UNIVERSITETET I TROMSØ. EKSAMENSOPPGAVE i FYS-1002

Transkript

1 UNIVERSITETET I T R O M S Ø UNIVERSITETET I TROMSØ Intitutt for fysikk og teknologi EKSAMENSOPPGAVE i FYS-1002 Eksamen i: Fys-1002 Elektromagnetisme Eksamensdato: 10. juni, 2013 Tid: 09:00 13:00 Sted: Åsgårdvegen 9 Tillatte hjelpemidler: K. Rottmann: Matematisk formelsamling Lommekalkulator med tomt minne Fysikkforeningas eksamensskjorte Oppgavesettet er på: 8 sider inklusive forsiden Side 7 Formelsamling Side 8 Formler om dielektrika og magnetiske stoff Kontaktperson: Cesar.La.Hoz@uit.no Mobil Fys-1002 Vår 2013 Endelig eksamen clh 01Jun2013 s.1 av 8

2 Oppgave 1 a) I denne oppgaven skal vi se på RLC-kretsen vist på figuren nedenfor. (i) Forklar hva impedans og reaktans er. Hva er impedans og reaktans av en resistans, en induktans og en kapasitans? (ii) Vis at differensialligningen til RLC-kretsen kan skrives som d 2 I dt + R L di 2 dt + 1 LC I = ωv o cos ωt (1) L (iii) Vi ser først på den partikulære delen av løsningen. Denne er gitt som Vis at strømsamplituden I o er og strømsfasen er I o = V o [R 2 + I = I o sin(ωt + ϕ) (2) ( ωl 1 ) 2 ] 1/2 (3) ωc tan ϕ = ω2 LC 1 ωcr R (4) V o ~ L C (iv) Skisser fasediagramet til V o og I. b) Vi vil finne den generelle løsningen til (1). Den partikulære delen av løsningen er gitt ved (2), så det vi mangler er den homogene delen. (i) Finn den homogene delen av løsningen (Hint: ved å bruke I(t) = e rt som prøveløsning). Hva skjer når t? (ii) La R = 0, 5 Ω, L = H, og resonansfrekvensen ω o = 10 5 rad/s. Er dempningen underkritisk, overkritisk eller kritisk? (iii) Skisser den homogene delen av løsningen. Fys-1002 Vår 2013 Endelig eksamen clh 01Jun2013 s.2 av 8

3 c) Denne RLC-kretsen er en metalldetektor på en flyplass. Når en metallgjenstand passerer gjennom detektoren vil induktansen forandres og kretsen vil gi et signal når effekten blir mindre enn eller lik halvparten av resonanseffekten. Hvor stor må endringen i induktansen være før vi får et signal? d) Et annet bruksområde for RLC-kretser er radiomottakere der det er viktig å hente ut maksimal effekt ved bestemte frekvenser. En stiller inn en bestemt radiokanal ved å endre kapasitansen slik at en får resonans ved den radiofrekvensen som kanalen du vil høre på har. FM-båndet strekker seg frå ca 87,5 108 MHz. Vi går ut fra at L har verdien L = 1 µh. Hvor mye må vi kunne endre kapasitansen for at radioen vår skal kunne motta alle frekvensene på FM-båndet? Neste: Oppgave 2 Fys-1002 Vår 2013 Endelig eksamen clh 01Jun2013 s.3 av 8

