EKSAMEN Løsningsforslag

Transkript

1 EKSAMEN Løsnngsorslag Emnkod: ITD Dato:. dsmbr Emn: Matmatkk Eksamnstd:.. Hjlpmdlr: To A-ark md valgrtt nnhold på bgg sdr. Formlht. Kalkulator r kk tllatt. Faglærr: Chrstan F Hd Eksamnsoppgavn: Oppgavsttt bstår av sdr nklusv dnn orsdn og t vdlgg på én sd. Kontrollr at oppgavn r kompltt ør du bgnnr å bsvar spørsmåln. Oppgavsttt bstår av 8 oppgavr md alt 8 dloppgavr. Vd snsur vl all dloppgavr tll omtrnt lk m. Dr dt r mulg skal du: vs utrgnngr og hvordan du kommr ram tl svarn bgrunn dn svar, slv om dtt kk r ksplstt sagt hvrt spørsmål Snsurdato:. januar Karaktrn r tlgjnglg or studntr på studntwb snst vrkdagr ttr oppgtt snsurrst. Følg nstruksjonr gtt på: Løsnngsorslag tl ksamn Matmatkk, dsmbr Sd av

2 Løsnngsorslag tl ksamn Matmatkk, dsmbr Sd av Oppgav Gtt ølgnd vktorr dt ukldsk rommt R : v = + j k w = j k a) Undrsøk om vktorn r ortogonal (altså om d står normalt på hvrandr). For å undrsøk dtt kan v s om skalarproduktt (prkkproduktt) r : v w = + ( ) + ( ) ( ) = + = V sr at skalarproduktt r. Av dt kan v slutt at vktorn r ortogonal. b) Fnn v w. v w = k j k j ( ( ) ( ) ( )) ( ( ) ( ) ) j + ( ( ) ) k = + j k Oppgav Gtt d komplks talln z og w. a) Fnn w z. Skrv svart på ormn a + b. V skal altså nn w z V kommr vdr vd å gang tllr og nvnr md dn komplks-konjugrt av nvnrn samt å husk at : w z 7 7 7

3 b) Skrv tallt z på ksponntalorm. Modulus: r z ( ) Argumnt: Når v skal nn argumntt kan dt vær lurt å tnk på at tallt r. kvadrant. V har cos R( z) r som gr: cos Dn sst vnkln nnr v ord cosnus tl har samm vrd som cosnus tl ksplmntvnkln tl (altså vnkln som r smmtrsk md om.-aksn). Av dt aktum at tallt lggr. kvadrant kan v allrd nå astslå at argumntt r. Dtt vl også bl klart drsom v også bnttr snus tl å brgn argumntt: sn Dtt gr Im( z) r sn «Flttr» v argumntt tl områdt or hovdargumntt, altså ølgnd argumntr: år v V sr altså at dt bar r som r løsnng båd på cosnus- og snuslgnngn. Tallt z kan dror skrvs på ksponntalorm som z Oppgav En unksjon r dnrt vd Løsnngsorslag tl ksamn Matmatkk, dsmbr Sd av

4 ( ) a) Fnn unksjonns asmptotr. Vrtkal asmptotr har v dr nvnrn r, altså or =, så sant kk tllrn også blr or dnn -vrdn. Hr sr v at tllrn blr or =. Vdr sr v at lm ( ) ord båd tllr og nvnr da r postv lm ( ) ord tllr da vl vær postv mns nvnr r ngatv Følglg: Gran har n vrtkal asmptot or =. Horsontal asmptotr har v drsom unksjonn går mot n bstmt vrd når går mot. Hr sr v at gradn tl tllrn r størr nn gradn tl nvnrn. Dt nnbærr at unksjonn voksr ovr all grnsr når går mot. Funksjonn har dror ngn horsontal asmptotr. Skråasmptotr kan v lttst nn vd polnomdvsjon: ( ) : ( ) ( ) ( ) Funksjonn kan altså skrvs som ( ) Av dtt sr v at r n skråasmptot or dnn unksjonn. (Dtt ord btdnngn av brøkn unksjonsuttrkkt blr nglsjrbar når blr stor). b) Fnn unksjonns lokal og global kstrmalvrdr, drsom slk nns. V kan ha kstrmalvrdr tr tlllr:. Dr dn drvrt r null.. Dr dn drvrt kk ksstrr.. I dnsjonsmngdns randpunktr. Løsnngsorslag tl ksamn Matmatkk, dsmbr Sd av

