Keplers lover. Statikk og likevekt

Transkript

1 Keplers lover Statikk og likevekt FYS-MEK

2 Ekvivalensprinsippet gravitasjonskraft: gravitasjonell masse m m F G G r m G 1 F g G FG R Gm J J Newtons andre lov: inertialmasse m a F ma F a ekvivalensprinsipp: m a m G a = g FYS-MEK

3 Ekvivalensprinsippet FYS-MEK

4 Potensiell energi til tyngdekraften en masse m beveger seg i tyngdefeltet til massen M fra punkt A til B W = A B F dr konservativ kraft: arbeid uavhengig av veien bare den radiale komponenten bidrar: W = r B r A G mm r dr = GmM r B dr r r A = GmM 1 r A 1 r B = U r A U(r B ) potensial: U r = G mm r vi kan velge nullpunktet: U( r ) 0 F = U = G mm r r r = G mm r u r FYS-MEK

5 Eksempel: De la terre à la lune Jules Verne, 1865 Hvor stor må hastigheten v u til kanonkulen (masse m K ) være for å forlate jorden (=ikke falle tilbake)? Vi ser bort fra luftmotstand, jordens rotasjon, og gravitasjonskraft fra månen til prosjektilet. 0 U K U Gravitasjon er en konservativ kraft: K 1 Kvu m G mkm R J J 0 0 masse til jorden: radius til jorden: m J R J gravitasjonskonstant: kg m G N m kg unnslipningshastighet v u GmJ 4 R J m/s uavhengig av m K FYS-MEK

6 access number: Du skyter et prosjektil fra en planet uten atmosfære som roterer med vinkelhastighet Ω om sin akse. Er unnslipningshastigheten avhengig av lanseringsvinkelen? 1. Ja. Nei 3. vet ikke Gm v u R hvis planeten roterer starter raketten med initialhastighet v 0 = ωr i tangensial retning FYS-MEK

7 Påvirkning av jordens rotasjon ω vinkelhastighet: jordens radius: 5 s T R m R et punkt på ekvator har en hastighet i tangensial retning: v T R 465 m/s hastighet i Cape Canaveral (=8.5 N): v T R cos 409 m/s gratis hastighet hvis raketten skytes mot øst FYS-MEK

8 Gravitasjon F = G m Sm P r u r sentralkraft vi har beregnet banen numerisk forelesning 6. feb. (komet.m) initialbetingelser: r 0 = 4i v 0 = 0.5j 0.5j 0.6j 1.0j små initialhastighet lukket elliptisk bane stor initialhastighet objekt fjerner seg mot uendelig vi kan finne initialbetingelser for sirkelbane FYS-MEK

9 access number: En planet (P) beveger seg i en ellipsebane om solen (S). Mens planeten beveger seg fra Aphelion til Perihelion gjør solens gravitasjonskraft: 1. Et positivt arbeid på planeten.. Et negativt arbeid på planeten. 3. Null arbeid på planeten. energibevaring: K A U A K P U P U GmSm r) r P ( A P U U K A K P W A P = K P K A > 0 gravitasjon gjør positivt arbeid, farten øker fra aphelion til perihelion FYS-MEK

10 Keplers lover for planetenes bevegelser (1609) 1. Planetene beveger seg i ellipsebaner; solen er i et av fokuspunktene.. En linje mellom solen og planeten tegner like arealer over like tidsintervaller t t 3. T a 3 hvor T er periodetiden og a er største halvakse b a bevis for 1. og 3. lov krever mye matematikk... vi ser nærmere på. lov FYS-MEK

11 . En linje mellom solen og planeten tegner like arealer over like tidsintervaller v v rd en linje fra solen til planeten beveger seg en vinkel d i et tidsintervall dt areal av trekant: da 1 r d d r da sektorhastighet: da dt 1 r d dt Keplers andre lov: da dt konst. hastighet er tangensial v = v sin φ = r dθ dt da dt = 1 rv sin φ = 1 r v = 1 m Keplers andre lov bevaring av spinn r mv = 1 m L spinn er bevart fordi: τ = dl dt = r F = 0 FYS-MEK

