Fysikkolympiaden Norsk finale 2019 Løsningsforslag

Transkript

1 Fysikkolympiaden Norsk finale 09 Løsningsforslag Oppgave Vi kaller strømmene gjennom de to batteriene I og I og strømmen gjennom den ytre motstanden I = I + I. Da må vi ha at U = R I + RI U = R I + RI. Vi kan løse disse likningene på mange måter. For eksempel kan vi sette inn for I på høyre sidene og få Fra den første av disse finner vi U = (R + R)I + RI U = (R + R)I + RI. som vi setter inn i den andre U = R + R R Når vi løser denne får vi I = R [U (R + R)I ] [U (R + R)I ] + RI = R [ + R R U + R (R ] + R)(R + R) I. R I = (R + R)U RU R(R + R ) + R R = 6, 6 A. Fra symmetrien i problemet kan vi direkte skrive I = (R + R)U RU R(R + R ) + R R = 0, 08 A. Oppgave Hvis vi trekker planken en strekning x ned fra likevektsposisjonen vil fjærene trekke tilbake med en samlet kraft F. Siden snora beveger seg fritt over trinsa må det være

2 samme kraft i begge fjærene, og den må være F/. Den totale forlengelsen av begge fjærene er x. Hvis vi kaller forlenglesene i hver fjær for x k og x 3k, så må x k + x 3k = x og 3kx 3k = kx k. Dette gir x k = 3x og x 3k = x. Dermed er F = 3kx, som betyr at den effektive fjærkonstanten for hele systemet er 3k. Vi kan sette dette inn i formelen for svingetid for en harmonisk pendel og får m T = π 3k. Oppgave 3 a) Vi kaller starttemperaturene T is = 5 C = 58 K og T v = 55 C = 38 K og smeltepunktet T 0 = 0 C = 73 K. Massene er m is =, 0 kg og m v =, 0 kg. Da er sluttemperaturen T gitt ved å balansere varmestrømmen ut av vann og inn i is som vi løser og finner m v c v (T v T ) = m is c is (T 0 T is ) + m is L is + m is c v (T T 0 ) T = m vc v T v + m is c v T 0 m is c is (T 0 T is ) m is L is m v c v + m is c v = 80, 66 K 8 C. b) Entropiendringen i vannet er og i isen S v = T T v dq T = m vc V T T v dt T = m vc V ln T T v = 309 J/K S is = m is c is ln T 0 + m isl is + m is c v ln T = 458 J/K T is T 0 T 0 Den totale entropiendringen blir da S = S v + S is = 49 J/K. Oppgave 4 a) Vi kaller farta i avstanden r for v r, farta i avstanden R for v R og bruker bevaring av energi og spinn: mv R = mv r Mg(R r) mv r r = mv R R.

3 Når vi løser disse to likningene får vi MgR v r = = 3, 5 m/s m(r + r) Mgr v R = = 0, 89 m/s. m(r + r) b) Vi kaller snordraget S og akselerasjonen til loddet a. Da har vi Ma = G S For kula er den radielle akselerasjonen også a, og snordraget går delvis til sentripetalakselerasjon og delvis til radiell akselerasjon: ma = S m v r Vi løser disse to likningene og får at a = Mg mv /r m + M I det høyeste og laveste punktet blir det a R = 5, 9 m/s og a r = 35 m/s. Oppgave 5 Når vi lukker bryteren vil det begynne å gå strøm gjennom både motstanden og spolen. Så lenge vi ser bort i fra indre resistans i spenningskilden vil den holde samme spenning over motstanden uavhengig av spolen, og dermed er strømmen gjennom motstanden konstant så lenge bryteren er lukket. Når vi åpner bryteren igjen vil det induseres en spenning i spolen som opprettholder strømmen gjennom den i samme retning som før. Denne strømmen går 3

4 gjennom motstanden i motsatt retning av den som var tidligere. Strømmen skifter altså fortegn, og avtar eksponensielt med tida. Oppgave 6 Den potensielle energien i starten er E p = kq r + kq + kq r r = 4kq r. Denne går over i kinetisk energi, og vi må finne ut hvordan den fordeler seg mellom de tre ladningene. Vi kaller avstanden mellom og for r og mellom og 3 for r. Til å begynne med er r = r = r, og vi vil vise at de kommer til å fortsette å være like. Vi har akselerasjonene til de tre ladningene a = kq m a = kq m a 3 = kq 5m ( ) r (r + r ) ( ) r r ( (r + r ) + ). r Vi har at r er avstanden mellom første og andre ladning. Da må den andrederiverte av denne med hensyn på tid være den relative akselerasjonen, dvs differansen mellom a og a. Hvis vi starter i en konfigurasjon der r = r = r vil d r dt d r dt = a a = kq mr = a 3 a = kq mr. Siden r og r starter likt og endrer seg likt må de være like til alle tider. Dermed har vi a = 3 kq mr a = kq mr a 3 = kq mr. Det betyr at v = 3v 3 og v = v 3. Dermed er 4

5 E k = 9 6 E p = 9kq 4r E k = 6 E p = kq r E k3 = 5 6 E p = 5kq 4r. 5