Universitetet i Oslo Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet

Transkript

1 Universitetet i Oslo Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: FYS60 ermodynamikk og statistisk fysikk Dato: irsdag 9 desember 003 id for eksamen: Oppgavesettet: 3 sider illatte hjelpemidler: Elektronisk kalkulator, godkjent for videregående skole o A4-ark med egne notater (kan beskrives på begge sider) Rottmann: Matematisk formelsamling Øgrim og Lian: Fysiske størrelser og enheter Kontrollér at oppgavesettet er komplett før du begynner å besvare spørsmålene Oppgave Systemet vårt er N atomer som er bundet i et krystallgitter i antar at atomene vibrerer uavhengig av hverandre om likevektsposisjoner i krystallen, og at hvert atom har en vibrasjonsenergi gitt ved En = ne, n= 0,,, idere kan hvert atom være i en av to interne tilstander med energier henholdsvis =0 og = (>0) Systemet er i likevekt med et reservoar med temperatur a) is at partisjonsfunksjonen for ett atom er gitt ved + e Z = Z Z = vib int e Hva blir partisjonsfunksjonen for hele systemet av N atomer? i skal i resten av oppgaven anta at <<E, og at temperaturen er så lav at vibrasjonsbevegelsen er frosset ut, dvs Z vib = E b) Finn et uttrykk for antall atomer N som har energi =0, og antallet N som har energi = est resultatet ditt for grensen =0 c) is at midlere energi pr partikkel er gitt ved

2 = + e Hvordan vil du angi systemets indre energi U? d) Bestem systemets varmekapasitet C, og vis at grenseverdien for lave temperaturer (/>>) er gitt ved C = Nk( ) e Kommenter også grenseverdien for C for =0 e) Gjør rede for at Helmholtz fri energi for systemet er gitt ved F = Nln Z Bestem systemets entropi S (anta fortsatt Z vib =) Undersøk grenseverdien for S når 0 i lar også Hva blir grensen for S da? Kommenter! Oppgave i skal i denne oppgaven se på en gass som inneholder N partikler (molekyler) For gassen gjelder følgende såkalte ds-ligning (skal ikke bevises): P ds Cd d = +, () der C er varmekapasiteten ved konstant volum Ligningen ovenfor gjelder generelt, også for gasser som ikke er ideelle armekapasiteten ved konstant trykk er definert ved dq CP = d I denne oppgaven betraktes C og C P som konstante størrelser P a) is at for en ideell gass gjelder CP C = Nk b) Gjør rede for at for en reversibel adiabatisk prosess gjelder ds=0 Bruk dsligningen () ovenfor til å utlede adiabatligningen for en ideell gasss: γ CP = konstant, γ = C c) For en an der Waal-gass gjelder tilstandsligningen an ( P+ )( Nb) = N

3 Gi en kort kommentar til konstantene a og b Bruk igjen ds-ligningen () til å finne en adiabatligning for an der Waal-gassen (bruk og som variable) Kontroller resultatet for a=b=0 d) Finn ut fra ds-ligningen () et uttrykk for den indre energien U for en an der Waal-gass Bruk og som variable (og en additiv konstant) Kommenter avhengigheten av Kontroller også dette resultatet for a=b=0 Oppgave 3 i har en gass bestående av N bosoner (N>>) med temperatur og kjemisk potensial µ a) Skriv ned uttrykket for Bose-Einstein fordelingen n BE Lag en enkel skisse som viser n BE som funksjon av energien Hva er betingelsen for at denne Bose-gassen skal oppføre seg som en klassisk gass? b) i antar at bosonene kan være i et sett av energinivåer som betegnes j, j=,,3, Skriv ned en relasjon som i prinsippet kan brukes til å bestemme det kjemiske potensialet µ ed en tilstrekkelig lav temperatur kan vi anta at alle bosonene er i det laveste nivået is ut fra dette at vi har µ = for lave temperaturer N c) ed en bestemt temperatur g observerer vi at det er dobbelt så mange bosoner i laveste nivå som i neste nivå Beregn µ ved temperaturen g, uttrykt ved, og g Diskuter svaret