5 I dtt tlllt vl kk dn drvrt ksstr or =. Gran har mdlrtd n asmptot or =, og dror vt v at unksjonn går mot hr, og dn har ølglg ngn maks- llr mn-vrd or =. Av dtt kan v også slutt at gran kk har no globalt mnmum llr maksmum. V må vdr undrsøk punktr dr dn drvrt r. Fnnr ørst dn drvrt: ( ) ( ) ( '( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) V må så nn hvor dn drvrt r : ( ) ( ) For at n brøk skal vær lk må tllrn vær lk, dvs. ( ) som gr løsnngn: For å nn ut om dss -vrdn gr maksmums- llr mnmumspunktr, kan v or ksmpl tgn ortgnsskjma or dn drvrt (husk hr at ngatv): ( ) aldr blr o ( ) o ( ) o () o o Løsnngsorslag tl ksamn Matmatkk, dsmbr Sd av

6 Løsnngsorslag tl ksamn Matmatkk, dsmbr Sd 6 av V sr at () r monotont voksnd ntrvalln, og,, mns dn r monotont avtagnd ntrvalln, og,. Dtt nnbærr at gran tl () har lokalt maksmum or =, og lokalt mnmum or =. Funksjonsvrdn dss punktn r () () Konklusjon: () har lokalt maksmum punktt (, ) og lokalt mnmum (, ). Oppgav Følgnd lgnng bskrvr n kurv plant: Vs at punktt (, ) lggr på kurvn, og nn lgnngn tl kurvns tangnt dtt punktt. For å vs at punktt lggr på kurvn må v vs at = og = oppllr lgnngn, altså at vnstr sd blr (sdn hør sd r ): 8 8 Dtt vsr at punktt (, ) lggr på kurvn. For å nn tangntn dtt punktt må v orta n mplstt drvasjon av uttrkkt: ') ( ' ' ' ' ) ( ) ( ) ( ' Dn drvrt gr stgnngstallt. Sttr v nn = og = uttrkkt or dn drvrt, nnr v stgnngstallt tl tangntn dtt punktt:

7 6 '(, ) V kan så bruk ttpunktsormln or nn lgnngn tl tangntn. Ettpunktsormln r slk: a( ) md, ) som kjnt punkt på lnja og a som stgnngstall. Sttr v nn, og a ( =, år v ( ) som når v gangr ut og ordnr, gr Oppgav Fnn ølgnd grnsvrdr drsom d ksstrr. a) lm Hr sr v at v år t -uttrkk. V kan da bruk l Hôptals rgl som sr at v kan nn grnsvrdn vd å drvr tllr og nvnr: lm lm b) lm sn (Hnt: ta logartmn og omorm så tl t uttrkk). Hr år v t uttrkk som r. For at v skal år uttrkkt på n orm så v kan bruk l Hôptals rgl, må v orsøk å ta logartmn tl uttrkkt som også hntt sr. Grnsn v da så all nnr vl vær logartmn tl grnsvrdn. Logartmn tl uttrkkt r: ln( sn ) sn ln Hvs v nå sr på grnsvrdn tl dtt uttrkkt, altså lm (sn ln ) sr v at v år t -uttrkk. V må omorm dtt tl t llr -uttrkk. Dt r kk opplagt hva som r lurst av dss to mulghtn, så utn hntt mått v ha prøvd oss ram. Løsnngsorslag tl ksamn Matmatkk, dsmbr Sd 7 av

