Stivt legemers dynamikk

Transkript

1 Stivt legemers dynamikk FYS-MEK

2 Forelesning Tempoet i forelesningene er: Presentasjonene er klare og bra strukturert. Det er bra å vise utregninger på smart-board / tavle Diskusjonsspørsmålene i forelesningen hjelper meg å forstå. Antallet av eksempler som ble diskutert i forelesningen er: FYS-MEK

3 Gruppetimer Ukesoppgavene er godt tilpasset forelesningene og hjelpe forståelsen. Gruppetimer er en balansert blanding av oppgaveregning, gruppearbeid, diskusjoner. Jeg deltar ikke: 6 (0%) FYS-MEK

4 Obliger Oppgavene er godt tilpasset forelesningene og hjelpe forståelsen. Arbeidsmengden relatert til obligene er: nnlevering kun elektronisk vil være like greit som innlevering på papir. Gjennomsnittlig bruker jeg x timer på FYS-MEK FYS-MEK

5 Datalab Datalabben er et bra tilbud og jeg får hjelpen jeg trenger. Jeg har nyttige forkunnskaper i numeriske metoder / programmering fra tidligere kurs ærebok Jeg er fornøyd med læreboken. Jeg deltar ikke: (7%) FYS-MEK

6 Eksamen Midtveiseksamen gjenspeilte forelesningene, ukesoppgavene og obligene Generelt Det er en balansert blanding av analytiske og numeriske metoder. Jeg er generelt fornøyd med kurset. Jeg liker å undervise fys-mek kurset ja nei FYS-MEK

7 Rotasjon av et stivt legeme: definisjon: z m i i i treghetsmoment for legemet om aksen z (som går gjennom punktet O) kontinuerlig legeme med massetetthet (r) m ) dv z dm M V m( r kinetisk energi: K z jo større treghetsmomentet, jo mer energi behøves for å få legemet å rotere FYS-MEK

8 homogen sylinder sylinderkoordinater: x cos y sin z x y dv d d dz Volum: V R Masse: M V m Treghetsmoment: z dv V m R d d m dz 4 M R 4 M R R M VR MR FYS-MEK

9 homogen sylinderskall Volum: V ( R R ) R R Masse: M m ( R R ) Treghetsmoment: z dv V m R m R d d 0 0 dz 4 4 m ( R R ) 4 m ( R R )( R R ) M ( R R ) tynn sylinderskall: R R z MR full sylinder: z MR FYS-MEK

10 Stol friksjon i rotasjonsaksen er neglisjerbar luftmotstand er neglisjerbar energi er bevart: K0 K 0 0 små trehetsmoment stor vinkelhastighet stor trehetsmoment små vinkelhastighet FYS-MEK

11 Parallellakseteoremet (Steiners sats) massesenteret ligger i punkt C treghetsmoment om z akse gjennom C er C C ( ) dm M C hva er treghetsmoment om en parallell akse gjennom A? A A s M M C M ( ) A ( dm M C C ( s) C s s ) dm dm ( ) dm s dm s C C M dm C Ms M Parallellakseteoremet A C Ms dm mi M C i 0 i siden punkt C er massesenteret FYS-MEK

12 access number: 878 Hvor stort er treghetsmomentet om A sammenliknet med treghetsmomentet om B? A B. A > B. A = B. A < B bruk av parallellakseteoremet: A M ( d A, ) B M ( db, ) d A, db, A B FYS-MEK

13 Eksempel treghetsmomentet til en tynn lang stav som roterer om en akse gjennom massesenteret: M (regn ut som øvelse) hva er treghetsmoment hvis staven roterer om en akse gjennom en endepunkt? Parallellakseteoremet: A A Ms M M M 4 M FYS-MEK

14 access number: 878 Fire T-er er laget av to identiske staver med samme masse og lengde. Ranger treghetsmomentene a til d for rotasjon om den stiplede linjen.. c > b > d > a. c = d > a = b. a = b > c = d 4. a > d > b > c 5. a > b > d > c FYS-MEK

15 Superposisjonsprinsippet Hva er treghetsmoment for et legeme som består av to deler? N a m i i i k i N m i m i ik i i a, A a, B A B a, A M a, B Ms a M M M, B 0 M 4 b 0 M M c 7 0 M M d M M M a > d > b > c FYS-MEK