4 Universitetet i Oslo Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: FYS60 ermodynamikk og statistisk fysikk Dato: 5 desember 004 id for eksamen: Oppgavesettet: 3 sider illatte hjelpemidler: Elektronisk kalkulator, godkjent for videregående skole o A4-ark med egne notater (kan beskrives på begge sider) Rottmann: Matematisk formelsamling Øgrim og Lian: Fysiske størrelser og enheter Kontrollér at oppgavesettet er komplett før du begynner å besvare spørsmålene Oppgave a) Gjør rede for at en reversibel adiabatisk prosess er isentropisk, dvs entropien er konstant Multiplisiteten for en monoatomisk ideell gass er gitt ved uttrykket N 3 N / Ω= f( N ) U Gjør rede for at entropien for gassen kan skrives som N 3 N/ S = kln( K ), der K er konstant for en gass med konstant antall atomer is adiabatligningen 3/ = konstant b) Helmholtz fri energi er generelt gitt ved F=U-S is de generelle relasjonene F F P= og S = for et system med konstant partikkeltall is videre at vi har S P = c) Benytt resultatet fra a) til å bestemme S for en monoatomisk ideell gass

5 Finn et uttrykk for trykket i gassen d) En monoatomisk ideell gass gjennomgår en vilkårlig prosess fra en start-tilstand med volum i og temperatur i, til en slutt-tilstand med volum f og temperatur f is at følgende relasjon gjelder: = e 3/ 3/ S/ Nk f f i i der S er entropiforandringen under prosessen, Oppgave Energitettheten (energi pr volum) for en fotongass er etter Stefan-Boltzmanns lov gitt ved U π ( ) 4 ( ) 4, h = = a h= 3 3 5h c π a) Gjør rede for at vi for en fotongass har relasjonen (hint: termodynamiske identitet) du ds = ved konstant volum Bruk denne relasjonen til å vise at entropien for fotongassen er gitt ved 4 3 S = ak( ), når vi antar S = 0 for = 0 3 b) Beregn Helmholtz fri energi F=U-S for fotongassen is at trykket i gassen er gitt ved ( ) 4 P= a 3 c) i lar fotongassen gjennomgå en reversibel isoterm ekspansjon fra volumet til volumet ved temperaturen h Bestem varmemengden Q h som da må tilføres Oppgave 3 Et system av N fermioner har temperaturen og kjemisk potensial µ a) Fermi-Dirac fordelingen er gitt ved n FD ( ) = ( )/ e µ + egn et diagram som viser denne fordelingen for to ulike temperaturer og, der < Hva menes med en degenerert fermi-gass?

6 b) i antar at systemet har en tetthet av tilstander g() gitt ved (skal ikke vises) g( ) = b, der er systemets volum, og b er en konstant Forklar hva vi mener med fermienergien F, og bestem F uttrykt ved b, og N c) Finn systemets totale energi U 0 ved =0, uttrykt ved N og F d) For lave temperaturer (<< F ) er den totale energien U gitt ved (skal ikke vises) π ( ) U = U0 + N 4 F Bestem systemets varmekapasitet C I et metall som kobber vil hvert atom bidra med ett fritt ledningselektron ( F 5e) Sammenlign C for N elektroner med varmekapasiteten som ekvipartisjonsteoremet gir for en Einstein-solid med N atomer e) Finn entropien for systemet ved lave temperaturer (<< F ) Universitetet i Oslo Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: FYS60 ermodynamikk og statistisk fysikk Dato: 5 desember 005 id for eksamen: Oppgavesettet: 3 sider illatte hjelpemidler: Elektronisk kalkulator, godkjent for videregående skole o A4-ark med egne notater (kan beskrives på begge sider) Rottmann: Matematisk formelsamling Øgrim og Lian: Fysiske størrelser og enheter Kontrollér at oppgavesettet er komplett før du begynner å besvare spørsmålene Oppgave i ser på en ideell gass med N partikler og indre energi U= fn a) Skriv ned hovedsetning, og vis at vi for en adiabatisk prosess har γ f + = konstant, der γ = f er adiabatkonstanten

