgavsttt

Detaljer

Tjen penger til klubbkassen.

Tjen penger til klubbkassen. DEL UT TIL LAGLEDEREN Tjn pngr til klubbkassn Slg kakr, llr, kjkssjokolad og knkkbrød! Antall salgspriodr: 3 Total fortjnst: 32000 kr Høstn 2014 God og lttsolgt! Vi tjnt 25000,- Ls mr! En nkl måt å tjn

Detaljer

Høring - regional vannforvaltningsplan med tilhørende tiltaksprogram og tiltakstabell

Høring - regional vannforvaltningsplan med tilhørende tiltaksprogram og tiltakstabell HOVEDKONTORET S list ovr mottakr Drs rf.: Vår rf.: 2014/2096-4 Arkiv nr.: 413.1 Saksbhandlr: Elisabth Voldsund Andrassn Dato: 19.12.2014 Høring - rgional vannforvaltningsplan md tilhørnd tiltaksprogram

Detaljer

Langnes barnehage 2a rsavdelinga. Ma nedsbrev & plan for april 2016.

Langnes barnehage 2a rsavdelinga. Ma nedsbrev & plan for april 2016. Langns barnhag 2a rsavdlinga. Ma ndsbrv & plan for april 206. Barngruppa i måndn som har gått. Vi har hatt n jmpfin månd md my godt vær ndlig har vi bgynt å s t hint av vår, no som har gjort dt mulig for

Detaljer

Oppgavesettet har 10 punkter 1, 2ab, 3ab, 4ab, 5abc som teller likt ved bedømmelsen.

Oppgavesettet har 10 punkter 1, 2ab, 3ab, 4ab, 5abc som teller likt ved bedømmelsen. NTNU Institutt for matematiske fag SIF55 Matematikk 2 4. mai 999 Løsningsforslag Oppgavesettet har punkter, 2ab, 3ab, 4ab, 5abc som teller likt ved bedømmelsen. i alternativ (3, ii alternativ (2. 2 a For

Detaljer

Eksamen i MAT1100 H14: Løsningsforslag

Eksamen i MAT1100 H14: Løsningsforslag Eksamen i MAT H4: Løsningsforslag Oppgave. ( poeng) Dersom f(x, y) x sin(xy ), er f y lik: A) sin(xy ) + xy cos(xy ) B) x cos(xy ) C) x y cos(xy ) D) sin(xy ) + x y cos(xy ) E) cos(xy ) Riktig svar: C):

Detaljer

Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag

Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag Uke 6 12.6.4: Vi finner først lineariseringen i punktet (2, 2). Vi har at Lineariseringen er derfor 2x + y f x (x, y) = 24 (x 2 + xy + y 2 ) 2 2y + x f y (x, y) = 24

Detaljer

BYFE DAFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 5 Innleveringsfrist Fredag 15. april 2016 kl 14 Antall oppgaver: 8

BYFE DAFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 5 Innleveringsfrist Fredag 15. april 2016 kl 14 Antall oppgaver: 8 Innlevering BYFE DAFE Matematikk HIOA Obligatorisk innlevering 5 Innleveringsfrist Fredag 5. april 6 kl Antall oppgaver: 8 Funksjonen ft) er vist i guren over. Funksjonen F x) er denert som for x. F x)

Detaljer

TMA4100 Matematikk1 Høst 2009

TMA4100 Matematikk1 Høst 2009 TMA400 Matematikk Høst 2009 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 2 8926 Vi serieutvikler eksponentialfunksjonen e u om u 0 og får e u + u +

Detaljer

Løsningsforslag til eksamen i MAT 1100, H06

Løsningsforslag til eksamen i MAT 1100, H06 Løsningsforslag til eksamen i MAT, H6 DEL. poeng Hva er den partiellderiverte f z xyz cosxyz x sinyz + xyz cosyz xy cosyz x sinyz + xz cosyz cosyz xyz sinyz når fx, y, z = xz sinyz? Riktig svar b: x sinyz

