Universitetet i Oslo Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet

Transkript

1 Univrsittt i Oslo Dt matmatisk-naturvitnskaplig fakultt Eksamn i: FYS60 Trmodynamikk og statistisk fysikk Dato: Tirsdag 9 dsmbr 003 Tid for ksamn: Oppgavsttt: 3 sidr Tillatt hjlpmidlr: Elktronisk kalkulator, godkjnt for vidrgånd skol To A4-ark md gn notatr (kan bskrivs på bgg sidr) Rottmann: Matmatisk formlsamling Øgrim og Lian: Fysisk størrlsr og nhtr Kontrollér at oppgavsttt r kompltt før du bgynnr å bsvar spørsmåln Oppgav Systmt vårt r N atomr som r bundt i t krystallgittr i antar at atomn vibrrr uavhngig av hvrandr om likvktsposisjonr i krystalln, og at hvrt atom har n vibrasjonsnrgi gitt vd En = ne, n= 0,,, idr kan hvrt atom vær i n av to intrn tilstandr md nrgir hnholdsvis =0 og = (>0) Systmt r i likvkt md t rsrvoar md tmpratur T a) is at partisjonsfunksjonn for tt atom r gitt vd Z = Z Z = vib int Hva blir partisjonsfunksjonn for hl systmt av N atomr? i skal i rstn av oppgavn anta at <<E, og at tmpraturn r så lav at vibrasjonsbvglsn r frosst ut, dvs Z vib = E b) Finn t uttrykk for antall atomr N som har nrgi =0, og antallt N som har nrgi = Tst rsultatt ditt for grnsn T=0 c) is at midlr nrgi pr partikkl r gitt vd

2 = Hvordan vil du angi systmts indr nrgi U? d) Bstm systmts varmkapasitt C, og vis at grnsvrdin for lav tmpraturr (/>>) r gitt vd = Nk( ) Kommntr også grnsvrdin for C for T=0 ) Gjør rd for at Hlmholtz fri nrgi for systmt r gitt vd F = Nln Z Bstm systmts ntropi S (anta fortsatt Z vib =) Undrsøk grnsvrdin for S når T 0 i lar også T Hva blir grnsn for S da? Kommntr! Oppgav i skal i dnn oppgavn s på n gass som innholdr N partiklr (molkylr) For gassn gjldr følgnd såkalt TdS-ligning (skal ikk bviss): P TdS CdT T d = + T, () dr C r varmkapasittn vd konstant volum Ligningn ovnfor gjldr gnrlt, også for gassr som ikk r idll armkapasittn vd konstant trykk r dfinrt vd dq CP = dt I dnn oppgavn btrakts C og C P som konstant størrlsr P a) is at for n idll gass gjldr CP = Nk b) Gjør rd for at for n rvrsibl adiabatisk prosss gjldr ds=0 Bruk TdSligningn () ovnfor til å utld adiabatligningn for n idll gasss: γ CP T = konstant, γ = c) For n an dr Waal-gass gjldr tilstandsligningn an ( P+ )( Nb) = N

3 Gi n kort kommntar til konstantn a og b Bruk igjn TdS-ligningn () til å finn n adiabatligning for an dr Waal-gassn (bruk T og som variabl) Kontrollr rsultatt for a=b=0 d) Finn ut fra TdS-ligningn () t uttrykk for dn indr nrgin U for n an dr Waal-gass Bruk T og som variabl (og n additiv konstant) Kommntr avhngightn av Kontrollr også dtt rsultatt for a=b=0 Oppgav 3 i har n gass bstånd av N bosonr (N>>) md tmpratur T og kjmisk potnsial µ a) Skriv nd uttrykkt for Bos-Einstin fordlingn n BE Lag n nkl skiss som visr n BE som funksjon av nrgin Hva r btinglsn for at dnn Bos-gassn skal oppfør sg som n klassisk gass? b) i antar at bosonn kan vær i t stt av nrginivår som btgns j, j=,,3, Skriv nd n rlasjon som i prinsippt kan bruks til å bstmm dt kjmisk potnsialt µ d n tilstrkklig lav tmpratur kan vi anta at all bosonn r i dt lavst nivåt is ut fra dtt at vi har µ = for lav tmpraturr N c) d n bstmt tmpratur T g obsrvrr vi at dt r dobblt så mang bosonr i lavst nivå som i nst nivå Brgn µ vd tmpraturn T g, uttrykt vd, og T g Diskutr svart