7 i lar den ideelle gassen være arbeidssubstans for en syklisk varmekraftmaskin Den sykliske prosessen som utnyttes i vår maskin er vist på figuren a b er en adiabatisk prosess, b c er en isokor prosess (volum b ), c d er en adiabatisk prosess, og d a er en isokor prosess (volum a =r b, r>) emperaturen i de fire tilstandene a-d er henholdsvis a, b, c og d Alle prosessene er reversible P c b d a b a =r b b) Gjør rede for at effektiviteten for en syklisk varmekraftmaskin generelt er gitt ved Qc e =, Qh der Q c og Q h henholdsvis betyr avgitt og mottatt varme Bestem Q c og Q h uttrykt ved de oppgitte temperaturene c) is at maskinens effektivitet er gitt ved e = r γ Anta r=0, og beregn effektiviteten for f=3 og f=5 Kommenter resultatene Oppgave Et system har tre diskrete energinivåer uten degenerasjon, der energiene j er gitt ved j = jmb, j =,0, m og B er konstanter ( mb > 0 ), og vi antar at systemet har temperaturen a) is at systemets partisjonsfunksjon Z er gitt ved mb Z = + cosh( ) Bestem systemets midlere energi

8 b) is at vi for systemets entropi har mb mb S = klnz sinh( ) Z c) Undersøk grensen for entropien for >> mb, og kommenter resultatet i antar nå at vi har et stort system bestående av N identiske system av typen studert ovenfor, alle med temperaturen Det er ingen translasjonsbevegelser i systemet d) Bestem partisjonsfunksjon Z for det store systemet Finn videre det store systemets kjemiske potensial µ x x x x (i husker: cosh x= ( e + e ), sinh x= ( e e )) Oppgave 3 Et system med N bosoner har temperaturen og kjemisk potensial µ Bose-Einstein fordelingen er gitt ved n BE ( ) = ( )/ e µ a) Forklar hva størrelsen nbe ( ) betyr egn et enkelt diagram som viser denne fordelingen for to ulike temperaturer og ( < ) b) i antar at energien () kan anta diskrete verdier j, j = 0,,,, slik at j < j + Sett opp et uttrykk for det totale antall partikler N i systemet Hvilken størrelse kan vi (i prinsippet) bestemme av dette uttrykket? c) Angi et uttrykk for antall partikler N j i nivået j Hva skjer med N j når 0? Hva er grensen for det kjemiske potensialet når 0? d) Hva er betingelsen for at Bose-Einstein fordelingen skal gå over til en klassisk Boltzmann fordeling? Anta at vi har diskrete energier j også for den klassiske fordelingen is at det kjemiske potensialet nå er Z µ = ln, N der Z er partisjonsfunksjonen for en partikkel Kommenter resultatet FYS60 HJEMMEEKSAMEN HØSEN 04 Oppgave En varmekraftmaskin opererer med en monoatomisk ideell gass (N atomer) som gjennomløper en reversibel syklisk prosess Syklusen har fire deler: a b er en isobar ekspansjon, b c adiabatisk ekspansjon, c d isobar kompresjon, d a adiabatisk kompresjon

9 a) egn syklusen inn i et P-diagram og et PS-diagram b) Gassen har en Gibbs fri energi gitt ved (skal ikke vises) 5/ a G = N ln, P der a er en konstant is at entropien er gitt ved 5/ 5/ a e S = Nk ln P c) Systemet opererer mellom to konstante trykk P og P (P <P ), og to konstante entropier S og S (S <S ) Beregn tilført varme Q inn, og avgitt varme Q ut, begge uttrykt ved P, P, S, og S (hint: dq=ds) d) Bestem maskinens effektivitet (Svaret avhenger bare av P og P ) Oppgave i skal i denne oppgaven benytte massevirkningsloven på formen (NB! Avviker litt fra læreboka) νi P i GP (, 0 )/ R Π i = e = P0 K ( ) a) Forklar størrelsene som inngår Hvilke variable forutsettes holdt konstant? Hvilke andre forutsetninger gjelder? b) i skal anvende massevirkningsloven på reaksjonen H + Cl HCl ed =98K og P 0 = bar har vi G(H )=G(Cl )=0, G(HCl)=-953kJmol - Beregn likevektskonstanten K(), og relasjonen mellom trykkene for de tre gassene som inngår Kommenter resultatet! c) i vil nå studere nærmere hvordan størrelsen K() avhenger av temperaturen is at vi har relasjonen d H (, P0 ) ln K ( ) =, d R der H(,P 0 ) er forandringen i entalpi under reaksjonen (Hint: bruk relasjonen G S=- ( ) PN ), d) is til slutt at vi får