16 En stav er festet i et friksjonsfritt hengsel og slippet fra en horisontal stilling. finn vinkelhastigheten (vi ser bort fra luftmotstand) Kinetisk energi Den kinetiske energien til et stivt legeme som roterer med vinkelhastigheten om en akse z er: K z Potensiell energi Den potensielle energien til et stivt legeme i tyngdefeltet er: potensiell energi kinetisk energi kan vi bruke energibevaring? la oss se på kreftene: gravitasjon potensiell energi ingen friksjon ingen luftmotstand normalkraft i hengselet U hengselet beveger seg ikke normalkraft gjør ingen arbeid i m g y i i g energi er bevart: K 0 U0 K U i m y i i MgY FYS-MEK

17 E O0 MgY 0 K0 U0 0 E K U O MgY O Mg sin 0 energibevaring: E0 E 0 O O Mg sin Mgsin treghetsmoment: O M M Mgsin g sin g sin FYS-MEK

18 access number: 878 Vi fester en tung masse til enden av staven. Blir den maksimale vinkelhastigheten mindre, større eller like stor som for staven alene? O y x. mindre. større. like stor vi antar at massen til klossen er mye større enn massen til staven massesenteret ligger i sentrum av klossen treghetsmoment: O M energibevaring: M Mg sin g sin for staven alene: g sin den maksimale vinkelhastigheten (ved =90) er mindre med klossen festet til enden FYS-MEK

19 Eksempel: stav som svinger i et vilkårlig punkt rotasjonspunkt i avstand x fra massesenteret finn som funksjon av x treghetsmoment: bruk parallellakseteoremet x Mx energibevaring: x M Mx Mgx sin vinkelhastighet ved θ = 90 max Mgx x 6 vi finner avhengighet av x numerisk: 5 max [rad/s] x [m] FYS-MEK

20 Eksempel: kloss i trinse finn hastigheten till klossen som funksjon av h (ingen friksjon, ingen luftmotstand) kinetisk energi til klossen: K lin mv kinetisk energi til trinsen: K rot sylindrisk trinse: potensiell energi til klossen: energibevaring: U mg y 0 mv mgh MR to ukjente: v og koblet via snoren mv v MR R (m M ) v 4mgh mgh hvis snoren ikke glipper: v ds dt d R R dt s R v 4mgh m M masseløs trinse: v = gh FYS-MEK

21 Rullebetingelse r P r rp, v P v vp, punktet P beveger seg på en sirkelbane i massesentersystemet: r kˆ ( R ˆj ) R( kˆ ˆj ) v P, P, v P v v P v Riˆ, y R iˆ rullebevegelse i laboratoriesystem: P snu vertikal bevegelsesretning når den treffer bakken: 0 rullebetingelse: v P 0 x r v P, y v P, x uten å skli: 0 r P R v P, y' r P, v legeme (sylinder, ball) ruller uten å skli: Riˆ finn hastighet til massesenteret fra vinkelhastighet P x' v FYS-MEK

22 access number: 878 En sylinder og et sylinderskall med samme masse og radius ruller nedover et skråplan. Hvilken når bunnen først?. Sylinderen. Sylinderskallet. De kommer samtidig ned. sylinder: z mr sylinderskall: z m( R R ) mr kinetisk energi: K r z Energibevaring: sylinderskall har mer rotasjonsenergi sylinder har mer translatorisk energi FYS-MEK

23 kinetisk energi i translasjon: kinetisk energi i rotasjon: K t mv Kr y h x potensiell energi i tyngdefelt: U mg y energibevaring: mgh mv v R mv mr mv mv c v gh c sylinder når bunnen først sylinder: c mr sylinderskall: c mr FYS-MEK

24 access number: 878 En liten sylinder med radius R og masse m og en stor sylinder med radius R og masse 4m ruller ned et skråplan. Hvilken når bunnen først? R R. Den lille sylinderen. Den store sylinderen. De kommer samtidig ned. m 4m vi har funnet: v gh c hvor: c mr for en sylinder Hastighet v er uavhengig av R og m. FYS-MEK