FYS1120 Elektromagnetisme H10 Midtveiseksamen

Transkript

1 FYS1120 Elektromagnetisme H10 Midtveiseksamen Oppgave 1 a) Vi ser i denne oppgave på elektroner som akselereres gjennom et elektrisk potensial slik at de oppnår en hastighet Som vist på figuren under, blir de sendte videre inn i et homogent magnetfelt som står normalt på papirplanet. Der beveger de seg langs en sirkelbane med radius For elektroner er ladning-masse ( ) forholdet kjent lik Vi kan bruke denne informasjonen til å beregne potensialet dersom vi ser på energien i systemet. Dersom vi setter inn de gitte verdiene får vi at Vi har fra dette beregnet at potensialet er volt. b) Videre kan vi beregne magnetfeltet ved å se på kreftene i systemet som virker på partiklene som beveger seg i feltet. Vi har at og hvor da elektronet beveger seg i en halvsirkel. Vi har også at slik at. Page 1 of 10

2 Med dette uttrykket for kan vi nå beregne hvor stort magnetfeltet er Fra dette har vi funnet at størrelsen på feltet c) Da det viser seg at elektronstrålen inneholder en liten forurensning av tyngre partikler som beskriver sirkelbaner med radius kan vi finne ladning-masse forholdet for partiklene ved å bruke uttrykket for.vi antar her at partiklene ikke har samme hastighet og at de tyngre partiklene har en hastighet., hvor Fra uttrykket over ser vi at er eneste ukjente. Vi må med andre ord løse for Fra dette får vi at forholdet mellom for de tyngre partiklene er Page 2 of 10

3 Oppgave 2 a) I denne oppgaven ser vi på et kuleskall med en indre radius og en ytre radius 2. Det er laget av et dielektrisk materiale med dielektrisk konstant 1.25 og har en konstant tettet av frie ladninger. Størrelsen av det elektriske forskyvningsfeltet er bestemt av den frie ladningstettheten. Vi kan herav vise at dielektrikumet i allminnelighet også inneholder bundne ladninger gitt ved ladningstettheten ved å ta utgangspunkt i fluksen Φ og divergensteoremet. Φ Hvor slik at Vi kan så sette inn for gitt at Dette gir oss, hvor Dersom vi nå deriverer over volumet, vil vi få ladningstettheten for de bundne ladningene. Vi har fra dette vist at dielektrikumet i allminnelighet også inneholder bundne ladninger gitt ved ladningstettheten. b) Videre ønsker vi å bruke Gauss lov til å beregne det elektriske feltet innenfor og utenfor kuleskallet som en funksjon av radius. Φ, hvor, hvor 4 tilsvarer arealet av en kule slik at Page 3 of 10

4 4 Vi har nå funnet for kula og vi kan nå sette betingelsene for Vi må også sette betingelser for utenfor kula, da feltet avtar og vi ikke lenger befinner oss i et dielektrisk materiale. Med andre ord forsvinner den dielektriske konstanten, noe som vil medføre en diskontinuerlighet i. 2 2 Deretter ønsker vi å skissere som en funksjon av fra 0 til 2. Fra skissen over ser vi at er diskontinuerlig for 2. Dette kommer av den dielektriske konstanten som forsvinner fordi vi ikke lenger befinner oss i et dielektriske materiale. Page 4 of 10

5 Kort oppsummert har vi følgende for som en funksjon av c) Vi kan beregne polarisasjonsvektoren ved å ta utgangspunkt i., hvor 1 Videre kan vi bruke dette til å finne tettheten av indusert overflateladninger på de to flatene og , hvor 1.25 Vi har fra dette at 0 og 2. d) Vi kan ved hjelp av resultatet i a) utlede et uttrykk for i dielektrikumet som en funksjon av. Vi tar utgangspunk i og da er kjent kan vi partiellderivere med hensyn på sfærisk koordinater. Dette gir sin Page 5 of 10

6 Dersom vi nå setter inn for 1, får vi at 1 Hvor Fra dette ser vi at får vi at og 0 som gir diskontinuiteten. Setter vi inn for Diskontinuiteten er med dette gitt ved. Vi kan eventuelt vise at det er et diskontiuerlig punkt da grenseverdien til en funksjon mot punktet fra den ene siden er ulik grenseverdien til funksjonen mot punktet fra den andre siden for 2. lim 2 lim 2 lim lim, 1512 Vi ser med dette at det altså finnes et diskontinuerlig punkt. Page 6 of 10

7 Oppgave 3 a) Vi ser nå på en kondensator koblet til et batteri med spenning. Batteriet har en indre motstand og parallelt med kondensatoren er det en motstand som figuren under viser. Ved 0 lukkes bryteren og batteriet vil gi strømmer i kretsen. Kondensatoren antas opprinnelig å være uladet. Vi ønsker først å finne strømmengde som går gjennom og like etter at bryteren er lukket, gitt at kondensatoren er uladet. Tar vi utgangspunkt i Kirchhoffs 2. regel (eller slyngeregelen) får vi at 0 men siden kondensatorladningen øker med tiden, har vi nå at. Videre gir dette Integrerer vi fra 0 til og fra til får vi et uttrykk som vi kan løse for som vi kan bruke for å vise. ln ln ln/ / Vi tar deretter utgangspunkt i Ohms lov for å vise strømmengden gjennom og. For alle parallelle vet vi at slik at. Videre vet vi også at Page 7 of 10

8 . Dersom vi nå løser for 0 får vi at 0 0. Altså er det ingen resistanse i når 0. Ser vi nå på får vi at og 0 Dette tilsvarer at 100% og 0% da all strøm vil gå gjennom siden 0. Videre har vi at Dette gir 0 Fra dette har vi at strømmen gjennom og at strømmen gjennom 0 like etter at bryteren er lukket. b) Tar vi samme utgangspunkt som i forrige deloppgave, kan vi se hvor stor ladningen på kondensatoren blir når den er fullt oppladet. Fra uttrykket / ser vi at ln/ blir større slik at resistansen innad i kondensatoren øker. Dette vil medføre at 0 da resistansen øker som en funksjon av tiden. Med andre ord vil det gå lite eller ingen strøm gjennom når den er fullt oppladet. Videre kan vi anta at ladningen når den er fullt oppladet, da ladningen for en kondensator som en funksjon av tiden er gitt ved 1 hvor 0 for store -verdier. Altså kan vi anta at. c) Bruker vi igjen Kirchhoffs lover med klokken, kan vi utlede en differensiallikning som den tidsavhengige ladningen må oppfylle. Ser vi på Kirchhoffs 2. Lov (slyngereglen) får vi tre uttrykk. (1) 0 (2) 0 (3) 0 Bruker vi nå (1) får vi Page 8 of 10

9 0, hvor ln 1 1 Vi har fra dette at ladningen på kondensatoren 1 som en funksjon av tiden. Vi har da tenkt som på figuren under, for å kunne ta i bruk lovene d) Vi kan videre løse for å se om svarene vi resonerte oss til i a) og b) er riktige Page 9 of 10

10 Vi ser fra dette at 0 gir oss, hvor. Alså er svaret vi resonerte oss til i a) riktig. For deloppgave b) får vi at 0 for. Likvel vil 0 da vi befinner oss i en parallell krets. Minste vil derfor være gitt som en funksjon av. Page 10 of 10