10 H 0 ln K ( ) ln K ( ) = ( ), R når vi antar at H(,P 0 ) kan settes konstant lik H 0 e) Beregn likevektskonstanten K() ved =500K, når H 0 =-846kJmol - Kommenter resultatet Oppgave 3 En ideell gass som består av N identiske partikler har partisjonsfunksjonen N Z int Z = N! v Q a) is at det kjemiske potensialet er gitt ved (ligning 693 i læreboka) Z int µ = ln Nv Q i antar nå at vi har to beholdere med konstante volum og Beholderen med volum er plassert i en høyde z over beholderen med volum (i ser bort fra utstrekningen av beholderne sammenlignet med z) De to beholderne er forbundet med et tynt rør, som har et neglisjerbart volum Beholderne inneholder en monoatomisk ideell gass (N atomer) med temperaturen Atomenes masse er m b) Bestem Z int og finn det kjemiske potensialet for gassen i volumet, og tilsvarende for gassen i i antar at det er N atomer i og N i c) is at antall atomer N i ved likevekt er gitt ved: N = N e mgz/ + Bestem også antall atomer N i volumet Kommenter grensetilfellene mgz/>> og mgz/<< d) Finn den totale energien U for hele systemet e) Bestem systemets varmekapasitet (Husk: og er konstante) f) is at varmekapasiteten har grenseverdien 3/Nk både for mgz/>> og mgz/<< Kommenter! HJEMMEEKSAMEN FYS60 HØSEN 005 Oppgave i skal i denne oppgaven tenke oss at vi har en enatomig ideell gass som er begrenset til et to-dimensjonalt rom ( tynn flat beholder ) Det kan vises at entropien for gassen er gitt ved (skal ikke vises)

11 A π mu S = Nk ln( ) +, N Nh der A er arealet av det to-dimensjonale rommet (erstatter volumet i det tre-dimensjonale tilfellet) a) Bestem temperaturen og trykket for gassen Kommenter resultatene b) Finn gassens kjemiske potensial Diskuter hvordan uttrykket ditt avhenger av massen og tettheten (N/A) Oppgave En enatomig gass med N atomer brukes som medium i en Stirlingmaskin Denne varmemaskinen opererer syklisk med fire prosesser Først en isoterm prosess ved en høy temperatur h, så en isokor prosess 3 ved stort volum, videre en isoterm prosess 3 4 ved lav temperatur l, og til slutt en isokor prosess 4 ved lite volum i antar at alle prosessene er reversible a) egn prosessen inn i et P-diagram is at arbeidet som gassen utfører på omgivelsene i prosessen er W = N h ln Gjør videre rede for at tilført varme blir Q = W b) Finn tilsvarende utført arbeid og tilført varme for de tre andre prosessene erifiser at den indre energien U oppfører seg som en tilstandsvariabel Q c) is at Q 34 = h l, og vis at effektiviteten e for maskinen er gitt ved 3 = +, e ec ln( / ) der e C er virkningsgraden for en Carnotmaskin som virker mellom temperaturene h og l Hvordan kan Stirlingmaskinens effektivitet økes? d) I en virkelig Stirlingmaskin ordner en seg slik at varmen som avgis ved prosessen 3 lagres i et reservoar, og tilføres igjen ved prosessen 4 Beregn også maskinens effektivitet i dette tilfelle Kommenter resultatet e) Gjør om P-diagrammet under a) til et S-diagram (entropi-temperatur) slik at de samme prosessene er inkludert Diagrammet skal være kvalitativt, men formen på linjene bør være noenlunde riktig ( rette eller krumme) I resten av oppgaven vil du ha bruk for uttrykket for entropien for en enatomig ideell gass, dvs ligning (49) i læreboka f) ed å ta utgangspunkt i Helmholtz fri energi F som er en tilstandsvariabel, skal du vise at arbeidet W utført av gassen under en syklus er gitt ved

12 W = Sd, der integralet er rundt hele syklusen g) Beregn arbeidet W av S-diagrammet og uttrykket under f), og sammenlign med resultatet fra a) og b) Oppgave 3 Her skal du gjøre oppgave 56 i læreboka Hint: Du vil få bruk for relasjonene H = Q+ Wother, G Wother, H = G+ S, som gjelder ved konstant trykk og temperatur Pass på fortegnet for disse størrelsene! Q>0: systemet tilføres varme, W other >0: systemet tilføres annet arbeid Løsning: Eksamen FYS60 høsten 003 Oppgave a) Partisjonsfunksjonene: ne Zvib = e = E n= 0 e Z int = + e + e N = vib int = = E Z Z Z, Z Z (hele systemet) e b) Antall atomer i tilstandene og : N N N = NP( ) = = N når 0 Z int + e e N N = N = 0 når 0 + e + e c) Midlere energi pr partikkel: = P( ) + P( ) = P( ) = Systemets indre energi: + e