4 Oppgave 2 I denne oppgaven skal vi se på en enkel vekselstrømgenerator vist på figuren nedenfor. Sløyfa har motstand R, induktans L og areal A. Rotasjonshastigheten er ω. Anta at sløyfas areal er dekket av B-feltet. a) (i) Gjør rede for hvordan/hvorfor generatorer og motorer fungerer og hvilken lov som gir grunnlag for det? (ii) Forklar forskjellen mellom en generator og en motor. b) Vi setter på en konstant strøm i elektromagneten og konstant B felt i rommet mellom polene. (i) Hvilken retning vil magnetfeltet B peke gjennom sløyfa? (ii) Ved tiden t = 0 er sløyfa vertikal slik at ingen strøm går gjennom sløyfa. Finn fluksen gjennom sløyfa som funksjon av tid og sett opp differensialligningen til sløyfa. (iii) Finn et uttrykk for den avgitte effekten i kretsen og skisser denne som funksjon av tid. c) Det vil virke et kraftmoment på sløyfa fra magnetfeltet. Finn et uttrykk for det totale kraftmomentet på sløyfa. d) La B = 0, 05 T, sidekantene på strømsløyfa er 8 cm og 15 cm. (i) Hvilken frekvens må sløyfa rotere med for at den maksimale induserte motoriske spenningen skal være lik 0, 25 V? (ii) Vi kopler til en transformator og ønsker å øke spenningen til 10 V. Primærspolen har 1 vikling. Hvor mange viklinger må sekundærspolen ha? I o ω A Fys-1002 Vår 2013 Endelig eksamen clh 01Jun2013 s.4 av 8

5 Oppgave 3 a) To små identiske kuler har hver sin ladning Q og masse m og henger fra taket som vist på figuren. De vektløse strengene har lengde L. I likevekttilstanden er de to kulene i en avstand d. Vi betrakter kulene som punktladninger. L L Q m d Q m (i) Vis at ladningen må være Q = [ 4πϵo mg d 2 (2L/d)2 1] 1/2 (5) (ii) Det blir plutselig fuktig i rommet, noe som gjør at den dielektriske konstanten blir κ > 1. Vis at den nye avstanden d er bestemt av ligningen κ 2 d 6 + d 2 4L 2 = 0 (6) [Hint: tenk på at økningen av κ fra 1 til > 1 må kompenseres med en endring av d slik at Q blir uendret]. b) (i) Finn det magnetiske feltet i sentrum av en sirkulær ring med radius a, en lineær ladningstetthet λ og som roterer med konstant vinkelhastighet ω. (ii) En sirkulær sløyfe med radius a har en elektrisk strøm I. Vis at B-feltet langs z-aksen er: µ o Ia 2 B z =. (7) 2(z 2 + a 2 ) 3/2 (iii) Finn det magnetiske feltet langs z-aksen av den roterende ringen i del (i). c) En tynn disk som har radius b og en flateladningstetthet σ, roterer med konstant vinkelhastighet ω. Finn det magnetiske feltet langs z-aksen. Fys-1002 Vår 2013 Endelig eksamen clh 01Jun2013 s.5 av 8

6 d) En fullkommen ledende kule med radius R er omsluttet av et uendelig medium med permittivitet ϵ o og konduktivitet σ k. En tynn ledning forsyner kula med en strøm I. Vi ser bort fra ledningens endelige bredde. Det er klart at strømmen returnerer fra kula i alle retninger. r I o σ k R (i) Finn strømmens romtetthet J som funksjon av radial avstand fra kula, r. Hvilke antagelser ligger bak denne beregningen? (ii) Finn det elektriske feltet som funksjon av radial avstand fra kula, r. (iii) Gjør rede for at kula har konstant potensial, dvs det er en ekvipotensial. Finn kulas potensial og vis at den ekvivalente motstanden til kule-medium systemet er R = (iv) Vis at overflateladningen på kula har en tetthet σ = 1 4πσ k R 2 (8) ϵ oi 4πσ k R 2 (9) (v) Vis at produktet mellom motstand (8) og kulas kapasitans C er gitt ved Hvilken enhet har RC? Hva er den fysiske betydningen av RC? RC = ϵ o σ k (10) SLUTT Fys-1002 Vår 2013 Endelig eksamen clh 01Jun2013 s.6 av 8