12 Statikk og likevekt vi anvender Newtons lover og spinnsatsen for legeme i likevekt legemer som ikke beveger seg massesentersats: F i,ext = ma = m d R dt = dp dt A akselerasjon til massesenteret P bevegelsesmengde til massesenteret spinnsats om massesenteret: τ cm = r i,cm F i,ext = d dt L cm τ cm kraftmoment fra ytre krefter om massesenteret L cm spinn om massesenteret likevekt: P = 0 og L cm = 0 nødvendig betingelse: F i,ext = 0 og τ cm = 0 FYS-MEK

13 vi ser på et system hvor F i,ext = 0 kraftmoment om vilkårlig punkt O: τ O = r i F i,ext = R + r cm,i F i,ext = R F i,ext + r cm,i F i,ext = r cm,i F i,ext = τ cm for statiske problemer er: τ cm = 0 τ O = 0 for alle punkter O vi kan velge et hensiktsmessig punkt O FYS-MEK

14 access number: En stav med lengde L og masse m henger fra taket i en snor festet i sentrum av staven. En kule med masse M henger fra den venstre siden av staven. Hvor må vi henge en annen kule med masse M for at staven skal forbli horisontal? A. x = 1 L B. x = 3 L C. x = 3 4 L D. x = 4 5 L x =? 1 L 1 L m M M FYS-MEK

15 F y = N Mg Mg mg = 0 y x 1 L 1 L m N = (3M + m)g x M M kraftmoment om midtpunkt av staven: τ m = 1 LMg x 1 L Mg = 0 1 L + L = x kraftmoment om venstre enden: τ 0 = 1 L 3M + m g 1 Lmg Mgx = 0 3 L x = 0 x = 3 4 L x = 3 4 L massen til staven spiller ingen rolle. FYS-MEK

16 Eksempel Et skilt med masse m henger i enden av en masseløs stav med lengde L. Staven er festet med et hengsel i punktet O. I den andre enden er staven festet med en kabel som har en vinkel med horisontalen. Hva er snordraget i kabelen? Hva er kraft på hengselet? O F T G x retning: F x T cos 0 y retning: T sin mg 0 F y kraftmoment om O: O LT sin Lmg 0 T mg sin snordraget blir stor for små vinkel F y mg sin mg sin F y 0 kraft i hengselet er horisontal: F x T cos mg tan FYS-MEK

17 access number: En stein på m=1 kg henger i en masseløs snor fra en ende av en meterstokk. Hva er massen M til meterstokken dersom stokken er i likevekt når den balanserer på en støtte på 0.5m merket? A. 0.5 kg B. 0.5 kg C. 1 kg D. kg E. 4 kg y O x FYS-MEK

18 krefter på stokken: snordraget T = mgj normalkraft gravitasjon N = Nj G = Mgj angriper i massesenteret til stokken y N M m T O x G kraftmoment om O T L 4 G L 4 0 mg Mg massen til meterstokken er M = 1 kg FYS-MEK

19 Eksempel: stige NL x retning: N F 0 1 krefter: gravitasjon G normalkreftene N 1, N friksjonskreftene F 1, F O F N y retning: N F G 0 1 kraftmoment: O cos sin L LN1 LF1 G cos 0 y G x F 1 N 1 3 ligninger men 4 ukjente: N 1, N, F 1, F problemet er ubestemt eksempel: vi antar at veggen er friksjonsfri: F 0 vi kan finne kreftene N 1, N, F 1 som funksjon av vinkelen og vekten til stigen FYS-MEK

20 access number: En stige (S) med masse M står mot veggen. Friksjon mellom veggen og stigen er neglisjerbar. En person (P) med masse m klatrer opp stigen. Faren for at stigen sklir blir N 1. større. mindre 3. er det samme y G S G P N 1 kraftmoment om kontaktpunkt på gulvet: person klatrer opp større kraftmoment fra gravitasjon (positiv) trenger større kraftmoment fra N for at τ = 0 normalkraften N fra veggen øker friksjonskraften F 1 øker slik at F x = 0 faren for at stigen sklir øker x F 1 FYS-MEK