13 U = N = N + e d) Systemets varmekapasitet C : du N k e C = = d ( ) ( + e ) Grenseverdien for lave temperaturer(/>>): C Nk( ) e 0 når 0 ed =0 er alle atomene i laveste tilstand ed en liten temperaturøkning tilføres det ikke nok energi til å heve atomene til et høyere nivå Dermed kan ikke atomene øke sin indre energi, og vi får C =0 e) Helmholtz fri energi for systemet er gitt ved: F = lnz = NlnZ = Nln Z Entropien bestemmes av:, N int F S = = NklnZint + N ln Z = Nk ln( + e ) + + e Ser at S 0 når 0, som stemmer med 3 hovedsetning idere ser vi at S Nkln for For høye temperaturer er begge nivåene og like sannsynlige, dvs multiplisitet Ω= for hvert atom, og entropien for hele systemet blir S=Nkln int Oppgave a) CP C = Nk, teori fra læreboka b) Reversibel prosess: dq=ds Adiabat: dq=0, som dermed gir ds=0 ds-ligningen med ds=0 gir for ideell gass: d d C + Nk = 0 som integrert gir Nk C = γ = konstant

14 c) For an der Waal-gass får vi P Nk ( ) = Nb og ds-ligningen gir for ds=0: d Nk d = C Nb som integrert gir følgende adiabat-ligning for an der Waal gass: Nk C ( Nb) = konstant, b= 0 gir ligningen for ideell gass d) Den indre energien for en an der Waal gass bestemmes av den termodynamiske identiteten du=ds-pd, som sammen med ds-ligningen gir: N an du = Cd + d Pd = Cd + d Nb når trykket P finnes fra an der Waal-ligningen Når ligningen ovenfor integreres finnes: an U (, ) = C + konstant Det negative bidraget til energien som avhenger av a og, skyldes tiltrekningen mellom partiklene, som er inkludert i an der Waal-ligningen Ideell gass: a=0 gir U()=C +konstant Oppgave 3 a) eori fra læreboka b) Det kjemiske potensialet er i prinsippet bestemt av partikkeltallet i gassen: N = ( j )/ e µ j Hvis alle N bosonene er samlet i det laveste nivået ved en tilstrekkelig lav temperatur må vi ha ( µ )/ ( µ )/ e, eller e + ( µ )/ Dette gir da resultatet

15 µ = N c) Betingelsen er = ( µ )/ g ( µ )/ g e e Det kjemiske potensialet µ ved temperaturen g bestemmes av denne ligningen, og resultatet blir: / g / g g ln e µ = e med betingelsen / g / g e > e < g, eller ln FYS60 Løsning eksamen høsten 004 Oppgave a) Reversibel prosess: ds=dq, adiabatisk: dq=0, dvs ds=0 N 3 N/ Entropien: S = kln Ω, U = 3/ N, og S = kln( K ) Konstant S medfører = = 3/ N 3/ ln( ) konstant, og konstant b) F=U-S gir df=du-ds-sd, som med den termodynamiske identiteten du=ds-pd+µdn med dn=0 gir df=-pd-sd, og dermed F F P=, S = ed å derivere S mhp finnes så videre (Maxwell-relasjon): S F F P = = = c) S N Nk = ( kln ) =, P Nk Nk =, og dermed dp = d, som har tilstandsligningen for ideell gass som en løsning, dvs Nk P=

