Løysingsframlegg TFY 4104 Fysikk Kontinuasjonseksamen august 2010

Transkript

1 NTNU Fakultet for Naturvitskap og Teknologi Institutt for Fysikk Løysingsframlegg TFY 404 Fysikk Kontinuasjonseksamen august 200 Faglærar: Professor Jens O Andersen Institutt for Fysikk, NTNU Telefon: Oppgåve Onsdag 8 august 200 kl a) Vi deler inn skiva i konsentriske sirklar med breidde dr, omkrets 2πr og areal da = 2πrdr Massetettheiten til skiva er ρ = m/πr 2 Massen til sirkelen er difor dm = ρda = 2mrdr/R 2 Avstanden mellom sirkelen og aksen er r og bidraget til tregheitsmomentet di = r 2 dm = 2mr 3 dr/r 2 Integrasjon gjev då I = di Det vil seie = 2m R 2 R 0 = 2 mr2 α = 2 r 3 dr b) Det verkar ei friksjonskraft F og ei normalkraft N i kontaktpunktet I tillegg verkar tyngdekrafta mg nedover Newtons andre lov normalt på skråplanet gjev mg cos β N = 0

2 eller N = mg cos β Det er berre tyngdekrafta som har eit kraftmoment τ om kontaktpunktet Vi har da τ = mgr sin β Dreiemomentet I kontakt om kontaktpunktet er gitt ved parallellakseteoremet og vi får I kontakt = I kule + mr 2 = 7 5 mr2 Dette gjev mgr sin β = 7 5 mr2 θ, der θ er vinkelakselerasjonen til kula Rein rulling gjev a = θr og vi får difor a = 5 7 g sin β Newtons andre lov parallelt med skråplanet gjev eller mg sin β F = ma, F = 2 mg sin β 7 F N mg ß Figure : Kule som rullar ned eit skråplan c) Rørsla til kula er rotasjon rundt massesenteret pluss translasjon av massesenteret Den kinetiske energien er difor E k = 2 mv2 massesenter + 2 I kuleω 2 = 7 0 mv2 massesenter, 2

3 der vi har brukt at v massesenter = ωr for rein rulling Den potensielle energien var mgh Bevaring av energien gjev då Dette gjev mgh = 7 0 mv2 massesenter v massesenter = 0 7 gh Oppgåve 2 a) Arbeidet på gassen er dw = PdV Arbeidet for delprosessen 2 er difor V2 W 2 = P dv, V der V er volumet i tilstand og V 2 er volumet i tilstand 2 For ein adibat har vi PV γ = K Dette gjev W 2 V2 = K V γ dv V K [ = V γ 2 V γ ] γ γ [ (V2 ) KV γ = ] γ V Vi har i tillegg K = PV γ = RTV γ der vi har brukt ideell gasslov PV = RT Dette gjev W 2 = RT [ (V2 ) γ ] γ Arbeidet for delprosessen 3 4 reknast ut heilt analogt og ein får W 34 = RT [ (V4 ) γ 3 ] γ Alternativt kan ein bruke at W = C V T for ein adiabat Dette gjev V V 3 W 2 = 3 2 R( T ) W 34 = 3 2 R( T 3 ) 3

4 Ved å bruke adiabatlikninga og γ = C P /C V uttrykka er like = 5/3 kan ein vise at desse For dei andre delprossessane er arbeidet lik null fordi volumet er konstant, altså er W 23 = 0, W 4 = 0 b) For ein adiabat er varme tilført per definisjon lik null Altså har vi For ein isokor har vi Q 2 = 0, Q 34 = 0 dq = C V dt, der dq er tilførd varme og dt er endringa i temperaturen Dette gjev Tilsvarande får vi c) Vi har Q 23 = Q 4 = T3 C V dt = 3 2 R(T 3 ) T C V dt = 3 2 R(T ) Sidan dq = 0 for adiabatane får ein ds = dq rev T S 2 = 0, S 34 = 0 For isokorane får vi S 23 = T3 C V dt T = 3 2 R ln T 3 4

5 og S 4 = T C V dt T = 3 2 R ln T Summen av desse er S gass = 3 2 R ln T T 3 Ved å bruke ideell gasslov kan adiabatlikninga skrivast som TV γ = K Dette gjev Ein får da T = T 3 = ( ) γ V2, V ( ) γ V4 V 3 S gass = 3 2 R(γ ) ln V 2V 4 V V 3 = 0, der vi har brukt V = V 4 og V 2 = V 3 Entropien S er ein tilstandsfunksjon og etter ein syklus er tilstanden til gassen den same Ergo er entropien den same og S gass = 0 er ein konsekvens av dette Oppgåve 3 a) R 2 og R 3 er kopla parallelt, slik at den effektive motstanden R eff er gjeven ved R eff = 2 R R 3, = 4 R Dette gjev R eff = 4 R Denne er kopla i serie med motstanden R = 3 4 R Difor blir den totale effektive motstanden for kretsen R tot = R eff + R = R 5

6 Straumen I blir da I = V R Spenningsfallet over R er difor V = I R Spenningsfallet over R 2 og R 3 er difor = 3 4 V Sidan R 2 = R 3 får vi I 2 = I 3 : V 2 = V 3 = 4 V I 2 = I 3 = V 2 R b) Spenninga over motstanden er V = IR, der I = dq/dt Spenninga over kondensatoren er V = Q/C Summen av spenningane i kretsen er lik null Altså er Løysinga til differensiallikninga er dq dt R + Q C = 0 Q(t) = Ke t/rc, der K er ein konstant Sidan Q(t = 0) = K, får ein Q(t) = Q 0 e t/rc c) Energien som er lagra i kondensatoren blir omgjort til varme i motstanden Oppgåve 4 a) Lorentzkrafta er F = q v B 6

7 Krafta er i dette tilfellet F = qvb Sidan akselerasjonen for sirkelbane med konstant banefart er a = v 2 /R gjev Newtons andre lov Dette gjev qvb = mv2 R R = mv qb b) k er Coulombs konstant, q er den elektriske ladninga, r er avstanden frå ladninga til feltpunktet e r er ein einingsvektor i radiell retning c) Det elektriske feltet er E(r) = kq r 2 e r Vi kan velje ei kuleflate med radius r som Gaussflate Då er normalvektoren til flata lik e r Gauss lov gjev Φ = E nds = kq r 2dS = 4πkq, der vi har brukt at arealet av kula er A = 4πr 2 d) Ein isoterm prosess er ein prosess der temperaturen er konstant e) Dersom vi tilfører ei varmekraftmaskin varmemengda Q og maskina gjer eit arbeid W, er effektiviteten e = W Q 7