4 Univrsittt i Oslo Dt matmatisk-naturvitnskaplig fakultt Eksamn i: FYS60 Trmodynamikk og statistisk fysikk Dato: 5 dsmbr 004 Tid for ksamn: Oppgavsttt: 3 sidr Tillatt hjlpmidlr: Elktronisk kalkulator, godkjnt for vidrgånd skol To A4-ark md gn notatr (kan bskrivs på bgg sidr) Rottmann: Matmatisk formlsamling Øgrim og Lian: Fysisk størrlsr og nhtr Kontrollér at oppgavsttt r kompltt før du bgynnr å bsvar spørsmåln Oppgav a) Gjør rd for at n rvrsibl adiabatisk prosss r isntropisk, dvs ntropin r konstant Multiplisittn for n monoatomisk idll gass r gitt vd uttrykkt N 3 N / Ω= f( N ) U Gjør rd for at ntropin for gassn kan skrivs som N 3 N/ S = kln( K T ), dr K r konstant for n gass md konstant antall atomr is adiabatligningn 3/ T = konstant b) Hlmholtz fri nrgi r gnrlt gitt vd F=U-TS is d gnrll rlasjonn F F P= og S = T T for t systm md konstant partikkltall is vidr at vi har S P = T c) Bnytt rsultatt fra a) til å bstmm T S T for n monoatomisk idll gass

5 Finn t uttrykk for trykkt i gassn d) En monoatomisk idll gass gjnnomgår n vilkårlig prosss fra n start-tilstand md volum i og tmpratur T i, til n slutt-tilstand md volum f og tmpratur T f is at følgnd rlasjon gjldr: T = T 3/ 3/ S/ Nk f f i i dr S r ntropiforandringn undr prosssn, Oppgav Enrgittthtn (nrgi pr volum) for n fotongass r ttr Stfan-Boltzmanns lov gitt vd U π ( ) 4 ( ) 4, h = = a h= 3 3 5h c π a) Gjør rd for at vi for n fotongass har rlasjonn (hint: trmodynamisk idntitt) du ds = vd konstant volum T Bruk dnn rlasjonn til å vis at ntropin for fotongassn r gitt vd 4 3 S = ak( ), når vi antar S = 0 for T = 0 3 b) Brgn Hlmholtz fri nrgi F=U-TS for fotongassn is at trykkt i gassn r gitt vd ( ) 4 P= a 3 c) i lar fotongassn gjnnomgå n rvrsibl isotrm kspansjon fra volumt til volumt vd tmpraturn T h Bstm varmmngdn Q h som da må tilførs Oppgav 3 Et systm av N frmionr har tmpraturn T og kjmisk potnsial µ a) Frmi-Dirac fordlingn r gitt vd n FD ( ) = ( )/ µ + Tgn t diagram som visr dnn fordlingn for to ulik tmpraturr T og T, dr T <T Hva mns md n dgnrrt frmi-gass?

6 b) i antar at systmt har n tttht av tilstandr g() gitt vd (skal ikk viss) g( ) = b, dr r systmts volum, og b r n konstant Forklar hva vi mnr md frminrgin F, og bstm F uttrykt vd b, og N c) Finn systmts total nrgi U 0 vd T=0, uttrykt vd N og F d) For lav tmpraturr (<< F ) r dn total nrgin U gitt vd (skal ikk viss) π ( ) U = U0 + N 4 F Bstm systmts varmkapasitt C I t mtall som kobbr vil hvrt atom bidra md tt fritt ldningslktron ( F 5) Sammnlign C for N lktronr md varmkapasittn som kvipartisjonstormt gir for n Einstin-solid md N atomr ) Finn ntropin for systmt vd lav tmpraturr (<< F ) FYS60 HJEMMEEKSAMEN HØSTEN 04 Oppgav En varmkraftmaskin oprrr md n monoatomisk idll gass (N atomr) som gjnnomløpr n rvrsibl syklisk prosss Syklusn har fir dlr: a b r n isobar kspansjon, b c adiabatisk kspansjon, c d isobar komprsjon, d a adiabatisk komprsjon a) Tgn syklusn inn i t P-diagram og t PS-diagram b) Gassn har n Gibbs fri nrgi gitt vd (skal ikk viss) 5/ at G =N ln, P dr a r n konstant is at ntropin r gitt vd 5/ 5/ at S = Nk ln P c) Systmt oprrr mllom to konstant trykk P og P (P <P ), og to konstant ntropir S og S (S <S ) Brgn tilført varm Q inn, og avgitt varm Q ut, bgg uttrykt vd P, P, S, og S (hint: dq=tds) d) Bstm maskinns ffktivitt (Svart avhngr bar av P og P )