16 d) Forandringen i entropi ved en vilkårlig prosess fra tilstand i til tilstand f er gitt ved: N 3 N / N 3 N/ ( f f ) ( i i ) S = kln K kln K Litt omordning av denne ligningen gir: = e 3/ 3/ S/ Nk f f i i Oppgave a) Fra den termodynamiske identiteten du=ds-pd+µdn har vi med µ=0 for fotoner du=ds ved konstant volum Av det oppgitte uttrykket for U/ finner vi 4 3 du = 4ak d Som videre gir du 4 ds = = 4 ak d Integrert gir denne relasjonen 4 3 S = ak( ), når vi antar S(0) = 0 3 b) F = U S = a 4 a = a 3 3 idere finner vi: F ( ) 4 P= = a 3 c) Isoterm ekspansjon fra til ved temperaturen h : U = a ( )( ), 4 h ( ) ( ) ( ) W = = ( )( ), 4 Pd ah Qh = U + W = a ( h )( ) 3 Oppgave 3 b) Fermienergien bestemmes av relasjonen (bestemmer egentlig partikkeltallet ved =0, og utnytter at partikkeltallet er uavhengig av temperaturen): F N = g( ) d = b d, 0 0 3N F = b c) Den totale energien ved =0 bestemmes av /3 F

17 0 F F 3/ 5/ 3 ( ) F F U = g d = b d = b = N d) armekapasiteten (for << F ) er gitt ved U π C = = Nk F armekapasiteten for en tredimensjonal Einstein-solid med N atomer er etter ekvipartisjonsteoremet gitt ved C=3Nk For elektroner (dvs fermioner) i et metall er verdien for F omtrent 5e i har da at F /k er av størrelsesorden K, dvs uttrykket for C funnet ovenfor er ok for alle praktisk mulige temperaturer C π = <<, siden << F C 6 F Konklusjonen er da at de frie ledningselektronene i et metall bidrar svært lite til metallets varmekapasitet e) Entropien for fermigassen bestemmes av den termodynamiske identiteten du=ds- Pd+µdN, som gir ds=du/ ved konstant volum og partikkeltall Entropien kan også bestemmes av ds = dq/ = Cd / i finner π k π k ds = Nd, som integrert gir S = N, F F når vi antar S(0)=0 Merk at S også avhenger av og N gjennom F, slik at vi har funnet et generelt uttrykk for entropien FYS60 Kortfattet løsning eksamen høsten 005 Oppgave a) N du = dq Pd, adiabat dq= 0, dvs du = fnkd = Pd = d Integrert: f = γ = konstant W Qh Qc Qc b) Effektiviteten: e= = = Q Q Q h h h c) ilført varme: Qh = fnk( c b), avgitt varme: Qc = fnk( d a)

18 Qc d a e = = Q h c b Adiabater: γ γ γ γ a( b) b b, d( b) c b, r = r = som gir d a e= = γ γ r ( d a) r f=3 gir e=078, f=5 gir e=060 i ser at en gass med få frihetsgrader gir høyest effektivitet For en gitt varmemengde Qh = fnk( c b) blir temperaturforskjellen mindre jo større verdien er for f En mindre temperaturforskjell gjør at adiabatene kommer nærmere hverandre (se figuren), og arbeidet W = Pd blir mindre Litt mer intuitivt har vi at med stor verdi for f går mye av den tilførte varme med til indre bevegelse for gasspartiklene (rotasjon, etc) Dette bidrar ikke til å heve trykket i gassen, og mindre arbeid utføres Oppgave a) Z e e mb mb/ mb/ = + + = + cosh( / ) mb = lnz = sinh( mb/ ), β = / β Z Alternativt: mb/ mb/ mb = mbe mbe sinh( mb/ ) Z + = Z F b) F = ln Z, F = S, S =, Entropien: mb S = kln(+ cosh( mb/ )) sinh( mb/ ) Z F Alternativt: S = = ( ln Z), etc c) For >> mb e ± mb ± mb/ har vi /, og vi har mb S = kln3 k( ) kln3 for >> mb 3 Sammenligner vi med S=klnΩ, ser vi at multiplisiteten er 3, dvs for høye temperaturer blir alle tre nivåene like sannsynlige