Detaljer

VT 261 www.whirlpool.com

VT 261 www.whirlpool.com VT 261.hirlpool.com NO 1 INSTALLASJON FØR TILKOPLING SJEKK AT SPENNINGEN på typplatn korrspondrr md spnningn dr du bor. DU MÅ IKKE FJERNE BESKYTTELSESDEKSLENE FOR MIK- ROBØLGEOVNENS luftinntak som r plassrt

Detaljer

Produktspesifikasjon J100 Kartdata, versjon desember 2013. Produktspesifikasjon: J100 Kartdata

Produktspesifikasjon J100 Kartdata, versjon desember 2013. Produktspesifikasjon: J100 Kartdata Produktspsifikasjon: J100 Kartdata Norsk Polarinstitutt Vrsjon dsmbr 2013 Norsk Polarinstitutt Sid 1 1 Innldning, historikk og ndringslogg... 3 1.1 Historikk og status... 3 2 Ovrsikt ovr produktspsifikasjonn...

Detaljer

Tjen penger til klassekassen.

Tjen penger til klassekassen. DEL UT TIL KLASSEREPRESENTANTEN Tjn pngr til klasskassn Slg kakr, llr, kjkssjokolad og knkkbrød! Antall salgspriodr: 4 Total fortjnst: 94000 kr Vårn 2015 God og lttsolgt! Vi tjnt 67500,- Ls mr! En nkl

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN TEP 4120 TERMODYNAMIKK 1 Tirsdag 19. desember 2006 Tid: kl. 09:00-13:00

LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN TEP 4120 TERMODYNAMIKK 1 Tirsdag 19. desember 2006 Tid: kl. 09:00-13:00 Sid a 7 NORGES EKNISK-NAURVIENSKAPELIGE UNIVERSIE (NNU) - RONDHEIM INSIU FOR ENERGI OG PROSESSEKNIKK LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN EP 40 ERMODYNAMIKK irsdag 9. dsmbr 006 id: kl. 09:00 - :00 OPPGAVE (0%) a) rmodynamikkns.

Detaljer

R2 eksamen våren ( )

R2 eksamen våren ( ) R Eksamen V01 R eksamen våren 01. (1.05.01) Løsningsskisser (Versjon 1.05.1) Del 1 - Uten hjelpemidler Oppgave 1 a) f x sin x sin x b) Kjerneregel (u x): g x 6 cosx 6 cosx c) Produktregel: h x e x sinx

Detaljer

Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt.

Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Oppgave Vi denerer matrisene A, B, og C som A = [ ] 3, B = 5 9, C = 3 3. a) Regn ut følgende matrisesummer og matriseprodukter, om mulig. Dersom

Detaljer

Løsningsforslag til eksamen i MA0002, Brukerkurs i matematikk B

Løsningsforslag til eksamen i MA0002, Brukerkurs i matematikk B Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 7 Løsningsforslag til eksamen i MA000, Brukerkurs i matematikk B 9. mai 01 Oppgave 1 a) Et plan i rommet har ligning

Detaljer

Løsningsforslag for Eksamen i MAT 100, H-03

Løsningsforslag for Eksamen i MAT 100, H-03 Løsningsforslag for Eksamen i MAT, H- Del. Integralet cos( ) d er lik: Riktig svar: b) sin( ) + C. Begrunnelse: Vi setter u =, du = d og får: cos( ) d = cos u du = sin u + C = sin( ) + C. Integralet ln(

Detaljer

Den deriverte og derivasjonsregler

Den deriverte og derivasjonsregler Den deriverte og derivasjonsregler Department of Mathematical Sciences, NTNU, Norway September 3, 2014 Tangenten til en funksjon i et punkt (kap. 2.1) Sekant til en funksjon gjennom to punkter 25 20 f(c+h)