7 Oppgav (NB! Dnn oppgavn r ikk rlvant for høstn 005) i skal i dnn oppgavn bnytt massvirkningslovn på formn (NB! Avvikr litt fra lærboka) νi P i GTP (, 0 )/ RT Π i = = P0 KT ( ) a) Forklar størrlsn som inngår Hvilk variabl forutstts holdt konstant? Hvilk andr forutstningr gjldr? b) i skal anvnd massvirkningslovn på raksjonn H + Cl HCl d T=98K og P 0 = bar har vi G(H )=G(Cl )=0, G(HCl)=-953kJmol - Brgn likvktskonstantn K(T), og rlasjonn mllom trykkn for d tr gassn som inngår Kommntr rsultatt! c) i vil nå studr nærmr hvordan størrlsn K(T) avhngr av tmpraturn is at vi har rlasjonn d HT (, P0 ) ln KT ( ) =, dt RT dr H(T,P 0 ) r forandringn i ntalpi undr raksjonn (Hint: bruk rlasjonn G S=- ( ) PN, ) T d) is til slutt at vi får H 0 ln KT ( ) ln KT ( ) = ( ), R T T når vi antar at H(T,P 0 ) kan stts konstant lik H 0 ) Brgn likvktskonstantn K(T) vd T=500K, når H 0 =-846kJmol - Kommntr rsultatt Oppgav 3 En idll gass som bstår av N idntisk partiklr har partisjonsfunksjonn N Z int Z = N! v Q a) is at dt kjmisk potnsialt r gitt vd (ligning 693 i lærboka)

8 Z int µ = ln Nv Q i antar nå at vi har to bholdr md konstant volum og Bholdrn md volum r plassrt i n høyd z ovr bholdrn md volum (i sr bort fra utstrkningn av bholdrn sammnlignt md z) D to bholdrn r forbundt md t tynt rør, som har t nglisjrbart volum Bholdrn innholdr n monoatomisk idll gass (N atomr) md tmpraturn T Atomns mass r m b) Bstm Z int og finn dt kjmisk potnsialt for gassn i volumt, og tilsvarnd for gassn i i antar at dt r N atomr i og N i c) is at antall atomr N i vd likvkt r gitt vd: N = N mgz/ Bstm også antall atomr N i volumt Kommntr grnstilflln mgz/>> og mgz/<< d) Finn dn total nrgin U for hl systmt ) Bstm systmts varmkapasitt (Husk: og r konstant) f) is at varmkapasittn har grnsvrdin 3/Nk båd for mgz/>> og mgz/<< Kommntr! Løsning: Eksamn FYS60 høstn 003 Oppgav a) Partisjonsfunksjonn: ne Zvib = = E n= 0 Z int = N = vib int = = E Z Z Z, Z Z (hl systmt) b) Antall atomr i tilstandn og : N N N = NP( ) = = N når T 0 Z int

9 N N = N = 0 når T 0 c) Midlr nrgi pr partikkl: = P( ) + P( ) = P( ) = Systmts indr nrgi: N U = N = d) Systmts varmkapasitt C : du N k = = dt ( ) ( + ) Grnsvrdin for lav tmpraturr(/>>): Nk( ) 0 når T 0 d T=0 r all atomn i lavst tilstand d n litn tmpraturøkning tilførs dt ikk nok nrgi til å hv atomn til t høyr nivå Drmd kan ikk atomn øk sin indr nrgi, og vi får C =0 ) Hlmholtz fri nrgi for systmt r gitt vd: F = lnz = NlnZ = Nln Z Entropin bstmms av:, N int F S = = NklnZint + N ln Z T T = Nk ln( + ) + Sr at S 0 når T 0, som stmmr md 3 hovdstning idr sr vi at S Nkln for T For høy tmpraturr r bgg nivån og lik sannsynlig, dvs multiplisitt Ω= for hvrt atom, og ntropin for hl systmt blir S=Nkln int Oppgav a) CP = Nk, tori fra lærboka