19 N d) Partisjonsfunksjonen Z = Z NB! Ingen faktor /N! da de enkelte systemene sitter i ro på hver sin plass (for eksempel N paramagneter) Kjemisk potensial: µ = G = ( F + P) = F, ( P= 0) N N N = lnz = ln Z N F Alternativt: µ = ( ) = lnz = ln Z N N Oppgave 3 a) Se læreboka ( ) Av dette uttrykket kan vi (i prinsippet) bestemme det kjemiske potensialet µ() uttrykt ved og N b) N = nbe j = ( j )/ j 0 j 0e µ = = ( ) > for alle j For 0 vil da N j 0 for j>0, siden 0 < < < c) N j = nbe j = ( j )/ e µ i har j µ idere må N 0 N og µ 0 (µ< 0 ) d) Klassisk Boltzmann fordeling : n B ( ) = ( )/ hvis e µ ( )/ e µ >> µ / j / µ / N = = e e e Z ( j µ )/ = j= 0e j= 0, som gir følgende uttrykk for det kjemiske potensialet: Z µ = ln N Dette er det samme uttrykket som vi har fra før (ligning (693) i læreboka) for en klassisk ideell gass Det viktige er at vi med utgangspunkt i kvantestatistikken får et riktig resultat for µ uten de litt uoversiktlige diskusjonene ang identiske partikler i kap6 (faktoren /N!)

20 FYS60 Hjemmeeksamen h04 Løsninger Oppgave P P a b P d c S S S b) G S= gir det oppgitte resultat PN, Løst med hensyn på (behøves i neste punkt): P = a /5 e e S/5kN c) arme tilføres ved prosessen a b, ved det konstante trykket P S /5 S P S/5kN Qinn ds e ds S e a S = = /5 5 = P kn S/5kN S/5kN ( e e ) e a Ser at Q inn >0 (S >S ), dvs varme inn i systemet ed prosessen c d går det varme ut av systemet Q ut finnes av Q inn ved å bytte om indeksene og d) Effektiviteten: W Q Q P e= = = /5 inn ut Qinn Qinn P Oppgave

21 a) Forutsetninger: Konstant trykk og temperatur under reaksjonen (prosessen) Alle stoffer som inngår kan behandles som ideelle gasser P i er partialtrykkene for de enkelte gassene H + Cl HCl, b) ν =, ν =, ν =, 3 P P = e = K ( ) H Cl GP (, 0)/ R PHCl G(,P 0 )=- 953kJmol - =-906kJmol - R=48kJmol -, K()= Reaksjonen går sterkt (fullstendig) mot høyre, dvs H og Cl reagerer fullstendig og gir HCl G c) Kan starte med å huske relasjonen S = Denne gjelder for molekylene PN, (systemet) før reaksjonen (H og Cl ), og også etter reaksjonen (HCl), og vi har for forandringen G i G under reaksjonen og forandringen S i entropien tilsvarende d S (, P0) = G (, P0) idere har vi (ved konstant temperatur) d G (, P) = H (, P) S (, P) Dette gir d d d G (, P0 ) ln K ( ) = ( G (, P0)/ R) = G (, P0) d d R d R = ( S (, P0 ) H (, P0 + S (, P0 )) R H (, P0) = R d) Oppgitt svar fås ved rett frem integrasjon av ligningen under c) med H(,P 0 )= H 0 e) i setter =98K og =500K Fra b) har vi K( )= Direkte innsetting i løsningen fra d) gir K( )= Også ved =500K går reaksjonen ganske fullstendig mot høyre, men likevektskonstanten er ca 0 3 ganger større enn ved =98K Oppgave 3 a) Av relasjonene F=-lnZ og F µ = N, finnes det oppgitte resultat mgz/ b) For gassen i er Zint = e, mens Z int = for gassen i De kjemiske potensialene blir da for og :

22 mgz/ e µ = ln, µ = ln Nv Q Nv Q c) Betingelsen for likevekt er µ =µ, som sammen med N +N =N gir N = N, N / = N mgz mgz/ + e + e For mgz/>> er N tilnærmet lik null, mens for mgz/<< finner vi N /N = / d) Den totale energien er gitt ved 3 3 U = N + N + Nmgz 3 mgz = N + N mgz/ + e e) armekapasiteten ved konstant volum ( og er konstante): C U 3 N ( mgz) k e = = + mgz/ Nk /, ( ) mgz ( + e ) Grenser: mgz<< : C 3/Nk Høydeforskjellen for og er uvesentlig, tilført varme går med til å varme opp hele gassen mgz>>: C 3/Nk N er tilnærmet lik null, tilført varme går med til å varme opp gassen i (N tilnærmet lik N) For midlere temperaturer er C >3/Nk ilført varme går med til å varme opp hele gassen, samt å løfte noen atomer opp fra til HJEMMEEKSAMEN H05 KORFAE LØSNING Oppgave a) ed å benytte de kjente relasjonene S S = og P= U A N, A U, N finnes U N = eller U = N og P = Nk A U=N stemmer med resultatet fra ekvipartisjonsteoremet med f= b) Kjemisk potensial: S A πm πm µ = = ln( ) = ln ρ ln( ) N N h h U, A