Detaljer

Kap. 2 DIMENSJONERINGSPRINSIPPER. Kap. 2 DIMENSJONERINGSPRINSIPPER INNHOLD

Kap. 2 DIMENSJONERINGSPRINSIPPER. Kap. 2 DIMENSJONERINGSPRINSIPPER INNHOLD Kap. DIMNSJONRINGSPRINSIPPR INNHOLD. Innldning. lting vd nakst spnningstilstand. lting vd to akst spnningstilstand. Mohrs sirkl 5. lthpotsr Når bgnnr flting? 6. Inhomogn spnningstilstand MSK0 Maskinkonstruksjon

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT-INF 1100 Modellering og beregninger Eksamensdag: 12. desember 2003 Tid for eksamen: 9:00 12:00 Oppgavesettet er på 7 sider.

Detaljer

Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag

Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag TMA415 Matematikk 2 Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag Uke 7 15.1.3: Siden vektorfeltet er gitt ved F(x, y) = yi + xj må feltlinjene tilfredstille differensiallikningen eller y = x y, ( ) 1 2 y2 = x.

Detaljer

Høgskolen i Oslo og Akershus. = 2xe 2x + x 2 e 2x (2x) = 2xe 2x + 2x 2 e 2x = 2xe 2x (1 + x) e 2x + x 2 ( e 2x) 1 sin x (sin x) + 2x = cos x

Høgskolen i Oslo og Akershus. = 2xe 2x + x 2 e 2x (2x) = 2xe 2x + 2x 2 e 2x = 2xe 2x (1 + x) e 2x + x 2 ( e 2x) 1 sin x (sin x) + 2x = cos x Oppgåve a) i) ii) f(x) x e x f (x) ( x ) e x + x ( e x) xe x + x e x (x) xe x + x e x xe x ( + x) g(x) ln(sin x) + x g (x) sin x (sin x) + x cos x sin x + x tan x + x b) i) ( x + ) dx x x dx+ x dx x +

Detaljer

Deleksamen i MAT111 - Grunnkurs i Matematikk I

Deleksamen i MAT111 - Grunnkurs i Matematikk I Bergen, oktober. 2004. Løsningsforslag til Deleksamen i MAT - Grunnkurs i Matematikk I Mandag. oktober 2004, kl. 09-2. Oppgave Beregn grensen f.eks. ved hjelp av l Hôpitals regel. lim x ln x x Vi ser at

Detaljer

Notater. Anne Sofie Abrahamsen. Analyse av revisjon Feilkoder og endringer i utenrikshandelsstatistikken. 2005/10 Notater 2005

Notater. Anne Sofie Abrahamsen. Analyse av revisjon Feilkoder og endringer i utenrikshandelsstatistikken. 2005/10 Notater 2005 2005/10 Notatr 2005 Ann Sofi Abrahamsn Notatr Analys av rvisjon Filkodr og ndringr i utnrikshandlsstatistikkn Sksjon for utnrikshandl Innhold 1. Innldning... 2 2. Filkodr... 2 3. Analys av filkodr - original

Detaljer

Klart vi skal debattere om skum!!

Klart vi skal debattere om skum!! Klart vi skal dbattr om skum Mn basrt på fakta og ikk fantasi. Danil Apland, daglig ldr/vd Nordic Fir & Rscu Srvic, AS Bo Andrsson og Ptr Brgh har fått boltr sg fritt i Swdish Firfightr Magasin ovr hl

Detaljer

Kortfattet løsningsforslag til ekstra prøveeksamen i MAT1100, høsten 2014

Kortfattet løsningsforslag til ekstra prøveeksamen i MAT1100, høsten 2014 Kortfattet løsningsforslag til ekstra prøveeksamen i MAT, høsten 4 DEL Oppgave. 3 poeng Hvis f, y = ye y, er f y lik: A y 3 e y B y e y C e y ye y D e y y e y E e y ye y Riktig svar: D e y y e y Oppgave.

Detaljer