8 V omormr tl t -uttrkk (husk at v må drvr nvnrn brøk): lm (sn ln ) lm lm sn cos ln sn l' H lm sn cos sn lm Hr har v gjn t -uttrkk, og v orsøkr md l Hôptal gjn: sn l' H sn cos lm lm cos ( cos ( sn )) sn cos sn som n lm sn cos sn cos sn cos sn cos Hr må v husk at svart v har ått r logartmn tl grnsvrdn. Grnsvrdn blr ølglg lm sn Oppgav 6 Fnn ølgnd ubstmt ntgralr: a) sn d Dnn r «rtt ram» å ntgrr. V kan ntgrr hvrt ldd or sg. Dt kan vær lttr å ntgrr drsom v skrvr som : sn d ln cos C ln cos C 6 b) ( ) d Hr kan v bruk substtusjonn u som gr Løsnngsorslag tl ksamn Matmatkk, dsmbr Sd 8 av

9 du d og ølglg d du Sttr v dtt nn ntgralt år v 6 6 ( ) d u du 7 ( C ) u 6 du 7 u 7 C u 7 C c) ( ) d Hr kan v bruk dlvs ntgrasjon. Hvs v vlgr år v u' og v u og v' Rgln or dlvs ntgrasjon r u ' v d uv Brukr v dtt år v: ( ) d ( ) uv ' d d ( ) Løsnngsorslag tl ksamn Matmatkk, dsmbr Sd av d For å nn dt sst ntgralt må v bruk dlvs ntgrasjon n gang tl. Hvs v vlgr år v u' og v u og v ' Brukr v dtt år v: d d C Sttr v dtt nn uttrkkt ovnor, år v: ( ) d ( ) d ( ) ( C) C C

10 ( ) C Oppgav 7 En unksjon av to varabl r gtt vd z (, ) Funksjonn dnrt or all rll og. a) Fnn og. b) Fnn og klasssr vntull lokal kstrmalvrdr or (, ). Sdn unksjonn r dnrt or hl R har v ngn randpunktr v må undrsøk. Dt r dror tlstrkklg å undrsøk unksjonns krtsk punktr, altså dr d partlldrvrt r null: V nnr ørst hvor dn partlldrvrt md hnsn på r : dvs. altså = Vdr må v nn hvor dn partlldrvrt md hnsn på r : dvs. som gr = Funksjonn har altså t krtsk punkt (, ). V må så nn d partlldrvrt av. ordn or å kunn klasssr dtt punktt: () Løsnngsorslag tl ksamn Matmatkk, dsmbr Sd av

11 ( ) ( ) Dskrmnantn r da ( ) 8 En ngatv dskrmnant vsr at punktt (, ) r t sadlpunkt. c) Funksjonn (, ) dnrr n lat rommt. Vs at punktt P (,, ) lggr på dnn latn. Bruk så lnær approksmasjon omkrng punktt (, ) tl å nn n tlnærmt vrd or unksjonn punktt =. og =.. V vsr at (,, ) lggr på latn vd å stt = og = nn unksjonn og s at v år unksjonsvrdn z = : z (,) Dtt vsr at P lggr på latn. Lnær approksmasjon nnbærr å tlnærm latn md t tangntplan. Dn lnær approksmasjonn omkrng t punkt (a, b) r gnrlt gtt vd ( a h, b k) ( a, b) ( a, b) h ( a, b) k Hr nnr v, or vår unksjon omkrng punktt (, ): (, ) (, ) og Følglg år v (, ) (.,.). (.)...6 Tl sammnlgnng vl nøaktg unksjonsvrd dtt punktt vær (dtt var dt kk spørsmål om oppgavn) (.,.)...6 Løsnngsorslag tl ksamn Matmatkk, dsmbr Sd av