10 b) Rvrsibl prosss: dq=tds Adiabat: dq=0, som drmd gir ds=0 TdS-ligningn md ds=0 gir for idll gass: dt d + Nk = 0 T som intgrrt gir T Nk = T γ = konstant c) For an dr Waal-gass får vi P Nk ( ) = T Nb og TdS-ligningn gir for ds=0: dt Nk d = T Nb som intgrrt gir følgnd adiabat-ligning for an dr Waal gass: Nk T ( Nb) = konstant, b= 0 gir ligningn for idll gass d) Dn indr nrgin for n an dr Waal gass bstmms av dn trmodynamisk idntittn du=tds-pd, som sammn md TdS-ligningn gir: N an du = CdT + d Pd = CdT + d Nb når trykkt P finns fra an dr Waal-ligningn Når ligningn ovnfor intgrrs finns: an UT (, ) = CT + konstant Dt ngativ bidragt til nrgin som avhngr av a og, skylds tiltrkningn mllom partikln, som r inkludrt i an dr Waal-ligningn Idll gass: a=0 gir U(T)=C T+konstant Oppgav 3 a) Tori fra lærboka b) Dt kjmisk potnsialt r i prinsippt bstmt av partikkltallt i gassn:

11 N = ( j )/ µ j Hvis all N bosonn r samlt i dt lavst nivåt vd n tilstrkklig lav tmpratur må vi ha + µ Dtt gir da rsultatt ( µ )/ ( µ )/, llr ( )/ µ = N c) Btinglsn r = ( µ )/ g ( µ )/ g Dt kjmisk potnsialt µ vd tmpraturn T g bstmms av dnn ligningn, og rsultatt blir: / g / g g ln µ = md btinglsn / g / g >, llr < g ln FYS60 Løsning ksamn høstn 004 Oppgav a) Rvrsibl prosss: TdS=dQ, adiabatisk: dq=0, dvs ds=0 N 3 N/ Entropin: S = kln Ω, U = 3/ N, og S = kln( K T ) Konstant S mdførr T = T = 3/ N 3/ ln( ) konstant, og konstant b) F=U-TS gir df=du-tds-sdt, som md dn trmodynamisk idntittn du=tds-pd+µdn md dn=0 gir df=-pd-sdt, og drmd F F P=, S = T T d å drivr S mhp finns så vidr (Maxwll-rlasjon): S F F P = = = T T T T T T

12 c) S N Nk = ( kln ) =, T P Nk Nk =, og drmd dp = dt, T som har tilstandsligningn for idll gass som n løsning, dvs Nk P= T d) Forandringn i ntropi vd n vilkårlig prosss fra tilstand i til tilstand f r gitt vd: N 3 N / N 3 N/ ( f f ) ( i i ) S = kln K T kln K T Litt omordning av dnn ligningn gir: T = T 3/ 3/ S/ Nk f f i i Oppgav a) Fra dn trmodynamisk idntittn du=tds-pd+µdn har vi md µ=0 for fotonr du=tds vd konstant volum Av dt oppgitt uttrykkt for U/ finnr vi 4 3 du = 4ak TdT Som vidr gir du 4 ds = = 4 ak T dt T Intgrrt gir dnn rlasjonn 4 3 S = ak( ), når vi antar S(0) = 0 3 b) F = U TS = a 4 a = a 3 3 idr finnr vi: F ( ) 4 P= = a T 3 c) Isotrm kspansjon fra til vd tmpraturn T h : ( ) ( ) ( ) U = a ( )( ), 4 h W = = ( )( ), 4 Pd ah 3 Oppgav Qh = U + W = a ( h )( ) 3

