Kap. 24 Kapasitans og dielektrika. Van de Graaff generator. Kap Van de Graaff-generator i Gamle fysikk, 1952

Transkript

1 Kap. 4 Kapasitans og dielektrika Grunnleggende forståelse for HA en kondensator er, HORFOR den virker som den gjør, hvilke BEGRENSINGER den har og hvorfor et DIELEKTRIKUM er påkrevd i en kondensator. Kapasitans Energi i kondensatorer og ladningssamlinger generelt Beskrive et dielektrikum: polarisering, elektrisk flukstetthet D, relativ permittivitet Gauss lov for dielektrika. Små kondensatorer og store kondensatorer.. Fra Wikipedia: an de Graaff generator Y&F fig.7 Se også Wikipedia Oppgitt overslagsspenning k ved cm ,5 Coronautladning ved E max = 30 k/cm på overflata max = E max R = 300 k Q max = max C = 3,3 μc an de Graaffgenerator i Gamle fysikk, 195 Forskning i kjernefysikk. Opptil 000 k Kulediameter ca 60 cm høytrykkskammer rundt sett fra ITbygg sør (Aud F1) 1

2 Kap. 4 Kapasitans og dielektrika Kondensatorer = to ledere som kan lagre ladning Kapasitans: C = Q/ (enhet F = farad) der = 1 for to ledere (Type A) eller = for enkeltleder (Type B) Eks. 1: Enkeltkule: C = 4πε 0 R arallellplatekondensator C = ε 0 A/d Eks. : arallellplatekondensator C = ε 0 A/d Eks. 3: Kulekondensator C = 4πε 0 r b r a /(r b r a ) 4πε 0 r a når r b Eks. 4: Sylinderkondensator (koakskabel) arallellkopling: C = Σ C i ; seriekopling: 1/C = Σ 1/C i Uttrykk for energi i kondensatorer Uttrykk for energi i ladningssamling Dielektriske materialer: Elektrisk polarisering Elektrisk flukstetthetsvektor: D Gauss lov for dielektrika. Hvor stort areal for 1F kondensator hvis d = 0,1 mm? A = C d/ ε 0 = 1 F 0,1 mm / F/m = 11 km!! Eks. 1: Enkeltkule (ladning q) Type B Eks. 3: Kulekondensator Type A = to kuleskall med ladning Q og Q =Ex. 4.3 Eks. 4: Sylinderkondensator = Y&F Ex. 4.4 Type A = to sylinderskall med ladning λ og λ (C/m) = koaksialkabel Utregnes helt tilsvarende som kulekondensator. wikimedia.org File:RG59.jpg C = 4πε 0 R (Fig 4.5) C = 4πε 0 r b r a /(r b r a ) 4πε 0 r b r a /r b = 4πε 0 r a når r b (Fig 4.6) 1) Finn E r ) integrer og finn (r) (Metode ) ( Eks 9 Kap 3) 3) finn kapasitansen C = Q/ ab Metode 1: 1 qi () r = 4 pe å 0 i ri 1 dq () r = 4 pe òòò r Metode : = E d l b a 0 b ò a

3 Uttrykk kapasitans i parallell Kondensatorer: i serie korreksjonsfaktor i dielektrika (anna enn luft) Koaksialkondensator: C = ε 0 (geometrifaktor) enhet: meter C = ε 0 (π / ln(r a /r b )) l C 1 Q 1 C Q C 1 Q Q C Q Q 1 arallellplatekondensator: C = ε 0 A/d C Q C Q Q Kulekondensator: C = ε 0 4π r b r a /(r b r a ) ε 0 4π r a når r b Q = Q 1 Q C = C 1 C lik for alle => C = C 1 C = Σ C i = 1 Q/C = Q/C 1 Q/C Q lik for alle => 1/C = 1/C 1 1/C = Σ 1/C i kond: C = C 1 C /(C 1 C ) Øking av avstand d i platekondensator: => C = ε 0 A/d avtar 1. Tilkopla batteri: konstant Q = C avtar E avtar U = ½ Q avtar (gis til batteriet). Frakopla batteri: Q konstant = Q/C øker E konstant U = ½ Q øker (tilføres fra ytre kraft) Q Q Q Q d F = QE d Elektrisk energi 1. Uttrykt med ladning og potensial: U = ½ Q = ½ C = ½ Q /C (4.9) (utledet for kondenstor; all Q på samme ) U = ½ dq (ulike dq på ulike ) (4.9C) Beregning fra arbeid: U = F d = QE d 3