23 i ser at µ øker med tettheten ρ=n/a, og videre at µ avtar med økende masse m, som i det tredimensjonale tilfellet Oppgave a) Arbeidet som gassen utfører på omgivelsene i prosessen er W = Pd = N h ln b) Utført arbeid og tilført varme ved de andre prosessene er som følger: W = Pd = N ln( ), W = W = 0, 4 34 l Q = W, Q3 = U3 = Nk( h l), 3 Q34 = W34, Q4 = U4 = Nk( h l) idere ser vi at U = U + U3+ U34 + U4 = 0, dvs U oppfører seg som en tilstandsvariabel W c) Effektiviteten er gitt ved e =, Q W = W + W + W + W = Nk inn ( h l)ln, 3 Q = Q + Q = N + Nk inn 4 hln ( h l) il slutt: 3 h l = +, ec = e e C ln h For å få høy effektivitet må vi ha høy kompresjon, dvs stor verdi for d) I dette tilfellet opererer maskinen som en Carnot-maskin mellom temperaturene h og l, og effektiviteten er gitt ved e W Q h l = = = h e C

24 e) S-diagram: For prosessene - og 3-4 er temperaturen konstant, dvs rette linjer parallelle med S-aksen For prosessene -3 og 4- er volumet konstant, mens entropien avhenger av ( se ligning 49) S = 3 4 = l h f) Av definisjonen av F samt den termodynamiske identiteten følger df = Pd Sd, og siden F er en tilstandsvariabel følger at i i i df = 0 = Pd Sd = W Sd, som gir W = i Sd g) Når vi skal regne ut integralet i Sd merker vi oss at d=0 for prosessene - og 3-4, dvs intet bidrag For prosessene -3 og 4- er det konstant volum, og i har da 3 i Sd = S (, ) d + S (, ) d 4 l [ ] = S (, ) S (, ) d h Innsatt uttrykket for S (ligning 49) finner vi så til slutt i W = Sd = Nk ( h l)ln, som er det samme som vi fant i a) og b) Oppgave 3 a) Her skal vi se på reaksjonen

25 CH 6 O6 + 6O 6CO + 6 HO, som foregår ved konstant trykk og temperatur Forandringen H i entalpien (H=U+P) når ett mol C 6 H O 6 reagerer finner vi i tabellen bak i læreboka etter relasjonen H = 6 HCO ( ) + 6 H( HO) 6 HO ( ) HCH ( O ) = 803 kjmol 6 6 ilsvarende for Gibbs-funksjonen G=U-S+P G=-880kJmol - b) Av relasjonen G Wother ser vi da at vi kan maksimalt få ut 880kJ som annet nyttig arbeid (dvs ikke Pd-arbeid) c) ed ideell operasjon (reversible prosesser) gjelder Q= S ved konstant temperatur Av tabellen bak i læreboka finnes entropiforandringen når ett mol C 6 H O 6 -molekyler omdannes til å være S=6JK - mol - ed =98K svarer dette til at en varme Q= S=78kJmol - tilføres utenfra (kroppen vår fungerer som varmereservoar med konstant temperatur 37C) armemengden som tilføres kan også bestemmes av relasjonen Q= S= H- G=77kJmol -, som bortsett fra en liten numerisk unøyaktighet stemmer med verdien bestemt direkte fra entropiforandringen At (litt) varme må tas fra omgivelsene (kroppen) er kanskje et uventet resultat Det er en følge av hovedsetning som krever entropiøkning som følger av at 7 molekyler under reaksjonen splittes opp i mindre molekyler Entropiøkning betyr at det må tilføres varme e) ed ikke-idell operasjon (irreversible prosesser) har vi som for ideell operasjon S= H- G, dvs entropiforandringen er den samme i begge tilfelle Av S> Q følger det da at mindre varme må tilføres Relasjonen G< W other sier at vi får ut mindre nyttig muskelarbeid enn det maksimale på 880kJ som vi fant under b) Det kan for øvrig bemerkes at fotosyntesen i de grønne plantene er den omvendte reaksjonen i forhold til den vi har studert i denne oppgaven