13 b) Frminrgin bstmms av rlasjonn (bstmmr gntlig partikkltallt vd T=0, og utnyttr at partikkltallt r uavhngig av tmpraturn): F N = g( ) d = b d, 0 0 3N F = b c) Dn total nrgin vd T=0 bstmms av /3 F 0 F F 3/ 5/ 3 ( ) F F U = g d = b d = b = N d) armkapasittn (for << F ) r gitt vd U π = = Nk T F armkapasittn for n trdimnsjonal Einstin-solid md N atomr r ttr kvipartisjonstormt gitt vd C=3Nk For lktronr (dvs frmionr) i t mtall r vrdin for F omtrnt 5 i har da at F /k r av størrlssordn K, dvs uttrykkt for C funnt ovnfor r ok for all praktisk mulig tmpraturr π = <<, sidn << F C 6 F Konklusjonn r da at d fri ldningslktronn i t mtall bidrar svært lit til mtallts varmkapasitt ) Entropin for frmigassn bstmms av dn trmodynamisk idntittn du=tds- Pd+µdN, som gir ds=du/t vd konstant volum og partikkltall Entropin kan også bstmms av ds = dq/ T = CdT / T i finnr π k π k ds = NdT, som intgrrt gir S = NT, F F når vi antar S(0)=0 Mrk at S også avhngr av og N gjnnom F, slik at vi har funnt t gnrlt uttrykk for ntropin Oppgav P FYS60 Hjmmksamn h04 Løsningr

14 P a b P d c S S S b) G S= gir dt oppgitt rsultat T PN, Løst md hnsyn på T (bhøvs i nst punkt): T P = a /5 S/5kN c) arm tilførs vd prosssn a b, vd dt konstant trykkt P S /5 S P S/5kN Qinn TdS ds a S S = = /5 P 5kN = S/5kN S/5kN ( ) a Sr at Q inn >0 (S >S ), dvs varm inn i systmt d prosssn c d går dt varm ut av systmt Q ut finns av Q inn vd å bytt om indksn og d) Effktivittn: W Q Q P = = = /5 inn ut Qinn Qinn P Oppgav a) Forutstningr: Konstant trykk og tmpratur undr raksjonn (prosssn) All stoffr som inngår kan bhandls som idll gassr P i r partialtrykkn for d nklt gassn H + Cl HCl, b) ν =, ν =, ν =, 3 P P H Cl GTP (, 0)/ RT PHCl = = KT ( )

15 G(T,P 0 )=- 953kJmol - =-906kJmol - RT=48kJmol -, K(T)= Raksjonn går strkt (fullstndig) mot høyr, dvs H og Cl ragrr fullstndig og gir HCl G c) Kan start md å husk rlasjonn S = Dnn gjldr for molkyln T PN, (systmt) før raksjonn (H og Cl ), og også ttr raksjonn (HCl), og vi har for forandringn G i G undr raksjonn og forandringn S i ntropin tilsvarnd d ST (, P0) = GT (, P0) idr har vi (vd konstant tmpratur) dt GT (, P) = HT (, P) T ST (, P) Dtt gir d d d GT (, P0 ) ln KT ( ) = ( GT (, P0)/ RT) = GT (, P0) dt dt RT dt RT = ( T ST (, P0 ) HT (, P0 + T ST (, P0 )) RT HT (, P0) = RT d) Oppgitt svar fås vd rtt frm intgrasjon av ligningn undr c) md H(T,P 0 )= H 0 ) i sttr T =98K og T =500K Fra b) har vi K(T )= Dirkt innstting i løsningn fra d) gir K(T )= Også vd T=500K går raksjonn gansk fullstndig mot høyr, mn likvktskonstantn r ca 0 3 gangr størr nn vd T=98K Oppgav 3 a) Av rlasjonn F=-lnZ og F µ = N T, finns dt oppgitt rsultat mgz/ b) For gassn i r Zint =, mns Z int = for gassn i D kjmisk potnsialn blir da for og : mgz/ µ = ln, µ = ln Nv Q Nv Q c) Btinglsn for likvkt r µ =µ, som sammn md N +N =N gir N = N, N / = N mgz mgz/ + + For mgz/>> r N tilnærmt lik null, mns for mgz/<< finnr vi N /N = /

16 d) Dn total nrgin r gitt vd 3 3 U = N + N + Nmgz 3 mgz = N + N mgz/ ) armkapasittn vd konstant volum ( og r konstant): C U 3 N ( mgz) k = = + mgz/ Nk T /, ( ) mgz ( + ) Grnsr: mgz<< : C 3/Nk Høydforskjlln for og r uvsntlig, tilført varm går md til å varm opp hl gassn mgz>>: C 3/Nk N r tilnærmt lik null, tilført varm går md til å varm opp gassn i (N tilnærmt lik N) For midlr tmpraturr r C >3/Nk Tilført varm går md til å varm opp hl gassn, samt å løft non atomr opp fra til