4 Kap 3, eks.. To ladninger Energiberegning under oppbygging: q 1 først, så q : U = U 1 U = 0 q kq 1 /a Aud R: Hvor mye energi for å plassere inn mange 1C ladninger? 1=0 U 1 =0 q først, så q 1 : U = U U 1 = 0 q 1 kq /a U 3 =( 31 3 )Q Ferdig oppbygd: ved potensial energi q 1 1 =kq /a q 1 1 = q 1 kq /a q =kq 1 /a q = q kq 1 /a Sum: Σ q i i = q kq 1 /a Regnet dobbelt! Konklusjon: Energi beregnet fra potensial i ferdig oppbygd ladning: U = ½ Σq i i Brukes i Øving 5, oppgave a) U = 1 Q 1 o.s.v. Eks.6: Energi for homogent ladd kule Energi U uttrykt med Efeltet Beregna i Eks.8 kap. 3: kqæ r ö () r = 3 Rç R çè ø inni kula areal A 1 U = ()d (4.9C) òòò r q 1 3 kq = () r rdt òòò = 5 R OBS: dq = 0 utenfor kula Kulesymmetri: dτ = 4π r dr = kuleareal tykkelse idealisert d volum = Ad U = ½ ε 0 E Ad u = U/τ = ½ ε 0 E 4

5 Elektrisk energi Eks. 7: Energi på lederkule med ladning q 1. Uttrykt med ladning og potensial: U = ½ dq (= ½ Q = ½ C ) (4.9C). Uttrykt med elektrisk felt: U = u dτ = ½ ε 0 E dτ Hvor er energien lagra: I ladningene eller i det elektriske feltet? å platene eller mellom platene? To uttrykk for SAMME energi! (4.11B) U fra E: U = ½ ε 0 E dτ U fra : U = ½ dq = ½ (R) q (R) Eks.67 U = ½ (r) dq Eks.7: Ladd lederkule: U = ½ kq /R Dielektrika og elektrisk polarisering Materialer: akuum Ledere Dielektrikum (R) Eks. 6: Homogent ladd kule: U = 3/5 kq /R = 6/5 U ladd lederkule Mellom plater i kondensator brukes alltid et dielektrikum Kapasitansen øker da med en faktor. 5

6 relativ permittivitet Kap. 4 Kapasitans og dielektrika Gjennomgått: Kondensatorer = to ledere som kan ta opp ladning Kapasitans: C = Q/ (farad), med eksempler:» Enkeltkule:» arallellplate:» Kulekondensator: Seriekopling og parallellkopling Energi i kondensatorer Energi i ladningssamlinger idere: Dielektriske materialer: Elektrisk polarisering =χ e ε 0 E Elektrisk flukstetthetsvektor: D = ε 0 E Gauss lov for dielektrika: Noen anvendelser/eksempler C = 4πε 0 r a C = ε 0 A/d C = 4πε 0 r b r a /(r b r a ) σ i U = ½ Q = ½ C U = ½ dq U = ½ ε 0 E dτ p σ i (fig 4.0) Kraftmoment dipol: t = a/ qe ( a/) (qe) = qa E = p E p Kraftmoment dreier p til å bli (om mulig) parallell med E p Ledere i ytre Efelt Ladninger forskyves, inntil E = 0 σ σ E = 0 (fig.8a) 6

7 Dipolinnretting (polarisering) gir flateladning σ i (i = indusert ladning) σ i σ i D = ε 0 E 0 = χ e ε 0 E (1) E D = ε 0 E () Resulterende E mindre enn E 0 p Definisjon: = p/volum El. nøytralt innenfor her Observasjon: = χ e ε 0 E Relative ermittivity D = ε 0 E σ σ i σ i σ Gaussflate S 0 Gaussflate S 1 Relative permittivity Luft: 0,3 X

8 Gauss lov: Gauss lov for fri ladning Q: eller Gauss lov for indusert ladning Q i : ò d A=Q (11) i Gauss lov for totalladning Q tot : (10) Q tot = Q Q i I alle tidligere formler kan ε 0 E erstattes av ε 0 E =ε E = D med Q = fri ladning Eks.: Gauss lov (ovenfor) og Coulombs lov: Dd A Q Ed AQ/ (1) Mest praktiske 1 Q 1 Q E= r E= r 4pe0 r 4pere0 r 1 Q D = r 4p r Kap. 4: Oppsummering Dielektrika og polarisering Dielektriske materialer: Elektrisk polarisering = dipoltetthet: = χ e ε 0 E der χ e er elektrisk susceptibilitet. Relativ permittivitet = χ e 1 (dielektrisitetskonstant) Elektrisk flukstetthetsvektor: D = ε 0 E = ε 0 E (forskyvningsvektor) D og ikke presentert i Y&F. Kort sammenfatta i Notat 1 Øving 7 sentral! Eks. 8 arallellplatekondensator uten og med dielektrikum A. Frakopla batteri: Konstant: σ = D = Q/A Avtar: 1 = 0 / Øker: C 1 =Q/ 1 = C 0 = ε 0 A/d Energi: U 1 = ½ Q 1 avtar B. Tilkopla batteri: Konstant: 1 = 0 Øker: σ 1 = D 1 = Q 1 /A = D 0 Øker: C 1 =Q/ 1 = C 0 = ε 0 A/d Energi: U 1 = ½ Q 1 øker (tilføres fra batteriet) Q Q Integralform: Differensialform: Gauss lov 1 F E = òò E d A= q e0 S 1 dive = r e divd= divergensen til D div D= D= [ / x, / y, / z] D 0 F= D d A= q òò = elektrisk fluks divd =r 8