7 Elektromagnetisme Formelsamling UiT IFT Fys-1002 V-2013 CLH F 12 = 1 q 1 q 2ˆr 12 4πϵ o r12 2 E(r) = 1 q (r r ) 4πϵ o r r 3 E(r) = 1 ρ(r )(r r ) 4πϵ o r r 3 d 3 r E = ρ/ϵ o Φ E = E d 2 r = 1 ρ(r) d 3 r = Q total /ϵ o ϵ o V U E = 1 q 1 q 2 4πϵ o r u E (r) = ϵ o 2 E2 (r) V (r) = 1 ρ(r ) 4πϵ o r r d3 r E = V V = E dr U E = 1 ρ(r)v (r)d 3 r 2 Q = C V C = ϵ oa d C = 4πϵ o R U E = 1 2 C V 2 I = J d 2 r J = σ E R = l σ A P = V I = I 2 R (plater) (kule) F = q E + v B E = t B B = 0 B = µ o J ( t = 0) B dl = µ o J da = µ o I A A B(r) = µ 0 I dl (r r ) 4π r r 3 d 3 r E = t B E = E l = B da = t Φ B A Φ B = L I A V c 2 = 1 ϵ o µ o E = ρ/ϵ o B = 0 E = t B c 2 B = J/ϵ o + t E Ĩ(t) = Îo e ωt = I o e iϕ e iωt I o = [ Re 2 (Îo) + Im 2 (Îo) ] 1 2 tan ϕ = Im(Îo) Re(Îo) e iωt = cos ωt + i sin ωt Ẑ L = iωl Ẑ C = 1/iωC Ẑ = Σ k R k + i Σ k X k X L = ωl X C = 1/ωC Ĩ Ẑ = Ṽ X d 3 r = X d 2 r V V X d 2 r = X dr A A Y dr = Y (2) Y (1) bane ϵ o = C 2 s 2 /(kg m 3 ) 1 4πϵ o N m 2 /C 2 µ o = kg m/c 2 µ o 4π = 10 7 kg m/c 2 e = C m e = kg U B = 1 2 L I2 u B (r) = 1 2µ o B 2 (r) Fys-1002 Vår 2013 Endelig eksamen clh 01Jun2013 s. 7 av 8

8 Analogi mellom Elektrisitet og Magnetisme i materie UiT IFT Fys-1002 V-2013 CLH p = q d P = n p ρ p = P σ p = P ˆn ρ t = ρ f + ρ p = ρ f P E = ρ/ϵ o = (ρ f + ρ p )/ϵ o ϵ o E = ρ f P (ϵ o E + P) = ρ f D = ϵ o E + P D = ρ f P = χ e ϵ o E D = ϵ o (1 + χ e )E ϵ = ϵ o (1 + χ e ) κ = 1 + χ e D = ϵe m = A I M = n m J m = M K m = M ˆn J t = J f + J m = J f + M B = µ o J = µ o (J f + J m ) B/µ o = J f + M (B/µ o M) = J f H = B/µ o M H = J f M = χ m H B = µ o (1 + χ m )H µ = µ o (1 + χ m ) H = B/µ p elektrisk dipolmoment m magnetisk dipolmoment d avstand A areal P polarisasjonsvektor M magnetiseringsvektor n dipol tetthet n dipol tetthet ρ p polarisert romladningstetthet J m magnetisert romstrømstetthet σ p polarisert flateladningstetthet K m magnetisert flatestrømstetthet ρ t total romladningstetthet J t total romstrømstetthet ρ f fri romladningstetthet J f fri romstrømstetthet ϵ o vakums elektrisk permittivitet µ o vakums magnetisk permeabilitet χ e stoffs elektrisk susceptibilitet χ m stoffs magnetisk susceptibilitet ϵ stoffs elektrisk permittivitet µ stoffs magnetisk permittivitet D elektrisk forskyvningsvektor H magnetisk intensitet NB! Legg merke til linjene 13 og 14. Fys-1002 Vår 2013 Endelig eksamen clh 01Jun2013 s. 8 av 8