9 divergens = kilde = pos.ladning = kilde = Efelt div D >0 Kap. 4: Oppsummering 1 Kondensatorer og kapasitans Kondensatorer = to ledere som kan ta opp ladning Kapasitans: C = Q/ (farad) Enkeltkulekondensator: C = 4πε 0 R (Eks. 1) arallellplatekondensator: C = ε 0 A/d (Eks. ) Kule(skall)kondensator: C = 4πε 0 r a r b (r b r a ) (Eks. 3) Sylinderkondensator (koakskabel): C = πε 0 /lnr b /r a (Eks. 4) arallellkopling: C = C 1 C Seriekopling: 1/C = 1/C 1 1/C div D = 0 Uttrykk divergens, se formelark Energi ved ladning og potensial: U = ½ dq Energi ved elektrisk felt: u = ½ ε 0 E dvs. U = ½ ε 0 E dτ For kondensator gir dette: U = ½ Q = ½ C = ½ Q /C Kap. 4: Oppsummering Dielektrika og polarisering Dielektriske materialer: Elektrisk polarisering = dipoltetthet: = χ e ε 0 E der χ e er elektrisk susceptibilitet. Relativ permittivitet = χ e 1 (dielektrisitetskonstant) Elektrisk flukstetthetsvektor: D = ε 0 E = ε 0 E (forskyvningsvektor) Elektrisk fluks: D d A Gauss lov for fri ladning Q = Q tot Q i : E Gauss lov for indusert ladning Q i : ò d D d AQ eller A d Q/ A=Qi Gauss lov for totalladning Q tot : I alle tidligere formler kan ε 0 E erstattes av ε 0 E =ε E = D med Q = fri ladning Mer utfyllende i Notat1: Dielektriske materialer. Spesielle dielektrika: iezoelektriske materialer: Mekanisk strekk eller trykk polarisasjon (eller motsatt:) Efelt felt deformasjon Bruk: Kvartskrystaller, mikrofoner, pickup (platespillere vinyl ) Ferroelektriske materialer (dipolelectrets): Materialer med permanent polarisasjon (tilsvarer permanente magneter) Overslag ( breakdown ): Overslag i dielektrika ved viss angitt grense ( dielectric strength ) Kondensatorer har oppgitt max spenning! 9

10 Skjematisk om E, og D: Dielektrisk materiale i homogent Efelt Skjematisk om E, og D: Dielektrisk materiale i homogent Efelt = χ e ε 0 E ε 0 E χ e = χ e 1 1/3 4/3 D = ε 0 E 0 = D = ε 0 E = D = ε 0 E 0 avtar øker 1 D = 1 ε 0 E = D = ε 0 E = D = 1 ε 0 E 3 4 D = ε 0 E endres ikke (ingen frie ladn. i dielektriet) = χ e ε 0 E der E er inni dielektriket, ikke ytre (# flukslinjer ) = χ e (# flukslinjer ε 0 E) Øving 6. Opg. 1 (lotte () med Matlab/Octave) Øving 6. Opg. 1 (lotte () med Matlab/Octave) Definer og bruk dimensjonsløse variable i all numerisk analyse! % elg området < x < og < z < for plotting, ca 100 x 100 punkter i alt [x,z] = meshgrid( : /50 :,.01 : /50 : ); subplot(,,1); % iser opptil fire figurer i xmønster % mesh(x,y,z) tegner opp et 3Dplott av z som funksjon av x og y mesh(x,z,e); % Kommandoen axis([a b c d e f]) setter aksene for 3Dplot slik: % a < x < b, c < y < d, e < z < f axis([ 10 10]); % Kommandoen caxis([zmin zmax]) setter fargeskalaen slik at blått % tilsvarer zmin og rødt tilsvarer zmax caxis([10 10]); xlabel('x/a'); % Tekst på aksene ylabel('z/a'); zlabel('e'); 10

11 Flervalgsoppgaver fra «Thinking physics»: ng/tfy4155/diverse/thinkingphysics/ Svar: a) Konstant ladning Q Lavere kapasitans C = ε 0 A/d => Høyere spenning = Q/C => Mer energi U = ½ Q! Svar: a) Konstant ladning Q Lavere =>Lavere kapasitans C = ε 0 A/d => Høyere spenning = Q/C => Mer energi U = ½ Q! eller: Konstant ladning Q => Konstant felt E = σ/ε 0 => Konstant energitetthet u = ½ ε 0 E => U = u (volum) øker! = E d øker også eller: Konstant ladning Q Lavere => Økende felt E = σ/ ε 0 => Økende energitetthet u = ½ ε 0 E = E d øker også Noen av Støvnengs flervalgsoppgaver E uendret. 11